湖北省武汉市新洲一中2019_2020学年高一数学6月月考试题

湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一数学6月月考试题考试时间：6月6日 07：50――09：50一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设m R ∈，向量()1,2a =-，(),2b m m =-，若b a //，则m 等于（ ）A. 23-B.23C. -4D. 42. 在ABC △中，已知1=a ，3=b ，︒=30A ，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒3. 如果实数a ，b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A. a b >B.11b a < C. 11a b a>-D. 220b a -< 4. 已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l ，若21l l ⊥，则实数a 的值为 （ ）A. -3B. -3或0C. 2或-1D. 0或-1 5. 若直线)0,0(1>>=+b a bya x 过点)2,1(，则b a 2+的最小值等于 （ ） A ．9B ．28C ．225+D ．56. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数. 在某种玩法中，用n a 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11=a ，且⎩⎨⎧+-=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,22,1211，则解下5个环所需的最少移动次数为 （ ）A. 7B. 10C. 16D. 317．在ABC ∆中，若222222()sin ()sin a b c a A b a c b B +-=+-（a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边），则此三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. 如图，O 为△ABC 的外心，5=AB ，3=AC ，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则→→⋅AO AM 等于( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5二、多选题（每小题5分，共20分，每题有两个或两个以上正确选项，漏选得3分，错选或不选不得分）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是 （ ）A. 已知A 、B 、C 是平面中三点，若AC AB ,不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B. 若a·b=b·c 且c≠0，则a=cC. 若点G 为ΔABC 的重心，则=++0D.已知a =(1，-2)，b =(2，λ)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1<λ 10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 11. 以下四个命题表述正确的是 （ ）A. 直线)(3)12()1(R m m y m x m ∈-=-+-恒过定点)2,5(-B. 圆222=+y x 上有且仅有3个点到直线01:=+-y x l 的距离都等于22 C. 曲线02:221=++x y x C 与曲线084:222=+--+m y x y x C 恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4>mD. 已知圆2:22=+y x C ，P 为直线032=++y x 上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为212. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2=a ，C B sin 2sin =，有以下四个命题中正确的是（ ）A. 满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形B. ABC ∆面积的最大值为34 C. 当A=2C 时，ABC ∆的周长为322+D. 当A=2C 时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为313- 三、填空题（每小题5分，共20分）13. 若向量，，1=1=3=，则=++|| ． 14. 若圆C 过点（2,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线02=-+y x 被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________________.15. 在ABC ∆，D 是BC 上一点，满足AC a AB a AD 10111010+=，其中{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，则=2020S _________.16．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2π=C ，且不等式c b a 211++cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________． 四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17. 现给出两个条件：①22cos c b A -=，② 222sin2cos 22B Aa b b c +=+．从中选出 一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知|a |=1，|b |=2，且a 与b 夹角是120︒． （1）求|a +b |的值；（2）当k 为何值时，(a +3b )⊥(k a -b )？19. 已知数列{}n a 满足21=a ，11++=+n a a n n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20. 已知圆C ：0422=++++ny mx y x 关于直线01=++y x 对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.21. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB=3，AD=4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥ 于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF=2. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN=135°，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.22. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：n n n a S a 242-=，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有n n T n 1242-≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213、5或2 14、4)4(22=+-y x 15、1010 16、246+ 17、【解析】若选择条件①：（1）因为A b a c cos 232=-，所以由余弦定理可得bc a c b b a c 2232222-+⋅=-，整理可得ac b a c 3222=-+，所以232cos 222=-+=ac b c a B ∵),0(π∈B ，6π=∴B …………5分（2）∵b=2，,6π=B ∴由余弦定理得ac a c 3422=-+又ac c a 222≥+，故423-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号） ，∴)32(4+≤ac 所以3241sin 21+≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为32+ …………10分 若选择条件②： （1）由条件可知，c b Ab B a +=+⋅+-⋅2cos 122cos 12， ∴c A b B a a =+-cos cos 由正弦定理得 )sin(cos sin cos sin sin B A A B B A A +=+- ∴ B A A cos sin 2sin = 又0sin ≠A ，所以21cos =B 又),0(π∈B 所以3π=B …………5分（2）∵b=2，,3π=B ∴由余弦定理得ac a c =-+422又ac c a 222≥+，故42-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号） ∴4≤ac 所以343sin 21≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为3 …………10分18、【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得12121120cos ||||-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅，故3)1(221||22=-⨯++==+. …………6分（2）因为(a +3b )⊥(k a -b )，所以0)13(3)()3(22=⋅-+-=-⋅+k k k ，整理得0)1()13(12=-⨯-+-k k ，解得211-=k ． 即211-=k 当值时，(2)()a b ka b +⊥-． …………12分 19、解：（1）因为11++=+n a a n n ，所以)2(1≥=--n n a a n n ，累加得)2(321≥+++=-n n a a n ，所以)2(222≥++=n n n a n ，又21=a 符合上式，所以222++=n n a n ……6分（2）由（1）知⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=1112)1(2n n n n b n所以121112111312121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n n S n ……12分20、（1）将圆C 化为标准方程，得416)2()2(2222-+=+++n m n y m x∴ 圆心C （2,2nm --），半径21622-+=n m r由已知得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+--24421216012222n m n m n m nm 或 又C 在第四象限， ∴ )2,1(-C∴ 圆C 的标准方程为1)2()1(22=++-y x ……6分 （2）当直线过原点时，若l 斜率不存在显然满足若l 斜率存在，则设kx y l =: ，则4311|2|2-=⇒=++k k k此时直线方程为xy 43-=或0=x ； ……9分当直线不过原点时，设0:=-+t y x l ，则12|21|=--t 解得 21±-=t 此时直线方程为：021021=-++=+++y x y x 或 综上，所求直线的方程为：x y 43-=或0=x 或21±--=x y ……12分 21、【解析】 解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF=2，FPN θ∠=， 所以θtan 2=NF ， 所以θθtan 212)tan 21(2121+=⨯+=⨯=∆PF NA S NAP ， 在直角MEP ∆中，因为1PE =，θπ-=∠4EPM ， 所以⎪⎭⎫⎝⎛-=θπ4tan ME ， 所⎪⎭⎫⎝⎛-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⨯=∆θπθπ4tan 2111)4tan 2(2121PE AM S NAP ， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 24tan 21tan 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θπθ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ. …… 5分 （2）因为2)tan 1(2tan 1tan 224tan 21tan 2++-+=+⎪⎭⎫⎝⎛-+=θθθθπθS ， 令θtan 1+=t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ，得[]2,1∈t ， 所以2112222-+=-+=t t t t t S ， 易得t t y 12+=在[1,2]单调递增，所以当t=1，即0=θ时S 取得最小值25 此时，N 与F 重合，即AN=1时，25min =S ， 答：当1=AN 时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为25. ……12分 22、【详解】（Ⅰ）因为n n n a S a 242-=，所以112124----=n n n a S a （n ≥2）， 两式相减得：)(222411212---+=+-=-n n n n n n n a a a a a a a （n ≥2），又因为数列{a n }的各项均为正数，所以)2(21≥=--n a a n n ，故数列{a n }是公差为2的等差数列 又因为11121224a a S a =-=，可得a 1＝2， 所以22(1)2na n n =+-=； ……4分（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅ ……8分故n n T n 1242-≥λ恒成立，等价于)3(422-≥⨯+n n n n λ恒成立，所以223-≥n λ恒成立. 设n n n k 23-=，则111242322+++-=---=-n n n nn nn n k k ， 所以当n<4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ，当n=4时，45k k = 所以 >>>=<<<7654321k k k k k k k 所以当k n 的最大值为16154==k k ，故161≥λ， 即实数λ的取值范围是：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161． ……12分。