信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。

信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。

有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。

而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。

图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。

2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。

1． 根据系统方框图绘制将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。

从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。

若在方框图的比较点之前没有引出点，但在比较点之后有引出点时，只需在比较点之后设置一个节点即可，如图2-32（a ）所示；若方框图的比较点之前有引出点，就需要在比较点和引出点处各设一个节点，分别表示两个变量，两个节点之间的增益是1，如图2-32(b)所示。

图 2-32 比较点与节点对应关系系统结构图如图2-33所示，其对应的信号流图如图2-34所示。

图2-33 比较点与节点对应关系图2-34 系统信号流图2． 根据系统方程绘制信号流图 某线形系统由下方程组描述12aX X= 423eXbX X +=4324fX dX cX X ++=根据系统（2-55），首先确定接点 4,3,2,1X X X X ，然后绘制式（2-55）中各方程信号流图，如图2-35（a ）,(b), (c), 所示；最后将各个图连接起来，即得到系统的信号流图，如图2-35（d ）所示。

1X 为输入变量，4X 为输出变量。

图2-35 系统信号流图如果采用克莱姆法则求解，将输入变量 1X 留到方程右侧，其余移到方程左边经整理式（2-55）变为12aX X =0432=-+-eX X bX 0432=-+-eXX bX上述方程组的系数行列式为111400101111001X +X -=---X =∆-+-=-----=∆ac abd dcba fde f d c e b则有 1441)(X fde db c a X --+=∆∆=从上式求解过程可知，系数行列式与信号流图之间有一种巧妙的关系，首先作为传递函数分母的系数行列式∆ ，其中的两项恰巧与信号流图中的两各回路增益之和相对应，即)(de f +。

其次，作为传递函数分子系数行列式4∆ 的系数，其中的两项恰好与信号流图中的两个前向通道总增益之和相对应，即ac abd +。

这种对应关系，为我们直接从信号流图采用观察的方法，求区系统的传递函数提供了一般规律，这就是梅森公式的基本指导思想。

2.5.3 梅森公式由信号流图可以得到任意输入接点之间的传递函数，即任意两个节点之间的总增益。

任意两个节点之间传递函数的梅森增益公式为k nk P P ∆∆=∑=141式中：P 为从输入节点到输出节点的总增益（或传递函数）；n 为从输入节点到输出节点的前向通道条数；∑∑∑+++-=∆f e d c b a L L L L L L 1 为系统特征式，其中∑aL为系统流图中所有单独回路的增益之和；c bL L∑为所有两个互不接触回路的回路增益乘积之和；∑fedLL L 为所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；k P 为第k 条的前向通道增益；k ∆为第k 条前向通道的余因子，即在信号流图中，把与第k 条前向通道相接触的回路除去以后的∆ 值。

例2-11 如图2-36所示信号流图，求输入节点到输出节点的传递函数。

图2-36 例2-11 的系统信号流图解 根据梅森增益公式，从输入节点到输出节点之间，只有一条前向通道，其增益为43211G G G G P =有三个单独回路，即1321H G G L -=，2432H G G L -=，343212H G G G G L -=其回路之和为34321243121H G G G G H G G H G G La---=∑这三个回路都有公共点，所以不存在互不接触电路。

于是特征式为3432124312111H G G G G H G G H G G L a +++=-=∆∑因为这三个回路都和前向通道 接触，所以其余因子式 ，最后得到输入节点到输出节点的总增益P 即系统传递函数为343212431214321111HG G G G H G G H G G G G G G P P +++=∆∆=例 2-12 求图2-37所示信号流图的传递函数。

图2-37例 2-12的系统信号流图解 由图2-37知，系统有4个单独回路，分别为eghf L ch L bg L af L ====4321,,,其回路之和为ehgf ch bg af L L L L La+++=+++=∑4321只有1L 与 3L 回路互不接触，所以两两互不接触回路增益乘积为afch L L =31于是特征式为afch ehgf ch bg af +----=∆1有两个前向通道，分别为abcd P =1，ed P =2第一条前向通道与所有回路都接触，第二条前向通道与回路bg L =2 不接触，因此bg -=∆=∆1,121系统的总增益即传递函数为afchehgf ch bg af bg ed abcd P P P +-----+=∆+∆∆=1)1()(12211例2-13 如图2-38 所示为一个交叉反馈系统，求其开环传递函数。

图 2-38 例 2-13 的系统结构图解 系统相应的信号流图如图2-39所示。

分析信号流图，克制有5个单独回路，分别为2211)1)(1(5ss K s K L ++=，2212)1)(1(5ss K s K L ++=2213)1)(1(5ss K s K L ++=ssK L 141+-= ss K L )1(525+-=图2-39 例2-13的系统信号流图其增益之和为54321L L L L L La++++=∑没有互不接触回路，系统特征式为221212212212212215)1(5)1()1)(1(15)1(51)1)(1(5)1)(1(5)1)(1(51ss K s s K s s K s K s ssK ss K ss K s K ss K s K ss K s K L ++++++-=++++++-++-++-=前向通道有4条，分别为ssK P 111+=，)1(522ssK P +=2213)1)(1(5ss K s K P ++-=，2214)1)(1(5ss K s K P ++-=4个前向提到与所有的单独回路都接触，因此1,1.1,14321=∆=∆=∆=∆由梅森公式得系统传递函数为)1)(1(15)1(5)1()1)(1(10)1(5)1()1)(1(10)1(5)1(1)(1)(2121221212212144332211s K s K s K s s K s s s K s K s K s s K s s s K s K s K s s K s P P P P P s ++-++++++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++∆=∆+∆+∆+∆∆==Φ 对于单位负反馈系统，有)(1)()(s G s G s +=Φ式中)(s G 为系统的开环传递函数，则[]5)(5)51(10)(106)105()1)(1(5)1)(1(10)1(5)1()(1)()(2122121221112122121-+---+-+-+=++-++-+++=Φ-Φ=s K K s K K s K K s K K K K s K s K s s K s K s K s s K s s s s G熟悉了梅森公式以后，根据它求取系统得增益，比利用结构图更简便有效，特别是复杂得多环系统和多输入，多输出系统效果更著。

因此，信号流图得到了广泛得使用，并常用于控制系统得计算和辅助设计。