2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(十八)数学

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（十八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足()22i z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，由此得到z 对应的坐标，进而求得z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为()()()2(1)2221322255i i i i i i iz i i i -+++--+--+====--⨯+， 所以3155z i =--， z 对应点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题目.2. 已知集合{}|21A x y x ==-，集合{}2|B y y x ==，则集合AB =（ ）A. ()1,1B. [)0,+∞C.(){}1,1D. 0,【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，即可求出交集. 【详解】{}|21A x y x R ==-=，{}[)2|0,B y y x ===+∞，[)0,A B ∴=+∞.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题. 3. 已知(),0,x y ∈+∞，4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（ ） A. 2 B.98C.32D.94【答案】A 【解析】 【分析】 根据4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得24x y +=，之后利用基本不等式得到2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，从而求得结果.【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且421224yx y --⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以42x y ，即24x y +=，所以有2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=， 当且仅当22x y ==时取得最大值2， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.4. 若不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则不等式()()2112a x b x c ax++-+<的解集为（ ） A. {}|21x x -<< B. {}|21x x x <->或C. {}0|3x x x <>或D. {}|03x x <<【答案】C 【解析】 【分析】由题意得0a <，利用韦达定理找到,,a b c 之间的关系，代入所求不等式即可求得.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则1x =与2x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，由韦达定理知121b a -=-+=，122ca=-⨯=-， 即=-b a ，2c a =-，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+<可化简为()()21122a x a x a ax +---<，整理得： 230ax ax -<，即(3)0ax x -<，由0a <得0x <或3x >， 故选：C.【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题.5. 设()1sin f x x =，()()'21f x f x =，()()'32f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，则()2020f x =（ ）A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出4()(),n n f x f x n N +=∈，可得解. 【详解】1()sin f x x =，()''1()sin cos f x x x ∴==，'12()()cos f x f x x ==，()23'()(cos )sin f x f x x x '===-， ()34'()(sin )cos f x f x x x '==-=-， ()45'()(cos )sin f x f x x x '==-=，由此可知：4()(),n n f x f x n N +=∈，24201()()cos f x f x x ∴==-.故选：D.【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种【答案】B 【解析】 【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有1233339C C =⨯=，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有2133339C C =⨯=，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7. 若幂函数()f x的图象过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（ ） A. ()0,2B. ()(),02,-∞+∞ C. ()2,0-D.()(),20,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则122α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2α=， ()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==， 令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.8. 设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A. ()3,+∞ B. 3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (),3-∞D. 3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3， 则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞， 故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.9. 若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z虚部为1-B. ||z =C. 2z 为纯虚数D. z 的共轭复数为1i --【答案】ABC 【解析】 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =，正确；对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确； 对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误. 故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B. 命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-”C. 若,a b ∈R ，则2b a a b +≥= D. 设a R ∈，“1a =”，是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A ；根据含有量词的否定可判断B ；根据基本不等式的适用条件可判断C ；根据奇函数的性质可判断D. 【详解】对于A ，当1a >时，可得11a <，故“1a >”是“11a<”的充分条件，故A 错误； 对于B ，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B 选项正确；对于C ，若0ab <时，2b a a b +≤-=-，故C 错误； 对于D ，当1a =时，1()1xxe f x e -=+，此时()()f x f x -=-，充分性成立，当()1x xa e f x ae -=+为奇函数时，由1()1x x xxa e ae f x ae e a-----==++，()()f x f x -=-可得1a =±，必要性不成立，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题.11. 关于11()a b -的说法，正确的是( ) A. 展开式中的二项式系数之和为2048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A ；由n 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC ； 由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.【详解】对于选项A ：由二项式系数的性质知，11()a b -的二项式系数之和为1122048=，故选项A 正确；因为11()a b -的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C 正确，选项B 错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D 正确； 故选：ACD【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.12. 如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且23PC =．则（ ）A. 平面PED ⊥平面EBCDB. PC ED ⊥C. 二面角P DC B --的大小为4π D. PC 与平面PED 所成角的正切值为2【答案】AC 【解析】 【分析】A 中利用折前折后不变可知PD AD =,根据222PD CD PC +=可证CD PD ⊥,可得线面垂直，进而证明面面垂直；B 选项中AED ∠不是直角可知,PD ED 不垂直，故PC ED ⊥错误； C 中二面角P DC B --的平面角为PDE ADE ∠=∠,故正确；D 中PC 与平面PED 所成角为CPD ∠,计算其正切值即可.【详解】A 中, 22222222PD AD AE DE ==+=+=在三角形PDC 中，222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥,又CD DE ⊥，可得CD ⊥平面PED ，CD ⊂平面EBCD ，所以平面PED ⊥平面EBCD ，A 选项正确；B 中，若PC ED ⊥，又ED CD ⊥，可得ED ⊥平面PDC ,则ED PD ⊥,而EDP EDA ∠=∠, 显然矛盾，故B 选项错误；C 中，二面角P DC B --的平面角为PDE ∠，根据折前着后不变知=45PDE ADE ∠=∠︒，故C 选项正确；D 中，由上面分析可知，CPD ∠为直线PC 与平面PED 所成角，在t R PCD 中，2tan 2CD CPD PD ∠==故D 选项错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()Eξ=______.【答案】2【解析】【分析】ξ的可能值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】ξ的可能值为1,2,3，则()124236115C CpCξ===；()214236325C CpCξ⋅===；()3436135CpCξ===.故分布列为：ξ 1 2 3p153515故()1232555Eξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：2.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.14. 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，'BB的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与'D N所成的角是______.【答案】90︒【解析】【分析】取CC '中点E ，连接ME ，连接ED 交D N '于F ，可知即DFN ∠为异面直线AM 与'D N 所成的角，求出即可.【详解】取CC '中点E ，连接ME ，连接ED 交D N '于F ，在正方体中，可知ME BC AD ∥∥,∴四边形AMED 是平行四边形，AMED∴，即DFN ∠为异面直线AM 与'D N 所成的角， 可知在Rt ECD △和Rt NDD '中，,,90EC ND CD DD ECD NDD ''==∠=∠=,ECD NDD '∴≅，CED FND ∴∠=∠,90CED EDC ∠+∠=,90FND FDN ∴∠+∠=, 90DFN ∴∠=，即异面直线AM 与'D N 所成的角为90.故答案为：90.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题. 15. 在()()5122x x -+展开式中，4x 的系数为______.【答案】80 【解析】 【分析】将原式化为()()5521212x x x -+-，根据二项式定理，求出()512x -展开式中3x ，4x 的系数，即可得出结果. 【详解】()()()()55512221212x x x x x -+=-+-，二项式()512x -的展开式的第1r +项为()152rrr r T C x +=-， 令3r =，则()333345280T C x x =-=-， 令4r =，则()444455280T C x x =-=，则()()5122x x -+展开式中，4x 的系数为2808080⨯-=.故答案为：80.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 16. 关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围______.【答案】21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】分离参数，构造函数2ln 1(),(0,]x f x x e x x=+∈，利用导数讨论()f x 的单调性，再结合关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根等价于()y f x =与y k =有两个交点，即可求出k 的取值范围.【详解】ln 10x kx x --=，2ln 1x k x x ∴=+， 设2ln 1(),(0,]x f x x e x x =+∈，312ln ()x xf x x --∴='，设()12ln ,(0,]g x x x x e =--∈，2()10g x x∴=--<'，即()g x 在(]0,e 是减函数，又(1)0g =，∴当01x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，当1x e <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x ∴在()0,1为增函数，在()1,e 为减函数，当0x →时，()f x →-∞，21()(1)1,e e f f e =+=， 关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根等价于()y f x =与y k =有两个交点，由上可知211eke+<，∴实数k的取值范围为21,1ee+⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,1ee+⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试求y关于x的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价.参考数据：5125,iiix===∑515.36,iiiy===∑51()()0.64;ii iix x y y==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()ii iiiiix x y ybx x====--=-∑∑ˆˆa y bx=-.【答案】(1) 0.0640.752y x=+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米【解析】分析：（1）由题意，计算x ，y ，求出ˆb，ˆa ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算12x =时ˆy的值即可. 详解：（1） 月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算可得()3456755x =++++=，()0.950.98 1.11 1.12 1.20 1.0725y =++++=，()52110ii x x =-=∑，所以0.640.0641ˆ0b==， 1.07ˆˆ20.06450.752a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为0.06405ˆ.72yx =+. （2）将12x =代入回归直线方程得0.064120.752 1.5ˆ2y=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.18. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且//AB EF ，2AF =，2442EF AB AD ===，平面ABCD ⊥平面ABEF .（1）求证：BE DF ⊥； （2）求三棱锥CABE 的体积V .【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD ⊥平面ABEF 垂直可得AD ⊥平面ABEF ，即可得AD BE ⊥，取EF 的中点记为G ，连接AG ，可由勾股定理证明AG AF ⊥，即得BE AF ⊥，进而得出BE ⊥平面，即证BE DF ⊥；（2）求出三角形ABE 的面积和BC 长，即可求出体积.【详解】（1）∵AD AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∴AD BE ⊥， 取EF 的中点记为G ，连接AG ，∵//BA EG ，BA EG =，∴四边形ABEG 为平行四边形，∴//BE AG ，在三角形AGF 中，2AG AF ==，22GF =，222AF AG GF +=，∴AG AF ⊥，∴BE AF ⊥.ADAF A =，∴BE ⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，∴BE DF ⊥；（2）设E 到AB 的距离为d ，则A 到GF 的距离也为d ， 由（1）可知AG AF ⊥，AG AF GF d ∴⋅=⋅，解得2d =BC ⊥平面ABEF ，且2BC AD ==，11111222222332323C ABE ABE V S BC AB d BC -=⋅=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查面面垂直的性质，考查利用线面垂直证明线线垂直，考查三棱锥体积计算，属于基础题.19. 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班，公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.（1）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（2）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X 的分布列和数学期望()E X 和方差()D X . 【答案】（1）25；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =.. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，分别求得在[)90,95和[)95,100的频数，然后再求概率.（2）根据频率分布直方图得到随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望与方差.【详解】（1）依题意，培训时间在[)90,95小时的人数为2000.06560⨯⨯=， 在[)95,100小时的人数为2000.02520⨯⨯=， 故满足题意的概率估计为602022005P +==. （2）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，303327(0)5125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， 2132354(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2232336(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)5125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则随机变量X 的分布列为∵2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴26()355E X =⨯=，2318()35525D X =⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的的分布列的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20. 设()3ln f x ax x x =+.（1）求函数()()f xg x x=的单调区间； （2）若()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x >，()()12121f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）16a e≤-. 【解析】 【分析】（1）求出()g x 的导数，根据a 的范围讨论()'g x 的正负即可判断单调性；（2）构造函数()()F x f x x =-，可知()F x 在()0,∞+上为减函数，满足()'0F x ≤恒成立，再分离参数得2ln 3x a x -≤，构造函数2ln ()3xh x x-=，利用导数求出()h x 的最小值，满足min ()a h x ≤即可.【详解】（1）()()2ln 0g x ax x x =+>，()()21212'0ax ax x x g x x+=+=>，①当0a ≥时，()'0g x >，()g x 在()0,∞+上单调递增；②当0a <时，若10,2x a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，则()'0g x >，若1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则()'0g x <， 所以()g x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≥时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增﹔ 当0a <时，函数()g x 在10,2a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）因为120x x >>，所以()()1212f x f x x x -<-，即()()1122f x x f x x -<-恒成立， 设()()F x f x x =-在()0,∞+上为减函数，即()'0F x ≤恒成立. 所以()2'3ln 0F x ax x =+≤，即2ln 3x a x -≤，设2ln ()3x h x x -=，336ln '()(0)9xh x x x-+=>， 当()0,x e ∈，()'0h x <，()h x 单减，当(),x e ∈+∞，()'0h x >，()h x 单增，()()16h x h e e ≥=-，所以16a e≤-.【点睛】本题考查含参函数单调性的讨论，考查利用导数研究函数的恒成立问题，属于较难题.21. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33. 【解析】 【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥； （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥； （Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．cos ,62C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>=． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6； （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,322AB n AB nAB n⋅<>===-⋅．所以，直线AB 与平面1DB E . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 22. 已知函数()()ln xf x ex ax a b =-++（e 为自然对数的底数），,a b R ∈，直线2ey x =是曲线()y f x =在1x =处的切线. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）是否存在k Z ∈，使得()y f x =在(),1k k +上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.- 21 - 【答案】（Ⅰ）11,2a b ==；（Ⅱ）存在k=0或 2. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由导数的几何意义布列方程组即可得到结果；（Ⅱ）研究函数()f x 的单调性与极值即可得到结果.【详解】（Ⅰ），由已知，有，即，解得11,2a b ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则令，则恒成立， 所以在上单调递减，又因为，， 所以存在唯一的，使得()00g x =，且当时，，即， 当时，，即. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为当时，，，，， 所以存在或，使得在上有唯一零点.【点睛】本题考查了函切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．。