高二下学期数学6月月考试卷真题
安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()*211111N 123n a n n n n n n=++∈+++，则2a 等于（）A ．14B ．1123+C ．111234++D ．11112345+++2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．23．若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立，则有1n k =+时命题成立，现知命题对()*00n n n N=∈时命题成立，则有（）．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于0n 的正整数不成立，对大于或等于0n 的正整数都成立C ．命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于0n 的正整数都成立D ．以上说法都不正确4．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为（）.A ．6B ．5C ．4D ．35．已知正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，若存在两项m a ，n a ，12a =，则14m n+的最小值为（）A ．9B ．73C ．94D ．1336．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =A ．17B ．18C ．19D ．208．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（）A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321012110⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项二、多选题9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是（）A ．52B ．32C ．34D ．1210．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n=-D ．24n S n n=+11．（多选题）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意*N n ∈，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是()A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22022n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题13，…，则________项．14．已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，则数列{}n a 的通项公式是______.15．如图，第n 个图形是由正2n +边形扩展而来的，则第2n -个图形中共有______个顶点.16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14nn a a S ++的最大值是__四、解答题17．在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =.（1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<；21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．（15.7≈）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．参考答案：1．C【分析】由已知通项公式，令2n =写出2a 即可.【详解】()*211111N 123n a n n n n n n=++++⋯+∈+++ ，2111234a ∴=++.故选：C.2．C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3．C【详解】由已知可得00(*)n n n =∈N 时命题成立，则有01n n =+时命题成立，在01n n =+时命题成立的前提下，可推得0(1)1n n =++时命题也成立，以此类推可知命题对大于或等于0n 的正整数都成立，但命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定．本题选择C 选项.4．B【解析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得n S ，解不等式求得结果.【详解】由题意可知：数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，若6164n S >，则1611264n ->，即31642n >，6423n ∴>，又n N *∈，4642163=<，5642323=>，∴使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为5.故选：B.5．B【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q 及m 与n 的关系式4m n +=，由于*,N m n ∈，所以采取逐一代入法求解最值即可.【详解】依题意，正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，所以6846836821112a qa q a q =+，即220q q --=，解得q ＝2或q ＝－1．因为数列{an }是正项等比数列，所以2q =，所以11·2n n a a -=.12a =，所以4m n +=，且*,N m n ∈，当m ＝1，n ＝3时，1473m n +=，当m ＝n ＝2时，1452m n +=，当m ＝3，n ＝1时，14133m n +=，则14m n +的最小值为73.故选：B ．6．C【解析】先由n S 求出n a ，根据24n n a S λ≤+得到24n nS a λ+≤，求出24nn S a +的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=；当1n =时，211222a S ==-=满足上式，所以2n n a =()*n N ∈，又*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，所以*n ∀∈N ，24nnS a λ+≤恒成立；令22121142222222224n n n n n n n n nS b a ++++-+====++，则211112212220222n n n n n n n n b b +++++⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N ，显然都成立，所以1222n n n b +=+单调递增，因此()21min 2252n b b ==+=，即24n n S a +的最小值为5，所以5λ≤，即实数λ的最大值是5.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.7．C【解析】根据已知条件求得1,a d 的关系，由此求得n b 的表达式，根据判断n b 的符号，由此求得数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时n 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.8．C【分析】根据已知定义，结合等比数列的通项公式、前n 项和公式进行判断即可.【详解】记“提丢斯数列”为数列{}n a ，则当3n ≥时，310462n n a --=⋅，解得232410n n a -⋅+=，当2n =时，20.7a =，符合该式，当1n =时，10.550.4a =≠，故20.4,1324,2,10n n n a n n N -*=⎧⎪=⎨⋅+≥∈⎪⎩，故A 错误，而979932410a ⋅+=，故B 错误；“提丢斯数列”前31项和为()3002923232121223051051010⋅++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令23242010n -⋅+≤，则219623n -≤，故2,3,4,5,6,7,8n =，而120a <，故不超过20的有8项，故D 错误，故选：C 9．BC【分析】由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)，再对q 分类讨论，解不等式即得解.【详解】解：由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得12-+<q <1．综上，q 的取值范围是1(2-+∪，则可能的值是32与34．故选：BC 10．AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n nS n n --==-.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.11．AD【分析】根据等比数列{}n a 的公比203q =-<，可知9100a a ⋅<，A 正确；由于不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系；根据题意可知等差数列{}nb 的公差为负，所以可判断出C 不正确，D 正确．【详解】对A ， 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对C D ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.故选：AD.12．BCD【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则11(1)n kn k n a a a q q -+-=-，当10a <时，n k n a a +<，可判断A ；24()n kn n kn a a k n k n++--=⋅+，令24()f n n kn =+-，利用其单调性可判断B ；]21()[(1)1n k n k n a a k +-=-⋅+--，分n 为奇数、偶数两种情况讨论可判断C ；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则22)0(n k n a a k n t k +-=+->，*N n ∈成立，问题转化为对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立，求解可判断D ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则111111()1n k n n k n k n a a a qa q a q q +---+-=-=-．因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故A 错误；244441()()n kn n kn a a n k n kk n k n n k n n k n +⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-=⋅⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，令24()f n n kn =+-，则()y f n =在*N n ∈上单调递增，令0(1)14f k =+->，解得3k >，此时0())1(f n f ≥>，n k n a a +>，故B 正确；()()[()]21212111]()[()n k n n k n k n a a n k n k ++-=++--+-⋅-=+--，当n 为奇数时，2()11kn k n a a k +-=--+，存在1k ≥，使0n k n a a +->成立；当n 为偶数时，2()11kn k n a a k +-=+--，存在2k ≥，使0n k n a a +->成立．综上{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C 正确；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则2222()202202220()()()n k n a a n k t n k n tn k n t k +-=+-++--+=+->，*N n ∈成立，则对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立．即对于(2)0k t +->，存在3k ≥使之成立，且对于0()2k t +-≤，存在2k ≤使之成立，所以23t -<，且22t -≥，解得45t ≤<，故D 正确．故选：BCD.13．7【分析】根据题中所给的数据，推出数列的通项公式，即可得出答案.【详解】解：∵1a =2a =3a =4a =n a =.=3n －1＝20⇒n ＝7，∴7项．故答案为：7.14．1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，【分析】根据21n n S =-求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列{}n a 的通项公式.【详解】解：当1n =时，111231a S ==-=-，所以11a =-，当2n =时，2212231a a S +==-=，即得到22a =，因为23n n S =-①，所以当2n ≥时，1123n n S --=-②，①-②得()()11123232n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11121a -==不满足11a =-，所以1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，注意验证1n =的情况，属于中档题.15．()1n n +【分析】由n 边形有n 个顶点及图形的生成规律确定．【详解】由题意第2n -个图形是由n 边形的每边中间向外扩展n 边形得到，顶点数为2(1)n n n n +=+．故答案为：(1)n n +．16．17【分析】根据题意求得n a n =及4(4)(5)2n n n S +++=，化简14212(1)71n n a a S n n ++=++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为376,28S S ==，可得1133672128a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,1a d ==，所以n a n =，所以4(4)(14)(4)(5)22n n n n n S ++++++==，则141221(4)(5)12127(1)747214n n a a n n n S n n +++==≤=++++++++，当且仅当3n =时，等号成立，所以14n n a a S ++的最大值是17.故答案为：17.17．（1）13n n a -=；（2）214n n -+.【分析】（1）由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则{}n a 的通项公式易求；（2）由（1）得：1313,19b b ==，由此求得公差d ，代入等差数列前n 公式计算即可.【详解】（1）因为111,3n na a a +==所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=.（2）由（1）得：1123313913,19b a a a b =++=++==，则3124,2b b d d -==-=-，，所以()()21132142n n n n S n S n n +=+⨯-⇒=-+.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--==-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ①由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑ ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯-⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑.因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.19．(1)2nn a =(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据11,1,2,N n nn S n a S S n n -=⎧=⎨-≥∈⎩，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知12n nn b +=，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）解：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12(2)n n a a n -=≥.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故1222n n n a -=⨯=.（2）解：由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n n n T +=++++L ①231123122222n n n n n T ++=++++ ②，①-②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎝⎭L 21111112211212n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--1111133122222n n n n n ++++=+--=-.所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-20．（1）()*1()2n f n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ；（2）详见解析.【分析】（1）令1y =，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将n a 表示出来，利用错位相减法得到前N 项和，最后证明不等式.【详解】（1）令1y =，得()()()11f x f x f +=⋅，∴()()()11f n f n f +=⋅，即()()()()*111,22n f n f n n N f n +⎛⎫=∴=∈ ⎪⎝⎭（2）12n n a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设121n a n n T a a a a a -=+++⋯++，则()23111111123122223n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①()()23111111111221322322n n n n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②来①-②得11122n n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23111111221111111112222222212n n n n n n T n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()12222n n T n ⎛⎫∴=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- -+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，故()13132n a n n =+-=-.（2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n nT b b b b =++++ 11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.22．（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大【分析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n 年时累计利润的解析式()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L ，则()0f n >，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为()6420028f n n n n ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n 年时累计利润为()f n ，()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L 6400(200800)12800n n n =-+-2200560012800n n =-+-()22002864n n =--+，开始获利即()0f n >，∴()220028640n n --+>，即228640n n -+<，解得1414n -<<+5.7≈，∴2.625.4n <<，∴公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为()642002828)2400f n n n n ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，当且仅当64n n=，即8n =时，等号成立．即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.。
福建省上杭县第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(6月)数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年度上杭一中6月月考高二（文）数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分.）1. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：根据全称命题的否定的原则：:换量词，否结论，不变条件，写出否定形式即可.详解：根据全称命题的否定原则得到为，.故答案为：B.点睛：全称命题的否定式特称命题，原则是:换量词，否结论，不变条件，特称命题的否定式全称命题,否定形式如上.2. 若为实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，故选B．考点：复数的运算．视频3. 若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据集合的补集运算得到结果即可.详解：全集，=，.故答案为：A.点睛：这个题目考查的是集合的补集运算，也考查到了二次不等式的计算,较为简单.4. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数.A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】B【解析】试题分析：②是一个一般性的结论,是大前提；①说明是一个三角函数,是一个特殊性的结论,是小前提；③即是结论.故选B.考点：三段论.5. 已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可．详解：当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期为2．所以f（2017）=f（1），f（2018）=f（0）又f（x）为奇函数，所以f（﹣2017）=﹣f（2017）而当x∈[0，1]时f（x）=e x﹣1，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）=﹣（e1﹣1）+（e0﹣1）=1﹣e，故选：D．点睛：此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.6. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（）A. ①的假设正确，②的假设错误B. ①的假设错误，②的假设正确C. ①与②的假设都错误D. ①与②的假设都正确【答案】B【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.详解：已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.故答案为：B.点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.7. 已知条件：：，条件：直线与圆相切，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意求得直线与圆相切时的k值，据此可得是的充分不必要条件详解：圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据奇偶性的定义和单调性的定义可判断选项，进行排除得到结果.详解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，为奇函数，不符合题意，对于B，y=2|x|，有f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），为偶函数，且当x∈（0，+∞），f（x）=2|x|=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，函数的定义域为[0，+∞）,定义域关于原点不对称，故得到函数非奇非偶，不合题意；D，是偶函数，但是是周期函数在上不单调.故答案为：B.点睛：这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.9. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.详解：结合所给的流程图执行程序：首先初始化数据：,第一次循环，应满足，执行，，；第二次循环，应满足，执行，，；第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，据此可得输入正整数的最小值为.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据f（0），f（2）和f（x）在（0，+∞）上是否单调结合选项得出答案．详解：∵f（0）=1，故A错误；当x＞0时，f（x）=-e x+2x2，f′（x）=-e x+4x．∴f′（1）=-e+4>0，f′（3）=-e3+12<0，∴f（x）在（0，+∞）上不单调，故C,D错误；故选：B．点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.11. 我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等部算书，被称为“算经十字”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生深厚的兴趣.一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个（他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是（）A. 乙甲丙丁B. 甲丁乙丙C. 丙甲丁乙D. 甲丙乙丁【答案】D【解析】分析：由四人所说话列出表格，再由四个选项依次分析是否满足只有一人说话为真且此人阅读数最少。
河南省周口市项城市5校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
河南省周口市项城市5校2022-2023学年高二下学期6月
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
B ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，且3a b ¹，则5b a
=C ．若直线l 与圆
()
2
235x y -+=相切，则4a b
=-D ．若直线l 是圆22:16E x y +=与圆()()
22:53F x y c ++-=的公共弦所在直线，则
32
c =
四、多选题
12．猜拳是一种由双方玩家进行竞争性博弈的游戏，最古老的记载可追溯到《诗经》，到现在猜拳也是相当受欢迎的休闲娱乐游戏．其游戏规则是：双方玩家按照“剪刀”
∴212x x >-，即122x x +>．
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造方法及利用导数法研究函数的单调性即可.
答案第251页，共22页。
安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)
新安中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷试题范围： 高中数学选修一、二、三册 （侧重二、三册）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．3．平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（ ）A ．B ．C ．D ．54．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P 为椭圆与双曲线的交点，且，则当的值为（ ）ABC ．D5．在半径为R 的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）ABCDR 6．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数满足：，那么下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3()5P A =()15P AB =1(|)2P A B =()P B =15253545(1,1,0),(0,3,0),(2,2,3)A B C AC AB12,,055⎛⎫- ⎪⎝⎭12,,155⎛⎫- ⎪⎝⎭12,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭12,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -112,60,90A AB A AD BAD ∠=∠=︒∠=︒1AC ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 1C 1e 2C 2e 1C 2C 123F PF π∠=11e 12e e +()f x ()()20f x f x '+>(1)f >(0)(2)ef f <(1)(2)f >2(0)e (4)f f >8．已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，A ．增大，增大 B ．减小，减小C ．增大，先增大后减小D ．增大，先减小后增大二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则A ．B ．C ．D ．10．已知1是函数的一个极值点，则（ ）A ．B ．在单调递增C ．1是函数的极大值点D ．的对称中心为11．已知在平面直角坐标系中，，点P 满足，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为B ．在C 上存在点D ，使得D 到点的距离为3C ．在C 上存在点M ，使得D ．在C 上存在点N ，使得三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ．13．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a 的值是012ξ()01p ∈，()E ξ()D ξ()E ξ()D ξ()E ξ()D ξ()E ξ()D ξ12X Y ()()00P X P Y =>=()()22P X P Y =>=()()E X E Y >()()D X Y D >32()1f x x bx x =+++2b =-()f x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xOy ()()2,0,4,0A B -12PA PB =()22416x y ++=()1,12MO MA =224NO NA +={}n a {}11,2n n a a +-∈{}n a 32(),()f x x x g x x a =-=+()y f x =(1,(1))f --()y g x =ξP()21p -()21p p -2p14．如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格，已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达，则可能的不同路径有条（用数字作答）；设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设为数列的前项和．已知．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．16．（15分）已知点在抛物线：上，点F 为的焦点，且．过点F 的直线与及圆依次相交于点A ，B ，C ，D ，如图．(1)求抛物线的方程及点M 的坐标；(2)证明：为定值；A 102p p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12p -1414A B A B ()f p ()f p p n S {}n a n 43n n a S n -=13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()2log 31n n b a =+11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T (),4M m Γ()220x py p =>Γ5MF =l Γ()2211x y +-=ΓAC BD ⋅17．（2024全国II 卷）如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，，将沿EF 翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．（2024全国甲卷）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．19．（17分）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.（1）若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；（2）若某天仅进行了次训练，五个项目均有训练，且第次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望；（3）若某天规定第一次训练的是“力量”，从第二次起，后面训练项的选择服从上述计划的安排，设表示第次训练的是“力量”的概率，求的值.8AB =3CD=AD =90ADC ︒∠=30BAD ︒∠=25AE AD = 12AF AB =AEF △PEF!PC =EF PD ⊥()()()1ln 1f x ax x x =-+-2a =-()f x 0x ≥()0f x ≥a 61X 6X ()i P i *∈N i 6P参考答案：1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C 9．BC 10．AD 11．ABD 12．5513．314．3515．（1）是首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）可知，，则，所以，，，.16．（1），由，故点坐标为：或.（2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：，由，设，，则，由抛物线的定义得：，，所以：，即为定值1.17．（1）,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，2713n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭434111144333n n n a a-⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭413n n a -=()22log 31log 42nn n ba n =+==()()11111112224141n nb b n n n n n n +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭()122311111111111111422314141n n nnT bb bb b b n n nn +⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭24x y =24416m =⨯=⇒4m =±M ()4,4()4,4-()0,1F l 1y kx =+214y kx x y =+⎧⎨=⎩⇒2440x kx --=()11,A x y ()22,B xy 124x xk +=12·4x x =-11AF y =+21BF y =+()()·11AC BD AF BF =--12·y y=2212·16x x =()24116-==·AC BD2EF ==222AE EF AF +=AE EF ⊥EF AD ⊥,EF PE EF DE ⊥⊥,PE DE E PE DE =⊂ 、PDE EF ⊥PDE PD ⊂PDE EF ⊥PD CE 90,3ADC ED CD ︒∠===22236CE ED CD =+=PEC 6PC PE EC ===222EC PE PC +=PE EC ⊥PE EF ⊥,EC EF E EC EF =⊂ 、ABCD PE ⊥ABCD ED ⊂ABCD PE ED ⊥,,PE EF ED E xyz -(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -F AB (4,B (4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-PCD PBF 111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令，所以，所以设平面和平面所成角为，则，18．（1）当时，，，故当时，，当时，，在处极小值为无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.19．（1）第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，所以第三次训练的是“弧线”的概率为；（2）由题意知“旋转”项最多训练次，所以的不同取值为、，（后五次训练次序列表）①后五次训练中未练“旋转”：另四项中有一项训练了次，四项中选一项练次，可放、、、、、，共有种；②“旋转”项练了次：“旋转项”可在、、、位置，故有种.所以，，.；（3）由题意，表示第次训练的是“力量”的概率，则第次训练的不是“力量”的概率为，则，122,y x ==11220,3,1,1x z y z ===-=(0,2,3),1,1)n m ==-cos ,m n m n m n ⋅===PCD PBF θsin θ==2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++10x -<<()0f x '<0x >()0f x '>()f x 0x =()00f =()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+12a ≤-()0s x '>()s x ()0,∞+()()00s x s >=()0f x '>()f x [)0,∞+()()00f x f ≥=102a -<<210a x a +<<-()0s x '<()s x 210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0s x s <210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭()()00f x f <=0a ≥()0s x '<()0,∞+()0,∞+()()00f x f <=12a ≤-11115420⨯⨯=431354420⨯⨯=13120205+=2X 121234522()1,3()1,4()1,5()2,4()2,5()3,513436144C A =23456144496C A =()14431144965P X ===+()9622144965P X ===+()32712555E X =⨯+⨯=i P i i 1i P -11P =X12P3525，，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，，则.()1114i i P P +=-i *∈N 1111545i i P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11455P -=14-1141554i i P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1411545i i P -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭i *∈N 61641151545256P -⎛⎫=-+=⎪⎝⎭。
北京市首都师范大学附属中学(通州校区)2022-2023学年高二下学期6月月考数学试卷 - 副本
首师大附中（通州校区）高二月考
数学试卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
4．设随机变量()2,X
B p ，()4,Y B p ~，若()9
4
=0P X =
，则()D Y =（ ） A ．23
B ．43
C ．49
D ．89
5．某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A 只能安排在第一或最后一场，讲座B
和C 必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种
二、填空题（每小题5分，共25分）
13．
一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品， 则至少取到2个正品的概率为__________ 14．若()()2
1ln 2f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数， 则b 的取值范围是____．
三、解答题（共85分）
16．（共12分）袋子中有标号为1号的球3个，标号为2号的球3个，标号为3号的球2个，如下表。
现从这8个球中任选2个球．
（1）求选出的这2个球标号相同的概率；
（2）设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布与数学期望．
1
a时，判断函数
2
21．（共15分）已知函数()ln f x a x bx b =-+，e ()x
g x a x
=-(0)x >.
（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，
求实数,a b 的值；
（Ⅱ）当a b =且a e 时，证明：1x =为函数()()()F x f x g x =+的极小值点；。
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、双空题16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p qa a p q =ÎN ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”.若{}na 为“和谐递进数列”，且124681,2,1,6a a a a a ===+=，则7a =__________，n S 为数列{}na 的前n 项和，则2022S =__________.(1)求证：FM P 平面ADE ;(2)若1,BC =已知直线AF 与平面ABCD 所成角为30°，求二面角A FB C --的余弦值.20．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 名学生的成绩为()(),1,2,3,20iix yi =×××，其中i x ，i y 分别为第i 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：11．AC【分析】A 选项，作出辅助线，得到AC ⊥BD ，1AC DD ^，得到线面垂直，证明出AC ⊥BP ；B 选项，假设1B D ⊥平面EFPQ ，推出矛盾，B 错误；C 选项，作出辅助线，得到//EF BD ，1//FP BC ，证明出面面平行；D 选项，作出辅助线，找到异面直线CE 和1FD 所成角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.【详解】对于A ，如图1所示，因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又因为几何体为长方体，所以1DD ⊥平面ABCD ，因为AC Ì平面ABCD ，所以1AC DD ^，又因为1BD DD D =I ，1,BD DD Ì平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，又因为BP Ì平面1BDD ，所以AC ⊥BP ，故结论正确；对于B ，如图2所示，假设1B D ⊥平面EFPQ .因为PQ Ì平面EFPQ ，所以1B D ⊥PQ .因为P ，Q 分别为棱1DD ，1BB 的中点，所以四边形PQDB 为平行四边形，故//PQ BD ，所以1B D BD ^，显然1B D BD ^不成立，故假设错误，所以结论错误；对于C ，如图3所示，连接BD ，1AD ，1C B ，1C D ，由条件可知//EF BD ，因为EF Ì平面EFPQ ，BD Ë平面EFPQ ，所以//BD 平面EFPQ ，又1//FP AD ，11//BC AD ，所以1//FP BC ，因为PF Ì平面EFPQ ，1BC Ë平面EFPQ ，所以1//BC 平面EFPQ ，又因为1BC BD B =I ，1,BC BD Ì平面1BC D ，所以平面1//BC D 平面EFPQ ，故结论正确；对于D ，如图4所示，在CD 上取靠近D 的一个四等分点G ，连接FG ，1D G ，取CD 中点H ，连接AH ，则G 是DH 的中点，所以//FG AH ，又四边形AECH 为平行四边形，所以//CE AH ，故//FG EC ，所以CE 和1FD 所成角即为1D FG Ð或其补角，设13DD =，则AD ＝CD ＝2，。
2021-2022学年北京八中高二(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)
2021-2022学年北京八中高二（下）月考数学试卷（6月份）1. 设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x∈Z|−2≤x≤2}.则A∩B的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 设x∈R，则“x>1”是“1x<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩∁U B=⌀”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知a，b都为正实数，2a+b=1，则ab的最大值是( )A. 29B. 18C. 14D. 125. 等差数列{a n}中，如果a4=2，那么a2a6的最大值为( )A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知函数f(x)={2x+1,x<1x2+ax,x≥1，若f[f(0)]=4a，则实数a等于( )A. 12B. 45C. 2D. 97. 在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项8. 设{a n}是公比为q的等比数列，则“q > 1”是“{a n}为递增数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列.令b n=1a n a n+2，数列{b n}的前n项和为T n，若对于∀n∈N∗，不等式T n<λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A. λ≥13B. λ>15C. λ≥15D. λ>010. 曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f′(1)−f(1)=( )A. 0B. −1C. 1D. −1211. 若“∃x 0∈(0,2)，使得2x 02−λx 0+1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是( )A. 1B. 2√3C. 3D. 3√212. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有( )A. 25种B. 27种C. 29种D. 31种13. 若x >1，则x +4x−1的最小值为__________.14. 已知数列{a n }的前n 项和公式S n =n 2−2n +1，则其通项公式a n =______.15. 如图，函数y =f(x)在[1,3]上的平均变化率为______.16. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，则{a n }的前20项和等于______.17. 给定数集M ，若对于任意a 、b ∈M ，有a +b ∈M ，且a −b ∈M ，则称集合M 为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______. ①集合M ={−2,−1,0,1,2}是闭集合；②正整数集是闭集合；③集合M={n|n=3k,k∈Z}是闭集合；④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．18. 从条件①2S n=(n+1)a n，②√S n+√S n−1=a n(n≥2)，③a n>0，a n2+a n=2S n中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，_____.若a1，a k，S k+2成等比数列，求k的值.19. 已知函数f(x)=alnx+x2−3x(a≠0).(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(x)有唯一极值点x0，求关于x0的不等式a>f(2x0)的解集．20. 已知函数f(x)=e x−ax−1.(1)当a=2时，求曲线在(1,f(1))处的切线方程；(2)若g(x)=f(x)−x2，且g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，求a的取值范围.21. 已知函数f(x)=ax+1.e x(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；(Ⅰ)当a≥1时，求证：f(x)≤(a−1)x+1；(Ⅰ)直接写出a的一个取值范围，使得f(x)≥ax2+(a−1)x+1恒成立．22. 已知各项均为整数的数列A N：a1，a2，…，a N(N≥3,N∈N∗)满足a1a N<0，且对任意i=2，3，…，N，都有|a i−a i−1|≤1.记S(A N)=a1+a2+…+a N.(Ⅰ)若a1=3，写出一个符合要求的A6；(Ⅰ)证明：数列A N中存在a k使得a k=0；(Ⅰ)若S(A N)是N的整数倍，证明：数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出集合A，B，然后利用交集的定义求出A∩B，即可得到答案．【解答】解：集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，又B={x∈Z|−2≤x≤2}={−2,−1,0,1,2}，所以A∩B={−1,0,1,2}，故A∩B的元素个数为4个．故选：C.2.【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的判断方法判断选项即可．本题考查充分条件、必要条件的判断，基本知识的考查．【解答】<1”解得x<0或x>1，解：“1x<1”的充分不必要条件，故“x>1”是“1x故选：A.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．结合韦恩图进行判定A⊆B⇒A∩∁U B=⌀，而A∩∁U B=⌀⇒A⊆B，从而确定出A⊆B与A∩∁U B=⌀的关系．【解答】解：由韦恩图可知，A⊆B⇒A∩∁U B=⌀，反之也可得出A∩∁U B=⌀⇒A⊆B∴“A⊆B”是“A∩∁U B=⌀”的充要条件，故选：C.4.【答案】B【解析】解：因为a，b都为正实数，2a+b=1，则ab=12(2a⋅b)≤12(2a+b2)2=12×14=18，当且仅当2a=b=12时取等号．故选：B.由已知结合基本不等式可得ab=12(2a⋅b)≤12(2a+b2)2，可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}中，4=2a4=a2+a6，那么a2a6≤(a2+a62)2=4，当且仅当a2=a6=2时取等号．故选：B.等差数列{a n}中，4=2a4=a2+a6，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】先求出f(0)=2，再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．本题考查分段函数代值计算，属于中档题.【解答】解：由题知f(0)=2，f[f(0)]=f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2.故选：C.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=−9，a5=−1，得d=a5−a15−1=−1−(−9)4=2，∴a n=−9+2(n−1)=2n−11.由a n=2n−11=0，得n=112，而n∈N∗，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知T1=−9<0，T2=63>0，T3=−315<0，T4=945>0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{T n}有最大项，无最小项．故选：B.8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于中档题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，若{a n}为递增数列，则a n+1−a n=a1q n−1(q−1)>0对∀n∈N∗恒成立，即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1，所以由q>1⇏{a n}为递增数列，由\(\left\{{a}_{n}\right\}\)为递增数列\(⇏q>1\)，故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.9.【答案】A【解析】解：由题意，可知S1=a1，S2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4(a1+3)，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S 22=S 1S 4，即(2a 1+2)2=4a 1(a 1+3)，解得a 1=1，故a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗， ∴b n =1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，则T n =b 1+b 2+b 3+…+b n−1+b n=14⋅(1−15)+14⋅(13−17)+14⋅(15−19)+…+14⋅(12n−3−12n+1)+14⋅(12n−1−12n+3) =14⋅(1−15+13−17+15−19+…+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3)=14⋅(1+13−12n +1−12n +3) =13−n +1(2n +1)(2n +3)<13，∵对于∀n ∈N ∗，不等式T n <λ恒成立，∴λ≥13.故选：A.本题先根据等差数列的求和公式以及等比中项的性质可列出关于首项a 1的方程，解出a 1的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步可计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n 项和T n 的表达式，再结合题意即可得到实数λ的取值范围．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和，数列与不等式的综合．考查了方程思想，转化与化归思想，不等式的运算能力，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．10.【答案】C【解析】解：由切线经过点(0,−1)和(2,0)， 可得切线的斜率为0−(−1)2−0=12，切线的方程为y =12x −1， 可得f(1)=−12，f′(1)=12， 则f′(1)−f(1)=12+12=1. 故选：C.由切线经过两点(0,−1)和(2,0)，可得切线的方程，进而得到切点和切线的斜率，可得所求值． 本题考查切线的斜率和切点的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．【解析】解：∵“∃x0∈(0,2)，使得2x02−λx0+1<0成立”是假命题，∴∀x∈(0,2)，都有2x2−λx+1≥0成立是真命题，即∀x∈(0,2)，λ≤2x+1x恒成立，因为2x+1x ≥2√2x⋅1x=2√2，当且仅当2x=1x，即x=√22时取等号，所以λ≤2√2，根据选项可知，只有1满足条件，故选：A.将命题转化为∀x∈(0,2)，都有2x2−λx+1≥0成立，即λ≤2x+1x恒成立是真命题，然后利用基本不等式求出λ的取值范围，再结合选项得到可能的值．本题以命题的真假的应用为载体考查了不等式恒成立问题的求解，解题的关键是将特称命题转化成全称命题，属基础题．12.【答案】C【解析】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19−3= 16(种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是14+16−1=29(种)；分别用集合A、B、C表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时对应的情况可以用下图表示，故选：C.由题意求出第一天售出且第二天没有售出的商品种数和第三天售出的且第二天未售出的商品种数，利用集合表示商品种数，画出图形容易得出正确的结果．本题考查集合的应用，属于基础题．【解析】 【分析】根据x >1推断出x −1>0，然后把x +4x−1整理成x −1+4x−1+1，进而利用基本不等式求得其最小值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则． 【解答】解：∵x >1，∴x −1>0 ∴x +4x−1=x −1+4x−1+1≥2√(x −1)⋅(4x−1)+1=5(当x =3时等号成立)，故答案为：5.14.【答案】{0,n =12n −3,n ≥2【解析】解：S n =n 2−2n +1，当n =1时，S 1=1−2+1=0，∴a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 又∵a 1=0不满足a n =2n −3，∴a n ={0,n =12n −3,n ≥2.故答案为：{0,n =12n −3,n ≥2.利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解，注意验证首项是否满足n ≥2时的通项公式．本题主要考查了数列的递推式，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了学生的计算能力，是基础题．15.【答案】−1【解析】解：依题意可得f(1)=3、f(3)=1， 所以f(x)在[1,3]上的平均变化率ΔyΔx =f(3)−f(1)3−1=1−33−1=−1；故答案为：−1.根据平均变化率公式计算可得；本题考查平均变化率的求法，考查计算能力，是基础题．16.【答案】300【解析】解：因为a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，所以a 2=a 1+1=2，a 3=a 2+2=4，a 4=a 3+1=5， 由题意可得a 2n+1=a 2n−1+3，a 2n+2=a 2n +3， 其中a 1=1，a 2=a 1+1=2， 可得a 2n =3n −1，n ∈N ∗，则a 2n−1=a 2n−2+2=3(n −1)−1+2=3n −2，n ≥2， 当n =1时，a 1=1也适合上式， 所以a 2n−1=3n −2，n ∈N ∗，所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.故答案为：300.由数列{a n }的通项公式可求得a 2，a 4，推出数列{a n }的通项公式可得数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】③【解析】解：①集合M ={−2,−1,0,1,2}，∵−2∈M ，−1∈M ，而−2−1=−3∉M ，∴M 不是闭集合；②正整数集Z ，∵1∈Z ，2∈Z ，而1−2=−1∉Z ，∴正整数集不是闭集合；③集合M ={n|n =3k,k ∈Z}，设任意a 、b ∈M ，则a =3k 1，b =3k 2，k 1∈Z ，k 2∈Z ， ∴a +b =3(k 1+k 2)∈M ，a −b =3(k 1−k 2)∈M ，∴集合M ={n|n =3k,k ∈Z}是闭集合； ④若集合A 1、A 2为闭集合，如A 1={n|n =2k,k ∈Z}，A 2={n|n =3k,k ∈Z}， 则2∈A 1，3∈A 2，而2+3=5∉A 1∪A 2，∴A 1∪A 2不是闭集合． 故答案为：③．根据闭集合的定义，结合各命题的条件分别判断即可． 本题考查了在新定义下，集合的运算，是基础题．18.【答案】解：选择①2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，相减可得：2a n+1=(n +2)a n+1−(n +1)a n ，∴a n+1n+1=an n ， ∴a n n =a11=1，可得：a n =n.∴S k+2=(k +2)(1+k +2)2=(k +2)(k +3)2.∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴k 2=(k+2)(k+3)2，k ∈N ∗，解得k =6.选择②√S n +√S n−1=a n (n ≥2)，变形得：√S n +√S n−1=S n −S n−1=(√S n +√S n−1)(√S n −√S n−1)，S n >0，化为：√S n −√S n−1=1，∴数列{√S n }是等差数列，首项为1，公差为1.∴√S n =1+n −1=n ，解得S n =n 2. ∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1.∴S k+2=(k +2)(1+2k +3)2=(k +2)(k +2)∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴(2k −1)2=(k +2)2，k ∈N ∗，解得k =3.选择③a n >0，a n 2+a n =2S n ，∴a n+12+a n+1=2S n+1，相减可得：a n+12+a n+1−a n 2−a n =2a n+1，化为：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)=0， 可得：a n+1−a n =1，∴数列{a n }是首项与公差都为1的等差数列，∴a n =1+n −1=n.∴S n =n(n+1)2， ∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴k 2=(k+2)(1+k+2)2，k ∈N ∗，解得k =6.【解析】选择①2S n =(n +1)a n ，可得2S n+1=(n +2)a n+1，相减可得：a n+1n+1=a nn，可得：a n 及其S k+2.根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k.选择②√S n +√S n−1=a n (n ≥2)，变形得：√S n +√S n−1=S n −S n−1=(√S n +√S n−1)(√S n −√S n−1)，S n >0，化为：√S n −√S n−1=1，利用等差数列的通项公式可得S n .可得n ≥2时，a n =S n −S n−1，S k+2.根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k. 选择③a n >0，a n 2+a n =2S n ，可得a n+12+a n+1=2S n+1，相减可得：a n+1−a n =1，利用等差数列的通项公式求和公式可得：a n ，S n ，根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =1时，f(x)=lnx +x 2−3x ， f′(x)=1x +2x −3=2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，由f′(x)=0，解得x =12或x =1，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x =2时，f(x)取得极大值−4−ln2；当x =1时，f(x)取得极小值为−2.(2)由f(x)=alnx +x 2−3x(a ≠0)， 得f′(x)=a x+2x −3=2x 2−3x+ax(x >0)，设g(x)=2x 2−3x +a ，它的图像是开口向上，对称轴为直线x =34，且在y 轴上的截距为a 的抛物线，所以要使f(x)只有一个极值点x 0，只需要a <0，且a =3x 0−2x 02， 不等式a >f(2x 0)可化为a >aln2x 0+4x 02−6x 0=a(ln2x 0−2)，化为ln2x 0−2>1，解得x 0>e 32， 所以原不等式的解集为(e 32,+∞).【解析】(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−3x ，求导得f′(x)=(2x−1)(x−1)x，令f′(x)=0，得x =12或x =1，分析随着x 变化，f′(x)，f(x)的变化情况，即可得出答案． (2)求导得f′(x)=ax +2x −3=2x 2−3x+ax(x >0)，设g(x)=2x 2−3x +a ，要使f(x)只有一个极值点x 0，只需要a <0，且a =3x 0−2x 02，不等式a >f(2x 0)可化为a >aln2x 0+4x 02−6x 0=a(ln2x 0−2)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=e x −2x −1，f(1)=e −3，∴f′(x)=e x −2，f′(1)=e −2， 故切线方程是：(e −2)x −y −1=0； (2)∵g(0)=f(0)−0=0，故原条件等价于：在(0,+∞)上，g(x)=e x −x 2−ax −1≥0恒成立， 化为a ≤e x −x 2−1x，令ℎ(x)=e x −x 2−1x， 则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2， 令m(x)=e x −x −1，则m′(x)=e x −1，令m′(x)>0，解得：x >0，故m(x)在(0,+∞)递增，而m(0)=0，故e x −x −1>0在(0,+∞)恒成立，令ℎ′(x)>0，解得：x >1，令ℎ′(x)<0，解得：0<x <1， 故ℎ(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −2， 故a ≤e −2.【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可； (2)问题转化为a ≤e x −x 2−1x，令ℎ(x)=e x −x 2−1x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，求出a 的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x+1e x，则f′(x)=e x −(x+1)e x(e x )2=−x e x， 令f′(x)=0，即x =0，所以当x <0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x >0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 因此f(x)在x =0处取得极大值，f(0)=0+1e 0=1，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，单调递减区间为(0,+∞)，在x =0处取得极大值，且极大值为1；(Ⅰ)证明：要证f(x)≤(a −1)x +1，即证ax+1e x −(a −1)x −1≤0， 因此设g(x)=ax+1e x−(a −1)x −1，则g′(x)=a−ax−1e x−(a −1)=a−ax−1−(a−1)e xe x，令m(x)=a −ax −1−(a −1)e x ，则m′(x)=−a −(a −1)e x ， 因为a ≥1，所以m′(x)=−a −(a −1)e x ≤0， 因此m(x)单调递减，且m(0)=a −1−(a −1)e 0=0， 所以x ∈(−∞,0)时，m(x)>0；当x ∈(0,+∞)时，m(x)<0； 即x ∈(−∞,0)时，g′(x)>0；当x ∈(0,+∞)时，g′(x)<0； 所以g(x)在x ∈(−∞,0)上单调递增，在x ∈(0,+∞)上单调递减， 所以g(x)在x =0处取得极大值也是最大值，且g(0)=1e 0−1=0，故ax+1e x −(a −1)x −1≤0.(Ⅰ)要证f(x)≥ax 2+(a −1)x +1，即证ax+1e x ≥ax 2+(a −1)x +1，也即是ax +1≥ax 2e x +(a −1)xe x +e x ，即证ax(xe x +e x −1)≤xe x −e x +1， 令G(x)=xe x −e x +1，则G′(x)=xe x ， 当x >0时，G′(x)>0，即G(x)单调递增； 当x <0时，G′(x)<0，即G(x)单调递减；所以G(x)min=G(0)=0，故xe x−e x+1≥0，令H(x)=x(xe x+e x−1)=x2e x+xe x−x，则H′(x)=(x2+3x+1)e x−1令M(x)=(x2+3x+1)e x−1，则M′(x)=(x2+5x+4)e x，M′(x)=0，则x1=−4，x2=−1所以x<−4和x>−1时，M′(x)>0，则M(x)单调递增；−4<x<−1时，M′(x)<0，则M(x)单调递减，且M(−4)=5e−4−1<0，M(−1)=−e−1−1<0，M(0)=e0−1=0，因此x<0时，M(x)<0，即H′(x)=(x2+3x+1)e x−1<0，所以H(x)单调递减，x>0时，M(x)>0，即H′(x)=(x2+3x+1)e x−1>0，所以H(x)单调递增，所以H(x)min=H(0)=0，即x(xe x+e x−1)≥0因此当a≤0时，fx≥ax2+(a−1)x+1恒成立．【解析】(Ⅰ)求导判断函数的单调性，进而可求出极值；−(a−1)x−1，求出函数的最大值即可得出结论；(Ⅰ)构造函数g(x)=ax+1e x(Ⅰ)将f(x)≥ax2+(a−1)x+1变形为ax(xe x+e x−1)≤xe x−e x+1，分别证得x(xe x+e x−1)与xe x−e x+1恒非负，即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，属中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)3，2，1，1，0，−1.(答案不唯一).(Ⅰ)证明：∵a1a N<0，∴a1，a N异号，假设a1<0，a N>0，设T=|i|a1<0，i∈{1,2,3,⋅⋅⋅,N}，∵a1<0，∴T≠⌀，又∵T是有限自然数集，∴可设T中的最大数为m，(1≤m≤N−1)，令k=m+1，则a k≥0，∵|a k−a k−1|=a k−a k−1≤1，∴a k≤1+a k−1=1+a m<1，∵0≤a k<1，且a k为整数，∴a k=0，∴若数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N(N≥3)满足a1<0，a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|a i−a i−1|≤1，则存在a k，使得a k=0，若a1>0，a N<0，则数列−a1，−a2，⋅⋅⋅，−a N满足−a1<0，−a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|(−a i)−(−a i−1)|=|a i−a i−1|≤1，∴存在−a k，使得−a k=0，即存在a k，使得a k=0，∴数列A N中存在a k使得a k=0.(Ⅰ)证明：设t=S(A N)，则t∈Z，N设数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N中最大的值为M>0，最小值为m<0，∵N m<S(A N)<N M，∴m<t=a1+a2+⋅⋅⋅+a N<M，N设在数列A N中，a i=m，a j=M，若i<j，∵|a i−a j|=M−m≥1−(−1)=2，∴j≥i+2，设数列B：a i−t，a i+1−t，⋅⋅⋅，a j−t，则数列B至少有3项，∵(a i−t)(a j−t)=(m−t)(M−t)<0，且对任意k=1，2，⋅⋅⋅，j−1，都有|(a i+k−t))−(a i+k−1−t)|=|a i+k−a i+k−1|≤1，=a r，∴由(Ⅰ)可知存在a r−t，使得a r−t=0(r∈{i+1,i+2,⋅⋅⋅,j−1},即t=S(A N)N若i>j，设数列t−a j，t−a j+1，⋅⋅⋅，t−a i，=a r，同理，存在t−a r，使得t−a r=0(r∈{j+1,j+2,⋅⋅⋅,i−1},即t=S(A N)N综上，若S(A N)是N的整数倍，则数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.【解析】(Ⅰ)3，2，1，1，0，−1.(答案不唯一).(Ⅰ)a1，a N异号，假设a1<0，a N>0，设T=|i|a1<0，i∈{1,2,3,⋅⋅⋅,N}，设T中的最大数为m，(1≤m≤N−1)，令k=m+1，则a k≥0，推导出a k=0，若数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N(N≥3)满足a1<0，a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|a k−a k−1|≤1，则存在a k，使得a k=0，由此能证明数列A N中存在a k使得a k=0.(Ⅰ)设t=S(A N)，则t∈Z，设数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N中最大的值为M>0，最小值为m<0，则N<M，设在数列A N中，a i=m，a j=M，设数列B：a i−t，a i+1−t，⋅⋅⋅，m<t=a1+a2+⋅⋅⋅+a NNa j−t，则数列B至少有3项，由此入手能证明若S(A N)是N的整数倍，则数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.本题考查数列的求法，考查数列性质的证明，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是难题．。
北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示 2 + 2 + 4 = 8 个不同整数. 故选：B. 9．C
【分析】先判断当
x
<
0
时，一定有
x
+
4 x
£
-4
成立，再利用反证的思想说明当
x
+
4 x
£
-4
时,
一定有 x < 0 成立，即可判断出答案.
【详解】函数 y = ln (2x) 可看做函数 y = ln t 与 t = 2x 的复合函数，
所以
yx¢
=
yt¢
×
t
¢
x
=
1 2x
×
2
=
1 x
，
所以
f
¢(
x)
=
1 x
，故
f
¢(2)
=
1 2
，
故选：C. 4．C 【分析】根据含全称量词的命题的否定方法求其否定，可得结论.
【详解】命题“ "x Î R,ex ³ ex ”的否定是“ $x Î R,ex < ex ”，
每个环节制作合格的概率分别为
3 4
，
4 5
，
2 3
，只有当每个环节制作都合格时.这件作品
才算制作成功，
(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率； (2)若小萌同学制作了 3 件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数
为 X .求 X 的分布列及期望. 19．某超市销售 5 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和
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高二下学期数学6月月考试卷
一、单选题
1. 已知集合，集合，
则（）
A .
B .
C .
D .
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C . 1
D .
3. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）
A . -3
B . 1
C . 3
D . 0
4. 已知角的终边上的一点，则
的值为（）
A .
B .
C .
D .
5. 已知，表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是（）
A . 若，，则
B . 若
，，则 C . 若，，则 D . 若，，则
6. 已知函数的定义域为，满足
，当时，，则函数的大致图象是（）.
A .
B .
C .
D .
7. 等差数列的前项和为，若
，，则（）
A . 48
B . 22
C . 12
D . 36
8. 若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
9. 已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为
A .
B .
C . 6
D .
10. 设函数，若关于x的方程
恰有个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、双空题
11. 函数的定义域为________；已知函数
，则的值是________.
12. 函数的单调减区间是________；已知函数
的图象经过点，则________.
13. 各项均为正数的等比数列中，，，
成等差数列，则________.已知数列的前n项和为，，，则
________.
14. 若向量，为单位向量，与的夹角为，则=________.已知向量，，则在方向上的投影为________.
三、填空题
15. 正三棱柱中，，，
为棱的中点，则异面直线与成角的大小为________．
16. 已知，不等式的解集为
，则________．
17. 在中，已知向量，且
，记角的对边依次为.若
，且是锐角三角形，则的取值范围为________.
四、解答题
18. 的内角的对边为，
（1）求A；
（2）若求．
19. 如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,
, 平面,点M是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）当时,求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知数列中，， .
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和 .
21. 已知点，B ，设函数
，其中O为坐标原点．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当x∈ 时，求函数的最大值与最小值；
22. 已知函数，，且函数
是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围；。