正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
7.5 正态分布(精讲)(解析版)
7.5 正态分布（精讲）考点一 正态分布的特征【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】（1）A(2）B 【解析】（1）由于随机变量()23,XN σ，则()()15P X P X <=>，因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A. （2）∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3），∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1），∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B ． 【一隅三反】1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100 B ．125C ．150D ．175【答案】D【解析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=， 所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D.2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率X 服从正态分布()20.95,0.01N ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74【答案】B 【解析】因为()20.95,0.01XN ，得出0.95μ=，0.96μσ+=，所以()()0.950.5P X P X μ≤=≤=，()()0.950.96P X P X μμσ<≤=<≤+()110.68260.341322P X μσμσ=-<≤+=⨯=； ()()()110.96110.68260.158722P X P X μσμσ>=--<≤+=⨯-=⎡⎤⎣⎦， 所以()01000.34132000.158765.87E X =+⨯+⨯=（元） 故选：B3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．460【答案】A【解析】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A考点二 正态分布的实际应用【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.（1）求()1P X ≥的概率； （2）求X 的数学期望()E X ；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=， 所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=（2）由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm )，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）假设该植物的高度Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，利用该正态分布求(64.596)P Z .10.5≈.若()2~,Z Nμσ，则()68.3%,(22)95.4%P Z P Z μσμσμσμσ-+≈-+≈.【答案】（1）75x =，2110s =；（2）81.85%.【解析】（1）由题意可得平均数550.1650.2750.35850.3950.0575x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(5575)0.1(6575)0.2(7575)0.35(8575)0.3(9575)0.05110s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由（1）知，~(75,110)Z N ，从而11(64.575)(7510.57510.5)68.3%34.15%22P Z P Z =⨯-+≈⨯=11(7596)(75210.575210.5)95.4%47.7%22P Z P Z =⨯-⨯+⨯≈⨯=所以(64.596)(64.575)(7596)34.15%47.7%81.85%P Z P Z P Z =+<≈+=.2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N (μ，σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03 10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11经计算得16119.9616==≈∑i i x x，0.20==≈s ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，0.05.≈【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X ～B (16,0.0026)．P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X 的数学期望为E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)9.96x ≈，s ≈0.20，得9.96μ≈，0.20σ≈.∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在()()3,39.36,10.56μσμσ-+=之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数()1169.969.2110.0115⨯-=，可得μ的估计值为10.01. ∵162221160.20169.961587.8656ii x==⨯+⨯=∑，剔除()9.36,10.56之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为()2211587.8656-9.21-1510.010.002715⨯≈， ∴σ0.05.3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为371()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）．考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【一隅三反】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.【答案】（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【解析】（1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯ 0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）因为()2~12,2N ξ，所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===.所以X 的分布列为()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈；()220.9544P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，52. 【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6826280.15872P X P X μσ->=>+==. 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.()1444581114C C P X C ===，()234458327C C P X C ===，()324458337C C P X C ===，()4144581414C C P X C ===. 则X 的分布列为：所以()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
标准正态分布例题解析
标准正态分布例题解析标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它在统计学中有着广泛的应用。
下面我们来看一些标准正态分布的例题。
例题1：某公司的员工身高服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。
现在有一位员工，身高为180cm，问他的身高在该公司员工身高分布中的位置排名是多少？解答：首先，要将员工身高转化为标准正态分布，即计算它与均值之间的标准差差异。
公式为：z = (x -μ) / σ其中，x为员工身高，μ为均值，σ为标准差。
将x = 180，μ= 170，σ= 5代入公式中，得到：z = (180 - 170) / 5 = 2然后，我们需要查表或使用计算器等工具，得出z = 2时的累积概率。
查表可知，z = 2时的累积概率为0.9772。
因此，该员工的身高在该公司员工身高分布中的位置排名为97.72%。
例题2：某班级考试成绩服从正态分布，均值为80分，标准差为10分。
如果班级的平均分为85分，问该班级的成绩排名在多少？解答：同样地，需要将班级的平均分转化为标准正态分布。
公式为：z = (x -μ) / (σ/ √n)其中，x为班级平均分，μ为均值，σ为标准差，n为样本量（即班级人数）。
将x = 85，μ= 80，σ= 10，n = 30代入公式中，得到：z = (85 - 80) / (10 / √30) ≈2.04再次查表或使用计算器，得出z = 2.04时的累积概率为0.9808。
因此，该班级的成绩排名在98.08%左右。
总结：标准正态分布在统计学中应用广泛，掌握计算标准正态分布的方法和查表技巧十分重要。
需要注意的是，计算时要注意单位的一致性，并注意查表时使用的是双侧概率表还是单侧概率表。
正态分布高中练习题及讲解
正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。
2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。
3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。
4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。
5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。
讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。
正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。
正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。
- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。
- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。
- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。
- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。
要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。
解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。
2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。
例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。
对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。
通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。
同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布练习含答案
正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平;A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C;解析：由正态密度曲线图象的特征知;2. 已知随机变量X 服从正态分布N 3,σ2则PX <3等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正态分布图象知,μ＝3为该图象的对称轴,PX <3＝PX >3＝错误!.答案：D3．设两个正态分布Nμ1,σ错误!σ1>0和Nμ2,σ错误!σ2>0的密度函数图象如图所示,则有A ．μ1<μ2,σ1<σ2B ．μ1<μ2,σ1>σ2C ．μ1>μ2,σ1<σ2D ．μ1>μ2,σ1>σ2解析：由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论不正确的是 ;A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==;5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为fx ＝错误!e 2(80)200x e -- x ∈R ,则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知,均值期望μ＝80,标准差σ＝10,又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N 3,22,若X ＝2η＋3,则Dη等于A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη,而DX ＝σ2＝4,∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C;解析：由已知X —N100,36, 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=; 8. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是A. 32B. 16C. 8D. 20答案：B;解析:数学成绩是X —N80,102,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭;二．填空题9. 若随机变量X ～Nμ,σ2,则PX ≤μ＝________.解析：由于随机变量X ～Nμ,σ2,其概率密度曲线关于x ＝μ,对称,故PX ≤μ＝错误!.答案：错误!10. 已知正态分布总体落在区间0.2,＋∞的概率为0.5,那么相应的正态曲线fx 在x ＝________时达到最高点．解析：∵PX >0.2＝0.5,∴PX ≤0.2＝0.5,即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时,fx 达到最高点．答案：0.211. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N 1,σ2σ>0．若X 在0,1 内取值的概率为0.4,则X 在0,2内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布1,σ2,∴X 在0,1与1,2内取值的概率相同均为0.4.∴X 在0,2内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案：0.812. 商场经营的某种包装大米的质量单位：kg 服从正态分布X ～N 10,0.12,任选一袋这种大米,质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．解析：P 8<X <10.2＝P 10－0.2<X <10＋0.2＝0.954 4.答案：0.954 413.若随机变量X 的概率分布密度函数是()228,1(),()22x x e x R μσφπ+-=∈,则)12(-X E = ;答案：-5;解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-;三．解答题14.设X ～N 10,1,设PX ≤2＝a ,求P 10<X <18．解： P 10<X <18 ＝P 2<X <10＝PX <10－PX ≤2＝错误!－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 错误!,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个解：∵X ～N 错误!,∴μ＝4,σ＝错误!.∴不属于区间3,5的概率为PX ≤3＋PX ≥5＝1－P 3<X <5＝1－P 4－1<X <4＋1＝1－Pμ－3σ<X <μ＋3σ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.∴1 000×0.003＝3个,即不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有3个．16.某人乘车从A 地到B 地,所需时间分钟服从正态分布N 30,100,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30,σ＝10,Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6,又由于Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8,由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.17. 一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N35.6,4.42则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4XP X P P Z P Z--≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587;。
2022高考数学专题15 正态分布(解析版)
【解析】解：（1） µ =35 × 0.02 + 45 × 0.12 + 55 × 0.20 + 65 × 0.25 + 75 × 0.24 + 85 × 0.13 + 95 × 0.04 =66.2 ． 故 Z ~ N(66.2,198) ，易知
= σ 198 ≈ 14 ．
∴ P(Z ≤ 80.2) = 1 − 1 − P(66.2 − 14 < Z ≤ 66.2 + 14) = 1 − 1 − 0.6826 = 0.8413 ．
的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 S 2 ≈ 77.8（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，
该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时 每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数．（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为ξ ， 求随机变量 ξ 的分布列和期望．
【解析】解：（Ⅰ）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分，
即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分， 由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，
∴两人得分之和不大于 33 分的概率为：
= P C= 52 + C51C91
组别
[30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ， 80) [80 ， 90) [90 ，100)
正态分布及其经典习题和答案
专题：正态分布【知识网络】1取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1 :( 1)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E (X )=2.4，V ( X )=1.44,则二项分布的参数 n , p 的值为 ( ) A . n=4, p=0.6 B . n=6,p=0.4 C . n=8, p=0.3 D . n=24, p=0.1答案：B 。
解析：EX np 2.4 , V X n p(1 p) 1.44。
(2)正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。
A 95%B . 50%C . 97.5%D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格(I) 求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率(3)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 分到90分的人数是A 32B 16C 答案：B 。
解析：数学成绩是X — N(80,102),P(80 X 90) p 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 8 D 1) 0.3413,48 0.3413 80,标准差为10,理论上说在 80 2016。
X2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1(5)如图，两个正态分布曲线图：1 为 1, 1(X) , 2 为 2 2 (x),则1 __________ 2 ,1 ___________2 (填大于，小于)答案：V, ＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: c 1 ,3 c 1 C 1 E E = 0 1 一 2 - 3 - 30 10 2 6(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、 B ,贝yE 01 2 3P1 3 1 1 30 102 6(4)从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ____________________ 答案：8.5。
正态分布的例题讲解
正态分布的例题讲解假设我们有一个数据集，包含了一组学生的数学考试成绩。
我们想要分析这些成绩的分布情况，以了解大多数学生的表现。
正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。
在正态分布中，大部分数据集中在平均值附近，呈现钟形曲线状。
现在，让我们来看看如何使用正态分布来分析这些数学考试成绩。
首先，我们可以计算出这些成绩的平均值和标准差。
平均值代表了整个数据集的中心位置，而标准差则衡量了数据的离散程度。
假设我们的数据集如下（仅列出部分数据）：85, 90, 92, 78, 80, 88, 91, 89, 87, 75, 82, 84, 86, 78, 91, 92通过计算，我们可以得到平均值μ≈85.9和标准差σ≈5.2。
这意味着大部分成绩集中在85.9附近，并且成绩的变化相对较小。
接下来，我们可以绘制正态分布曲线图，以更直观地了解成绩的分布情况。
对于这个例子，我们绘制的正态分布曲线如下图所示：(图中是一个钟形曲线，中间为最高点，左右两边逐渐下降，呈对称形状)该曲线呈现出钟形曲线状，中间最高点对应着成绩最多的学生群体。
左右两端的较低部分则表示了相对较少的学生获得极高或极低的成绩。
我们还可以使用正态分布的性质来进行一些预测。
例如，根据正态分布的规律，大约68%的学生的成绩将在μ±1σ（即80.7到91.1之间）区间内。
通过正态分布的分析，我们能够更加全面地了解学生的成绩分布情况，并且可以进行一些有关预测或决策的操作。
总结起来，正态分布是一种常见的概率分布，可以用于解释大多数现实世界中的分布情况。
通过计算平均值和标准差，我们可以了解数据集的中心位置和离散程度。
绘制正态分布曲线图可以更直观地呈现数据的分布情况。
利用正态分布的性质，我们可以进行一些预测和决策。
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1.若 x 〜N (0,1), 求(I) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2).解：(1) P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1- (2)=1-0.9772=0.0228. i2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1) 在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1解: (1) F (3) = ( ) =0( 1)= 0.84132(2) F(y+b)= ( ------------- ) =0( 1)= 0.8413F(u —c)=( ------------ ) =0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(u —b,a+b)=F(a+b)—F(a —b)=0.8413 — 0.1587 = 0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 间(—1.2 , 0.2 )之间的概率 J 0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) =0.8848](X 上「X (, 1说明” 0, f(x)的最大值为f()=亍，所以"1=，求总体落入区)，它是偶函数,解：正态分布的概率密度函数是f(x) 1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2)(0-2) [1(1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从=500 入在500： 520元间人数的百分比； 内的概率不少于 0.95，则a 至少有多大? 元，(2) =200元的正态分布•( 1)求此县农民年平均收 如果要使此县农民年平均收入在( a, a )[0 ( 0.1 ) =0.5398, 0 ( 1.96 ) =0.975]解：设 表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500 520)(520 500 P(a)200 )(盘)(500 500、)(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 ) 200a a ( )2( )10.95,200200a (200)查表知：—0.975 - 1.96200a 3921设随机变量（3,1）,若”则P （2<X<4）=”黔-汽二叹对7「讣,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，则E 〜B(1 000,0.1)，所以E(3= 1 000 X 0.1 = 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3. 设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7 — x 个，取出的2个球中所含白球个数为 3则3取值0,1,2 , C 7-x?7 — x 6 — xP （3=0）= & =42x - 7 — x P( 3= 1) = ~C ；^(A)(B)lC . l-2p【答案】 C因为 「「二七二心；、］:二，:,所以P(2<X<4)=4 A.9 B . 1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c , 由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a = 6’ b = 3 c = 2，二 D (3 = 6X2+21-12=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4 C . 5 D . 2x 7 —x 21C xP(3=2)=C?= X x — 1420X 7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X x — 142 5.x= 3.中次数E的期望值为4,方差为2，则p（&1）=（9 C 247 7B.256 B C256 D.64［答案］np = 4n= 8,1• P( = 0)= C8°x 2 0X••• P(釘)=1 —P( = 0)- P( = 1)=1—1 8—1 5= 24Z2 2 256..2■x—务(x€ R, i = 1,2,3)的图象如图所示,2 0［答案］D（^2（X）和g（X）的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故p=p，又屉（X ）的对称轴的横坐标值比也（X ）的对称轴的横坐标值大，故有p< p=P3.又o越大，曲线越“矮胖”，0越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖（X）和侯（X）的图象一样“瘦高”，松（X）明显“矮胖”，从而可知0= o< o.6①命题“>养”的否定是:“丄」…、二' ”；②若；:：打卜加：■: ■心，则•：:、：；•的最大值为4;③定义在R上的奇函数满足f门了..：，则J < J的值为0;01 = (j2< (j36< 0=05.小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命p! < p2 p3, d = (j2>(j3C. p< p= p3, 6 = 02< 03A 255A. 256［解析］由条件知旷B(n, P),P( = 1) = C81x 2 1x 17= 125已知三个正态分布密度函数1*)= ,2 no e—［解析］正态分布密度函数④已知随机变量服从正态分布iF 用 :. ■；?呂：.1,则=其中真命题的序号是_________ （请把所有真命题的序号都填上）.【答案】①③④①命题".：T：n -:」”的否定是："二―仁，._：” ；所以①正确.②若；、.. ：1'厂 A 一则: .「・｝，即必f扌仝> □.匕> :.所以L,-.■ ■——厂，即（./ - .M - ■ ■ I. .■'■:,解得「"「.4 ,则-I 人的最小值为4;■2*所以②错误•③定义在R上的奇函数满足_伫心〕，则gz;m：,且,即函数的周期是4.所以“：：，.：-：」；所以③正确•④已知随机变量服从正态分布处）.寸；门一宅,则二1_：〔卜，所以洱W-H-J-L」；；所以④正确，所以真命题的序号是①③④•7、在区间［上任取两数m和n,则关于x的方程-一：i有两不相等实根的概率为 ___________ •【答案】由题意知］_门—._ - 1 1要使方程有两不相等4实根，则\ ,：；、二;,即能-&：:］：；："浮作出对应的可行域，如图直线/w -2^=0tn + 2^ = 0—.1 I , 1.1 ，‘所以方程才wm吋iQ有两不相等实根的概率为J.31n-J1 F *疋' ・・・s-2斗48、下列命题⑵不等式| v . ■. | 恒成立,则；⑶随机变量X服从正态分布N(1,2),则V .；■ [i；— J 丸⑷ 已知a.bE + b =卩?十丄X吕.其中正确命题的序号为_________________ .a h【答案】⑵(3) ⑴| X I：I ",所以(1)错误.(2)不等式X 1I ::；的最小值为4,所以要使不等式丨■，- '人成立,则上.4 ,所以(2) 正确.(3) 正确.(4),所以⑷错误，所以正a b a b a b Y a b确的为3).7?T - ＞：' - -■：? - ：■)- - I | :,选3有一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示,据图估计，样本数据在'\|n内的频数为2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员场中的得分如图所示,则该样本的方差为A. 26【答案】DB. 25C. 23样本的平均数为D. 1823,所以样本方差为【答案】C 样本数据在jo 之外的频率为丄二m 吐:w I?::-::「所以样本数据在卜..:｝内的频率为:-二二嗨,所以样本数据在慎」,?'：：的频数为038x200 = 76,选 C .4. （2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为I 的正方形OABC 中第9题国任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （）1111A .B . —C . —D .34 56【答案】【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为'：.c - ■ V ■■/-：■' - '■,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为，选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 ____________ .2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42(D •1卜有，1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为 4 2.10 5。