安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷
安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷
安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.二次函数y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是()A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)2.若xy =23，则下列各式不成立的是()A. x+yy =53B. y−xy=13C. x2y=13D. x+1y+1=343.反比例函数y=m−1x的图象，在每个象限内，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是()A. m>0B. m<0C. m>1D. m<14.二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是()A. y=2x2−12xB. y=−2x2+6x+12C. y=2x2+12x+18D. y=−2x2−6x+185.下列四个三角形，与图中的三角形相似的是()A. B. C. D.6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A. 3：4B. 9：16C. 4：9D. 1：37.如图，C是以AB为直径的半圆上一点，D是AC⏜上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°8.如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为E，若2AD=DC，AB=4DE，则sin B=()A. 12B. √73C. 3√77D. 389.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB//y轴，AB=3，反比例函数y=−3x的图象经过点B，与AC交于点D，且CD=2AD，则点D的横坐标是()A. −1B. −2C. −3D. −410.如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG=()A. 52B. √102C. 2D. 3√22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.反比例函数y=kx的图象经过点(3,−1)，则k的值为______．12.某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米，此时他与水平地面的垂直距离为4米，则这个坡面的坡度为______．13.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=15，BM=8，则DE的长为______．14.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点)，下列结论：①当−1<x<3时，y>0；②−1<a<−2；③当m≠1时，a+b>m(am+b)；④4ac−b2>38a其中正确的结论是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）)−1+(2019−π)0+3tan30°15.计算：|√3−2|+(−12四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）16.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90∘，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2；(3)如果网格中小正方形的边长为1，求线段BB 2的长．17. 如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE ⊥AC 于E ．求证：(1)DB =DC ；(2)DE 为⊙O 的切线．18. 观察下列有规律的数：12，16，112，120，130，142…根据规律可知：(1)第8个数是_______________；(2)1132是第_______________个数；(3)计算：12+16+112+120+⋯+1199×200．19.如图，在一笔直的海岸线上有A、B两上观测站，A在B的正东方向，BP=6√2(单位：km).有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求A、B两观测站之间的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观测站B到射线AP的最短距离．20.已知，如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)，点B(m,−1)，(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出不等式x+b>k的解．x21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=34(1)求AD和AB的长；(2)求sin∠BAD的值．22. 某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在15天内完成．已知每件产品的售价为65元，工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ={8x(0≤x ≤5)5x +10(5<x ≤15)(1)工人甲第几天生产的产品数量为80件？(2)设第x 天(0≤x ≤15)生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图，工人甲第x 天创造的利润为W 元．①求P 与x 的函数关系式；②求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？23. 如图1，在△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B ，C 重合).以D 为顶点作∠ADE =∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF ．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是(2,5)．故选：B．根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2.答案：D解析：解：∵x y=23，∴设x=2k，y=3k，A、x+yy =2k+3k3k=53，正确；B、y−xy =3k−2k3k=13，正确；C、x2y =2k2⋅3k=13，正确；D、x+1y+1=2k+13k+1≠34．故选：D．根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便．3.答案：D解析：本题主要考查的是反比例函数的性质的有关知识，由题意根据反比例函数的图象在每个象限内，y 的值随x的增大而增大，可以得到反比例函数的图象在第二，四象限，进而得到m−1<0，求解即可．解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y的值随x的增大而增大，∴m−1<0，∴m<1．故选D．4.答案：C解析：解：二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y=2(x−3+6)2+2−2，即y=2x2+12x+18．故选：C．根据平移规律，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．5.答案：B解析：此题考查比例线段和相似三角形的判定的知识点，解题关键点是熟练掌握两个三角形相似判定方法.根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为√2,2√2,√10．A.三角形三边2,√10,3√2，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B.三角形三边2，4，2√5，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C.三角形三边2，3，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D.三角形三边√5，4，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选B．6.答案：B解析：解：设DE=3k，EC=k，则CD=4k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4k，DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=(3k4k)2=916，故选B．设DE=3k，EC=k，则CD=4k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD=4k，DE//AB，推出△DEF∽△BAF，推出S△DEFS△ABF =(DEAB)2由此即可解决问题．本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7.答案：B解析：此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°−40°=140°，∴∠D=12×(360°−140°)=110°，故选B．8.答案：D解析：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是作三角形ABC的高线，构建直角三角形．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则有DE//AF．∴△CED∽△CFA，∴CDCA =DEAF．∴AF=32DE．则sinB=AFAB =32DE4DE=38．故选D．9.答案：C解析：解：过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，则ABEF 是矩形，EF=AB=3．∵DE//AB，CD=2AD，∴DEAB =CDAC=23，∴DE=23AB=2，∴DF=EF−DE=3−2=1，∴D点纵坐标为1，∵反比例函数y=−3x的图象经过点D，∴y=1时，x=−3，∴点D的横坐标是−3．故选：C．过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，得出ABEF是矩形，根据矩形的性质得出EF=AB=3.由DE//AB，根据平行线分线段成比例定理求出DE=23AB=2，则DF=1，即D点纵坐标为1，再根据反比例函数y=−3x的图象经过点D，即可求出点D的横坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，求出D点纵坐标是解题的关键．10.答案：B解析：由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=BE=3，可得EC=1，由勾股定理可求DE=√10，由三角形中位线定理可求GF的长．本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的定理，求EC的长是解本题的关键．【详解】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC−BE=1，∴DE=√EC2+CD2=√10，∵点F、G分别为AD、AE的中点，∴FG=12DE=√102．故选B．11.答案：−3解析：解：∵反比函数y=kx的图象经过点(3,−1)，∴k=xy=3×(−1)=−3．故答案是：−3．把点(3,−1)代入y=kx来求k的值．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．12.答案：4：3解析：解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米．此时他与水平地面的垂直距离为4米，∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为：√52−42=3，则坡度为4：3，故答案为：4：3．根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度．此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．13.答案：1698解析：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．方法一：先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG 即可得出结论．方法二：Rt△ABM中利用勾股定理求得AM，证明△ABM∽△EMA，则BMAM =AMAE，代入即可求得DE的长．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，AB=15，BM=8，∴MC=15−8=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴ABMC =BMCG，∴157=8CG，解得：CG=5615，∴DG=15−5615=16915，∵AE//BC，∴∠E=∠CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴MCDE =CGDG，∴7DE=561516915，∴DE=1698，故答案为：1698．方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AD//BC，∵AM⊥ME，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∵AD//BC，∴∠CMG=∠E，∴∠BAM=∠E，又∠B=∠AME=90°，∴△ABM∽△EMA，∴BMAM =AMAE，∵Rt△ABM中，AB=15，BM=8，∴AM=√152+82=17，∴817=1715+DE，解得DE=1698，故答案为：1698．14.答案：①②③解析：本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0)，即可求解；②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，则y=ax2−2ax−3a，令x=0得：y=−3a，即可求解；③由二次函数的最大值是y=a+b+c，从而可知a+b+c>am2+bm+c(m≠1)．④由4ac−b24a>2，a<0，从而求得4ac−b2<8a．解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0)，当−1<x<3时，y>0，故①正确；②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，则y=ax2−2ax−3a，令x=0得：y=−3a．∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点)，∴2<−3a<3．解得：−1<a<−23，故②正确；③∵当x=1时，函数有最大值，即a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，∴a+b>m(am+b)，故③正确；④∵4ac−b24a>2，a<0，∴4ac−b2<8a，故④错误，故答案为①②③．15.答案：解：|√3−2|+(−12)−1+(2019−π)0+3tan30°=(2−√3)+(−2)+1+3×√3 3=2−√3−2+1+√3=1故原式的值为1．解析：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值化简、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．16.答案：解：(1)如下图所示：△A1B1C1即为所求；(2)如下图所示：△A1B2C2即为所求；(3)如图所示：线段BB2的长为：√22+42=2√5．解析：此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换和勾股定理应用等知识，得出旋转变换后对应点位置是解题关键．(1)利用平移变换的性质得出平移规律进而得出对应点坐标位置即可；(2)利用旋转的性质得出逆时针旋转90°后对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用勾股定理得出线段BB2的长即可．17.答案：证明：(1)连AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，AD⊥BC，又AB=AC，∴D为BC中点，即DB=DC；(2)连OD，∵D为BC中点，OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，又∵DE⊥AC于E，∴∠ODE=∠DEC=90°，∴DE为⊙O的切线．解析：本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定和三角形的中位线等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．(1)连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得出即可；(2)求出OD//AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可．18.答案：解：(1)172(2)11(3)原式=1−12+12−13+⋯+1199−1200=1−1200=199200．解析：本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握数列的分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积是解题的关键．(1)以上分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积，据此可得．(2)根据(1)可知第n个数为1n(n+1)，列方程求解可得；(3)由1n(n+1)=1n−1n+1裂项相消求解可得．解：(1)∵第1个数12=11×2，第2个数16=12×3，第3个数112=13×4，…∴第8个数为18×9=172，故答案为172；(2)由(1)知第n个数为1n(n+1)，由题意知n(n+1)=132，解得n=11或n=−12(舍)，即1132是第11个数，故答案为11；(3)见答案．19.答案：解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°−45°=45°，∵BP=6√2，∴BD=PD=6km．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°−60°=30°，∴AD=PDtan30°=√3PD=6√3km，∴AB=BD+AD=(6+6√3)km；(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，则∠BAP=30°，∵AB=(6+6√3)，∴BF=12AB=(3+3√3)km．∴观测站B到射线AP的最短距离为(3+3√3)km．解析：(1)过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD 的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；(2)过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．20.答案：解：(1)把A点坐标(1,4)分别代入y=kx，y=x+b，得k=1×4，1+b=4，解得k=4，b=3，∴反比例函数、一次函数的解析式分别为y=4x，y=x+3．(2)如图，当y=−1时，x=−4，∴B(−4,−1)，又∵当y=0时，x+3=0，x=−3，∴C(−3,0)．∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×4+12×3×1=152．(3)不等式x+b>kx的解是x>1或−4<x<0．解析：(1)根据反比例函数y=kx的图象过点A(1,4)利用待定系数法求出即可；把B(m,−1)代入所求的反比例函数的解析式得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；(2)将三角形AOB分割为S△AOB=S△BOC+S△AOC，求出即可．(3)根据函数的图象和交点坐标即可求得．此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△BOC+S△AOC是解题关键．21.答案：解：(1)∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由tanB=ACCB =34，∴AC4=34，∴AC=3，由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√32+22=√13，AB=√AC2+BC2=√32+42=5；(2)过点D作DE⊥AB于E，∴∠C =∠DEB =90°，又∠B =∠B ，∴△DEB∽△ACB ，∴DE AC =DB AB， ∴DE =65，∴sin∠BAD =DE AD =65√13=6√1365．解析：(1)由中点定义求BC =4，根据tanB =34得：AC =3，由勾股定理得：AB =5，AD =√13；(2)作高线DE ，证明△DEB∽△ACB ，求DE 的长，再利用三角函数定义求结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 22.答案：解：(1)根据题意，得：∵若8x =80，得：x =10>5，不符合题意；若5x +10=80，解得：x =14．答：工人甲第14天生产的产品数量为80件；(2)①由图象知：当0≤x ≤5时，P =40；当5<x ≤15时，设P =kx +b ，将(5,40)，(15,50)代入得：{5k +b =4015k +b =50， ∴{k =1b =35， ∴P =x +35，综上，P 与x 的函数关系式为：P ={40(0≤x ≤5)x +35(5<x ≤15)； ②当0≤x ≤5时，W =(65−40)×8x =200x ，当5<x ≤15时，W =(65−x −35)(5x +10)=−5x 2+140x +300，综上，W 与x 的函数关系式为：W ={200x (0≤x ≤5)−5x 2+140x +300(5<x ≤15)；当0≤x≤5时，W=200x，∵200>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=5时，W最大为1000元；当5<x≤15时，W=−5(x−14)2+1280，当x=14时，W最大值为1280元，综上，第14天时，利润最大，最大利润为1280元．解析：(1)根据y=80求得x即可；(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=售价−成本，学会利用函数的性质解决最值问题．23.答案：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，又∠B=∠ACB，∴△BAD∽△DCE．(2)解：∵DE//AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC =BDAB，即1016=BD10，解得，BD=254，∵DE//AB，∴AEAC =BDBC，即AE10=25416，解得，AE=12532；(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN=90°，MH=AN，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=CM=12BC=8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=√AB2−BM2=√102−82=6，∴tanB=AMBM =34，∵∠ADE=∠B，∴tan∠ADE=AFAD =34，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF=90°=∠AMD，∵∠DAF=90°=∠MAN，∴∠NAF=∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴ANAM ═AFAD=34，即AN6=34，解得，AN=92，∴MH=AN=92，∴CH=CM−MH=72，∵FD=FC，FH⊥CD，∴CD=2CH=7，∴BD=BC−CD=9．解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD=∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；(3)作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.根据勾股定理求出AM，证明△AFN∽△ADM，根据相似三角形的性质求出MH，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题．。
2015-2016学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷
2015-2016学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得0分．1．（4分）若=，则的值为（）A．1 B．C．D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA3．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°4．（4分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=5．（4分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．C．5sinαD．6．（4分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣57．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（4分）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣29．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（）A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：3510．（4分）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是．12．（5分）如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k=．13．（5分）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．14．（5分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：4sin60°+tan45°﹣．16．（8分）已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求a的值；（2）求此函数图象抛物线的顶点坐标；（3）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．请按要求画图：（1）以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E 都在单位正方形的顶点上．（2）在方格中作一个△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比为，点F、G、H都在单位正方形的顶点上．18．（8分）如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）连结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．20．（10分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）六、（本题满分12分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．七、（本题满分12分）22．（12分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边AB上（不与点A，B重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．八、（本题满分14分）23．（14分）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？2015-2016学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得0分．1．（4分）（2015•东营）若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵=，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．（4分）（2015•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴A、tanB=，则b=atanB，故本选项正确，B、cosB=，故本选项正确，C、sinA=，故本选项正确，D、cosA=，故本选项错误，故选D．【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．3．（4分）（2014•山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故选：B．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．4．（4分）（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．5．（4分）（2009•益阳）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．C．5sinαD．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB==．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．6．（4分）（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．7．（4分）（2008•河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据垂径定理计算．【解答】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm，∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，∵OE=3cm＞2cm，∴在OD上截取OH=1cm，过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，则有HE⊥AB，HE=OE﹣OH=2cm，即GF到AB的距离为2cm，∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．故选C．【点评】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．8．（4分）（2015•滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故选B．【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．9．（4分）（2016•河北区二模）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（）A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴==，∴=（）2=，==设S△DEF=S，则S△ABF=S，S△ADF=S，∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S+S=S，∵四边形ABCD为平行四边形，∴S△ABD=S△DBC=S，∴S四边形EFBC=S△BDC﹣S△DEF=S﹣S=S，∴S△DEF：S四边形EFBC=4：31．故选C．【点评】本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到△DEF和△DBC的关系是解题的关键．10．（4分）（2010•江津区）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y==．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y==∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2010•双鸭山）抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．【解答】解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．12．（5分）（2015•黔西南州）如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k=﹣4．【分析】由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出．【解答】解：由题意得：S矩形ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．13．（5分）（2015•兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是30°或150°．【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．【解答】解：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，得出△OBC是等边三角形是解题关键．14．（5分）（2014•岳阳）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P 作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．【分析】①只有一组对应边相等，所以错误；②根据切线的性质可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB=OC=BC；③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，进而求得PB=BC=OB；④连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，∴△CPD∽△DPA错误；②连接OC，∵AB是直径，∠A=30°∴∠ABC=60°，∴OB=OC=BC，∵PC是切线，∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，∴∠APC=30°，∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°==，∴PC=BC，正确；③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，∴∠ABC=∠APC+∠A，∵∠ABC+∠A=90°，∴∠APC+2∠A=90°，∵∠APC=30°，∴∠A=∠PCB=30°，∴PB=BC，∠ABC=60°，∴OB=BC=OC，∴PB=OB；正确；④解：如图，连接OC，∵OC=OA，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPO+∠COP=90°，∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°；正确；故答案为：②③④；【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2015秋•瑶海区期末）计算：4sin60°+tan45°﹣．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=4×+1﹣2=1．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16．（8分）（2015秋•瑶海区期末）已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求a的值；（2）求此函数图象抛物线的顶点坐标；（3）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．【分析】（1）将点A（3，﹣4）代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值；（2）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标；（3）根据二次函数的增减性即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），∴9a+12+2=﹣4，∴a=﹣2；（2）∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；（3）∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x＞1时，函数y随自变量增大而减小．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2015秋•瑶海区期末）如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．请按要求画图：（1）以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E 都在单位正方形的顶点上．（2）在方格中作一个△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比为，点F、G、H都在单位正方形的顶点上．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的性质得出各边长度进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△EBD即为所求；（2）如图所示：△FGH即为所求．【点评】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长度是解题关键．18．（8分）（2015秋•瑶海区期末）如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）连结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．【分析】（1）根据MN∥BC，得到，，等量代换得到，根据相似三角形的判定即可得到结论；（2）根据，得到DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，于是推出，即，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，∴，，又∵AM=AN，∴，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵，∴DE∥BC，∴，∴，即，∴AM=BC=，∴MN=2AM=3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2015秋•瑶海区期末）如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．【分析】（1）由内心的性质可知；∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圆周角定理可知∠BCE=∠BAE，从而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，从而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC；（2）先证明DCE∽△CAE，从而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC从而得到IE2=DE•EA．【解答】解：（1）如图所示；连接IC．∵点I是△ABC的内心，∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．又∵∠BAE=∠BCE，∴∠CAE=∠BCE．∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．∴∠EIC=∠ICE．∴IE=EC．（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．又∵∠AEC=∠DEC，∴△DCE∽△CAE．∴．∴CE2=DE•EA．∵IE=EC，∴IE2=DE•EA．【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理，明确三角形的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键．20．（10分）（2015•包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC ﹣BC求出AB；（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=，∴AC=3•tan60°=3，在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，∴AD===6米，在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，∴BD===3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．六、（本题满分12分）21．（12分）（2015•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣；将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，∴B坐标（1，﹣2），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，解得a=﹣1，b=﹣1，∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；（2）设直线AB与y轴交于点C，令x=0，得y=﹣1，∴点C坐标（0，﹣1），∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．七、（本题满分12分）22．（12分）（2015秋•瑶海区期末）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边AB上（不与点A，B重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P 的不同位置，探索过点P的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．【分析】（1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断；（2）根据点P在△ABC边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，逐一分析求解即可．【解答】解：（1）互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③；故答案为：①②，③；（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、C）上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似．第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC 于点M．当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AB于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ACB，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似．【点评】本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．八、（本题满分14分）23．（14分）（2016•繁昌县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．【解答】解：（1）根据题意可设：y=a（x﹣4）2﹣16，当x=10时，y=20，所以a（10﹣4）2﹣16=20，解得a=1，所求函数关系式为：y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当x=9时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）则有：s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．﹣﹣（4分）【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．参与本试卷答题和审题的老师有：gsls；冯延鹏；dbz1018；sd2011；张超。
2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在反比例函数y =k+1x 的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0B ．k ＜0C ．k ＞﹣1D ．k ＜﹣12．（4分）如图，AB ∥CD ∥EF ，BE 与AF 相交于点H ，且AH ＝2HD =12DF ，则BC CE的值为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．563．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213，则tan B 的值为（ ） A ．513B ．135C ．125D ．5124．（4分）如图，在⊙O 中，OE ⊥弦AB 于点E ，EO 的延长线交弦AB 所对的优弧于点F ，若AB ＝FE ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2√55．（4分）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm ，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）cm ． A ．2√5B ．5√5−8C ．4√5−4D ．12﹣4√56．（4分）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心．若OA ：AD ＝2：3，△DEF 与△ABC 的周长差为12cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．（4分）BD 是Rt △ABC 的斜边AC 上的高，∠A ≠45°，下列比值中与sin A 不相等的是（ ） A ．BC ACB ．CD BCC ．BD ABD ．BD BC8．（4分）若二次函数y ＝x 2+2x ﹣m 的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1且m ≠0 B ．m ＜1且m ≠0C ．m ＞﹣1D ．m ＜﹣19．（4分）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB 'C '的位置，连接BB '，若∠BAC ＝18°，∠ABB '＝67°，则∠CAB '的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．28°D ．32°10．（4分）如图，一条抛物线（形状一定）与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），点E 的横坐标的最小值为﹣5，则点F 的横坐标的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 12．（5分）如图，AB 、BC 是以AC 为直径的⊙O 的两条弦，延长AC 至点D ，使CD ＝BC ，则当∠D ＝15°时，AD 与AB 之间的数量关系为：AD ＝ AB ．13．（5分）已知抛物线y＝x2﹣6x+8的顶点为P，与x轴相交于M、N两点（点M在点N 左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点P′落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为．14．（5分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，连接BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，则GF：BE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．（8分）一个二次函数，当x＝﹣1时，函数的最大值为2，它的图象经过点（1，6），求这个二次函数的表达式．16．（8分）如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．（8分）如图，AC、BC是⊙O的两条弦，且AC＝BC，∠AOC+∠ABC＝75°，D为弦AB所对优弧上一点，求∠D的度数．18．（8分）如图，等腰Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．（1）已知OA＝2√2，求此反比例函数的解析式；（2）先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，求正比例函数y＝mx的表达式．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．（10分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）20．（10分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．（12分）已知y＝2x+b是关于x的一次函数．（1）当b为何值时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点？（2）若一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在这个三角形内有一个内接矩形PQMN，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在AB，AC上．（1）若BC＝60，AD＝40，当PQ＝PN时，求PQ的长；（2）若BC＝100，AD＝40，当PQ＝PN且∠BAC＝90°时，直接写出BN•CM的值；（3）若BC＝60，AD＝40，当矩形PQMN的面积最大时，求这个矩形的边长．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．（14分）已知：∠BAC为钝角，BE、CF是△ABC的两条高．（1）如图1，若AB＝AC，求证：AE＝AF；（2）如图2，若AB≠AC，延长BE、CF相交于点O，连接EF，当OE＝4、EF＝6、OC ＝10时，求BC的长；（3）如图3，若AB≠AC，延长BE、CF相交于点O，连接EF，当S△ABE=65S△ABC＝4S△ACF时，求EF：BC的值．2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）在反比例函数y =k+1x的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0B ．k ＜0C ．k ＞﹣1D ．k ＜﹣1【解答】解：∵反比例函数y =k+1x的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大， ∴k +1＞0， ∴k ＞﹣1， 故选：C ．2．（4分）如图，AB ∥CD ∥EF ，BE 与AF 相交于点H ，且AH ＝2HD =12DF ，则BC CE的值为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．56【解答】解：∵AH ＝2HD =12DF ， ∴设DH ＝x ，则AH ＝2x ，DF ＝4x ， ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴BC CE=AD DF=3x 4x=34，故选：B ．3．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213，则tan B 的值为（ ） A ．513B ．135C ．125D ．512【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213， ∴设AC 为12k ，AB 为13k ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(13k)2−(12k)2=5k ，∴tan B =AC BC =12k 5k =125， 故选：C ．4．（4分）如图，在⊙O 中，OE ⊥弦AB 于点E ，EO 的延长线交弦AB 所对的优弧于点F ，若AB ＝FE ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2√5【解答】解：连接OA ，如图所示：设⊙O 半径为r ，则由题意可知：OA ＝OF ＝r ，OE ＝EF ﹣OE ＝8﹣r ， 又∵OE ⊥弦AB 于点E ， ∴AE =12AB =12×8=4， 在Rt △AOE 中，AO 2＝OE 2+AE 2， 即，r 2＝（8﹣r ）2+42， 解得：r ＝5， ∴⊙O 的半径长为5． 故选：A ．5．（4分）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm ，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）cm ． A ．2√5B ．5√5−8C ．4√5−4D ．12﹣4√5【解答】解：如图所示：AD ＝8cm ，设AB ＝ED ＝CD ＝EF ＝FC ＝xcm ， ∵一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似， ∴AE ＝（8﹣x ）cm ，故AE AB=AB AD，则8−x x=x8，解得：x 1＝﹣4+4√5，x 2＝﹣4﹣4√5（不合题意舍去），故AE ＝8﹣（﹣4+4√5）＝（12﹣4√5）cm ． 故选：D ．6．（4分）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心．若OA ：AD ＝2：3，△DEF 与△ABC 的周长差为12cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm【解答】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心， ∴△ABC ∽△DEF ， ∵AB ∥DE ， ∴OA OD=AB DE=25，∴△ABC 的周长△DEF 的周长=25，∴可以假设△ABC 的周长为2k ，△DEF 的周长为5k ， ∴5k ﹣2k ＝12， ∴k ＝4，∴△ABC 的周长为8cm ， 故选：B ．7．（4分）BD 是Rt △ABC 的斜边AC 上的高，∠A ≠45°，下列比值中与sin A 不相等的是（ ） A ．BC ACB ．CD BCC ．BD ABD ．BD BC【解答】解：如图：在Rt△ABC中，sin A=BC AC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，∴sin A＝sin∠DBC=DC BC，在Rt△ABD中，sin A=BD AB，故选：D．8．（4分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1且m≠0B．m＜1且m≠0C．m＞﹣1D．m＜﹣1【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m与坐标轴有三个交点，∴Δ＝4+4m＞0，解得m＞﹣1，∵抛物线不经过原点，∴m≠0，故选：A．9．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，连接BB'，若∠BAC＝18°，∠ABB'＝67°，则∠CAB'的度数为（）A．25°B．30°C．28°D．32°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，∴AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝67°，∴∠BAB′＝180°﹣∠ABB′﹣∠AB′B＝180°﹣67°﹣67°＝46°，∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝46°﹣18°＝28°，故选：C．10．（4分）如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动，若点A、B的坐标分别为（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），点E的横坐标的最小值为﹣5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设对称轴为直线x＝a，E、F关于x＝a对称，则a﹣x E＝x F﹣a，2a＝x F+x E，∵抛物线形状一定，∴抛物线开口大小不变，由平移可知，当P在A点时，E的横坐标最小，P在A点时，有2×（﹣2）＝﹣5+x F，解得x F＝1，∴x F﹣x E为定值1﹣（﹣5）＝6，当P移动到B时，x F最大为4+62=7，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）某人沿着坡角为α的斜坡前进80m，则他上升的最大高度是80sinαm．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A=BC AB，∵∠A＝α，AB＝80m，∴BC＝AB•sin A＝80sinα（m），∴他上升的最大高度是80sinαm，故答案为：80sinα．12．（5分）如图，AB、BC是以AC为直径的⊙O的两条弦，延长AC至点D，使CD＝BC，则当∠D＝15°时，AD与AB之间的数量关系为：AD＝（2+√3）AB．【解答】解：∵∠D＝15°，CD＝BC，∴∠CBD＝∠D＝15°，∴∠ACB＝∠D+∠CBD＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，BC=√3AB，∵BC＝CD，∴CD=√3AB，∴AD＝AC+CD＝2AB+√3AB＝（2+√3）AB，故答案为：（2+√3）．13．（5分）已知抛物线y＝x2﹣6x+8的顶点为P，与x轴相交于M、N两点（点M在点N 左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点P′落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1．【解答】解：当y＝0，则0＝x2﹣6x+8，∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∴M（2，0），N（4，0），∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴P点坐标为：（3，﹣1），∵平移该抛物线，使点P平移后的对应点P'落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x ﹣3+2）2﹣1+1＝x 2﹣2x +1．故答案为：y ＝x 2﹣2x +1．14．（5分）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，且AD ＝4AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ，则GF ：BE ＝ 4：21 ．【解答】解：∵AG ∥BC ，AD ＝4AE ，∴AG BD =AE ED =GE BE =13， ∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC =12BC ，∵AG ∥BC ，∴AG BC =GF BF =16， ∴BE ＝3（GF +FE ），BF ＝6GF ，∴6GF ﹣EF ＝3GF +3EF ，∴EF =34GF ，∴GF ：BE ＝4：21，故答案为：4：21．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．（8分）一个二次函数，当x ＝﹣1时，函数的最大值为2，它的图象经过点（1，6），求这个二次函数的表达式．【解答】解：设y ＝a （x +1）2+2，把（1，6）代入y ＝a （x +1）2+2得6＝4a +2，解得a ＝1，∴y ＝（x +1）2+2．16．（8分）如图，AB ∥CD ，AD ⊥BC 于点O ，OA ＝6，OD ＝9，BC ＝10，求CD 的长．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴△ABO ∽△DCO ．∴OA OD=OB OC ． ∴69=10−OC OC ． 解得：OC ＝6．∵AD ⊥BC ，∴OC 2+OD 2＝CD 2．∴CD =√62+92=3√13．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．（8分）如图，AC 、BC 是⊙O 的两条弦，且AC ＝BC ，∠AOC +∠ABC ＝75°，D 为弦AB 所对优弧上一点，求∠D 的度数．【解答】解：连接OB ，DC ，∵AC ＝BC ，∴AĈ=BC ̂， ∴∠ADC ＝∠BDC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠BDC ，∵∠AOC +∠ABC ＝75°，∴3∠ADC ＝75°，解得：∠ADC＝25°，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝2∠ADC＝50°．18．（8分）如图，等腰Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．（1）已知OA＝2√2，求此反比例函数的解析式；（2）先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，求正比例函数y＝mx的表达式．【解答】解：（1）作AC⊥OB于C，∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝2√2，∴AC＝OC＝2，∴A（2，2），∵直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）∵A（2，2），∴将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E（﹣2，2），再将点E向右平移1个单位得到点F（﹣1，2），∵点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，∴2＝﹣m，解得m＝﹣2，∴正比例函数的表达式为y＝﹣2x．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．（10分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【解答】解：由题意可知：∠BAD＝30°，∠EAD＝60°，CE＝3m，AD＝80m，∠ADC ＝∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝80m，∴BD＝AD•tan30°＝80×√33=80√33（m），在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，AD＝80米，∴ED＝AD•tan60°＝80√3（m），∴BC＝BD+ED+CE=80√33+80√3+3≈188（m），即这栋楼的高度BC约为188m．20．（10分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．【解答】证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠AEO，∴BC∥OE，∴∠CBE＝∠BEO，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠EBF，∵EF⊥AB，∴CE＝EF．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．（12分）已知y＝2x+b是关于x的一次函数．（1）当b为何值时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点？（2）若一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点，∴方程x2﹣2x+4＝2x+b即x2﹣4x+4﹣b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣4（4﹣b）＝0，解得：b＝0，∴当b＝0时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点；（2）∵二次函数y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴二次函数的顶点（1，3），∵一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，∴3＝2×1+b，解得：b＝1，∴一次函数的解析式为y＝2x+1，则联立方程组得：{y =x 2−2x +4y =2x +1， 解得：{x =1y =3或{x =3y =7， ∴一次函数y ＝2x +b 的图象与二次函数y ＝x 2﹣2x +4的图象的令一公共点坐标为（3，7）；（3）如图所示：由图象知，在（2）的条件下，当二次函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为x ＞3或x ＜1．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（12分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，在这个三角形内有一个内接矩形PQMN ，矩形的一边在BC 上，另两个顶点分别在AB ，AC 上．（1）若BC ＝60，AD ＝40，当PQ ＝PN 时，求PQ 的长；（2）若BC ＝100，AD ＝40，当PQ ＝PN 且∠BAC ＝90°时，直接写出BN •CM 的值；（3）若BC ＝60，AD ＝40，当矩形PQMN 的面积最大时，求这个矩形的边长．【解答】解：（1）∵四边形PQMN 是矩形，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PQ ，∴四边形PEDN 是矩形，∴PN ＝DE ，由△APQ ∽△ABC 知PQ BC =AE AD ， ∵PQ ＝PN ，即PQ 60=40−PQ 40，解得PQ ＝24；（2）由（1）知PQ BC =AE AD ，∵BC ＝100，AD ＝40，∴PQ 100=40−PQ 40， 解得PQ =2007，∵PQ ＝PN ，∴PQ ＝PN ＝QM =2007，∵∠BAC ＝∠BNP ＝∠QMC ＝90°，∴∠B +∠C ＝∠MQC +∠C ＝90°，∴∠B ＝∠MQC ，∴△BPN ∽△QCM ，∴BN QM =PN CM ，即BN 2007=2007CM ，∴BN •CM =4000049； （3）设PN ＝x ，则DE ＝PN ＝x ，AE ＝AD ﹣DE ＝40﹣x ，∵△APQ ∽△ABC ，∴AE AD =PQ BC ，即40−x 40=PQ 60， ∴PQ ＝60−32x ，∴矩形PQMN 的面积＝PQ •PN ＝（60−32x ）x=−32x 2+60x=−32（x ﹣20）2+600，当x ＝20时，矩形PQMN 的面积取得最大值600，此时PN ＝20，PQ ＝60−32x ＝60−32×20＝30．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．（14分）已知：∠BAC 为钝角，BE 、CF 是△ABC 的两条高．（1）如图1，若AB ＝AC ，求证：AE ＝AF ；（2）如图2，若AB ≠AC ，延长BE 、CF 相交于点O ，连接EF ，当OE ＝4、EF ＝6、OC ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，若AB ≠AC ，延长BE 、CF 相交于点O ，连接EF ，当S △ABE =65S △ABC ＝4S △ACF 时，求EF ：BC 的值．【解答】（1）证明：由题已知，∵BE 、CF 是△ABC 的两条高，∴∠BEA ＝∠CF A ＝90°，∵∠BAE 和∠CAF 是对顶角，∴∠BAE ＝∠CAF ，∵AB ＝AC ，∴△BAE ≌△CAF （AAS ），∴AE ＝AF ；（2）解：由题已知，在△OBF 和△OCE 中，BE 、CF 是△ABC 的两条高，∴∠OEC ＝∠OFB ＝90°，∵∠EOC ＝∠FOB （公共角），∴△OBF ∽△OCE ，∴BO OC =OF OE ，即OB OF =OC OE ，在△OCB 和△OEF 中，有∠BOC ＝∠FOD （公共角），∴△OCB ∽△OEF ，∴CB EF =OC OE ，∵OE ＝4、EF ＝6、OC ＝10，∴CB ＝15，∴BC 的长为15；（3）解：由题已知，∵S △ABE =65S △ABC ，∴S △ABE S △ABC =65， ∴EA AC =65， ∵∠BEC ＝∠BFC ＝90°，∠BAE ＝∠CAF ， ∴△ABE ∽△ACF ，∴AE FA =2=AB CA ， ∴EA AB =35， ∴EA BA =AF CA =35， 在△EAF 和△BAC ，∠EAF ＝∠BAC （对顶角）， ∴△EAF ∽△BAC ，∴EF CB =EA AB =AF AC =35， ∴EF BC 的值为35．。
2020-2021学年合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若二次函数y=kx2+2x−1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为()A. 1B. ±1C. −1D. −122.如图，在平面直角坐标系上，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB//y轴，点B(1,3)，将△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，恰好有一反比例函数y=kx图象恰好过点D，则k的值为()A. 6B. −6C. 9D. −93.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，设PD=x，图中阴影部分面积S1+S2=y，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是()A. 一直减小B. 一直增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小4.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，sinA=()A. √55B. 2 C. √32D. 125.如图，圆O的直径AB为4，点C在圆O上，∠ACB的平分线交圆O于点D，连接AD、BD，则AD的长等于()A. 2B. 3C. 2√2D. 2√36.抛物线y=12x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为()A. y=12x2−3 B. y=12(x−3)2 C. y=12x2+3 D. y=12(x+3)27.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值为()A. 35B. 45C. 54D. 538.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC=110°，则∠ADE的度数为()A. 55°B. 70°C. 90°D. 110°9.图，市煤气公司计划地下建一个为104m3的圆柱形煤气储存室，则存室的面积(位m2)与d(单位：m)的函数图大致()A.B.C.D.10.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有公共点的概率是()A. 512B. 49C. 1736D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.下列命题：①四条边相等的四边形是菱形②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④有一个内角为直角的平行四边形是矩形⑤一组邻边相等的矩形是正方形其中，真命题有______ (填写序号)．12.如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙A经过坐标原点O和点C(0,2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sinB的值为______．13.直线y=kx(k>0)与双曲线y=2x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则代数式2x2y1−4x1y2的值为______．14.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，其中A(−2,0)，B(0,1)，则直线BC的函数表达式为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.(1)计算(π−2020)0+4sin45°−√18；(2)化简：1−x2−2xx2−1÷x−2x−1．16.已知二次函数y=−x2+bx+3，当x=2时，y=3，求这个二次函数的解析式．17.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．18.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)若AB=3，AC=5，E是BC中点，求DE的长．19.圆规是常用的作图工具．如图1，圆规的两脚AB=AC=8cm，张角∠BAC=α．(1)如图2，当α=30°时，所作圆的半径是多少cm？(精确到0.1cm，其中sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268)(2)如图3，按尺规作图的要求作∠MON的角平分线OP，①该作图方法的理论依据是______．(A)利用角平分线的性质(B)利用三边对应相等构造全等三角形(C)角平分线性质的逆用(D)利用两边及其夹角对应相等构造全等三角形②连接PE，PF，若∠MON=60°，OE=√2PE，求∠EPF的度数．20.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E.已知A(1,4)，CDCE =14．(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．21.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接BP交EC于点M．(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(1)若∠AEP=60°，判断△BPC的形状并说明理由；(3)若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．22.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？23.阅读理解：如图1，在线段AC上有一点P，若△ABP与△CDP相似，则称点P为△ABP与△CDP的相似点．例如：如图2，△ABP1∽△CDP1，△AP2B∽△CDP2，则点P1、P2为△ABP与△CDP的两个相似点．如图3，矩形ABCD中，AB=4，BC=m(m>1)，点E是AD边上一定点，且AE=1．(1)当m=3时，线段AB上存在点F为△AEF与△BCF的相似点，求AF的长度；(2)当m=3.5时，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有几个？请说明理由；(3)随着m的变化，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F的个数有哪些变化？请直接写出相对应的m的值或取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵二次函数y=kx2+2x−1的图象与x轴仅有一个公共点，∴当y=0时，0=kx2+2x−1，则△=22−4×k×(−1)=0，解得，k=−1，故选：C．根据二次函数y=kx2+2x−1的图象与x轴仅有一个公共点，可知当y=0时的△=0，从而可以求得k的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.答案：B解析：解：如图，∵△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，点B(1,3)，AB//y轴，∴BD=BA=3，∠DBA=90°，∴BD//x轴，∴DF=3−1=2，∴D(−2,3)．∵反比例函数y=k图象恰好过点D，x∴3=k，解得k=−6．−2故选B．先根据旋转的性质得BD=BA=3，∠DBA=90°，则BD//x轴，易得D(−2,3)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式．(k为本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx常数，k≠0)；再把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数．3.答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB=√AC2+BC2=2√5，设PD=x，AB边上的高为ℎ，ℎ=AC⋅BCAB =4√55，∵PD//BC，∴△ADP∽△ACB∴PDBC =ADAC，∴AD=2x，AP=√5x，∴S1+S2=12⋅2x⋅x+12(2√5−1−√5x)⋅4√55=x2−2x+4−2√55=(x−1)2+3−2√55，∴当0<x<1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．设PD=x，AB边上的高为ℎ，想办法求出AD、ℎ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．4.答案：A解析：解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=√12+22=√5，∴sinA=BCAB =√5=√55．故选：A．先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5.答案：C解析：本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等．解题关键是掌握这些性质和定理并能熟练运用．利用直径所对的圆周角是直角可得出∠ADB=90°，再根据角平分线的性质和圆周角的性质可得出AD=BD，最后在等腰直角三角形ABD中利用勾股定理即可求AD的长度．解：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠DCA=∠DCB，∴AD=BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，∵AB=4，∴AD2=8∴AD=2√2．故选C．6.答案：D解析：解：∵抛物线y=12x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(−3,0)，∴所得抛物线的解析式为y=12(x+3)2．故选：D．根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．7.答案：A解析：解：如图，∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA=BCAB =35．故选：A．根据正弦的定义得到sinA=BCAB，然后把AB=5，BC=3代入即可得到sinA的值．本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．8.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADE=∠ABC=110°，故选：D．根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．9.答案：A解析：解：储室的体积公式知：10=Sd，(d>)为反比例数．故储存的底面积S(m)与度d(m)间的函数关系为S=104d故选：根据储存室积=底面×高即可列出反比例函数关系，从定正结论．本题考查比函数的应及反例函数的，解题的关键是根据自变量的取范围确定双曲线具体置，难度不．10.答案：C解析：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有公共点，可得△<0，即m2−4n<0，然后根据题意列出表格，由表格求得所有等可能与二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有公共点的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有公共点，∴△<0，即m2−4n<0，∴m2<4n，列表得：∵共有36种等可能的结果，其中满足m2<4n占17种，∴二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有公共点的概率=1736．故选C．11.答案：①④⑤解析：解：①四条边相等的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；②对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；④有一个内角为直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是这命题，符合题意，真命题有①④⑤，故答案为：①④⑤．利用特殊平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊平行四边形的判定方法，难度不大．12.答案：13解析：解：⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，如图，∵∠COD=90°，∴CD为⊙A的直径，∴CD=6，∵点C(0,2)，∴OC=2，在Rt△OCD中，sinD=OCCD =26=13，∵∠B=∠D，∴sinB=13．故答案为13．⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，如图，利用圆周角定理判断CD为⊙A的直径，则CD=6，利用正弦的定义得到sinD=OCCD =13，然后根据圆周角定理得到∠B=∠D，从而得到sinB的值．本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了解直角三角形．13.答案：4解析：解：反比例函数图象上点的坐标特征可知点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于原点对称，∴x1=−x2，y1=−y2，把A(x1,y1)代入双曲线y=2x，得x1y1=2，∴2x2y1−4x1y2=−2x1y1+4x1y1=2x1y1=4，故答案为4．根据反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，得到x1=−x2，y1=−y2，再代入2x2y1−4x1y2得出答案．本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解决问题的关键是应用两交点坐标关于原点对称．14.答案：y=−13x+1解析：解：如图，∵A(−2,0)，B(0,1)，∴OA=2，OB=1．过点C作CD⊥x轴于D，∴∠CAD+∠ACD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠ACD．在△AOB和△CDA中，{∠OAB=∠DCA ∠AOB=∠CDA AB=CA，∴△AOB≌△CDA，∴AD=BO=1，CD=AO=2，∴OD=OA+AD=3，∴C(−3,2)．设直线BC的函数表达式为y=kx+b，∵B(0,1)，C(−3,2)，∴{b=1−3k+b=2，解得{k=−13b=1，∴直线BC的函数表达式为y=−13x+1．故答案为y=−13x+1．先确定出OA=2，OB=1，再证明△AOB≌△CDA，得出AD=1，CD=2，求出C点坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的函数表达式．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求出C点坐标是解题的关键．15.答案：解：(1)(π−2020)0+4sin45°−√18=1+4×√22−3√2=1+2√2−3√2 =1−√2；(2)1−x2−2xx2−1÷x−2x−1=1−x(x−2)(x−1)(x+1)⋅x−1x−2 =1−xx+1=x+1−xx+1=1x+1．解析：(1)直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案；(2)直接利用分式的乘除运算法则化简，再进行加减运算．此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：解：把x=2，y=3代入y=−x2+bx+3，∴3=−22+2b+3，∴b=2，∴y=−x2+2x+3．解析：把x=2，y=3代入y=−x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函数的解析式．本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出b的值．17.答案：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，{AF=CE ∠A=∠C AB=CB ，∴△ABF≌△CBE(SAS)，∴∠ABF=∠CBE．解析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键关键．18.答案：(1)证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠CDE=90°=∠B．又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA．(2)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=4．∵E是BC中点，∴CE=12BC=2．∵△CDE∽△CBA，∴DEBA =CECA，即DE3=25，∴DE=2×35=65．解析：本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；(2)利用相似三角形的性质求出DE的长．(1)由DE⊥AC，∠B=90°可得出∠CDE=∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；(2)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．19.答案：B解析：解：(1)如图2中，过点B作BH⊥AC于H．∵AB=AC=8cm，∠BAC=30°，(180°−30°)=75°，∠ABH=60°，∴∠ABC=∠ACB=12∴∠CBH=75°−60°=15°，∵BH=1AB=4(cm)，2≈4.1(cm)，∴BC=BHcos15∘∴⊙C的半径为4.1cm．(2)如图3中，∵OF=OE，OP=OP，PF=PE，∴△OPF≌△OPE(SSS)，∴∠POM=∠PON，故选B．(3)如图3中，连接EF．∵OE=OF，∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形，∵OE=√2PE，PE=PF，∴EF=√2PE=√EPF．设PE=PF=a，则EF=√2a，∴EF2=PE2+PF2，∴∠EPF =90°．(1)如图2中，过点B 作BH ⊥AC 于H.解直角三角形求出BC 即可．(2)利用全等三角形的判定解决问题即可．(3)连接EF ，证明∠EPF =90°即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.答案：解：(1)把A(1,4)代入y =m x 得m =1×4=4，∴反比例函数解析式为y =4x ；∵BD ⊥y 轴，AD ⊥y 轴，∴AD//BE ，∴△CDA∽△CEB ，∴CD CE =AD BE ，即1BE =14，∴BE =4，当x =4时，y =4x =44=1，∴B(4,1)，把A(1,4)，B(4,1)代入y =kx +b 得{k +b =44k +b =1，解得{k =−1b =5， ∴一次函数解析式为y =−x +5；(2)∵点A 与点B 关于直线y =x 对称，反比例函数y =−4x 关于y =x 对称，∴当OM 的解析式为y =x 时，MN 的长度最大，解方程组{y =4x y =x 得{x =2y =2或{x =−2y =−2， ∴此时M 点的坐标为(2,2)．解析：(1)先把A 点坐标代入y =m x 中求出m 得到反比例函数解析式为y =4x ；再证明△CDA∽△CEB ，利用相似比求出BE =4，则利用反比例函数解析式确定B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)利用点A 与点B 关于直线y =x 对称，反比例函数y =−4x 关于y =x 对称可判断当OM 的解析式为y =x 时，MN 的长度最大，然后解方程组{y =4x y =x 得此时M 点的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质．21.答案：(1)证明：由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE=EB=PE，∴AP⊥BP，∴AF//EC，∵AE//FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)△BPC为等边三角形，理由：由(1)可知AP⊥BP，AE=EB=PE，∵∠AEP=60°，∠APB=90°，∴△AEP为等边三角形，∴AP=PE，∠EAP=60°，∴∠ABP=30°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC=60°，由折叠得BC=PC，∴△BPC为等边三角形；(3)过P作PQ⊥DC，交DC于点Q，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：EC=5，∵S△EBC=12EB⋅BC=12EC⋅BM，∴BM =3×45=125，由折叠得：BP =2BM =245，在Rt △ABP 中，AB =6，BP =245，根据勾股定理得：AP =√AB 2−BP 2=185， ∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF =EC =5，FC =AE =3，∴PF =5−185=75， ∵PQ//AD ，∴PF AF =PQ AD ，即755=PQ 4， 解得：PQ =2825，则S △CPF =12FC ⋅PQ =12×3×2825=4225．解析：(1)由折叠的性质得到BE =PE ，EC 与PB 垂直，根据E 为AB 中点，得到AE =EB =PE ，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB 为90°，进而得到AF 与EC 平行，再由AE 与FC 平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)由(1)可知AP ⊥BP ，AE =EB =PE ，可得∠AEP =60°，∠APB =90°，则△AEP 为等边三角形，得出∠EAP =60°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠ABP =30°，即可求得∠PBC =60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；(3)过P 作PM ⊥CD ，在直角三角形EBC 中，利用勾股定理求出EC 的长，利用面积法求出BQ 的长，根据BP =2BQ 求出BP 的长，在直角三角形ABP 中，利用勾股定理求出AP 的长，根据AF −AP 求出PF 的长，由PM 与AD 平行，得到三角形PMF 与三角形ADF 相似，由相似得比例求出PM 的长，再由FC =AE =3，求出三角形CPF 面积即可．此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，折叠的性质，三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积求法，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 22.答案：解：(1)设该工艺品每件的进价是x 元，标价是y 元．依题意得方程组：{y −x =458y ⋅0.85−8x =(y −35)⋅12−12x解得：{x =155y =200． 故该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．(2)设每件应降价a 元出售，每天获得的利润为W 元．依题意可得W 与a 的函数关系式：W =(45−a)(100+4a)，W =−4a 2+80a +4500，配方得：W =−4(a −10)2+4900，当a =10时，W 最大=4900．故每件应降价10元出售，每天获得的利润最大，最大利润是4900元．解析：(1)根据“每件获利45元”可得出：每件标价−每件进价=45元；根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”可得出等量关系：每件标价的八五折×8−每件进价×8=(每件标价−35元)×12−每件进价×12．(2)可根据题意列出关于总利润和每天利润的二次函数，以此求出问题．题(1)要根据标价、进价和利润的关系，找出等量关系．题(2)主要考查抛物线的性质．23.答案：解：(1)若m =3，则BC =3，∵∠A =∠B =90°，∴要使△AEF∽△BFC ，需AE BF =AF BC ，即14−AF =AF 3，解得AF =1或3；要使△AEF∽△BCF ，需AE BC =AF BF ，即13=AF 4−AF ，解得AF =1；综上所述AF 的长度为：1或3．(2)m =3.5时，线段AB 上△AEF 与△BCF 的相似点F 有3个，理由如下：延长DA ，作点E 关于AB 的对称点E′，连接CE′，交AB 于点F 1；连接CE ，以CE 为直径作圆交AB 于点F 2、F 3，如图：∵点E关于AB的对称点E′，∴△AEF1≌△AE′F1，∵DE′//BC，∴△AE′F1∽△BCF1，∴△AEF1∽△BCF1，即F1是线段AB上△AEF与△BCF的相似点，∵CE是⊙G的直径，∴∠EF2C=90°，∴∠AF2E=90°−∠BF2C=∠BCF2，又∠EAF2=∠CBF2=90°，∴△AEF2∽△BF2C，即F2是线段AB上△AEF与△BCF的相似点，同理可证F3是线段AB上△AEF与△BCF的相似点，综上所述，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有3个；(3)当1<m<4且m≠3时，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有3个；当m=3时，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有2个；当m=4时，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有2个；当m>4时，线段AB上△AEF与△BCF的相似点F有1个．解析：(1)分两种情形，分别构建方程即可解决问题；(2)利用对称性及辅助圆解决问题即可；(3)根据辅助圆与线段AB的交点个数分类讨论即可解决问题．本题考查作图−相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用对称性及辅助圆解决问题，属于中考常考题型．。
安徽省合肥市瑶海区九年级上学期期末考试数学试题有答案
度第一学期九年级期末考试数学试题本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得0分．1．若=，则的值为：A．1 B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是：A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为：第3题图第4题图第5题图A．30°B．40°C．50°D．80°4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是：A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠A BC C．=D．=5．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为：A．5cosαB．C．5sinαD．6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣57．如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有：A．1个B．2个C．3个D．4个8．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为：A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2第7题图第9题图第10题图9．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为：A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：3510．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是：A B C D题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是．12．如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k=．第12题图第14题图13．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．14．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：4sin60°+tan45°﹣．16．已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求此函数图象抛物线的顶点坐标；（2）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．请按要求画图：（1）以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．2，点F、G、H都在单位正方形的顶（2）在方格中作一个△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比为1:点上。
2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．如果x：y＝1：2，那么下列各式中不成立的是（）A．B．C．D．3．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＜﹣2C．m＞2D．m＜24．将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（）A．y＝﹣2B．y＝2C．y＝﹣3D．y＝35．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．4：3D．16：97．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130°B．135°C．140°D．145°8．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cos B＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（）A．7.5B．9C．10D．59．如图，反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象经过△ABC的顶点A，C，AB＝AC，且BC⊥y轴，点A、C的横坐标分别为1、3，若∠BAC＝120°，则k的值为（）A．1B．C．D．210．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝．12．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为．13．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+．16．如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC；（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．18．观察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣＝﹣，﹣＝﹣（1）猜想：﹣×＝（写成和的形式）（2）你发现的规律是：﹣×＝；（n为正整数）（3）用规律计算：（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣×）+（﹣×）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观景台之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）20．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．六、（本题满分12分）21．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．七、（本题满分12分）22．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？八、（本题满分14分）23．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cos A＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△CDE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小題4分，共40分）1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．故选：A．2．如果x：y＝1：2，那么下列各式中不成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例式的性质得出x，y的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出．解：∵x：y＝1：2，∴＝，A.＝＝，故本选项正确；B，＝1﹣＝1﹣＝，故本选项正确；C，＝＝＝，故本选项正确；D，当x＝2，y＝4时，＝＝，故此选项错误，故选：D．3．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＜﹣2C．m＞2D．m＜2【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．解：∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+2＜0，解得m＜﹣2．故选：B．4．将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（）A．y＝﹣2B．y＝2C．y＝﹣3D．y＝3【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．【解答】解；将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣2）2+1﹣3，即y＝﹣（x+2）2﹣2．所以其顶点坐标是（﹣2，﹣2）．由于该函数图象开口方向向下，所以，所得函数的最大值是﹣2．故选：A．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．6．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AE＝DE，∵AB：BC＝4：3，∴DE：AB＝3：4，∵△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴＝（）2＝．故选：B．7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130°B．135°C．140°D．145°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数，再利用圆周角定理解答即可．解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故选：C．8．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cos B＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（）A．7.5B．9C．10D．5【分析】设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∵cos B＝＝，∴BE＝（18﹣2x），∵DE∥AB，∴＝，∴＝，∴x＝6，∴BE＝（18﹣12）＝10，故选：C．9．如图，反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象经过△ABC的顶点A，C，AB＝AC，且BC⊥y轴，点A、C的横坐标分别为1、3，若∠BAC＝120°，则k的值为（）A．1B．C．D．2【分析】根据等腰三角形的性质以及∠BAC＝120°得到三角形ACD的两边之间的关系，再结合反比例函数解析式得到关于k的方程，解出k即可得出答案．解：过点A作AD⊥BC，∵点A、点C的横坐标分别为1，3，且A，C均在反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象上，∴A（1，k），C（3，），∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，∴∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD，即2＝（k﹣），解得k＝．故选：C．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．4【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，∴P1P2∥DE且P1P2＝DE当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°∴∠AP2P1＝90°∴∠AP1P2＝45°∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，∴CP的最小值为CP1的长在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，∴CP1＝4∴PB的最小值是4．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝﹣3．【分析】此题可以直接将P（a+1，4）代入y＝﹣即可求得a的值．解：将点P（a+1，4）代入y＝﹣，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．12．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为．【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用坡角的定义得出答案．解：由题意可得：AB＝6m，BC＝2m，则在直角△ACB中，AC＝＝＝4（m），故这个坡面的坡度为：＝＝．故答案为：．13．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为7．【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP＝∠DPF，结合∠A＝∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD＝∠EFC，∠D＝∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝∠ECF＝90°，AB＝AD＝CD＝6，∴DP＝AD﹣AP＝2．∵BP⊥PE，∴∠BPE＝90°，∴∠APB+∠DPF＝90°．∵∠APB+∠ABP＝90°，∴∠ABP＝∠DPF．又∵∠A＝∠D，∴△APB∽△DFP，∴＝，即＝，∴DF＝，∴CF＝．∵∠PFD＝∠EFC，∠D＝∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴＝，即＝，∴CE＝7．故答案为：7．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是﹣5＜a＜﹣2或＜a＜．【分析】由解析式y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），可求抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），结合已知当a＞0时，2＜＜5，当a＜0时，2＜﹣a＜5，分别求出a的范围即可．解：y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），当y＝0时，x＝﹣a或x＝，∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），∵与x轴的一个交点坐标为（m，0）且2＜m＜5，当a＞0时，2＜＜5，∴＜a；当a＜0时，2＜﹣a＜5，﹣5＜a＜﹣2；故答案为＜a或﹣5＜a＜﹣2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+．【分析】涉及绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝|2﹣|﹣1+4+，＝2﹣﹣1+4+，＝5．16．如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．【分析】（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，相当于把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，利用此平移规律画出B、C的对应点即可；（2）利用旋转的定义和网格的特点画图．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A1B2C2为所作．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC；（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠DEC＝∠A，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠C，求出∠DEC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出AC长，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵A、B、E、D四点共圆，∴∠DEC＝∠A，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴ED＝DC；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AB＝BC，CD＝6，∴AD＝DC＝6，∴AC＝12，∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△BAC，∴＝，∴＝，解得：BC＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6．18．观察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣＝﹣，﹣＝﹣（1）猜想：﹣×＝﹣+（写成和的形式）（2）你发现的规律是：﹣×＝﹣+；（n为正整数）（3）用规律计算：（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣×）+（﹣×）．【分析】由所给的已知发现乘积的等于和，即可求解．解：（1）由所给的已知发现乘积的等于和，∴﹣×＝﹣+，故答案为﹣+；（2）﹣×＝﹣+，故答案为﹣+；（3）（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣×）+（﹣×）＝﹣1+﹣﹣﹣…﹣+＝﹣1+＝﹣．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观景台之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD＝AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝BP＝5km．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝5km，PA＝12．∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，则∠BAP＝30°，∵AB＝（5+5），∴BF＝AB＝（+）km．答：观测站B到射线AP的最短距离为（+）km．20．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．【分析】（1）将B代入反比例函数y＝（x＞0）利用待定系数法即可求得；（2）求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D，由S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD，可求S．△ABC解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．∴m＝×（﹣4）＝﹣2，∴反比例函数的解析式y＝﹣；（2）把A（n，﹣1）代入y＝﹣得﹣1＝﹣，∴n＝2，∴A（2，﹣1），∵次函数y＝kx+b的图象经过A（2，﹣1），B（，﹣4），∴，解得：∴一次函数解析式y＝2x﹣5；（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D∴D（0，﹣5）∵C（0，2），∵S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD∴S△ABC＝＝．六、（本题满分12分）21．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，求出ED＝AD ＝6，由三角函数定义即可得出答案；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得出＝＝，＝＝1，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵E是AD的中点，∴ED＝AD＝6，∴tan∠DCE＝＝；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴＝＝，＝＝1，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴＝．七、（本题满分12分）22．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据已知所给y与x的关系式即可求解；（2）根据函数图象先求出m关于x的一次函数解析式，再根据销售利润＝单件利润×销售量即可得w与x的函数关系式，进而求解．解：（1）若8x＝70，得x＝＞5，不符合题意；则5x+10＝70，解得x＝12．答：小李第12天销售的产品数量为70件．（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m＝40，当5＜x≤15时，设m＝kx+b，将（5，40）（15，60）代入，得，解得，∴m＝2x+30．①当0≤x≤5时，w＝（62﹣40）•8x＝176x，∵w随x的增大而增大，∴当x＝5时，w最大为880；②当5＜x≤15时，w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320，∴当x＝7时，w最大为810．∵880＞810，∴当x＝5时，w取得最大值为880元．答：第5天时利润最大，最大利润为880元．八、（本题满分14分）23．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cos A＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△CDE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝14．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出＝，可得AD＝．（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH＝90°，由△BFN∽△BDM，可得＝＝tan∠BDF＝tan A＝，推出AN＝AM＝×12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BA＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△CDE．（2）解：如图2中，作BM⊥AC于M．在Rt△ABM中，则AM＝AB•cos A＝20×＝16，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴202＝162+BM2，∴BM＝12，∵AB＝BC，BM⊥AC，∴AC＝2AM＝32，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∴AD＝＝．（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥AC于H，AM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH ＝90°，∴四边形BMHN为矩形，∴∠MBN＝90°，MH＝BN，∵AB＝BC，BM⊥AC，∵AB＝20，AM＝CM＝16，AC＝32，BM＝12，∵BN⊥FH，BM⊥AC，∴∠BNF＝90°＝∠BMD，∵∠DBF＝90°＝∠MBN，∴∠NBF＝∠MBD，∴△BFN∽△BDM，∴＝＝tan∠BDF＝tan A＝，∴BN＝BM＝×12＝9，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣BN＝16﹣9＝7，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14．故答案为14．。
安徽省合肥市瑶海区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A等于（）A．B．C．D．4．如图，已知点C在弧AB上，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（）A．55°B．110°C．120°D．125°5．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125°B．115°C．100°D．130°7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知抛物线C的解析式为y＝ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（）A．a确定抛物线的开口方向与大小B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变9．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是（）A．a﹣b+c＞0 B．2a+b+c＜0C．x（ax+b）＞a+b D．a＜﹣1二．填空题（共4小题）11．已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是．12．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．14．如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则的值为．三．解答题（共9小题）15．计算：sin30°+cos30°•tan60°．16．已知二次函数y＝x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．（1）求c的值；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．17．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．18．如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．（1）求AC、AD、BD的长；（2）求四边形ACBD的面积．20．某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？21．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD＝MC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求OD长；（3）在（2）的基础上求MC长．22．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．23．如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．故选：C．2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（3，﹣4）．∴则答案为C故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A等于（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求得BC＝6，再由正弦函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝10、AC＝8，∴BC＝＝＝6，∴sin A＝＝＝，故选：A．4．如图，已知点C在弧AB上，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（）A．55°B．110°C．120°D．125°【分析】在优弧上取一点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠D，根据圆内接四边形的性质得出∠ADB+∠ACB＝180°，代入求出即可．【解答】解：如图，在优弧上取一点D，连接AD、BD，∵∠AOB＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．5．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，故选：C．6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125°B．115°C．100°D．130°【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，再把∠A＝70°代入计算即可．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．故选：A．7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD＝DB＝AB＝，在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，解得，OA＝4∴OD＝OC﹣CD＝3，∵AO＝OE，AD＝DB，∴BE＝2OD＝6，故选：B．8．已知抛物线C的解析式为y＝ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（）A．a确定抛物线的开口方向与大小B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变【分析】利用二次函数的性质对A进行判断；利用抛物线的性质和抛物线的平移规律对B、C、D进行判断．【解答】解：A、a确定抛物线的开口方向与大小，所以A选项的说法正确；B、若将抛物线C沿y轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，所以a，b的值不变，所以B选项的说法正确；C、若将抛物线C沿x轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a的值不变，所以C选项的说法正确；D、若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a不变，b、c的值改变，所以D选项的说法不正确．故选：D．9．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE＝S四边形BCED，可得出＝，结合BD＝AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝．∵S△ADE＝S四边形BCED，∴＝，∴＝＝＝﹣1．故选：C．10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是（）A．a﹣b+c＞0 B．2a+b+c＜0C．x（ax+b）＞a+b D．a＜﹣1【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x 轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c ＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以B错误；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以A错误；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以C错误；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以D正确．故选：D．二．填空题（共4小题）11．已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是k＜1 ．【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．12．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是3﹣π（结果保留π）．【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2＝4﹣π﹣1＝3﹣π．故答案为：3﹣π．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于2π．【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．【解答】解：正方形的边长AB＝2，则半径是2×＝，则面积是（）2π＝2π．故答案是：2π．14．如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则的值为．【分析】过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，依据△EHG∽△BPG，可得＝，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到EH＝CF，BP＝CF，进而得出＝．【解答】解：如图，过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，则∠EHG＝∠BPG＝90°，又∵∠EGH＝∠BGP，∴△EHG∽△BPG，∴＝，∵CF⊥AD，∴∠DFC＝∠AFC＝90°，∴∠DFC＝∠CHE，∠AFC＝∠CPB，又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠CDF＝∠ECH，∠FAC＝∠PCB，∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，∴＝＝，＝＝1，∴EH＝CF，BP＝CF，∴＝，∴＝，故答案为：．三．解答题（共9小题）15．计算：sin30°+cos30°•tan60°．【分析】分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝+×＝+＝2．16．已知二次函数y＝x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．（1）求c的值；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．【分析】①二次函数解析式只有一个待定系数c，把点（1，﹣5）代入解析式即可求c；②已知二次函数解析式求函数图象与x轴的交点坐标，令y＝0，解一元二次方程，可得交点的横坐标．【解答】解：（1）∵点（1，﹣5）在y＝x2+2x+c的图象上，∴﹣5＝1+2+c，∴c＝﹣8．答：c的值为﹣8．（2）由（1）得函数的解析式为y＝x2+2x﹣8，令y＝0，则x2+2x﹣8＝0，解方程得：x1＝﹣4，x2＝2．故函数与轴的交点坐标为（﹣4，0），（2，0）．17．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；B2（10，8）18．如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tan A＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，∴AB＝AH+BH＝8+6．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．（1）求AC、AD、BD的长；（2）求四边形ACBD的面积．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，由勾股定理得，AC＝＝4，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴＝，∴AD＝BD＝×AB＝3；（2）四边形ACBD的面积＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4．20．某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？【分析】（Ⅰ）根据题意解方程组即可得到结论；（Ⅱ）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象得：，解得：，∴所以y＝﹣x+100（50≤x≤80）；（Ⅱ）设每天获得的利润为W元，由（Ⅰ）得：W＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣x+100）＝﹣x2+150x﹣5000＝﹣（x﹣75）2+625，∵﹣1＜0，∴当x＝75时，W最大＝625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．21．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD＝MC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求OD长；（3）在（2）的基础上求MC长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质（3）由勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC；（2）解：由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝2，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴＝，即＝，可得：OD＝2.5，（3）解：设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，解得：x＝，即MC＝．22．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【分析】（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA＝S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y＝x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y＝x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA＝S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA＝×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××＝4+﹣＝；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA 的面积．设直线PM的解析式为y＝x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4＝×2+b，解得b＝3，∴直线PM的解析式为y＝x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．23．如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．【分析】（1）证明∠A＝∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，又∠A＝∠AFE，∠AFE＝∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC＝∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE＝EH•EC，又BE＝EC，所以EH＝BG＝1．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A，∴DM＝DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，∵∠AFE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE，∴∠BDG+∠GDE＝∠C+∠FEC，∵∠BDG＝∠C，∴∠GDE＝∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2＝BG•BE，∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠AFE﹣∠CFH＝∠EFH，又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2＝EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF＝DM＝DA＝BD，∴BG•BE＝EH•EC，∵BE＝EC，∴EH＝BG＝1．。
2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y=x2−2x+3的对称轴为()A. 直线x=−1B. 直线x=−2C. 直线x=1D. 直线x=22.若反比例函数的图象经过(2,−2)，(m,1)，则m=()A. 1B. −1C. 4D. −43.如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是()A. 1B. 2C. 3D. 44.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=2，AB=6，则AC的长为()3A. 8B. 6C. 4D. 25.如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为()A. 27°B. 28°C. 36°D. 54°6.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x经变换后得到抛物线y=x2−4x，则这个变换可以是()A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位7.如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3√2m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长度是()A. 3mB. 3√3mC. 2√3mD. 4m8. 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，半径OA 交小圆于点D ，若OD =3，tan∠OAB =√33，则劣弧AB 的长是( )A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π9. 抛物线y =ax 2−1与双曲线y =ax (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )A.B.C.D.10. 已知抛物线y =x 2+(2a −1)x +1−2a 与x 轴交于点A(x 1,0)、B(x 2,0)，且−1<x 1<0，0<x 2<12，则实数a 的取值范围是( )A. a >12 B. a <34 C. a >12或a <34D. 12<a <34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：______． 12. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC 的值为______．13. 如图，反比例函数y =6x (x >0)与一次函数y =x −2的图象交于点P(a,b)，则1a −1b 的值为______．14.如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠α．(1)如图1，当△ABC是等边三角形时，∠α=______．(2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB=90°)时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.计算：cos230°+sin245°−tan60°⋅tan30°16.已知抛物线y=−x2+bx+c过点A(1,0)，B(−3,0)，求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．17.每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．(1)以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2．18.已知：如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，延长DE、BC交于点F.求证：BF⋅EC=CF⋅AE．19.为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)20.如图，点A在反比例函数y=k的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴x于点C，S△AOB=2．(1)求该反比例函数的表达式，(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是反比例函数y=k图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，x指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．21.已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是BC⏜的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于点E．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O直径是5，AE=3.2，求BD的长．22.安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：第n月第1月第2月维修保养、捐赠口罩成本等费用(万元)35若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y(万元)，且y=an2+bn．(1)求出y的解析式；(2)设该公司第n月的利润为w(万元)，求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？(3)该公司在2021年哪月份能收回投资？23.如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF=∠EBG=90°，连接AG、FC．(1)已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上(如图1)．①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；②求D、E两点之间距离的最小值．(2)如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AG//CF．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．【解答】∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，∴对称轴为x=1，故选C．把抛物线化为顶点式可求得答案．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，要注意待定系数法的使用．，代入(2,−2)确定k值，再代入(m,1)可求出m的值．先设出反比例函数解析式y=kx【解答】，解：设反比例函数解析式y=kx将(2,−2)代入得−2=k，2∴k=−4，即函数解析式为y=−4，x将(m,1)代入解析式得1=−4，m∴m=−4．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】解：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =AEAB，即24=AE6，解得，AE=3，故选C．4.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，AB=6，∴cosA=23=ACAB=AC6，∴AC=4，故选：C．根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=54°，∴∠BAC=12∠BOC=27°．故选：A．直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：y=x2+4x=(x+2)2−4，顶点坐标是(−2,−4)．y=x2−4x=(x−2)2−4，顶点坐标是(2,−4)．所以将抛物线y=x2+4x向右平移4个单位得到抛物线y=x2−4x，故选：B．根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．7.【答案】B【解析】解：∵sin∠CAB=BCAC =3√26=√22，∴∠CAB=45°．∵∠C′AC=15°，∴∠C′AB′=60°．∴sin60°=B′C′6=√32，解得：B′C′=3√3．故选：B．因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B′C′长度．此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．8.【答案】C【解析】解：连接OC、OB，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∵OD=3，∴OC=3，∵tan∠OAB=√3，3∴∠A=∠B=30°，OA=2OC=6，∴∠AOB=120°，=4π．∴劣弧AB的长是：120⋅π⋅6180故选：C．连接OC、OB，由切线的性质知OC⊥AB，由tan∠OAB的值，可得∠A的度数，进而可求出OA的长，进而AB⏜的长也可求出．本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．9.【答案】D【解析】解：由抛物线y=ax2−1可知，抛物线与y轴的正半轴相交，故A、C不合题意，B、由抛物线开口向下可知a<0，由双曲线在第一、三象限可知a>0，两结论相矛盾，故B选项不合题意；D、由抛物线开口向下可知a<0，由双曲线在第二、四象限可知a<0，两结论一致，故D选项符合题意．故选：D．分别根据反比例函数及二次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．本题考查了反比例函数图象以及二次函数的图象，二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数，a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；当a<0，抛物线开口向下，与y轴的交点坐标为(0,c).解题时注意：当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．10.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=x2+(2a−1)x+1−2a与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)，∴x1，x2是方程x2+(2a−1)x+1−2a=0的两个根，∴x 1+x 2=1−2a ，x 1x 2=1−2a ，∵−1<x 1<0，0<x 2<12， ∴−12<1−2a <0， ∴12<a <34，故选：D ．根据题意x 1，x 2是方程x 2+(2a −1)x +1−2a =0的两个根，由根与系数的关系得出x 1+x 2=1−2a ，x 1x 2=1−2a ，根据−1<x 1<0，0<x 2<12得出−1<x 1<0，0<x 2<12，解得12<a <34．本题是抛物线与x 轴的交点问题，考查了二次函数与一元二次方程的关系，由根与系数的关系得出关于a 的不等式是解题的关键．11.【答案】对角互补的四边形是圆内接四边形【解析】解：命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：对角互补的四边形是圆内接四边形，故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．根据逆命题是条件、结论互换解答即可．本题考查命题与定理，关键是根据逆命题是条件、结论互换解答．12.【答案】45【解析】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC =90°，由勾股定理得：AC =√32+42=5，∴sin∠BAC =CD AC =45．故答案为：45．过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．本题属于解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．13.【答案】−13【解析】解：∵反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，∴b=6a，b=a−2，∴ab=6，a−b=2，∴1a −1b=b−aab=−a−bab=−26=−13．故答案为−13．由点P(a,b)为反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的交点，可得出ab=6、a−b=2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=6、a−b=2是解题的关键．14.【答案】30°1：2：2【解析】解：(1)如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5=∠6，∴△ACQ≌△BAQ(ASA)，∴CQ=AQ，同法可证CQ=BQ，∴QA=QB=QC，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=30°故答案为30°，(2)作CH⊥AQ交AQ的延长线于H，如图2，设QC=m．∵∠AQC=180°−∠3−∠CAQ=135°，∴∠CQH=45°，∴CH=√22m，∵△ACQ∽△BAQ，∴CQAQ =AQBQ=ACAB=√2，∴AQ=√2m，BQ=2m，∵S△AQC=12⋅AQ⋅CH=12m2，S△ABQ=12AQ⋅BQ⋅√22=m2，∵∠AQC=∠AQB=135°，∴∠CQB=90°，S△BCQ=12⋅BQ⋅CQ=m2，∴S△AQC：S△ABQ：S△BCQ=12m2：m2：m2=1：2：2，故答案为：1：2：2．(1)只要证明△ACQ≌△BAQ，推出CQ=AQ，同法可证CQ=BQ，推出QA=QB=QC，推出∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=30°即可解决问题；(2)作CH⊥AQ交AQ的延长线于H，设QC=m.由∠AQC=∠AQB=135°，推出∠CQB= 90°，分不清楚三个三角形的面积即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是发现∠CQB =90°，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．15.【答案】解：原式=(√32)2+(√22)2−√3⋅√33=34+12−1 =14． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16.【答案】解：把点(1,0)，(−3,0)代入y =−x 2+bx +c ，得，{−1+b +c =0−9−3b +c =0， 解得{b =−2c =3， ∴y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴此抛物线解析式为：y =−x 2−2x +3，顶点C 的坐标为(−1,4)．【解析】利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入y =−x 2+bx +c 即可求得二次函数的解析式．本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图，菱形OA 1B 1C 1即为所求作，B 1(8,8)；(2)如图，菱形OA2B2C2即为所求作．【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)分别作出AB，C的对应点A2，B2，C2即可．本题考查作图−位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：作DG//BC交AC于点G，DH//AC交BC于点H，∵D为AB中点，∴G为AC中点，H为BC中点，BC=2DG，AC=2AG，∵DG//BC，∴△DGE∽△FCE，∴DGCF =EGCE，∴2×DGCF =2×EGCE，即BCCF=2EGEC，∴BCCF +1=2EGEC+1，即BC+CFCF =2EG+ECEC，∵EG+EC=GC=AG，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE，∴BC+CFCF =AEEC，即BFCF=AEEC，∴BF⋅EC=CF⋅AE．【解析】作DG//BC交AC于点G，DH//AC交BC于点H，可得G为AC中点，H为BC中点，BC=2DG，AC=2AG，由△DGE∽△FCE得DGCF =EGCE，对其进行变形即可得BF⋅EC=CF⋅AE．本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是能够证出三角形相似，得到对应边成比例．19.【答案】解：∵顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，AB=16m，tan30°=ABAD =√33，∴AD=√3AB=16√3(m)，∵在一楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，∴CD=AD⋅tan65°≈16√3×2.14≈59.2(m)．答：该古塔的高度约为59.2米．【解析】先由锐角三角函数定义求出AD的长，再由锐角三角函数定义求出CD的长即可．本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．20.【答案】解：(1)由题意可知，S△AOB=12|k|=2．∴|k|=4，∵k>0，∴y=4x；(2)结论：P在第三象限，Q在第一象限．理由：∵k=4>0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而减小，∵P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1<x2时，y1>y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第三象限，Q在第一象限．【解析】(1)利用反比例函数系数k的几何意义求得k的值，从而求得解析式；(2)结论：P在第三象限，Q在第一象限．利用反比例函数的性质即可解决问题．此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：连接OD．∵D是BC⏜的中点，∴BD⏜=CD⏜．∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∵EF⊥AE，∴∠E=90°．∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠AED=∠ADB，又∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AEAD =ADAB，∵AB=5，AE=3.2，∴AD2=AB⋅AE=16，∴AD=4(负值舍去)，∴BD=√AB2−AD2=√52−42=3．【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理，可得∠CAD=∠BAD，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线；(2)证明△AED∽△ADB，由相似三角形的性质得出AEAD =ADAB，求出AD=4，由勾股定理可求出答案．本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．22.【答案】解：(1)第1月到第2月的累积费用为：3+5=8(万元)，将{n =1y =3，{n =2y =8代入y =an 2+bn ， 得{3=a +b 8=4a +2b， 解得{a =1b =2， ∴解析式为y =n 2+2n ；(2)由题意得：w =100n −(n 2+2n)−500=−n 2+98n −500=−(n −49)2+1901，∴投产后第49个月，利润最大，最大利润为1901万元；(3)∵w =−n 2+98n −500，当n =5时，w =−35(万元)<0；n =6时，w =52(万元)>0；∴在2021年6月收回成本．【解析】(1)用待定系数法求解即可；(2)根据利润=总创利−维修保养与损耗等费用累计−500，列出w 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；(3)求得利润关于x 的函数值何时由负转正，结合n 取正整数，即可得出答案本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)①∵△AEF 与△BEG 都是等腰直角三角形，∴∠AEF =∠BEG =45°，∴∠AEB =90°，∵△AEF 与△BEG 的相似比为2：1，∴设AE =2x ，BE =x ，∵AE 2+BE 2=AB 2，∴5x 2=25，∴x =√5，∴AE=2√5，BE=√5，∴△EAB的面积=12×AE×BE=5；②如图1，取AB中点O，连接OD，OE，DE，∵∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的圆上运动，∵点O是AB中点，∴OE=AO=BO=52，∴DO=√AD2+AO2=√25+254=5√52，∵DE≥DO−OE，∴当点E在线段OD上时，DE有最小值为5√52−52．(2)连接GC、DF，∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，又∵BC=AB，EB=GB，∴△CGB≌△AEB(SAS)，∴CG=AE，∵△AFE是等腰直角三角形，∴FA=EA=CG，同理可证：△DFA≌△BEA，∴DF=EB=BG，∠FDA=∠3，∵∠CDA=∠EBG=90°，∴∠FDA+∠ADC=∠3+∠EBG，即∠FDC=∠ABG，又∵DC=AB，∴△FDC≌△BEA(SAS)，∴FC=AG，又∵AF=GC，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AG//FC．【解析】(1)①设AE=2x，BE=x，在Rt△AEB中，由勾股定理可求AE，BE，即可求解；②取AB中点O，连接OD，OE，DE，可证点E在以AB为直径的圆上运动，则当点E 在线段OD上时，DE有最小值，即可求解；(2)连接GC、DF，由“SAS”可证△CGB≌△AEB，△DFA≌△BEA，可得FA=EA=CG，DF=EB=BG，∠FDA=∠3，由“SAS”可证△FDC≌△BEA，可得FC=AG，可证四边形AFCG为平行四边形，可得AG//FC．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．第21页，共21页。
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A．2 处
B．3 处
C．4 处
D．5 处
10．（4 分）如图，Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC
边上，设 CD 的长度为 x，△ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能
表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
第2页（共7页）
面积是
．
七、（本题满分 12 分） 22．（12 分）某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利
润，商店决定提高价格．经调查发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖出 360 件， 在此基础上，若涨价 5 元，则每月销售量将减少 150 件，若每月销售量 y（件）与价格 x （元/件）满足关系式 y＝kx+b． （1）求 k，b 的值；
第5页（共7页）
（2）问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少？ 八、（本题满分 14 分） 23．（14 分）如图，在□ABCD，E 为边 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，联结 BF 并延长
交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H．设 ＝ ＝x．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
11．（5 分）计算：sin60°•cos30°﹣tan45°＝
．
12．（5 分）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，∠AOC＝60°，则∠ABC 的度数是
．
13．（5 分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸条交
；
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．
； 18．
；
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．
； 20．
；
六、（本题满分 12 分）
21．64；
七、（本题满分 12 分）
22．
；
八、（本题满分 14 分）
23．
；
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．其中正确的有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
6．（4 分）AB 为⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上．若∠ABD＝42°，则∠BCD 的度数是（ ）
A．122°
B．132°
C．128°
D．138°
7．（4 分）已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结
第1页（共7页）
论正确的是（ ）
A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC
C．AC＝
BC D．BC＝
AC
8．（4 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，则 tan∠BDE 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）如图，已知点 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P 作直线 PD 与直角 边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的小三角形与△ABC 相似，那么 D 点的位置最多有（ ）
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．（10 分）如图，D 是 AC 上一点，BE∥AC，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G．若∠1＝∠
2，线段 BF、FG、FE 之间有怎样的关系？请说明理由．
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20．（10 分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身 体（看成一点）的路线是抛物线 y＝ x2+3x+1 的一部分，如图所示．
叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD．则 AB 与 BC 的数量关系为
．
14．（5 分）如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连结 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；② ＝ ；③DP2＝PH•PB；④
安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）以下每小题都给出了 A，B，C，
D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在表中．
1．（4 分）抛物线 y＝ax2+bx﹣3 经过点（1，1），则代数式 a+b 的值为（ ）
A．2
4．（4 分）对于反比例函数 ，下列说法中不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．y 随 x 的增大而减小 D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 5．（4 分）如图，△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则下列结论：①BC＝2DE；
②△ADE∽△ABC；③
B．3
C．4
D．6
2．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3．下列选项中，正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cotA＝
3．（4 分）若 ab＝cd，且 abcd≠0，则下列式子正确的是（ ）
A．a：c＝b：d
B．d：c＝b：a
C．a：b＝c：d
D．a：d＝c：b
＝ ，并写出点 A2
的坐标．
18．（8 分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段 的宽度．小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距 A 处 50 米 远的 B 处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到 0.01 米，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）
1．C； 2．B； 3．D； 4．C； 5．A； 6．B； 7．D； 8．C； 9．B； 10．A； 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11． ； 12．150°； 13．AB＝2BC； 14．①③④；
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15．
； 16．
日期：2019/1/16 15:08:33； 用户：qgjyus er10 487；邮箱：q gjyus er10487.219 57750；学号 ：21985495
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CD＝8cm，求⊙O 的半径．
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．（8 分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC 关于 x 轴对称的△A 1B1C1，并写出点 A1 的坐标；
（2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使
（1）当 x＝1 时，求 AG：AB 的值；
（2）设
＝y，求 y 关于 x 的函数关系式；
（3）当 DH＝3HC 时，求 x 的值．
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安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）以下每小题都给出了 A，B，C， D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在表中．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC＝3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次
表演是否成功？请说明理由．
六、（本题满分 12 分）
21．（12 分）如图，点 M 是△ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形
成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是 1、4、25．则△ABC 的
＝
．
其中正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．（8 分）抛物线 y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
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（2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 16．（8 分）已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若∠A＝22.5°，