第四讲 损伤理论,荷载谱处理,应变疲劳
Ansys nCode疲劳分析
Smax Sa Sm Sa Smin
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DS
3.3 平均应力对疲劳寿命的影响
对于应力-疲劳寿命，平均应力的影响通常使用Goodman 或者 Gerber平均应力 修正理论 Goodman 平均应力修正理论假设一条直线
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3.2 缺口应力集中对疲劳寿命的影响
应力梯度影响可以通过Advanced Edit进行定义
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3 平均应力对疲劳寿命的影响
循环峰值应力范围(总应力变化)是影响疲劳寿命的主要因素
– 在应力循环中平均应力是第二个影响因素
在nCode中采用FKM的应力梯度法
– 确定校正系数
在雨流计数前得到有效应力分量：
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3.2 缺口应力集中对疲劳寿命的影响
− User:从查找表中用户自定义应力梯度校正 自定义格式:
Stress gradient correction factor file v1.0 Dimension=mm #Normalized stress gradient G, correction factor n StartCorrectionData 0,1 1,1.1 10,1.2 100,1.3 EndCorrectionData
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3.4 平均应力对疲劳寿命的影响
Sm Sa 1 Se Su
• Goodman 更保守 • 实际的数据往往介于Goodman 和Gerber之间
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疲劳载荷及分析理论
疲劳载荷及分析理论疲劳载荷及分析理论疲劳载荷谱( fatigue load spectrum 是建立疲劳设计方法的基础。
根据研究对象的不同，施加在对象上的疲劳载荷也是不同的，所以在应用时要依据某种统计分析方法和理论进行分析。
1 疲劳载荷谱1.1 疲劳载荷谱及其编谱载荷分为静载荷和动载荷两大类。
动载荷又分为周期载荷、非周期载荷和冲击载荷。
周期载荷和非周期载荷可统称为疲劳载荷。
在很多情况下，作用在结构或机械上的载荷是随时间变化的，这种加载过程称为载荷—时间历程。
由于随机载荷的不确定性，这种谱无法直接使用，必须对其进行统计处理。
处理后的载荷—时间—历程称为载荷谱。
载荷谱是具有统计特性的图形，它能本质地反映零件的载荷变化情况[] 。
为了估算结构的使用寿命和进行疲劳可靠性分析，以及为最后设计阶段所必需的全尺寸结构和零部件疲劳试验，都必须有反映真实工作状态的疲劳载荷谱。
实测的应力—时间历程包含了外加载荷和结构的动态响应的影响，它不仅受结构系统的影响，而且也受应力—时间历程的观测部位的影响。
将实测的载荷—时间历程处理成具有代表性的典型载荷谱的过程称为编谱。
编谱的重要一环，是用统计理论来处理所获得的实测子样[] 。
1.2 统计分析方法对于随机载荷，统计分析方法主要有两类：计数法和功率谱法[] 。
由于产生疲劳损伤的主要原因是循环次数和应力幅值，因此在编谱时首先必须遵循某一等效损伤原则，将随机的应力—时间历程简化为一系列不同幅值的全循环和半循环，这一简化的过程叫做计数法。
功率谱法是借助富氏变换，将连续变化的随机载荷分解为无限多个具有各种频率的简单变化，得出功率谱密度函数。
在抗疲劳设计中广泛使用计数法。
目前，已有的计算法有十余种之多，同一应力—时间历程用不同计数法编制出的载荷谱有时会差别很大。
当然，按照这些载荷谱来进行寿命估算或试验，也会给出不同的结果。
从统计观点上看，计数法大体分为两类：单参数法和双参数法[]0所谓单参数法是指只考虑应力循环中的一个变量，例如，峰谷值、变程（相邻的峰值与谷值之差），而双参数法则同时考虑两个变量。
工程材料的疲劳与损伤
工程材料的疲劳与损伤工程材料的疲劳与损伤疲劳与损伤是工程材料中常见的问题，它们对材料的性能和寿命有着重大的影响。
疲劳是指在反复加载作用下，材料发生渐进性的破坏和失效。
损伤则是指材料在外部载荷的作用下，发生的破裂、塑性变形以及物理、化学变化等。
疲劳与损伤现象在工程实践中非常常见，比如建筑物、桥梁、飞机等往往出现疲劳与损伤问题，导致其安全性能下降，甚至发生灾难性的事故。
因此，对于工程材料的疲劳与损伤进行深入研究，具有重要的科学意义和实际价值。
在疲劳和损伤的研究中，一个重要的概念是疲劳寿命。
疲劳寿命是指材料在特定加载条件下可以承受的循环次数，超过这个次数后材料就会发生疲劳失效。
而疲劳寿命的决定因素很多，包括材料的力学性能、载荷条件、应力幅值等。
因此，在设计工程结构时要考虑到材料的疲劳寿命，合理制定载荷条件，以保证结构的稳定性和安全性。
与疲劳相比，损伤更加复杂和严重。
损伤可以分为两种类型：镜面型损伤和裂纹型损伤。
镜面型损伤是材料表面的塑性变形和破坏，通常是由于应力超过材料的极限强度而引起的。
裂纹型损伤是材料内部的裂纹扩展，通常是由于外部载荷作用下的疲劳或冲击引起的。
裂纹的扩展会导致材料失效，并最终引发严重的事故。
为了避免损伤的发生，需要对材料进行定期的检测和维护，及时修复和更换受损的材料。
在工程材料中，疲劳和损伤是不可避免的，但可以通过一些方法来延长材料的使用寿命和减少损伤的发生。
一方面，可以选用优质的材料，具有较高的强度和韧性，能够承受更大的载荷，从而延长疲劳寿命。
另一方面，可以通过改变材料的表面处理和结构设计，减少应力集中和损伤的发生。
总之，工程材料的疲劳与损伤是一个复杂而重要的问题，对于确保工程结构的安全性和可靠性具有重要的意义。
为了提高材料的疲劳寿命和减少损伤的发生，需要深入研究材料的力学性能和疲劳机理，同时采取合理的材料选择、载荷设计和结构改进措施。
只有这样，才能保证工程结构的长期使用和可持续发展。
疲劳载荷及分析理论
疲劳载荷及分析理论在实际工程中，经常会遇到受到疲劳载荷作用的结构或材料，比如飞机、桥梁、汽车、机械设备等。
由于长期循环荷载的作用，这些结构或材料可能会出现疲劳破坏，从而对工程的安全性和可靠性造成影响。
因此，研究疲劳载荷及其分析理论对于提高工程结构的设计和可靠性至关重要。
疲劳载荷会导致结构或材料的疲劳破坏，通常表现为裂纹的产生和扩展。
为了预测和评估结构或材料的疲劳寿命，需要进行疲劳载荷及其分析理论的研究。
疲劳寿命是指结构或材料能够承受的循环载荷次数，即在一定的载荷水平下，能够承受的循环载荷次数。
疲劳试验是评估结构或材料疲劳寿命的一种方法。
1.载荷谱分析：载荷谱是指试验或实际应用中实测到的载荷的时程或频谱信息。
根据载荷谱的特性，可以对结构或材料的疲劳寿命进行预测和评估。
载荷谱分析可以通过实验或数值模拟得到。
2.疲劳寿命评估：根据结构或材料受到的载荷谱和材料的疲劳特性，可以对疲劳寿命进行评估。
评估疲劳寿命可以通过疲劳试验和数值模拟的方法得到。
3.疲劳损伤评估：疲劳损伤是指结构或材料在受到疲劳载荷作用下引起的裂纹的产生和扩展。
通过研究疲劳载荷和材料的疲劳特性，可以对结构或材料的疲劳损伤进行评估。
4.疲劳寿命预测：根据结构或材料的受载荷条件和材料的疲劳特性，可以对结构或材料的疲劳寿命进行预测。
疲劳寿命预测可以通过经验公式、计算模型和数值模拟等方法得到。
总之，疲劳载荷及分析理论是研究结构或材料在受到循环载荷作用下的疲劳破坏和失效机制的学科。
通过对疲劳载荷的分析和评估，可以预测和评估结构或材料的疲劳寿命，从而提高工程结构的设计和可靠性。
土木工程结构疲劳损伤评估教案
土木工程结构疲劳损伤评估教案教案一：土木工程结构疲劳损伤评估引言：在土木工程领域，结构的疲劳损伤评估是一项关键的任务。
由于长期受到外界荷载作用，结构材料可能会出现损伤，进而影响结构的稳定性和安全性。
因此，了解土木工程结构疲劳损伤的评估方法和步骤对于工程设计和维护至关重要。
本教案将介绍土木工程结构疲劳损伤评估的相关知识。
一、疲劳损伤1.1 什么是疲劳损伤疲劳损伤是指由于结构长期受到循环荷载的作用，导致材料或构件出现裂纹、变形、断裂等问题。
这种损伤不会立即出现，但随着荷载的重复作用，逐渐累积并导致结构的破坏。
1.2 疲劳损伤的原因疲劳损伤的主要原因包括结构自重、荷载变化、温度变化、振动等。
这些因素导致结构在使用寿命内经历多次荷载系数变化，从而引发材料的疲劳破坏。
二、疲劳损伤评估方法2.1 疲劳荷载谱疲劳荷载谱是一种通过分析实际工况下的荷载变化规律，制定相应的疲劳试验荷载的方法。
通过采集实际工程场景下的数据，并进行频域分析和统计分析，确定疲劳荷载谱，从而提供结构疲劳评估的基础。
2.2 疲劳寿命预测疲劳寿命预测是通过结构的应力应变分析，以及基于材料疲劳强度参数的计算，来评估结构在特定荷载下的疲劳寿命。
该方法可以通过提前了解结构的疲劳失效风险，采取相应的维修和保养措施，延长结构的使用寿命。
2.3 监测与检测结构的疲劳损伤评估还需要依赖监测与检测手段。
传感器的应用可以帮助及时收集结构的变形、应力等数据，通过与疲劳荷载谱进行对比，确定结构是否存在疲劳损伤，并进行进一步评估。
三、课程设计3.1 教学目标1) 了解土木工程结构疲劳损伤评估的重要性；2) 理解疲劳损伤的定义、原因和影响；3) 掌握疲劳荷载谱的建立方法；4) 熟悉疲劳寿命预测的基本原理；5) 掌握结构监测与检测的方法和技术。
3.2 教学内容1) 疲劳损伤的定义和分类；2) 疲劳荷载谱的建立方法；3) 疲劳寿命预测的原理和步骤；4) 结构的监测与检测技术介绍；5) 实例分析与讨论。
连续损伤力学 ppt课件
损伤-断裂全过程通常可分为两阶段：第1阶段是 损伤的起始、损伤场的形成与发展，直到断裂起始； 第2阶段是断裂发展过程直到固体（结构）完全破坏。 对固体的破坏而言，前一阶段称为断裂潜伏阶段，后 一阶段称为断裂发展阶段。下面主要讨论第1阶段的 损伤发生和损伤场的发展，直到断裂起始。
设应力是位置r和时间t的函数，即：
PPT课件 10
Kachanov方程（6）等价于下列用损伤度表示脆性 损伤演变过程：
A(
1
)n
（7）
（a）恒载荷情况 对于均匀拉伸杆受恒载荷，由于脆性材料的变形 很小，因则恒载荷意味着恒应力，设σ =σ0 。积分式 （6），利用初始条件：t=0时，ψ=1，有：
得到ψ-t关系：
tc (1 c )t f
n1
（11）
12
PPT课件
（b）连续变化载荷情况 设均匀拉伸杆受连续载荷，应力是时间的函数， 即σ =σ（t） 。Kachanov方程写为：
(t ) n A[ ]
（12）
利用式（9）的结果，设想脆断时间是应力的连 续函数，即：
t f t n 1 A
1 n 1
注意到，在y=h0处， σ =σmax ，有ψ =ψmin 。当 ψmin（h0）=0时，在y=h0处发生断裂。因此，由上式 可以导出断裂起始时间：
M nm t fi n 1 A n h0 I0
n 1
例2 等矩形截面梁受一般弯曲 设弯矩M=M（x），x是沿梁长度方向的坐标，有 20 PPT课件 应力场：
s
多级载荷下的断裂时间为：
t tk
f k 1
s
（2）非均匀损伤场 如果弹性固体受应力场是均匀的，如等截面的受 拉杆，其损伤从理论上说也是均匀的。加载过程中， 损伤场将均匀增强，直到发生瞬时破坏。
累计损失理论
累计损失理论疲劳累积损伤理论研究综述 0 引言疲劳累积损伤理论是疲劳研究的关键问题之一。
对等幅载荷，用材料的S-N曲线可以估算出不同应力水平下至破坏的循环数。
但大多数实际的工程结构或机械的失效是由一系列变幅循环载荷产生的疲劳累积损伤造成的，无法用S-N曲线[2]直接计算寿命，此时就需要借助疲劳累积损伤理论。
疲劳累积损伤理论已经有数十年的发展，众多学者提出了很多模型，大致可以分为确定性的模型和基于可靠性设计发展起来的概率性模型。
确定性模型又可[3]分为线性损伤累积理论和非线性累积损伤理论。
有些学者根据各个理论的原理和特点，又将非线性累积损伤理论分为五类:基于损伤曲线法的非线性累积损伤理论;基于材料物理性能退化概念的非线性累积损伤理论;基于连续损伤力学概念的非线性累积损伤理论;考虑载荷间相互作用效应的非线性累积损伤理论;基于能量法的非线性累积损伤理论。
虽然模型众多，但Miner理论由于其简单实用性，仍然是最具工程应用价值的模型。
寻找一种既简单又符合实际疲劳累积发展规律的模型是当前疲劳研究的重要课题。
1 疲劳累积损伤理论任何一个疲劳累积损伤理论必定以疲劳损伤D的定义为基石，以疲劳损伤的演化为基础。
一个合理的疲劳累积损伤理论，其疲劳损伤D应该有比dDdN/ 较明确的物理意义，有与试验数据比较一致的疲劳损伤演化规律，以及使用比较[5]简单。
[3]构造一个疲劳累积损伤理论，不论它有效与否，必须定量地回答三个问题:1. 一个载荷循环对材料或结构造成多大损伤;2. 多个载荷循环时损伤是如何累加的;3. 失效时临界损伤有多大。
不同的疲劳累积损伤理论对上述三个问题有不同的回答。
下面对现在常用的一些疲劳累积损伤理论进行分类叙述。
1.1 线性疲劳累积损伤理论线性累积损伤理论是指在循环载荷作用下，疲劳损伤与载荷循环数的关系是线性的，而且疲劳损伤可以线性累加，各个应力之间相互独立和互不相关，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构件就发生疲劳破坏。
02-疲劳载荷谱处理讲解
N(Ude)——超越Ude的平均次数/单位长度 p1，p2——出现非暴风紊流和暴风紊流的比例
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第2章 疲劳载荷谱
2.1.1 连续突风载荷 2º 飞机结构的响应
飞机对大气紊流的响应 任务剖面
相应的超越频率 ⎡ ⎛ ∆n ⎞ ⎛ ∆n ⎞⎤ ⎟ ⎜ ⎟ N (∆n) = N (0) ∆n ⎢ p1 exp⎜ ⎜ − A b ⎟ + 15 p2 exp⎜ − A b ⎟⎥ ⎢ ∆n 1 ⎠ ∆n 2 ⎠ ⎥ ⎝ ⎝ ⎣ ⎦
第2章 疲劳载荷谱
2.1.1离散突风载荷 2º 突风缓和因子
假定突风形状为： U=
U de 2 2π s ⎞ ⎛ 1 − cos ⎜ ⎟ 25c ⎠ ⎝
飞机在突风作用下动态平衡方程[3,5]：
1 1 U (t ) α 2 α M + ρVx SC y (t )V y = ρVx SC y (t ) dt 2 2 Vx dV y
离散突风模型 连续突风模型
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第2章 疲劳载荷谱
2.1.1 突风载荷
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第2章 疲劳载荷谱
2.1.1离散突风载荷
离散突风模型认为突风是一次一次独立地来到的。
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第2章 疲劳载荷谱
伪随机数
伪随机数(Pseudo-Random Number) 是按某种规律产生的 均匀分布的数的集合。试图用它模拟现实世界中的随机数。 定义： 取n个自然数m1，m2，……mn，其中1≤mi≤n(i∈n)， 且mi不重复，使其随机排列，则称n为该随机数列的周 期，即有mi＝mi+n。 产生伪随机数的方法有： (1) 物理方法：用机械的办法产生白噪声 (2) 查表法 (3) 数学方法：加同余法、乘同余法、混合同余法等
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第四讲损伤理论，荷载谱处理，应变疲劳上节概述p-S-N曲线，失效率，存活率疲劳数据处理，正态分布，标准正态分布检验数据是否服从正态分布，正态分布坐标纸正态分布存在的问题：不能反映构件疲劳寿命有一个大于等于零的下限。
威布尔分布，与正态分布的比较威布尔分布坐标纸回归方程，最小二乘法相关系数，起码值回归分析的基本方法损伤理论疲劳积累损伤理论是构件在变幅疲劳荷载作用下疲劳损伤的积累规则和疲劳破坏的准则。
疲劳积累损伤理论回答下述三个问题1．一个荷载循环对材料或结构造成的损伤是多少？2．多个荷载循环时，损伤是如何积累的？3．失效时的临界损伤是多少？1）线性疲劳积累损伤理论线性疲劳积累损伤理论假设在循环荷载作用下，疲劳损伤是可以线性累加，各应力之间相互独立，当累加损伤到某一数值构件发生疲劳破坏。
Palmgren －Miner （P －M ）线性疲劳积累损伤准则若构件在某恒幅应力水平S 作用下的疲劳寿命为N ，则经受n 次循环时的损伤为： Nn D =构件在应力水平S i 作 用下经受n i 次循环的损伤 为D i = n i /N i ，在k 个应力 水平作用下的总损伤为： ∑∑====ki iik i i N n D D 11破坏准则：11==∑=ki iiCR N n DMiner 疲劳积累损伤理论没有考虑荷载作用的先后次序。
材料“锻练效应”（training effect ）一般，高－低加载顺序临界积累损伤值D CR 小于1，低－高加载顺序临界积累损伤值D CR 大于1。
N 1 N 2 S 1S 3S maxNS 2N 3变幅拉－压疲劳寿命对于随机荷载，按Miner 理论计算破坏时的临界损伤值D CR 接近于1。
Manson 双线性模型Manson 在修正Miner 准则时提出的两级疲劳加载时的疲劳寿命预测公式η⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11221N n N nη：与疲劳加载顺序相关的参数当疲劳加载从高到低时0 < η < 1，反之η > 1。
即该模型实质上是将第一级应力水平下的疲劳损伤等效为第二级应力水平下引起的损伤。
且在等幅加载或三级以上疲劳加载下并不适用。
2）非线性疲劳积累损伤理论Carten －Dolan 非线性疲劳积累损伤准则Carten －Dolan 从疲劳破坏过程的损伤微观物理模型出发，给出材料经受n 次循环时的损伤为 d c r nm D =m ：材料损伤核数目r ：损伤发展速率，正比于应力水平 c 、d ：材料常数则构件在k 个应力水平作用下的总损伤为 d i c i ki i ki i r m n D D ∑∑====11临界疲劳损伤：d c CR r m N D 111=N 1：作用的荷载系列中最大一级荷载所对应的疲劳寿命 破坏准则：d c d i c i ki i r m N r m n D 1111==∑=疲劳损伤核在后续加载过程中不会消失，因此m i = m 1 d d i ki i r N r n 111=∑=损伤发展速率r 正比于应力水平S ，r i ∝ S i1111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=di ki i S S N n Carten －Dolan 模型实质上是将任意应力水平S i 下循环n i 次所引起的材料损伤等效为最大一级荷载S 1作用n ie 次所引起的损伤di i ie S S n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1Carten －Dolan 基于疲劳实验数据建议 4.8 高强度钢 d =5.8 其它疲劳积累损伤理论的应用例一，某构件可用的S -N 曲线为S 2N = 2.5⨯1010，设计寿命期间的荷载谱如下表，试估计构件不发生疲劳破坏可承受的最大应力水平解：设选定构件后的最大应力为S 1，各级应力分别为S 2 = 0.8S 1、S 3= 0.6S 1、S 4 = 0.4S 1，相应破坏寿命21101105.2S N ⨯=，2110210906.3S N ⨯=，2110310944.6S N ⨯= 2110410625.15S N ⨯=按Miner 准则估算 11==∑=ki iiCR N n D110625.15510944.65.010906.31.0105.205.0214214214214=⨯+⨯+⨯+⨯S S S S 解出：S = 151.17MPa所选构件的最大应力应不超过151.17MPa 。
例二，某构件的S -N 曲线为S 2N = 2.5⨯1010，如实测一年内所承受的典型应力谱如下表，试估计其寿命。
解：将典型应力谱作为一个循环块，则各年构件所承受的循环荷载是该典型应力谱的重复，设构件寿命为λ年，则总损伤 ∑==41i iiN n D λ 按Miner 准则估算 141==∑=i iiN n D λ 解出：λ = 8.27年疲劳积累损伤理论解决的两类问题1）已知设计寿命期间的荷载谱，确定应力水平 2）已知典型周期内的应力谱，估算使用寿命2．疲劳荷载谱处理作用在结构上的荷载按结构的反应可分为静力荷载和动力荷载。
动力荷载包括偶然荷载和大部分可变荷载，如风载、波浪荷载、吊车荷载等。
疲劳荷载按幅值和频率可分为等幅、变幅和随机荷载。
问题：如何将随机荷载谱等效转换为变幅或恒幅荷载谱，以便利用以前的方法处理问题。
循环计数法：将不规则的、随机的荷载－时间历程转化为一系列循环的方法。
雨流计数法适用于以典型荷载谱段为基础的重复历程。
雨流计数法方法如下1）由随机荷载谱中选取适合计数的、最大峰或谷处起止的典型段，如图1－1’段（最大峰起止）或2－2’段（最大谷起止）。
2）将谱曲线旋转900放置并将荷载历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或谷处开始往下流。
如无屋顶阻挡则雨滴反向。
3）记下雨滴流过的最大峰、谷值，作为一个循环。
Stt SStS图示第一次雨流，循环荷载变程ΔS ＝ 5-(-4) = 9，平均荷载 S m = [5+(-4)]/2 = 0.54）从荷载历程中删除流过的部分，对剩余历程段重复以上雨流记数，直至无剩余历程为止。
上述雨流法结果如下表荷载谱如是应力，则雨流记数法得到应力变程ΔS 和平均应力S m ，因此雨流记数法是二参数记数。
与其它记数法相比，雨流记数法的记数结果均为全循环。
4．不同荷载间的转换记数后的多级荷载可按需要进一步简化为有限的荷载级。
荷载间的转换应遵守损伤等效原则。
设构件在S 1下循环n 1次所造成的损伤与构件在S 2下循环n 2次所造成的损伤相等，由Palmgren －Miner 线性疲劳积累损伤准则有 2211N n N n = )(1212N N n n =荷载间的转换将造成与真实情况的差别，因此荷载转换次数越少越好。
应变疲劳1．应力应变关系 Remberg －Osgood 模型 np e K E 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=σσεεε 稳态循环曲线的数学描述实验结果表明稳态循环曲线中循环应力与塑性应变可用幂函数近似描述 n ap a K ''=)(εσσa ：循环应力幅值；εap ：循环塑性应变幅值；K ’：循环强度系数；n ’：循环应变硬化指数。
由此得到的稳态循环σ-ε曲线的近似表达式 n a aap ae a K E '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=+=1σσεεε Eaae σε=， n a ap K '⎪⎭⎫⎝⎛'=1σε2．滞后环曲线 Massing 假设假设滞后环曲线与稳态循环应力－应变曲线几何相似，即在σa -εa 坐标系中的σa 、εa 分别为∆σ-∆ε坐标系中的∆σ/2和∆ε/2，滞后环曲线为n K E '⎪⎭⎫⎝⎛'∆+∆=∆1222σσε或： n K E '⎪⎭⎫ ⎝⎛'∆+∆=∆122σσεE e σε∆=∆， n p K '⎪⎭⎫ ⎝⎛'∆=∆122σε满足Massing 假设的材料称为Massing 材料3．变幅循环下的σ-ε响应一般，对随机荷载可用典型谱描述，如下例0－1段，首次加载，应力应变路径为稳定循环应力－应变曲线 n K E '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=1111σσε 由此可解出应力σ11－2段，1处荷载反向变程，应力应变路径为滞后环曲线 n K E '---⎪⎭⎫⎝⎛'∆+∆=∆121212122σσε 2处的应力应变2112-∆-=εεε， 2112-∆-=σσσ2－3段，2处荷载反向变程，∆σ2－3按滞后环曲线求解，3处的应力应变3223-∆+=εεε， 3223-∆+=σσσ3－4段，2－3－2’形成封闭环，其后的响应按1－2－4计算 n K E '---⎪⎭⎫⎝⎛'∆+∆=∆141414122σσε 4114-∆-=εεε， 4114-∆-=σσσ 其余类推变幅循环下的σ－ε响应计算1）第一次加载以循环应力－应变曲线描述 n K E '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=1111σσε 2）后续反向以滞后环曲线描述 n K E '⎪⎭⎫⎝⎛'∆+∆=∆122σσε且： )1(1+-+∆±=i i i i εεε )1(1+-+∆±=i i i i σσσ加载变程用“+”，卸载变程用“－”。
3．应变－寿命（ε-N ）曲线按标准实验方法，在R = -1对称循环下得到的应变－寿命曲线。
荷载以应变幅εa 表示，寿命以反向次数2N 表示。
1）将总应变幅分为弹性应变幅εae 和塑性应变幅εap E a ae σε=， ae a ap εεε-=则lg εae －lg(2N )，lg εap －lg(2N )呈线性关系，即 b fae N E )2(σε'=c f ap N )2(εε'=σf ’：疲劳强度系数（应力量纲） b ：疲劳强度指数 εf ’：疲劳延性系数 c ：疲劳延性指数一般金属材料，b = -0.06～-0.14，估计时取－0.1。
c = -0.5～-0.7，常取-0.6作为典型值。
ε-N 曲线（Manson -Coffin 公式） c f b fa N N E)2()2(εσε'+'=长寿命段，以弹性应变幅εae 为主，εap 可忽略 b fae N E)2(σε'=， 或：11C N ae =αε （幂函数式）短寿命段，以塑性应变幅εap 为主，εae 可忽略c f ap N )2(εε'=， 或：22C N ap =αε2）当εae = εap 时有cb f f t E N -⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=12σε2N t ：转变寿命N N lg2Nlg εa2N t寿命大于2N t ，弹性应变为主，属于应力疲劳。
寿命小于2N t ，塑性应变为主，属于低周应变疲劳。