高等数学第三章总结(手抄版)
高数习题(第三章)第三章重难点总结复习
再来说说2展开,对比3我们发现它少了 1 x3 1= 1 x3的这样一个三阶项,所以就是展开的
3!
3!
少了。
那么3就是正确的.首先我们能够找到所有的三阶及比其低阶的量,其次由于sin x的泰勒展开
起步为x, 所以两式相乘时e x只需要展开到二阶即可得到三阶项.类似的,e x泰勒展开起步为1, 所以我们的sin x展开到三阶就可以得到最后的三阶项.这个就是开头说的所有的意思.
2.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x o x
3.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x 1 x3 o x3 3! 对于1展开,错误在于没有和第一种加的情况相区分,这样如果两式相乘,导致 x3 与sin x任意
3! 一项展开都不是我们所需要的,因为是比三阶高.即展开多了.
a
lim
n
n2 n2
n
a
、
注：第四种方法虽然结果正确，但是我们一般不采取这种方法。
7.若 lim x0
sin 6x xf x3
x
0, 则 lim x0
6 f x
x2
解析：恒等变形后使用洛必达法则
lim
x0
6x
xf x3
x
lim
x0
6
x
sin 6x x3
sin
6x xf x3
x
lim 6x sin 6x lim 6 6 cos 6x 36
分析：令F x f x g x F x在a,b上连续，在a,b内可导，在题设条
件下，要证存在 a,b，F '' =0.已知F a F b =0,只需再证c a,b, F c =0.
1由题设x1 a,b, M
大一高等数学3知识点总结
大一高等数学3知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程，对于理工科专业的学生来说，具有至关重要的意义。
本文将对大一高等数学3的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握这门课程。
1. 极限和连续在高等数学3中，极限和连续是最基础的概念之一。
极限的定义是：当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋于无穷大或趋于一个确定的有限值。
连续的定义是：函数在某一点上的左、右极限都存在，并且与函数在该点处的值相等。
掌握了极限和连续的概念，就可以进一步学习导数和积分等重要的数学工具。
2. 导数与微分导数是函数在某一点上的变化率，表示函数在该点处的斜率。
微分是导数的微小变化量。
掌握导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等，能够帮助我们求解函数的极值、优化问题和曲线的切线方程等。
3. 不定积分在高等数学3中，我们学习了不定积分的基本定义和性质。
不定积分的定义是：对导数的逆运算，即求函数的原函数。
掌握不定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法和分部积分法等，可以帮助我们求解复杂函数的积分问题。
4. 定积分与曲线长度定积分是函数在一定区间上的面积，也可以表示为曲线长度、物体的质量等。
在高等数学3中，我们学习了定积分的基本性质和计算方法，包括定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法等。
掌握定积分的应用，可以帮助我们求解曲线长度、曲线下面积、物体的质量以及质心等问题。
5. 空间解析几何空间解析几何是高等数学3中的一项重要内容，主要研究空间中点、直线、平面和空间曲线的几何性质。
在学习空间解析几何时，我们需要掌握点、直线和平面的坐标表示方法，以及点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面的位置关系等重要概念。
6. 偏导数与方向导数偏导数是多元函数在某一点上对某一自变量的偏微分，表示函数在该点上对某一变量的敏感程度。
方向导数是多元函数在某一点上沿着某一方向的变化率。
掌握偏导数与方向导数的计算方法，可以帮助我们求解函数的最值、切平面方程和梯度等重要问题。
高数第三章(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000 00)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件： 定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件： 定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。
5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导。
)(x f6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ()00,y x M 处切线的斜率。
x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2vv u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===dxdu du dy dx dy ⋅=，或)()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别： })]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。
高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。
【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。
一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。
【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。
医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
高等数学3知识点总结（精选3篇）
高等数学3知识点总结（精选3篇）高等数学3知识点总结篇1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的'导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
4.掌握不定积分的换元积分法。
第五章：定积分1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。
高二数学学案：第三章本章小结含解析
第三章本章小结一、复数的概念及分类复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时,复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋y i(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入（或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．【例1】已知m∈R，复数z＝错误!＋(m2＋2m－3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【解】（1）由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.（2)由错误!解得m＝0或m＝2。
∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．（3)由错误!解得m<－3或1<m〈2，故当m〈－3或1<m<2时，z对应的点位于复平面的第二象限．(4）由错误!＋（m2＋2m－3)＋3＝0，得错误!＝0。
解得m＝0或m＝－1±错误!.∴当m＝0或m＝－1±错误!时,z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【评析】掌握复数的分类是解此题的关键，复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决形或数的问题提供了一条重要思路．二、复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．任何一个复数z＝a＋b i与复平面内一点Z(a，b）对应，而任一点Z（a，b）又可以与以原点为起点，点Z(a，b）为终点的向量错误!对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意｜z｜、｜z－a|的几何意义——距离．3．复数加、减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知｜z－z1|表示复平面上两点Z、Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹：(1)当｜z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆｜z|＝1.(2)当｜z－z1｜＝｜z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．(3）当｜z－z1｜＋｜z－z2|＝2a(2a>｜错误!｜〉0），则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．（4)当｜|z－z1|－|z－z2||＝2a（0〈2a〈｜错误!|），则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的双曲线．【例2】已知复数z的模为2，则｜z－i|的最大值为( ) A．1 B．2C。
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳
高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳
高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。
数学网为大家推荐了高一数学必修一第三章函数的应用知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
函数的应用这一章包括两个内容，分别是函数与方程、函数模型及其应用。
函数与方程这一节知识汇总。
知识点一：方程的根与函数的零点。
知识点二：函数与方程的思想。
知识点三：用二分法求解方程的近似解。
函数模型及其应用这一节知识汇总。
知识点一：几类不同增长的.函数模型(对数函数模型、幂函数模型和指数函数模型)。
知识点二：用已知函数模型解决问题(一次函数、二次函数和基本初等函数)。
知识点三：建立实际问题的函数模型。
在本章中我们要理解函数与方程的思想，函数与方程怎么联系和转化，这是函数与方程思想的本质，函数反映变量之间的动态变化规律，实际生产生活中，这种变化随处可见，如何利用函数来揭示，这就是函数模型所要应用的。
【高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳】。
高考数学复习点拨 第三章复习总结
高中数学第三章复习精讲一、不等式的基本性质1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它们都是不等式同解变形的基础．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数不等号不变，若是同乘以（或除以）一个负数则不等号反向．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方（或开方）时，要求不等式两边均为正数．3．应用不等式的性质证明不等式一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取“=”．5．实数的运算性质与作差比较法的一般步骤：（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系000a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<；；．（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的代数解法当0a >时，若方程20ax bx c ++=的两实根12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}12|x x x x x <>，或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}12|x x x x <<；若方程20ax bx c ++=的两实根122b x x a ==-，则不等式20a x b x c ++>的解集为|2b x x x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭R ，且，不等式20ax bx c ++<的解集为∅；若方程20ax bx c ++=无实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为R ，不等式20ax bx c ++<的解集为∅．2．用数形结合法解一元二次不等式解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<反映在图形上就是考查二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的关系（在其上方还是在其下方），利用数学的基本思想——数形结合思想，理解、认识一元二次不等式，以帮助我们熟练解决问题，提高解决数学问题的速度．用数形结合法解一元二次不等式的步骤如下：（1）转化原不等式，使之通过变形后成为标准形式20(0)(0)ax bx c a ++>≥≤．（2）找到相应方程20ax bx c ++=的根．（3）通过相应的二次函数的图象，写出不等式解集．3．利用不等式的“解”求一元二次不等式利用不等式的“解”求一元二次不等式是解一元二次不等式的逆向思维的体现，主要是根据函数图象与x 轴的交点、一元二次方程的根与系数的关系，来求解．例 设不等式20ax bx c ++>的解集是{}|(0)x x αβαβ<<<<，求不等式20c x b x a ++<的解集．解：由题意可知0a <，b a αβ+=-，c a αβ=·， 由此可得0c <，11b c αβ+=-，11a cαβ=·， 故20cx bx a ++<的解集是11|x x x βα⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭，或． 三、二元一次不等式（组）与简单线性规划1．画不等式表示的平面区域图是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线画成虚线．2．二元一次不等式组表示的区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．线性目标函数(0)z ax by b =+≠的几何意义：z b是直线0ax by z +-=在y 轴上的截距．4．简单的线性规划理论在实际问题中的应用一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该任务．常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题．解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解．5．线性规划中求整数解问题通常有以下解法：一是平移找解法；二是代入验证法；三是优值调整法． 四、基本不等式1．不等式222a b ab +≥(0)2a b a b +，≥成立的条件：前者只要a b ，都是实数，后者要求a b ，都是非负实数．这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当a b =时“=”成立，也就是说，当a b =时取等号． 2．两个正数，若它们的积为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的和有最小值．3．两个正数，若它们的和为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的积有最大值．4．用基本不等式求最值应注意：一“正”、二“定”、三“相等”三个条件．一“正”是指函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数，如不是，则进行变号转换；二“定”是指函数式中，含变量的各项和或积必须是常数，才能利用基本不等式求最值；如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数；三“相等”是指函数式中，含变量的各项相等，才能利用基本不等式求最值．即相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内．否则说明拆项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法．5．常见错例剖析例1 已知0x y >，，且1x y +=，求21x y+的最小值．解：21122x y x y +==+≥ 21x y∴+的最小值为 例2 已知0a b c d m n >，，，，，，且222a b m +=，222c d n +=，m n ≠，ac bd p +≤，求p 的最小值．解：222222a c b d ac bd ++++≤222222222a b c d m n +++=+=， p ∴的最小值为222m n +． 试问以上两题的解答是否正确，若正确，说明理由；若错误，请给出正确答案．分析：（1）不正确．在两次使用基本不等式时，前者取“＝”条件是21x y=，即2x y =；后者取“＝”条件是x y =，字母x y ，在同一变化过程中前后取值不一致，故为错解；（2）不正确．解答中用到222a c ac +≤，当且仅当a c =时取“＝”；222b d bd +≤，当且仅当b d =时取“＝”，由已知222a b m +=，222cd n +=，这样就推出m n =，与已知m n ≠矛盾，故也为错解．正解：（1）21212()33y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当2y x x y=，即x =时取“=”，故21x y+的最小值为3+ （2）22222()2ac bd a c adbc b d +=++222222222222()()a c a d b c b d a b c d +++=++≤．等号成立的条件是ad bc =，即a cb d =或a bc d=， 这样与已知并不矛盾，ac bd mn ∴+==．由此得p 的最小值为mn ．（本题亦可用三角代换，设cos a m α=，sin b m α=，cos c n β=，sin d n β=，cos()ac bd mnmn αβ+=-·≤） 点评：①在同一变化过程中两次使用基本不等式时，必须注意取等号条件前后要一致；②要使p 不小于ac bd +的一切值，必须也只须p 的最小值就是ac bd +的最大值；③三角代换法是求函数最值或证明不等式的常用方法．广州美甲培训 广州美甲培训峪孞尛。
高数第三章word版
高数第三章word版第三章一元函数积分学§3.1 不定积分一、考纲要求：1．理解原函数与不定积分的概念2．掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．二、考点概述与解读：（一）原函数：1、定义：若)()('x f x F =，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数。
2、结论：○1 区间上的连续函数必有原函数；○2 若)(x f 在区间上有一个原函数)(x F ，则)(x f 必有无穷多个原函数，并且其全部原函数为c x F +)(，其中c 为任意常数。
（二）不定积分：1、定义：称)(x f 的全部原函数为)(x f 的不定积分，记作?dx x f )(2、结论：c x F dx x f +=?)()(，（其中)()('x f x F =）注：作填空题时务必不可忘记c3、几何意义：不定积分在几何上表示一簇曲线，其在横坐标相同的点处的切线相互平行注：不定积分为积分曲线簇。
（三）不定积分的性质：1、+=c x f dx x f )()('（先求导再积分，有c ） 2、)()(x f dx x f dx d =?（先积分再求导，无c ）3、?=dx x f dx x f d )()(（四）基本积分公式：（1）c dx =?0；（2）c kx kdx +=?（3）c x dx x ++=+?111ααα（1-≠α）；（4）c x dx x+=?ln 1（5）c aa dx a x x+=?ln （0>a ，1≠a ）；（特别地 c e dx e xx +=? ）；（6）c x cdx +=?sin cos ；（7）?+-=c x xdx cos sin（8）c x dx x xdx +==??tan cos 1sec 22；（9）c x dx xxdx +-==??cot sin 1csc 22（10）?+=?c x xdx x sec tan sec ；（11）?+-=?c x xdx x csc cot csc（12）c x dx x+=-?arcsin 112；（13）c x dx x +=+?arctan 112（14）?+-=c x x x xdx ln ln ；（15）?+-=c x xdx cos ln tan（16）c x xdx +-=?sin ln tan ；（17）c x x xdx ++==?tan sec ln sec（18）c x x xdx +-==?cot csc ln csc ；（19）c a xxa dx +=-?arcsin 22（20）c x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122；（21）c x xx dx +-+=-?11ln 2112 （22）c a x x a x dx+±+=±?2222ln 注：2x e ，2x e -，x x sin ，xx tan ，x e x 的原函数是存在的，但不是初等函数。