成才之路春高中数学北师大必修同步练习：第章 不等式 § 含解析
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第1章 §3 第1课时 含解析
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
[解析]设等比数列{an}的公比为q.
依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴ ＋8q＝20，解得q＝2或q＝ (舍去)．
解得a2＝－ .
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an＋1)－ (an－1＋1)＝ (an－an－1)，
得 an＝－ an－1，
即 ＝－ ，所以{an}是以 为首项，公比为－ 的等比数列．
2．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于()
A．48B．72
C．144D．192
[答案]D
[解析]设公比为q，则a6·a7·a8＝a5·a6·a7·q3，
∴q3＝ ＝8.
又a7·a8·a9＝a6·a7·a8·q3＝24×8＝192.
3．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()
又a1＝ ＝2，∴an＝2n.
一、选择题
1．已知a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况为()
A．有两个不等实根B．有两个相等实根
C．只有一个实根D．无实根
[答案]D
[解析]∵a，b，c成等比，∴b2＝ac，且b≠0.
∴Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2<0，
故方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第1章 §2 第3课时 含解析
第一章 §2 第3课时一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23[答案] C[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝4 ①a 3＋a 5＝10 ②， ②－①得2d ＝6，∴d ＝3.a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×3＝4，∴a 1＝－4，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95. 故选C.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 [答案] B [解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，∴d ＝3. 3．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] A[解析] S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1， ∴d ＝2，∴a 2＝a 1＋d ＝3.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1[答案] D[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，∵a 1＝1也适合a n ，∴a n ＝2n －1，选D.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59， 则S 9S 5＝( ) A ．1B ．－1C ．2D.12[答案] A[解析] S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1，故选A. 6．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220[答案] B[解析] ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54.∴3(a 1＋a 20)＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 二、填空题7．(2015·安徽高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，a 2＝a 1＋12， ∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力．设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ，∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴a 7＝0，∴1＋6d ＝0，d ＝－16. 又a 4＝1＋3×(－16)＝12，a k ＝1＋(k －1)d ， ∴12＋1＋(k －1)d ＝0，d ＝－16代入，得k ＝10. 三、解答题9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n ·(n －1)2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．∴n ＝11.10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，则该数列前多少项的和最小？[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×8×d ＝12a 1＋12×12×11×d 即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d ，∵a 1<0，∴d >0， ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－2182d . ∵d >0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：同解法一，由S 9＝S 12，得d a 1＝－110. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥01－110n ≤0.解得10≤n ≤11. ∴n 取10或11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0，∴a 11＝0.∵a 1<0，∴前10项或前11项和最小.一、选择题1．(2016·长沙一中)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297 [答案] B[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 4＝39,3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99. 2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7为常数．3．已知一个等差数列共n 项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A ．24B ．26C ．25D ．28[答案] B[解析] 设该等差数列为{a n }，由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝21＋67＝88，∴a 1＋a n ＝22.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝11n ＝286，∴n ＝26. 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9 [答案] C[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m ＝a 2m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10.二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.[答案] 100[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×(a 1＋a 200)2＝100. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.[答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72， ∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8， 又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24.三、解答题7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6＝36，S n ＝324，若S n －6＝144(n >6)，求数列的项数n .[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝324－144，②由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝216，∴6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝18n ＝324，∴n ＝18. 8．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)． T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n 2(n ＋1).。
成才之路·北师大版数学必修1-3.1
[规律总结]
正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组
成的．当0<a<1时，函数y＝ax(x∈N＋)是减函数；当a>1时，函 数y＝ax(x∈N＋)是增函数．
3．我国工农业总产值从1990年到2010年的20年间翻了两
番，设平均每年的增长率为x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 [答案] D ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
[解析] 本题为增长率模型函数，为指数函数形式：
设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
第三章 第一章 § § 11
成才之路 成才之路· · 高中新课程 高中新课程 · · 学习指导 学习指导 · · 北师大版 北师大版 · · 数学 数学· · 必修 必修 11
正整数指数函数的概念
下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？ 为什么？ (1)y＝4x(x∈N＋)； (2)y＝x4(x∈N＋)； (3)y＝－4x(x∈N＋)； (4)y＝(－4)x(x∈N＋)； (5)y＝xx(x∈N＋)； (6)y＝(2a－1)
＋
1x 式； D 中 y＝3×2 ， 均不符合； C 中 y＝3 ＝(3) 符合题目要求．
x
－x
第三章 第一章 § § 11
成才之路 成才之路· · 高中新课程 高中新课程 · · 学习指导 学习指导 · · 北师大版 北师大版 · · 数学 数学· · 必修 必修 11
1x 2．函数 y＝(2) ，x∈N＋的图像是( A．一条上升的曲线 C．一系列上升的点
第三章
指数函数和对数函数
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 必修1
这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，97年后
成才之路_北师大版数学必修1-12.doc
课后强化作业基础巩固一、选择题1. 己知 A = {x^R\-2<x<4}, B={x\x-5<0}1 则/与 3之间的关系是（ ）A B B. A BC. A=BD.不确定［答案］A［解析］用数轴把力，3表示出来如图所示，一 >—•—■—■—•—i—A —-2 0 4 5 x Vx —5<0, .*.x<5,因此〃中元素不能都属于力，但/中元素都小于5（即都在E 中），由真子集定义知/是B 的真子集.2. 若集合A = {x\~2<x^2, xeN},则/的子集的个数是（）A. 2B. 4C. 8D. 16［答案］C［解析］由于 A = {x\-2<x^2t X EN} = {0,1 ,2},所以集合/共有 8 个子集,分别为：0, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.3. 集合力=抄少=/, xE R}, B={y\y=（x~l ）2f x^R},则下列关系正确的是（）A. A = BB. A 8C. A B［答案］A［解析］•:A = {y ［y=x 29 x^R} = {y\y^0},B={y\y=(x~l)\ xER} = {y ［y>0},・・・A = B.4. 设A = {X \2<X <3}9 B= {x\x<m},若4 B. m23C. m<3 D ・ M W3［答案］B［解析］9：A={x\2<x<3}, B={x\<m}t A B, 第一章§2B,则〃7的取值范围是（A. m>3•••将集合4 B表示在数轴上,如图所示,••心3.A2 3 m x5.己知集合/ = {1,2,3}, 3={3,若A=B,则x的值是()A. 1B. -1C. ±1D. 0［答案］C［解析］由A=B得(=1, ・・・x=±l,故选C.6.己知集合M {2,3,5},且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有()A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个［答案］C［解析］当M中奇数只有3时:{3}, {2,3}；当M中奇数只有5时：{5}, {2,5}；当M中奇数有3,5时：{3,5},・•・共5个集合.二、填空题7.下列关系中正确的是_______ .①0丘{0}；②0 {0}；③{0,1}匸{(0,1)}；④{(a, b)} = {(b, a)}.［答案］②［解析］0 {0},・•・①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a, b)}与{(4 a)}是两个不同的点集，④错误，故正确的是②.8.已知0 {x\x2+x+a = 0}f则实数Q的取值范围是___________ .［答案］W［解析］因为0 {x\x2+x+a = 0},故集合{X『+X+G =0}为非空集合，即方程有实根，所以/20,即卩一4°$0,解得禺.三、解答题9.已知集合/ = {x|,—5x+6 = 0}, B={x|F+ax+6=0},且求实数a 的取值范围.［解析］由已知力={2,3},①若BH0,由BJA,・・・B={2}或3={3}或3={2,3},当B={2}时，方程x2+ax+6=0有两个相等实根，即XI=X2=2, X］X2=4H6,二不合题意.同理3H{3}・当B={2,3}时，。
成才之路·北师大版数学必修
[答案] B
[解析] 由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋
675可知，当x＝15时，y取最大值．
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最 小值是________．
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得 最大利润？
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为
y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )
A．10件
B．15件
C．20件
D．30件
④抛物线有最低点，
④抛物线有最高点，
当4acx－＝b－2 2ba时，y 有最小值，ymin＝ ___4_a_______
当 x＝4－ac2b－a时b2，y 有最大值，ymax ＝______4_a_____
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第3章不等式§4第1课时含解析
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第3章不等式§4第1课时含解析第三章§4 第1课时一、选择题1．不等式x＋3y－1<0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的() A．右上方B．右下方C．左下方D．左上方[答案] C[解析]画出不等式x＋3y－1<0表示的平面区域如图所示．2．不等式x－y＋1≥0表示的平面区域是()[答案] B[解析]将点(0,0)代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点(－2,0)代入不等式，得－1≥0，不成立，排除A，故选B.3．当a≠0时，不等式x＋(a－1)y＋3>0表示()A．直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域B．直线x＋(a－1)y＋3＝0下方的平面区域C．当a>1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a<1时表示直线x＋(a－1)y ＋3＝0下方的平面区域D．当a<1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a>1时表示直线x＋(a－1)y ＋3＝0下方的平面区域[答案] C[解析]本题考查二元一次不等式与平面区域．可以取特值检验，当a＝2时，x＋y＋3>0表示直线x＋y＋3＝0上方的平面区域，当a＝0时，x－y＋3>0表示直线x－y＋3＝0下方的平面区域，故排除A、B、D，故选C.4．(2016·山东潍坊测试)不等式组(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0，－1≤x≤2，表示的平面区域是()A．两个三角形B．一个三角形C．梯形D．等腰梯形[答案] B[解析]如图所示，(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对角区域，且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤2后表示的区域如图(2)．5．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] B[解析]本题考查不等式(组)表示平面区域，考查学生分析问题的能力．不等式(组)表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”．可行域如图所示．由于－2<－43，且直线2x ＋y －10＝0过(5,0)点，所以交点个数为1个，是(5,0)．6．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．a ＝2或a ＝0 C ．0<="" ．0≤a=""> <="" ．0≤a="">[答案] C<="" ．0≤a="">[解析] 根据点(0,0)和点(1,1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧可得(－a )(2－a )<0，解得0<=""><="">7．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－∞，－1<="">2<="">)∪(1，＋∞)<="">[解析] ∵(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－1<="">2或a ＞1.<="">8.<="">?<="">4x ＋3y <12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是________．<="">[答案] 5<="">[解析] x ＝0时0≤y <1，∴可取(0,0) x ＝1时0≤y <2，∴可取(1,0)，(1,1) x ＝2时0≤y <43，<="">可取(2,0)，(2,1)<="">∴有下列整点(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，共5个．<=""><=""><="">三、解答题<="">9．(2016·济南高二检测)在△ABC 中，各顶点坐标分别为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．<="">[解析] 如图所示．<=""><=""><="">可求得直线AB ，BC ，CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.<="">由于△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0. ∴△ABC 区域可表示为<="">?<="">x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，<="">2x ＋y －5≤0.<=""><="">10．画出不等式组<="">?<="">x ＋y ≤5x －2y >3，表示的平面区域.<="">x ＋2y ≥0<=""><="">[解析] 不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y ＝<="">5及其左下方的区域，<=""><=""><="">不等式x －2y >3表示直线x －2y ＝3右下方区域，不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0及其右上方区域，<="">故不等式组表示的平面区域如图所示.<=""><=""><="">一、选择题<="">1．如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是(<="">)<=""><=""><=""><="">A. x ＋y －1>0，2x ＋3y －6<0，x －y －1≥0，x－2y ＋2≤0<=""><="">B. x ＋y －1<0，2x ＋3y －6≥0，x －y －1≥0，x －2y ＋2<0<="">C.<="">x ＋y －1>0，2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0<="">D.<="">x ＋y －1≥0，2x ＋3y －6<0，x －y －1<0，x －2y ＋2≥0<=""><="">[答案] C<="">[解析] 先求出边界直线方程．然后利用口诀“上则同号，下则异号”得出二元一次不等式．<="">2．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )<="">A ．(－∞，1)<="">B ．(1，＋∞)<="">C ．(－1，＋∞)<="">D ．(0,1)<="">[答案] B<="">[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B.<="">3．不等式组<="">?<="">2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0<="">y ≤2，表示的平面区域的面积为( )<="">A ．4<="">B ．1<="">C ．5<="">D ．无穷大<="">[答案] B<="">[解析] 如图，作出可行域，△ABC 的面积，即为所求，易得A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则S<="">△ABC ＝<="">1<="">2<="">×1×2＝1.<="">4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工<="">需付工资每人40，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )<="">A.?<=""><="">2x ＋3y ≤5，<="">x 、y ∈N ＋ B.<="">?<="">50x ＋40y ≤2000，x y ＝23<=""><="">C.<="">5x ＋4y ≤200，<="">x y ＝23，x 、y ∈N<="">＋<=""><="">D.<="">5x ＋6y <100，x y ＝23<=""><="">[答案] C<="">[解析] 排除法：∵x 、y ∈N ＋，排除B 、D . 又∵x 与y 的比为2 3.故排除A. 二、填空题<="">5．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,4)，B (－2,0)，C (2,0)，则△ABC 内任意点(x ，y )所满足的条件为________．<="">[答案]<="">?<="">y >0，2x －y ＋4>0，<="">2x ＋y －4<0<=""><="">[解析] 分别求三边的直线方程，易得y ＝0,2x －y ＋4＝0,2x ＋y －4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式分别为：y >0,2x －y ＋4>0,2x ＋y －4<0.<="">6．不等式|x |＋|y |≤2所表示的平面区域的面积为________． [答案] 8<="">[解析] 不等式|x |＋|y |≤2等价于不等式组<="">x ＋y －2≤0(x ≥0，y ≥0)<="">x －y －2≤0(x ≥0，y <0)<="">x －y ＋2≥0(x <0，y ≥0)<="">x ＋y ＋2≥0(x <0，y <0)<="">，<="">画出不等式组表示的平面区域如图所示．<=""><=""><="">由图可知，四边形ABCD为正方形，<="">|AB|＝22，∴S＝(22)2<=""><="">＝8.<="">三、解答题<="">7．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A 型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．[解析]设每天派出A型车x辆、B型车y辆，<="">则<="">??<="">?<="">?<="">?x＋y≤10<="">24x＋30y≥180<="">x≤8<="">y≤4<="">x，y∈N＋<="">，即<="">??<="">?<="">?<="">?x＋y≤10<="">4x＋5y≥30<="">x≤8<="">y≤4<="">x，y∈N＋<="">.<="">画出平面区域如图中阴影部分．<="">8．如图所示，在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．<="">[解析] 解法一：由两点式得AB 、BC 、CA 的直线方程并化简． AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0；CA ：2x ＋y －5＝0.<="">∵原点(0,0)不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组<=""><="">?<="">x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0<="">.<="">解法二：由AB 的方程及三角形区域在AB 右方，得不等式x ＋2y －1≥0. 同理得x －y ＋2≥0.<="">由CA 的方程及三角形区域在CA 左方，得不等式2x ＋y －5≤0.<="">从而可得不等式组<="">?<="">x ＋2y －1≥0<="">x －y ＋2≥0<="">2x ＋y －5≤0<="">.<="">。
《成才之路》2016年春高中数学北师大版必修5同步练习第3章不等式§2第2课时Word版含解析
第三章 §2 第2课时一、选择题1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1,2][答案] D[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0，解得－1<x ≤2.故选D.2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x >3或x <－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达式是( )A ．y ＝2x 2＋2x ＋12B ．y ＝2x 2－2x ＋12C ．y ＝2x 2＋2x －12D ．y ＝2x 2－2x －12[答案] D[解析] 由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－2×3＝n2.∴m ＝－2，n ＝－12.因此二次函数的表达式是 y ＝2x 2－2x －12，故选D.3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A ．{x |x <－2，或x >3}B ．{x |x <－2，或1<x <3}C ．{x |－2<x <1，或x >3}D ．{x |－2<x <1，或1<x <3} [答案] C[解析] 不等式x 2－x －6x －1>0可化为(x －3)(x ＋2)x －1>0，即(x －3)(x －1)(x ＋2)>0，如图，由“穿针引线”法可得不等式的解集为{x |－2<x <1或x >3}．选C.4．若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |2x ＋13－x <0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <－12或2<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |－12<x <2}D ．{x |－1<x <－12}[答案] D[解析] ∵|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3， ∴－1<x <2.又∵2x ＋13－x<0，∴(2x －1)(x －3)>0，∴x >3或x <－12.∴A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >3或x <－12}，A ∩B ＝{x |－1<x <－12}，故选D.5．若不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2或a ≤－3 B ．a >2或a ≤－3 C ．a >2 D ．－2<a <2[答案] C[解析] 原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0. 显然a ＝－2时不等式不恒成立；当a ＋2≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)<0.解得a >2.也可利用特值代入的办法进行排除．故选C.6．要使关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．－2<a <1D ．a <－2或a >1 [答案] C[解析] 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由题意知，f (1)＝1＋a 2－1＋a －2＝a 2＋a －2＝(a －1)(a ＋2)<0，∴－2<a <1.二、填空题7．(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． [答案] (－1,2)[解析] 由题意得x 2－x <2，所以－1<x <2，解集为(－1,2)．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. [答案] －3 －3[解析] 可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，m ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝2(舍去)． 三、解答题9．解不等式：3x －5x 2＋2x －3≤2.[解析] 原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即为2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0，即为⎩⎪⎨⎪⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0x 2＋2x －3≠0，即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1. 画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b 的值； (2)解不等式x 2－1ax －b>0.[解析] (1)由已知得：1，b 是方程ax 2－3x ＋6＝4的两根， ∴a －3＋6＝4，∴a ＝1，∴方程x 2－3x ＋2＝0其两根为x 1＝1，x 2＝2， ∴b ＝2.(2)将a ＝1，b ＝2代入不等式x 2－1ax －b >0得，x 2－1x －2>0，可转化为：(x ＋1)(x －1)(x －2)>0， 如图，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为{x |－1<x <1或x >2}．一、选择题1．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) [答案] A[解析] 由ax －b ＞0的解集为(1，＋∞)得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b a＝1，∴ax ＋b x －2＞0⇔x ＋1x －2＞0⇔x ＜－1或x ＞2.2．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．R C ．{x |x ≠1} D ．{x |x ＝1} [答案] C[解析] ∵f (－1)＝f (3) ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1， ∴b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， ∴f (x )>0的解集为{x |x ≠1}．故选C.3．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( ) A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1，或x >12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |<－2或x >1} [答案] A[解析] 由题意⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，－1×2＝2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故不等式2x 2＋bx ＋a <0为：2x 2＋x －1<0，其解集为{x |－1<x <12}．4．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)[答案] D[解析] 解法一：验证排除法：当m ＝0时，原方程可化为x 2－x －2＝0，∴方程两根为2和－1，不合题意，排除A 、C ；当m ＝－1时，原方程可化为x 2－2x －1＝0，∴方程的两根为1＋2或1－2，不合题意，排除B ，故选D. 解法二：令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＜0f (－1)＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＜0m 2－m ＜0，∴0＜m ＜1. 二、填空题5．已知ax x －1<1的解集是{x |x <1或x >2}，则实数a 的值为________．[答案] 12[解析] ∵axx －1<1，∴ax －x ＋1x －1<0，即[(a －1)x ＋1](x －1)<0，又∵不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，∴a －1<0，∴(x ＋1a －1)(x －1)>0.∴－1a －1＝2，∴a ＝12.6．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． [答案] [－1,0][解析] 已知函数的定义域为R ，即2x 2－2ax －a －1≥0在R 上恒成立，也即x 2－2ax －a ≥0恒成立，所以有Δ＝(－2a )2－4(－a )≤0，解得－1≤a ≤0.三、解答题 7．解不等式：(1)(x 2＋2x －3)(x －1)(－8x ＋24)≤0； (2)x 3＋2x 2－x －2>0.[解析] (1)原不等式等价于8(x ＋3)(x －1)2(x －3)≥0，把各因式的根在数轴上标出，如图所示，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ＝1或x ≥3}．(2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x ＋2)>0.将方程(x ＋1)(x －1)(x ＋2)＝0的各个根－2，－1,1标在数轴上，并用穿针引线法依次通过每一个根．如图所示．所以，原不等式的解集为{x |－2<x <－1或x >1}．8．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数？ [解析] ①当a 2－1＝0，即a ＝±1时， 若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．。
成才之路高中数学北师大选修同步练习：第章 § 流 程 图
第二章§11.如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计[答案] A2．下面的算法流程图的作用是按大小顺序输出两数，则括号处的处理可以是()A．A←B：B←A B．T←B：B←A：A←TC．T←B：A←T：B←A D．A←B：T←A：B←T[答案] B[解析]把A、B由大到小排列，若A<B，则交换A、B．3．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.点击“发送邮件”；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.输入发送地址；则发送步骤正确的是()A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→f→c→d→b D．a→e→c→d→f→b[答案] C4．(2015·北京文，5)执行如图所示的程序框图，输出的k值为()A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 初值为a ＝3，k ＝0，进入循环体后，a ＝32，k ＝1；a ＝34，k ＝2；a ＝38，k ＝3；a＝316，k ＝4；此时a ＜14，退出循环，故k ＝4. 5．某工厂加工某种零件的工序流程图如图所示，按照这个工序流程图，一件成品至少要经过__________ ______道加工和检验程序．A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验4道工序．6．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )孵化鸭雏→商品鸭饲养→商品鸭收购育肥、加工→羽绒加工→羽绒服加工生产体系A ．孵化鸭雏B ．商品鸭饲养C ．商品鸭收购育肥、加工D ．羽绒服加工生产体系[答案] C二、填空题7．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，操作的流程图是____________________.[答案]拨通10011电话→按1号键→按2号键8．一名中学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来擦地或者浇花，洗衣服的水留下冲卫生间．这样全家一个月节省水费10多元，一年就节约120多元．下表中(1)为________；(2)________.[答案](1)做饭、淘米、洗菜的水(2)冲卫生间三、解答题9．某人想沏壶茶喝，当时的情况是：开水没有，烧开水的壶要清洗，沏茶的壶和茶杯要洗，茶叶已有，下面给出的两种方案：方案一：洗好水壶，灌入凉水，放在炉子上，打开煤气，待水烧开后，洗茶壶、茶杯，取茶叶，沏茶．工序流程图(各道工序所需要时间分别标注于上方，单位：min)如图所示．11521 1洗水壶→烧开水→洗茶壶、茶杯→取茶叶→沏茶方案二：洗好水壶，灌入凉水烧开水，在等待水开的时间内洗茶壶、茶杯、取茶叶，待水烧开后沏茶，工序流程图(各道工序所需要时间分别标注于上方，单位：min)如图所示．试比较哪种方案更合适？[答案]方案二合适[解析]方案一用时20min；方案二中在烧开水的同时，洗茶壶、洗茶杯，取茶叶做好准备工作，用时17min，故方案二比方案一效率高，更合适．10．工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工．每道工序完成时，都要对产品检验．粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工合格品成为成品，不合格品成为废品．请用流程图表示这个零件的加工过程．[解析]如下图：11.(2014·四川文，6)执行如图的程序框图，如果输入的x、y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 若⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，则S ＝2x ＋y 取最大值2(当x ＝1，y ＝0时取得)，如图：否则S ＝1，∴输出S 的最大值为2.12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ．24C ．20D ．19[答案] D[解析] 路线D →C →B 的最大信息量是3； 路线D →E →B 的最大信息量为4； 路线G →F →B 的最大信息量为6； 路线G →H →B 的最大信息量为6.故从A 到B 的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.13．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图所示：从图中可知在计量认证审查过程中审查可能不通过的环节有()处．()A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析]该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即审查可能不通过的环节有3处，故选C．14．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．－1 B．0C．1 D．3[答案] B[解析]当i＝1时，S＝1×(3－1)＋1＝3；当i＝2时，S＝3×(3－2)＋1＝4；当i＝3时，S＝4×(3－3)＋1＝1；当i＝4时，S＝1×(3－4)＋1＝0；紧接着i＝5，满足条件i>4，跳出循环，输出S的值为0.二、填空题15．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱5min，收拾床铺4min，听广播15min，吃早饭8min，要完成这些事情，小明至少花费的时间为______min.[答案]17[解析]在洗漱、收拾床铺、吃早饭的同时听广播．16.某工程的工序流程图如图所示(工时单位：天)，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天．[答案] 4[解析]设工序c所需工时为x天，由题意知：工序：①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9天，工序：①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8天，∴工序：①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x＋4＋1＝10.∴x＝4.[点评]在工序流程图中，如果工序分几条进行，则最短工时应为各条工时中最长的．三、解答题17．有一个农夫带一只狼、一只羊和一筐白菜过河．如果没有农夫看管，则狼要吃羊，羊要吃白菜，但是船很小，每次只够农夫带一样东西过河，问农夫该如何解此难题？画出相应的流程图．[解析]运输的流程图为：[点评] 解决运输难题的关键是不给“狼与羊”或“羊与白菜”单独在一起的机会，请你再设计一个工序流程图．18．根据如图所示程序框图写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等差数列吗？[解析] 若将打出来的数列依次记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5. 则a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝1＋3＝4， a 2＝a 2＋3＝4＋3＝7， a 4＝a 3＋3＝7＋3＝10， a 5＝a 4＋3＝10＋3＝13.于是可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋3.由于a n －a n －1＝3，因此这个数列是等差数列．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 §1一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x <2000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x >y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”[答案] C[解析] 对于A ，x 应满足x ≤2000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误．2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系为( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2[答案] B[解析] 因为a 2＋a <0，所以a 2<－a ，a <－a 2，又由于a ≠0，∴－a 2<a 2，即a <－a 2<a 2<－a .故选B.3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 [答案] D[解析] 利用赋值法：令a ＝1，b ＝0排除A ，B ，C ，选D.4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c [答案] D[解析] 本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bc cd，cd >0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bd dc ，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化 [答案] A[解析] 因为f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，所以f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，所以f (x )>g (x )，故选A.6．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A[解析] 当a ＞1时a 3＋1＞a 2＋1，y ＝log a x 单增，∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)．当0＜a ＜1时a 3＋1＜a 2＋1，y ＝log a x 单减．∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)，或对a 取值检验．选A.二、填空题7．如果a >b ，那么下列不等式：①a 3>b 3；②1a <1b；③3a >3b ；④lg a >lg b . 其中恒成立的是________．[答案] ①③[解析] ①a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋34b 2]>0； ③∵y ＝3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0，b <0时，②④不成立．8．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围为________，a b的取值范围为________． [答案] (－24,45) (13，4) [解析] ∵15<b <36，∴－36<－b <－15.又∵12<a <60.∴－24<a－b<45.∵15<b<36，∴136<1b<115.又∵12<a<60，∴13<ab<4.∴a－b，ab的取值范围分别为(－24,45)，(13，4)．三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]设需安排x艘轮船和y架飞机，则⎩⎨⎧300x＋150y≥2 000250 x＋100 y≥1 500x≥0y≥0，∴⎩⎨⎧6x＋3y≥405x＋2y≥30x≥0y≥0.10．(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc.(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋bb≤c＋dd.[证明](1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc，∵f<e，∴f－ac<e－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，∴ab≤cd，∴ab＋1≤cd＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d.一、选择题1．下列不等式：①x 2＋3>2x (x ∈R )；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R )；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 对于①，x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0恒成立，对于②，a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )，∵a 、b ∈R ，∴(a －b )2≥0，而a ＋b >0，或a ＋b ＝0，或a ＋b <0，故②不正确，对于③，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝a 2－2a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴③正确，故选C.2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：( )①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0； ②若ab ＞0，c a －d b＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ab ＞0， ∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －d b＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b ＞0，∴ab (c a －d b)＞0， 即：bc －ab ＞0，∴②正确；③∵c a －d b ＞0，∴bc －ad ab＞0， 又∵bc －ad ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．选C.3．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π[答案] C[解析] ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π， 又∵－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2. 4．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg2xB ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥2 [答案] C[解析] A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0. 二、填空题5．已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b，③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．[答案] 3[解析] 将②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab>0.由ab >0，bc >ad .可得②成立．即①③⇒②；若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad .故①②⇒③；若bc >ad ，bc －ad ab>0，则ab >0，故②③⇒①，所以可组成3个正确命题．6．若a >1，b <1，则ab ＋1与a ＋b 的大小关系为ab ＋1________a ＋b .[答案] <[解析] ab ＋1－a －b ＝a (b －1)－(b －1)＝(b －1)(a －1)．∵a >1，b <1，∴a －1>0，b －1<0，∴(b －1)(a －1)<0，即ab ＋1<a ＋b .三、解答题7．已知0<a ＋b <π2，－π2<a －b <π3，求2a 和3a －b 3的取值范围． [解析] ∵⎩⎨⎧ 0<a ＋b <π2－π2<a －b <π3，两式相加得－π2<2a <5π6. 设3a －b 3＝m (a ＋b )＋n (a －b ) ＝a (m ＋n )＋b (m －n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3m －n ＝－13， 解得m ＝43，n ＝53. ∴3a －b 3＝43(a ＋b )＋53(a －b )． ∴⎩⎨⎧ 0<43(a ＋b )<2π3－5π6<53(a －b )<5π9，两式相加，得－5π6<3a －b 3<11π9.故2a ∈(－π2，5π6)，3a －b 3∈(－5π6，11π9)． 8．(2016·广东模拟)设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．[解析] f (x )－g (x )＝(1＋log x 3)－2log x 2＝log x (3x )－log x 4＝log x 3x 4. (1)当x >43时，log x 3x 4>0，故f (x )>g (x )； (2)当x ＝43时，log x 3x 4＝0，故f (x )＝g (x )； (3)当1<x <43时，log x 3x 4<0，故f (x )<g (x )； (4)当0<x <1时，log x 3x 4>0，故f (x )>g (x )． 综上知：当x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )； 当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )．。