高等数学-安大全套课件

3.函数的单调性 设函数 y f x 在区间 I 上有定义,对 I 内的任 意两点 x1 , x2 ,当 x1 x2时,若有 f x1 f x2 ,则称 f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x 在 I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 . 如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x 在 ,内是单调减少的.
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法 1.解析法 例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t ,下落的
距离为 s,假定开始下落的时刻为 t 0,那么 s与 t 之间的依赖关系由下式给出:
1 2 s gt 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
0
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0 对应的 y 的
为Zf . 函数的两要素:定义域 D f 和对应法则 f .如果 两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它 们是相同的函数.
例1 下列函数是否相同，为什么？
(1) f x 2 lg x, g x lg x 2 (2) f x x , g x x 2
解 ⑴ f x 与g x 不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x 与g x 是相同的函数,因为定义域与对应 法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零;
② 对数中的真数必须大于零;
③ 分式中的分母不能为零;
④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
4.函数的有界性 设函数 y f x 在区间 I 上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有 x ,恒有 f x M , 则称函数 f x 在区间 I 上有界.如果这样的 M 不存 在,则称 f x 在区间 I 上无界.
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的. 这是因为对于任意的 x , 都有 sin x 1 成 立.而函数 y x3在区间 ,内是无界的.
1, y sgn x 0, 1, x0 x0 x0
如图1.
图1
2.表格法 例3 某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里 的时间T(月)和产量Q(吨)之间是两个相互依赖的 变量.
时间（月） 1 2 3 4 5 6
产量（吨）
1032
1024
1027
1038
1057
若 f x f x ,则称 f x 为偶函数.
注 ①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像
关于 y 轴对称; ②一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数, 如函数 y x3 x 2 .
2.函数的周期性 设函数 y f x 的定义域为D f ,如果存在一个 常数 T 0 ,使得对任意 x D f 有 x T D f ,且 f x T f x ,则称函数 f x 为周期函数, T 称为f x 的周期. 显然,若 T 是周期函数 f x 的周期,则 kT 也是 f x 的周期 k 1,2,3, ,通常说的周期就是最小正 周期. 如函数 y sin x 和 y cos x 都是以 2 为周期的 周期函数.
x D ,变量 y 都有唯一确定的数值与之对应,则
称变量 y 是变量 x 的函数,记为
y f x , x D,
其中 x 称为自变量, y 称为因变量.集合 D 称为函
数的定义域,记为 D f .
值称为函数 y f x 在点 x0 处的函数值,记为f x0 或 y x x ,函数值组成的数集称为函数的值域,记
第一节 函数及其性质
一、函数的概念 二、函数的表示法 三、函数的几种特性
一、函数的概念
1.常量与变量 在某过程中不发生变化而保持一定数值的 量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称 为变量.常量通常用字母 a, b, c 等表示,变量通常 用字母 x, y, z 等表示.
2.函数的概念 定义1 设x, y 是两个变量, D 是一个给定的数 集.如果有一个对应法则 f ,使得对于每一个数值
注 只有当 D f Z 时,复合函数 y f x
才有意义.如 y cos x 9 无意义,因为内函数的 值域与外函数的定义域没有公共部分,不能复合.
例1 函数 y arctan 合而成的?

x

2
是有哪些较简单的函数复
解 是由 y u 2 , u arctanv, v x 三个较简单的 函数复合而成的.
1047
对每个月份T ,都有唯一一个与T 相应的产量Q .
3.图像法 例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,
如图2所示的曲线.
图2
根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情 况.
三、函数的几种特性 1.函数的奇偶性 设函数 y f x 的定义域 D f 关于原点对称,对于
任意的 x D f ,若 f x f x ,则称f x、初等函数 三、反函数与隐函数
一、复合函数 定义2 设 y 是 u的函数 y f u ,而 u 又是 x 的 函数 u x .如果对于 x 的定义域中某些 x值所 对应的 u 值,函数 y f u 有定义,则 y 通过 u 也成 为x 的函数,称为由 y f u 及 u x 复合而成的 复合函数,记为 y f x ,其中 u 称为中间变量.