弹塑性波与结构动力学-第二章
最新弹塑性波与冲击动力学-第二章
弹塑性波与冲击动力学-第二章2-1材料坐标和空间坐标的连续介质力学的基本出发点之一，不是从微观角度考虑物体的真实材料结构，而是从宏观角度将物体视为连续粒子系统，也就是说，将物体视为一组连续粒子。
每个粒子在空间中占据一定的空间位置，不同的粒子在不同的时间占据不同的空间位置。
配置:在给定时间内粒子在物体中的位置排列。
如何描述粒子运动？定义坐标系(1)粒子命名(为了区分不同的粒子)，例如，xi(a，b，c) (2)描述了xi被粒子占据的空间位置。
I=1，一维；在连续介质力学中，经常使用两种观点和方法来研究介质的运动:拉格朗日法和欧拉法。
相应地，当研究杆的运动时，应该首先选择坐标系。
一般来说，有两种坐标系:拉格朗日坐标(即物质坐标，用介质粒子流来检验)和欧拉坐标(即空间坐标，用固定的空间位置来检验)。
拉格朗日描述(方法):当介质中的固定粒子观察物质的运动时，研究的是给定粒子上各种物理量随时间的变化，以及这些量从一个粒子到另一个粒子的变化。
这种描述介质运动的方法称为拉格朗日描述法，也称为按需法。
欧拉描述(方法):观察物质在固定空间点的运动。
所研究的是在给定空间点不同时间到达该点的不同粒子的各种物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点变化到另一个空间点时的变化。
这种描述介质运动的方法称为欧拉描述法，也称为局部法。
拉格朗日坐标:为了识别运动物体的粒子，一组数字(a，b，c)被用作其标记，不同的粒子由不同的数字(a，b，c)表示。
这组数字(a，b，c)被称为拉格朗日坐标(或物质坐标、卫星坐标)。
拉格朗日记法:t=t0位置，欧拉坐标:为了表示物体粒子在不同时间移动到空间中的一个位置，该位置由一组固定在空间中的坐标表示。
这组坐标称为欧拉坐标(或空间坐标)。
两种方法的例子如下:城市公共交通部门使用两种方法来计算乘客量:①在每辆公共汽车上设置一个记录器来记录在不同时间(站)上下车的乘客数量(采用拉格朗日法，即跟随体法)；(2)在每个车站设置一个记录仪，记录不同时间进出车站的车辆数量(欧拉法，即当地法)。
弹塑性力学第二章PPT课件
面力平均集度：
p S
[力][长度] -2
一点面力的集度：
p lim S 0 S
pS
Ps方向：与ΔP的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
西南科技大学 力学教研室
力和应力的概念
2. 内力
物 体 在外力作用下
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
附加 的内 力场
当内力场足以和外 力平衡时，变形不 再继续
平衡
西南科技大学 力学教研室
二、应力的定义
应力：单位面积上的内力： lim p
S Sc 0
c
单位：帕（Pa)
反映了P点内力的强弱程
度，是度量内力分布强弱
程度的物理量。
应力二要素： 点的位置：不同点的应力不同 截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同
yx
yz
力和应力的概念
一点的应力状态 ：
x yx
xy y
xz 坐标变换 yz
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
zx
zy
z
西南科技大学 力学教研室
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量， 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
平衡微 分方程
考虑物体内部任 意一个微分平行 六面体的平衡
静力边 界条件
考虑物体表面任 意一个微分四面 体的平衡
西南科技大学 力学教研室
边界条件
边界条件建立了边界上的物理量与内部物理 量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。
三种边界条件 （1）应力边界条件：在边界上给定内力。 （2）位移边界条件：在边界上给定位移。 （3）混合边界条件：在边界上部分给定面力，部分给定位移。
弹塑性力学 (2)
周向热应力
2 ln K K E t t r r 1 径向热应力 r 2 21 ln K K 1 Et 1 2 ln K r 2 t 轴向热应力 z 2 21 ln K K 1
温度变化引起的弹性热应力
1.热应力 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹 性体内所引起的应力，称为热应力。
（a）自由膨胀 图2-18热应变
1 返回
2、厚壁圆筒的热应力
厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（Self- balancing stress）
c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变 可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的
13
5
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
热应力 任意半径 r 处
圆筒内壁 Kr K 处 圆筒外壁 Kr 1处
t r
pt
t
P
ln Kr ln K
Kr2 1 K 2 1
2 Kr 1 K 2 1
1 ln K r t ln K
0
P P
1 t ln K 1
0
2K 2 K 2 1
r r rt ,
t ,
z z zt
（2-39）
具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
10
表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力
塑性力学第2章-理想弹塑性材料的三杆桁架问题
第二章 结构塑性性态的基本特征
武汉理工大学理学院工程结构与力学系
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架
2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响 2.5 载荷平面内的屈服曲线和极限曲线
常用的理想化模型
（a）理想弹性
考虑：节点同时受水平力Q和竖直力F作用
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响
F
A
(1) B (2) Q
Q x
(1)
F y
（1）非比例加载
先施加F至极限载荷 FY ，同时保持Q=0；保持竖直位移不变的情况
下，Q逐步增大，至新的塑性状态。
（2）比例加载
Q和F同时加载，整个过程 F : Q 1: 2 ，直至（1）的塑性状态。
2 从A到B点(施加Q) 保持竖直位移不变,故: y 0 施加Q, 故: x x 0
1 ( y x ) 2l0 0 2 y l0 0 3 ( y x ) 2l0 0
说明:第1杆继续伸长，第2杆长度不变，第3杆卸载
大变形的情况下，可将弹性变形忽略，采用刚-线性强化材料模型。
j j Y EP
j
1, 2,3
Y
塑性变形体积不变,则:
1 2 A1 A0 2l0 / l1 A0 / 1 2
l2 A0 / 1 A2
变形后,杆1与杆2的夹角为:
l1
1 2 3
l0
2
1 2 l0 2l0 1 2 2
/ l0
l0 l0 1 l2
弹塑性力学课后答案
εij第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：3030cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60223132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+⨯=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60222132 3.598 3.60()22x yx yxyx y xy MPa MPa s ss ss a tas s t a t a +-=++---+=++=--??=----+=-?=-?=??由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
弹塑性力学2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
弹塑性力学第1,2章
2.2 张量的计算
①张量的下标记号法： A点坐标x，y，z : F矢量力 Fx，Fy，Fz:
xi
i 1,2,3
fi
i 1,2,3
二阶张量应力可以表示为： ij ( i , j 1,2,3 ) x xy xz 11 12 13 yx y yz 22 23 21 31 32 33 zx zy z 二阶张量应变可以表示为：
ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3
11 11 21 21 31 31
12 12 22 22 32 32 13 13 23 23 33 33
ai， i
a1 a2 a3 ai x1 x2 x3 xi
张量的内积
A ai i i 张量A与张量B内积：
1 2 m
B bj1 j2 jn
A B
从张量A中和张量B中各取1个下标，约定求和一次成
为一个（m+N-2）阶的张量的运算称之为张量内积。 两个一阶张量的内积
A ai B bi
A B= A B cos A B
A B=ai bi a1b1 a2b2 a3b3
弹塑性力学的分析方法和体系
求解的基本方程： ①力的平衡方程式 ②几何方程或称之为变形协调方程 ③物理方程 弹塑性力学问题最后归结为在给定边界条件下求解这 三大基本方程的问题。 弹性力学与塑性力学的最大区别，本构关系不同。
弹塑性力学的主要内容
1.弹塑性本构关系 本构关系是材料本身固有的一种物理关系，指材 料内任一点的应力和应变之间的关系 弹性本构关系 塑性本构关系 广义虎克定律 增量理论和全量理论
弹塑性力学第二章
u y
xy
v u x y
c
§2.4 几何方程 刚体位移
平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
2 9
思考题 下面这两句话正确吗？
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。
五、最大和最小剪应力
1 1 l= , max 1 2 2 2 min
* 发生在与主应力方向成45°的斜面上。
例题
已知 x 300MPa， y 200MPa， xy 100MPa 求：（1）主应力及主平面方位角; (2)l m 1
解
2 面上的正应力和剪应力。
1 x y 361.8 x y 2 Mpa, xy 2 138.2 2 2
2
1 x tan 1 0.618, 1 35.2。 xy
例题
已知 x 300MPa， y 200MPa， xy 100MPa 求：（1）主应力及主平面方位角; (2)l m 1 2 面上的正应力和剪应力。
px l ，p y m
l x m xy l , m y l xy m
§2.3 斜面上的应力 主应力
xy m x m , l l y xy
b
2 x y x y 2 xy 0
§2.3 斜面上的应力 主应力
tan 1 tan 2 1
在任一点P，一定存在两个互相垂直的主应力。 四最大和最小正应力
N l 2 1 m2 2
=l 1 (1 l ) 2
2 2
=l 2 1 2 2
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X
x x (X,t)
表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-1-1）式可反
演为
X X (x,t)
(2-1-2)
即X是ｘ和t 的函数。
（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一维长杆中介质运动的两 种形式，二者是可是互换的。
在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达 为质点X和时间t 的函数：Ψ = F (X , t )。自变量X即为 Lagrange坐标（物质坐标）。
相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般对 应有两种坐标系： Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质流动来考察） Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。
Lagrange描述（方法）： 随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是
在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法）。
t
x
f
x,t
t
x
(2-2-1)
物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
t
X
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
(2-2-2)
t
X
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
对于（2-2-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有
d
dt
x t
X
dx dt
d v
dt t x
(2-2-3) (2-2-4)
d v
dt t x
物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加
X
dv dt
v t
v v x
(2-2-5)
(2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场 中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通 常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。
为Euler坐标（或空间坐标）
以长杆中一维运动为例：
X
质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X 质点任一时刻t 在空间所占位置： x
质点X 物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系 中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适 当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标 系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。
第二章 弹塑性波基本方程
▪ 2-1 物质坐标和空间坐标 ▪ 2-2 时间微商与波速 ▪ 2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程 ▪ 2-4 特征线与特征线上的相容关系 ▪ 2-5 空间坐标描述的控制方程和特征线 ▪ 2-6 波阵面上的守恒方程
2-1 物质坐标和空间坐标
连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物 体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断 的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每 个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的 时间占有不同的空间位置。
作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这组 数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐标 ）。
Lagrange表示法：t=t0 时位置来表示，(a0 , b0 , c0 )
Euler坐标：
为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以
一组固定于空间的坐标 q1, q2, q3 表示该位置，这组坐标称
（1）物质坐标系中描述的物理量 述的物理量
空间坐标系中描
由（2-1-2）、（2-1-3）式，有
f (ｘ, t ) = F [X（ｘ, t）, t ]
（2）空间坐标系中描述的物理量
述的物理量 F(X ,t) f (x,t)
(2-1-4) 物质坐标系中描
由（2-1-1）、（2-1-3）式，有 F (X , t ) = f [ｘ（X ,t）, t ]
F
(X t
,
t
)
X
f
[
x( X t
,
t
),
t
]
X
f
[x( X ,t),t]] t
x
f
[x(X ,t),t] x
t
x t
X
x
f
( x, t ) t
x
f
( x, t ) x
t
x t
X
t X
质点X 空间位置对时间的物质微商，即质点X
的运动速度
v
构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。
➢如何描述质点运动？
定义坐标系 （1）质点命名（为了区别不同的质点），如 Xi(a,b,c) （2）描述质点所占据的空间位置xi。i=1，一维；i=3，三维 （3）时间坐标t
在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究介 质的运动： Lagrange方法 Euler方法。
Euler描述（方法）：
在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法） 。
Lagrange坐标： 为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）
(2-1-5)
x x (X,t)
2-2 时间微商与波速
三种微商： 空间微商（Euler微商） 物质微商（Lagrange微商或随体微商） 随波微商
两种波速： 空间波速（Euler波速） 物质波速（Lagrange波速）
空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间t的变化率，即
X
表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不
同的空间位置x ，即x是X 和t 的函数
x x (X,t)
(2-1-1)
如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固 定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说， 在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间 位置也只能有一个质点。
应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t 的函数：Ψ = f (x, t )。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。
显然，对于同一物理量Ψ，有
Ψ = F (X , t ) = f (ｘ, t )
(2-1-3)
X X (x,t)
F(X ,t) f (x,t)
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。