工程力学第1节 力在直角坐标轴上的投影
工程力学第三章-测控
若三轮推车如图所示。已知
z
AH=BH=0.5m，CH=1.5m，
EH=0.3m，ED=0.5m，荷载 G=1.5kN。试求A、B、C三轮所 受到的压力。
解 1）作出受力图 2）并标上直角坐标系 3）列力系的平衡方程求解
B
H E
A x
FA
D FB
G
y C FC
∑Mx(F)=0， FC·HC－G·DE=0 取z轴取为小纵车坐为标研，究平对板象为xy平面， FC=G·DE /HC=1.5kN0.5m/1.5m=B0为.5k坐N标原点，BA为x轴。 ∑My(F)=0， G·EB-FC·HB-FA·AB=0 FA=(G·EB-FC·HB)/AB =(1.5kN0.8m-0.5kN0.5m)/1m=0.95kN ∑F若BF=z重=G0物，-F放C置-FFA过A＝+偏F1B.，5+k致FNC-使-0W.F95B=为k0N负-0值.5，kN则=小0.0车5k将N会翻倒。
A x
∑Fy=0 FA－Fcoscos=0
∑Fz=0 Fsin－G=0
DF
B y
FB
O
FA G
解上述方程得
F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN
FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
第三节 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形。 为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力 对轴之矩的概念。
z
现以关门动作为 例，图中门的一边有 固定轴z。
O
y
x
在A点作用一力F，为度量此力对刚体的转动效应，可将力 F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力 Fz=Fsinβ；另一个是在与转轴z垂直平面上的分力Fxy=Fcosβ。
工程力学(高教版)教案：4.1 力的投影与分解
第四章 空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。
按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。
第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。
过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。
应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
空间汇交力系
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
间接（二次）投影法
例3-1 在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F，
如图 a）所示。试求该力在x、y、z轴上的投影。
解：方法一：直接投影法。如图 b）所示
cos cos cos 3
例3-2
已知： 求：力 在三个坐标轴上的投影.
解：
例3-3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
求：杆受力及绳拉力 解： 画受力图，列平衡方程
例3-4
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
Fx 0
Fy 0
Fz 0
（拉）
工程力学
3
则力在三轴上的投影为：
Fx F cos
3F 3
Fy F cos
3F 3
Fz F cos
3F 3
方法二：间接投影法。如图c)所示
sin 6
3
cos 3
3
sin cos 2
2
根据二次投影法，得力在三轴上的投影为：
Fx F sin cos
3F 3
Fy F sin sin
3F 3
Fz F cos
3F 3
结果完全一样。
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
cos( FR
,i )Fx FR来自os( FR,j)
p18-力在平面直角坐标轴上的投影(精)
在直角坐标系中，力在轴上的投影和 力沿该轴的分力的大小相等。因此，力F 沿平面直角坐标轴分解的表达式为
b2
B
Fy
a2 A
F
F=Fx+Fy=Fx i+Fy j
式中：i、j——坐标轴x、y正向的单位矢量。 j
第18讲
Байду номын сангаас
力在平面直角坐标轴上的投影
主讲教师：李桐栋
江苏建筑职业技术学院 微课研制： 河北水利电力学院
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化\力在坐标轴上的投影
3−1−3 力在坐标轴上的投影
1. 力在坐标轴上的投影的概念
b2
y
B
在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy。 Fy 力F在x轴和y轴上的投影，分别记作Fx、 a
F1x=F1cos 45°= 100 N×0.707=70.7N F1y=F1cos 45°= 100 N×0.707 =70.7N
F2x=－F2cos 30°=－100 N×0.866 =－86.6N F2y=－F2cos 60°= －100 N×0.5= －50N F3x=F3cos 90°= 0
i
a1
Fx
b1
x
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化\力在坐标轴上的投影
例3−1 分别计算图示各力在x轴和y轴上的投影。已知F1= F2=100N，F3=150N， F4=200N。
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化\力在坐标轴上的投影
Fx F cos 解 由公式 ， F y F cos 可算出各力在x轴和y轴上的投影分别为
工程力学(第二版)课后答案
1－1五个力作用于一点O，如图示。
图中方格的边长为10mm 。
试求此力系的合力。
解题思路：（1）由式（1－13）求合力在直角坐标轴上的投影；（2）由式（1－14）求合力的大小；（3）由式（1－15）求合力的方向。
答案：F R ＝669.5N , ∠(F R，i )＝34.901－2如图示平面上的三个力F1＝100N，F2＝50N，F3＝50N，三力作用线均过A点，尺寸如图。
试求此力系的合力。
解题思路：（1）由式（1－13）求合力在直角坐标轴上的投影；（2）由式（1－14）求合力的大小；（3）由式（1－15）求合力的方向。
答案：F R ＝161.2N , ∠(F R，F i)＝29.701－3试计算下列各图中的力F对点O之矩。
解题思路：各小题均由式（1－16）求力矩。
答案：略1－4如图所示的挡土墙重G 1＝75 kN ，铅直土压力G 2＝120 kN ，水平土压力F p ＝90 kN 。
试求三力对前趾A 点之矩的和，并判断挡土墙是否会倾倒。
解题思路：（1）由式（1－16）求三力对前趾A 点之矩的代数和； （2）若其值为负（顺时针转），则挡土墙不会翻倒。
答案：∑M A ＝－180kN.m ，不会倾倒。
1－5如图所示，边长为a 的正六面体上沿对角线AH 作用一力F 。
试求力F 在三个坐标轴上的投影，力F 对三个坐标轴之矩以及对点O 之矩矢。
解题思路：（1）由式（1－13）、（1－14）、（1－15）求合力的大小和方向； （2）由式（1－25）求力对三个坐标轴之矩； （3）由式（1－26）求力对坐标原点之矩。
答案：M x ＝0，Fa M y 33＝，Fa M 33z ＝－, k Fa j Fa M O 3333-＝1－7试画出下列各图中物体A ，构件AB 的受力图。
未画重力的物体重量不计，所有接触面均为光滑接触。
解题思路：（1）画出研究对象的轮廓形状； （2）画出已知的主动力；（3）在解除约束处按约束的性质画出约束力。
《理论力学》第一章 力的分解与力的投影
n)
Fx i Fy j (Fxi i ) (Fyi j ) ( Fxi )i ( Fyi ) j
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 Fy Fx cosα , cos FR FR
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， F2 y F = 300 N，F = 100 N，F = 250 N。
2 3 4
解：
根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
F1
60
Fx Fxi F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
例题
平面力系中的力矩
如图所示圆柱直齿轮，受到啮
O r
合力 Fn 的作用。设 Fn=1400 N 。压
h
力角 α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）
的半径 r = 60 mm，试计算力 Fn 对
于轴心O的力矩。
第一章
静力学的基本公理与受力分析
例题
工程力学课程标准-2019
工程力学课程标准一、课程性质工程力学是一门专业学习领域课程，是机电专业的一门必修基础课。
工程力学是将力学原理应用于有实际意义的工程系统的科学。
本课程的目的是使学生建立对于工程力学的整体认识，掌握力学的最基本概念、理论和方法；了解现代设计技术原理，了解力学在工程中的作用。
为高等学校工科学生提供必备的现代力学基本素质教育，培养学生在工程中认识、提出力学问题，并利用力学知识研究、解决问题的素质和能力。
二、设计理念加强工程观念，结合工程实际问题对学生进行提出问题、分析问题、解决问题的能力培养，学习如何将具体的工程实际问题抽象为力学模型的方法。
在教学过程中，突出运用工程力学知识解决工程实际问题的主线，有目的的选择与工程实际和日常生活有关的例题，在讲解例题时突出对实际问题的简化、建模等过程。
引导学生注意观察周围的实际工程构件及其运动状态，培养学生运用所学的基本理论和方法去分析和解决工程实际问题的能力。
三、设计思路《工程力学》是机械设计的基础，基本思路是：根据本课程对应的工作任务，将工作过程引入教学，培养学生的综合职业能力；以机械零件的受力分析以及强度校核为训练载体，依据机械设计中所需要的知识归纳出具有普遍适应性的学习情境，便于学生的学习和理解。
四、课程衔接1前导课程高等数学2 平行课程机械原理与零件、机械制造技术基础3 后续课程机械设计基础实训、毕业设计五、课程培养目标学习本课程是为了机械设计打下必要的理论基础，依据教学任务和教学基本要求使学生掌握基本知识，进而学会分析问题的基本方法。
具体描述如下：1．专业能力目标（1）通过理论力学方面知识的学习，使学生能够对机械运动中零件的受力进行分析（2）通过对材料力学方面知识的学习，使学生能够正确的选择机械零件使用的材料（3）为后续课程机械设计打下必要的基础2．方法能力目标(1）具有较好的学习新知识和技能的能力（2）具有较好的分析问题和解决问题的能力（3）具备查找手册、各类学习资料的能力3．社会能力目标（1）具有较强的与人交流和沟通的能力（2）具有较强的组织和团队协作能力（3）具有较强的敬业精神和良好的职业道德六、课程教学内容设计将课程内容以工作过程为主线，按照“设计准备—设计方案—设计制作—设计总结”四个工作过程进行任务划分展开教学实施。
力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
黄 河 水 利 职业技术学院
授 课 日 期 授 课 班 级 课题与主要 内
．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ． 装 ． ．． ．． ．． ．． ．． ．． 订 ． ．． ．． ．． ．． ． 线 ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．．
力对轴的 矩的计算 是解决空 间问题的 关键
（4）F 作用面不在与轴垂直的平面内 ，也不与轴平行或相交 a、 力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的 交点的矩。 即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d 先求出力 F 在垂直于 z 轴的平面上的投影 Fxy.。然后按平面上力对 O 点之矩进行计算。
§2 力对轴之矩 1、定义： 力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。 2、力对轴之矩的求解 （1）F 作用平面与轴垂直 mz(F) = mo(F) =±Fd （2）F 作用平面与轴垂直并与轴正交 mz(F) = 0 （3）F 作用面与轴共面（F 与 z 轴平行） mz(F)=0 （4）F 作用面不在与轴垂直的平面内 ，也不与轴平行或相交 a、力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的 交点的矩。 即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d b、 先求出力 F 沿三个直角坐标轴的分力 Fx,Fy,Fz， 然后根据力对轴之矩 的定义和合力矩定理进行计算 §3 空间力系的平衡
本节讲解力 在空间直角 坐标轴上的 投影和力对 轴 矩 之
容 要 求
教 学 目 的 与
教学重、 难点 布 置 作 业
工程力学3.1到3.3
2．合力矩定理 设某空间力系由 F1、F 2、…、Fn组成，其 合力为FR，可以证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之 矩的代数和。这就是空间力系的合力矩定理。其数学表达式为
Mz（FR）=∑Mz(Fi)
（3-5）
Fz F cos
（3-3）
其中，cosα、cosβ和cosγ称为力F的方向余弦，并 且满足关系：cos2α+cos2β+cos2γ=1。
3．1 力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
例3-1 在图3-4a中，F1=1000N，F2=2500N，该两力 矢端坐标值分别为F1(-4,2,0)，F2(-4,3,2)。试求两力在三 个坐标轴上的投影。
F1x F1 cos1 1000 (
4 )N 894N 42 22
F1y F1 cos 1 1000
2 N 447N 42 22
F1z F1 cos1 1000 cos 90 N 0N
3．1 力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
2）求F2的投影。设F2与x、y和z轴正向的夹角分别 为α2、β2和γ2，则
2 N 447N 42 22
F1z F1 cos1 1000cos90 N=0N
设F2xy与y轴正向的夹角为φ2(见图3-4b)，将F2xy再投影到x、
y轴上，得
F2 x
F2xy sin 2 2320 F2y F2xy cos2 2320
4 N 1857N 32 342
若已知力F在三个坐标轴上的投影，也能求出力F的大小 和方向，由图3-1的正六面体对角线与棱边的关系，得
2.2力在坐标轴上的解析
y
A
θ B1 x
a
Fxy
b
其大小为： Fxy＝Fcosθ
2.2.3 力在直角坐标轴上的投影
1．直接投影法：
已知力F 和各坐标轴
正向间夹角为α，β，γ
γ α β
（称为F的三个方向角）
则：力F在空间直角坐标轴上的投影为：
Fx Fcos Fy Fcos Fz Fcos
这称为直接投影法。
FR ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi )
合力的方向:
2
cos( F , i ) Fxi / FR
cos( F , j ) Fyi / FR
1 2
R
cos( F , k ) Fzi / FR
作用线：必通过力系的汇交点。
特例：平面汇交力系:
在Oxy坐标系中，恒有：
FRz 0
F
zi
0
则平面汇交力系合力的大小：
FR ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
合力的方向:
cos( F , i ) Fxi / FR
cos( F , j ) Fyi / FR
2.3.2 平衡的解析条件---平衡方程
1.空间汇交力系 汇交力系平衡的必要与充分条件是合力 FR等于零。 即：
2.平面汇交力系
令力系所在平面与oxy平面重合，则，
F 0
z
因此有：平面汇交力系的平衡方程为：
F F
x y
0 0
——平面汇交力系的平衡方程
小结： 空间汇交力系: 有三个独立平衡方程，可以 求解三个未知量; 平面汇交力系: 只有两个独立方程，只可以 求解两个未知量。
3． 求解汇交力系平衡问题的方法和步骤
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fx
x
o
F
y
Fy
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
二次投影法
z
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
力的正交分解
Fz
F
Fx
x
o
Fy
y
Fxy
i 、j 、 k 分别为x、y、z 方向的单位矢量，若以 F ﹑ ﹑ 分别表示 F 沿直 F F x y z
FZ F sin
10sin 20 kN 3.42kN
0
Fn F cos 9.4kN
由二次投影法得
Fx Fn sin 3.97kN
Fy Fn cos 8.52kN
例4-2 如图所示，在数控车床上加工外圆时， 已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的 三个分力为：Fx = 300 N，Fy = 600 N，Fz = 1500 N。 试求合力的大小和方向。
1643 N
合力的大小为
F F F F 1643N
2 x 2 y 2 z
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
F
Fy
Fz
Fx 300 o arccos arccos 79 29 F 1643 Fy 600 o arccos arccos 68 35 F 1643 Fz 1500 arccos arccos F 1643 o arccos(0.9130 ) 155 55
角坐标轴 x、y、z 的三个正交分量，则
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
注意
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx arccos F Fy arccos F Fz arccos F
力的投影和分量的区别： 力的投影是标量，而力的分量是矢量； 对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
例4-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮 合力F =10 kN，齿轮压力角 = 20º ，螺旋角 = 25º 。 试计算齿轮所受的圆周力Ft﹑轴向力Fa和径向力Fr。
解：取坐标系如图所示，使 x、y、z 三个轴分别沿齿 轮的轴向﹑圆周的切线方向和径向，先把总啮合 力 F 向 z 轴和 Oxy 坐标平面投影，分别为
第四章 空间力系
空间一般力系：各力的作用线在空间任意分布的 力系。 平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都 是它的特殊情况。
设直角坐标系Oxyz 如图所示，已知力 F 与 x﹑y﹑z 轴间的夹角分别 为 ﹑ ﹑ 。则力 F 在 x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fy﹑Fz 分别为：
z
Fz
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fx
F
S
DFzFyFra bibliotekFx解：取直角坐标系Oxyz如图所示。合力 F 在 x、y、z 坐标轴上的分力为 Fx、Fy 、Fz 。由于力在直角坐 标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数 值上相等，所以合力F 的大小和方向为 合力的大小为
F F F F
2 x 2 y
2 2
2 z
2
F
Fy
Fz
Fx
300 600 (1500 ) N