第9章 系统的信号流图
第七讲数字信号处理系统函数流图
i0
M
•
H( z )
Y( X(
z) z)
1
br z r
r 0
N
ak zk
k 1
ARMA系统 IIR系统
M
• 若所有ak 0, H(z) br zr , 系统称为MA系统 －－－全零 r 0 点模型
h(n)为有限长序列－－－FIR系统（有限长单位脉冲响应）
• 若除b0 1外，所有br 0,
单位脉冲响 应的傅氏变
换
单位圆上的 系统函数
LTI系统的系统函数和ROC
因果系统
稳定系统 因果稳定系统
h(n)
h(n)=0,n<0 右边序列
H(z) Rx z 极点在某圆 内，收敛域 在此圆外
j Im(Z )
h(n)
n
h(n)=0,n<0
h(n)
n
H (e j ) 存在， 收敛域为
H(z)
1
N
1 ak zk
k 1
－－－全极点模型－－－AR 系统
h(n)为无限长序列－－－IIR系统（无限长单位脉冲响应）
一个稳定的LTI因果系统的差分方程为 y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) x(n) x(n 1) 求系统函数H(z)，单位冲激响应h(n)
解：
i 1
系统频率响应 的几何确定
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
i 1
i 1
当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时 针旋转一周，分别估算出系统的幅度特性和相位特性
N
M
有理系统分类 y(n) ai y(n i) bi x(n i)
控制系统结构图与信号流图
控制系统结构图与信号流图
1
提纲：
❖ 一 、控制系统的结构图 ❖ 二、控制系统的信号流图 ❖ 三、控制系统的传递函数
2
引言：
求系统的传递函数时，需要对微分方程组 或经拉氏变换后的代数方程组进行消元。而 采用结构图或信号流图，更便于求取系统的 传递函数，还能直观地表明输入信号以及各 中间变量在系统中的传递过程。因此，结构 图和信号流图作为一种数学模型，在控制理 论中得到了广泛的应用。
J s2 Bs
(f)
Eb (s) Kesm (s) (g)
c
(s)
1
i
m
(s)
(h)
图2-27 式(2.80)(e)~(h)子方程框图
10
按系统中各元件的相互关系，分清各输入量和输出量， 将各结构图正确地连接起来（图2-28）。
图2-28 位置随动系统结构图
11
略去La，系统结构图如图2-29所示：
8
Ia
(s)
U
a (s) La s
Eb (s) Ra
(2.80)(a)
e(s) r(s)c(s)
(b)
Us(s) Kse(s)
(c)
Ua (s) KaU s (s)
(d)
图2-27 式(2.80)(a)~(d)子方程框图
9
M d (s) KmIa (s) (e)
m(s)
M d(s) M L(s)
3
一 、控制系统的结构图
（一 ）结构图的概念 图2-24 RC网络的微分方程式为:
1
ur Ri C idt
uc
1 C
idt
也可写为:
uc
1 C
ห้องสมุดไป่ตู้ idt
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版)
《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到)()()(0s sU s sU RCs U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到02220101=++⋅u R u R dt du R CR i 对该式进行拉氏变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 0222101=++⋅Ru R u dt du R CR ii 对该式进行拉氏变换得到0)(2)(2)(2011=++⋅s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。
电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。
另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。
两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。
第9章 系统的信号流图
x ( n)
w(n)
b0 b1
y ( n)
z 1
b1
a1 a2
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1
通过加入变量w(n)，计算该系统的系统函数，可以得出与原系统相同的结 果 由以上例题可见，一个系统可以由不同的网络结构实现，在选择不同的 网络结构时，我们需要权衡考虑诸多方面的因素，最主要的就是数字计算的 复杂程度和硬件实现的花销。一般最希望网络中乘法器和延时支路尽可能少 ，这是因为乘法运算花费的时间较长，减少乘法器意味着提高运算速度，而 一个延时单元就相当于采用一个寄存器，减少延时单元就意味着减少存储电 路。另一方面，在用硬件实现数字滤波器时，有限寄存器长度(有限计算精 度)和滤波器结构关系密切，所以有时候希望选用对有限字长效应的影响敏 感度较低的网络结构，而宁愿舍弃乘法器和延时单元少的结构。下面我们将 介绍一些常用的网络形式，对IIR系统和FIR系统分开讨论。
H ( z ) n 0 h( n) z n
N 1
如果FIR的冲激响应长度为N，那么H(Z)就是Z-1的N-1次多项式，在z=0处有一 个N-1阶的极点，并有N-1个零点。FIR的实现结构也有多种形式，下面介绍其最 重要的几种网络结构
1、直接形式 N 1 n 若FIR的系统函数为 ，则相应的差分方程为 ， H ( z) h ( n ) z n 0 该式我们通常称为卷积和公式，由此，我们可得如下直接形式的网络结构。 N 1
b 1 az 1
则其信号流图如下
x ( n)
将其转置后有
y ( n) y ( n)
b
再按输入在左输出在右的习 惯可以画成
x ( n)
b
x ( n)
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
第九章拉普拉斯变换
于最左边极点的左边。
2021/3/11
16
例 X(s)(s1)1(s2)
求其可能有的所有的收敛域
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
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28
X (s)N D ( (s s) )b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 1 1 a b 1 1 s s a b 0 0
部分分式展开的第一步是把分母D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
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• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像 函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。
• 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 虚轴的一条自下而上的直线。
j Im
s平面 ×
×
jRe
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一、求解拉氏反变换的方法
1、留数定理；
√
2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未 知的拉氏变换，或它们的反变换。
X(s) 2 1s 2
Im {s}
s1 s2
s5 (s 1)(s 2)
×
×
RO : 1C Rse }{ 2 - 1
2
R e{s} 5
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9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X(+j)=F{x(t)e-t } =[x(t)e-t ]e-jtdt -
信号与系统-系统函数与信号流图_图文_图文
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
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x ( n)
w(n)
b0 b1
y ( n)
z 1
b1
a1 a2
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1
通过加入变量w(n)，计算该系统的系统函数，可以得出与原系统相同的结 果 由以上例题可见，一个系统可以由不同的网络结构实现，在选择不同的 网络结构时，我们需要权衡考虑诸多方面的因素，最主要的就是数字计算的 复杂程度和硬件实现的花销。一般最希望网络中乘法器和延时支路尽可能少 ，这是因为乘法运算花费的时间较长，减少乘法器意味着提高运算速度，而 一个延时单元就相当于采用一个寄存器，减少延时单元就意味着减少存储电 路。另一方面，在用硬件实现数字滤波器时，有限寄存器长度(有限计算精 度)和滤波器结构关系密切，所以有时候希望选用对有限字长效应的影响敏 感度较低的网络结构，而宁愿舍弃乘法器和延时单元少的结构。下面我们将 介绍一些常用的网络形式，对IIR系统和FIR系统分开讨论。
b1k b2 k a1k
a2 k
4、转置形式
根据转置定理，以上直接形 式，级联形式和并联形式的IIR 网络结构都由其对应的转置形式 ，以直接形式为例，画图如右:
x ( n)
b0 b1 b2
y ( n)
z 1 z 1
a1 a2
bM
z 1 a
N
四、FIR系统的网络结构
前面讨论了IIR的网络结构，IIR的实现必然需要涉及递归计算，而对于FIR系 统而言，它的实现一般是非递归算法，若FIR的系统函数如下
k 1
L
01
z 1
02
z 1
0 N 2
z 1 1 N 2 z 1 2 N 2
y ( n)
11
12
z 1 21
z 1 22
FIR系统级联形式的优点同IIR系统的级联形式
3、转置形式 根据转置定理，可以得出与直接形式和级联形式等效的转置形式，以直接形 式为例，有
b 1 az 1
则其信号流图如下
x ( n)
将其转置后有
y ( n) y ( n)
b
再按输入在左输出在右的习 惯可以画成
x ( n)
b
x ( n)
b
y ( n)
ab
z 1
ab
z 1
z 1
ab
例2：以上二阶系统，按转置定理 可以画为
y ( n)
b0
再按输入在左，输出在右的常规习惯 ，可以画成
三、无限长单位冲激响应(IIR)系统的网络结构
如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷 长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统(既有零 点又有极点,零极点模型)
1、直接形式 一个IIR线性时不变系统可以用差分方程表示为
Hale Waihona Puke y (n) k 1 ak y (n k ) k 0 bk x(n k )
L
a13 a23
1 z b
13
z
1
在上图中，我们假设N2=3，且将极点两两配对构成二阶的子系统，最后并联的方 式以实现H(Z)。如果有奇数个极点，则再并入一个一阶系统即可。和级联形式类 似，采用并联的结构可以灵活的将极点进行两两配对组合成子系统，并且可以通 过调整系数 ， ， 和 来减少有限字长效应的影响。此外可以用较少的存储单 元实现。
N M
对应的系统函数是
显然H(Z)可以写成
k b z Y ( z) k 0 k H ( z) X ( z ) 1 N ak z k M k 1
H ( z ) k 0 bk z
M
k
1 1 k 1 ak z k
N
1 1 k 1 ak z k
第九章
系统的信号流图
由前面的学习,我们知道系统的输入和输出关系可以用差分方程或系统函数 来表示，例如一个线性时不变系统可以用差分方程表示为：
y (n) k 1 ak y (n k ) k 0 bk x(n k )
N M
相应的系统函数则表示为：
k b z Y ( z) k 0 k H ( z) X ( z ) 1 N ak z k M k 1
2、信号流图所表示的是系统的运算结构，而不是系统实现的具体电路。
二、信号流图的转置定理
如果将一个系统的信号流图其中所有的支路反向，并将输入和输出位置互换，那 么倒转后的流图和原来的流图传递函数相同 例1：一个一阶系统，它的传递函数是
H ( z)
对应的差分方程为
y(n) ay(n 1) bx(n)
N
k b z k 0 k M
由于一个级联的线性非时变系统，其总的输入输出关系和子系统的级联顺序无关 ，因此将上式直接画为网络结构有两种等效的形式
x ( n)
b0 b1 b2 a1 a2
y ( n)
z 1 x(n 1) z 1
z 1 y (n 1) z 1
由第二张图知，两行延时支路有相同的输入 ，因此可以将两行并成一行，这样在实现中 就节省了个寄存器，对应的信号流图如下
z 1
x ( n)
h( N 1)
z 1
h( N 2)
z
1
z 1
h(2)
z 1
h(1)
h(0)
y ( n)
h(n 3)
3．线性相位FIR系统的网络结构
由于线性相位FIR滤波器的系数 ，因此直接形式的网络只需要 h( n) h(直接形式结构的乘法次 N 1 n) N/2(N为偶数)或(N+1)/2(N为奇数)次乘法，相比于普通 FIR 数N次减少了一半左右。当 时，FIR系统的直接形式的网络结构如下 ：
H ( z) A
其中
M M1 M 2
N N1 N2
如果将级联的实现看成如下的表达式
1 b1k z 1 b2 k z 2 H ( z ) A 1 a2 k z 2 k 1 1 a1k z
L
那么对应的网络结构图为
x ( n)
a11 a21
y ( n)
例如：一个二阶系统的系统函数为 对应的差分方程为
b0 b1 z 1 H ( z) 1 a1 z 1 a2 z 2
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n) b1x(n 1)
用加法器、常数乘法器和延时单元这三种基本运算单元可以将该二阶系统表 示成信号流图
z 1
x(n M )
bM aN
z 1
y (n N )
x ( n)
y ( n)
b0 a1 a2
y ( n)
x ( n)
a1 a2
b0
z 1 b z 1
1
z 1z 1 z 1z 1
b1 b2
b2
z 1
aN
bM
bM aN
z
1
z 1
2、级联形式 由系统函数
H ( z ) k 0 bk z k
H ( z ) n 0 h( n) z n
N 1
如果FIR的冲激响应长度为N，那么H(Z)就是Z-1的N-1次多项式，在z=0处有一 个N-1阶的极点，并有N-1个零点。FIR的实现结构也有多种形式，下面介绍其最 重要的几种网络结构
1、直接形式 N 1 n 若FIR的系统函数为 ，则相应的差分方程为 ， H ( z) h ( n ) z n 0 该式我们通常称为卷积和公式，由此，我们可得如下直接形式的网络结构。 N 1
而以上的差分方程和系统函数所表示的离散时间系统，要在计算机或专用硬 件上实现时，必须把以上关系变换为计算机上的算法。
所谓的算法，本质上是由一组基本运算或基本单元定义的，为了实现以上离 散时间系统，一般选择加法器、常数乘法器和延时单元作为基本的运算单元，即 由这些单元组成的网络结构来实现常系数线性差分方程所描述的系统。 通常，当某一线性时不变系统给定时，用来实现该系统的网络结构不是唯一 的，在本节的学习中，我们将看到有许多种结构都能实现输入与输出之间的相同 关系。更深入的，我们将学习虽然有些结构在理论上是等效的，或在无限精度条 件下，它们的输入输出特性相同，但是当计算精度受到限制时，这两种结构的特 性可能会大不一样，这就需要我们恰当的选择合适的网络结构来实现系统。 首先，我们介绍实现线性时不变系统所需的三种基本运算单元及其信号流图表示
N1
如果 N M ，则没有最 后一项。由上式可见， H(Z)可以分解为一阶和 二阶系统的并联组合， 如果部分分式展开为
对应的网络流图如下
x ( n)
a11 a21 b01
y ( n)
z 1 b11 z 1
b02
a12 a22
z 1 b12 z 1
b03
b0k b1k z 1 H ( z) k 1 1 a1k z 1 a2k z 2
x ( n)
b0
y ( n)
a1 a2
z 1
b1
x(n 1)
注意：
z 1 y (n 1) z 1
y (n 2) 1、信号流图中的节点既可以表示加法器，也可以表示分支点。所谓加法器 是指每个节点上的变量值都等于进入该节点的所有支路输出之和；所谓 分支点是指从某一节点引出的所有支路，其输入量都相等，即为该节点 上的变量值。
(n) h( N 1 n) (1). Nh 为偶数时
x ( n)
z 1
z 1
z 1
z 1 z 1
z 1
h(0)
z 1
z 1
h(2)
z 1
h( N 2 2) h( N 2 1)
h(1)
y ( n)
(2).N为奇数时