2021年高一数学6月月考测试题
【高一】2021 2021学年上学期高一数学上册第一次月考测试题(附答案)
【高一】2021 2021学年上学期高一数学上册第一次月考测试题（附答案）【高一】2021-2021学年上学期高一数学上册第一次月考测试题（附答案）2022-2022学年第一学期的第一次月度考试高一数学试题（考试时间：120分钟，总分：150分）一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设置，然后等于a.｛２｝b.｛１，２，４，６｝c.｛１，２，４｝d.｛２，６｝2.设置，，，然后设置图中的阴影部分所表示的集合是a、不列颠哥伦比亚省。
3．若，则a、不列颠哥伦比亚省。
4．下列函数是偶函数的是a、不列颠哥伦比亚省。
5.函数的定义域是A.ｒ B C D6．下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一函数的一组是a、 b。
c．d．7.在下面的对应规则中，从集合到集合的映射是b．c。
d．8.如果是，则大小关系为a．b．c．d．9.已知函数f（x）对于任何x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）∈ R、 f（2）=4，那么f（1）=a．-2b．0.5c．2d．110.已知函数是上的偶数函数和上的减法函数。
如果是，则的值范围为a.b.c.d.11.如果已知是的减法函数，则的值范围为a.b．c.d.[12.一种定义集合a和集合B的运算：如果、，则集合中所有元素数之和为a．9b．14c．18d．21二、问题：这个主要问题有4个子问题，每个子问题有4分，总共16分13．函数（且）的图象恒过点。
14.设a={-1,1,3}，B={and，则实数的值为。
15.如图所示，函数的图像为曲线OAB，其中点o、a和B的坐标分别为（o、o）、（1、2）、（3、1），则的值等于。
16.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”。
给出下列四个函数中：⑴⑵⑶（4）可以称之为“理想函数”的是_u（填写相应的序列号）。
三、解答题：本大题共6小题，共计74分。
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)， 故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确； 选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误； 选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误． 故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断； 选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义； 选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得． 本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13， 由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393， 在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误； 对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误． 故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确； 在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误． 故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确． 故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ， 以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2， 故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1， 故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确， 故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)， 由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4， 解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0， 所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0， 所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1， 设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ， 所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2， 在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3， 在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ， 所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得． 本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ， 即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3， 因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6， 在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ， 可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2， 当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0， 所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sinx,1),n →=(√3cosx,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。
2021-2022学年湖北省襄阳市高一年级下册学期6月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则z 的虚部是（ ）z ()i i 1i z +=+A ．B ．C ．D ．1-i-2-2i-【答案】C【分析】由复数的综合运算求得，再根据复数的定义得结论．z 【详解】由题意，所以其虚部为．1ii i 1i 12i i z +=-=-+-=-2-故选：C ．2．的值为（ ）cos15cos30cos75⋅︒⋅︒︒A ．BC ．D 1812【答案】B【分析】运用正弦的二倍角公式可求解【详解】cos15cos30cos 75cos15cos30sin15︒︒=⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒sin15cos15cos30sin 30cos30sin 6011122244=⨯︒⋅︒⨯⋅︒=︒⋅⨯︒=︒=故选：B3．下列命题中正确的有（1）；（2）；（3）；（4）0AB BA += 00AB ⋅= AB AC BC -= ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.【详解】由向量加法三角形法则可知，，故（1）正确；0AB BA +=，故（2）错误；00cos 0,0AB AB AB ⋅=⋅=由向量的加法法则可知，故（3）错误；AB AC CB -=向量乘法不满足分配律， 不一定成立，故（4）错误.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 故选：A【点睛】本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.4．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，()()sin (0,0,02f x A x A πωϕωϕ=+>><<只需要将函数的图像（ ）()2cos 2g x x x=-A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度4π4πC ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度2π2π【答案】A【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 换即可求解.【详解】由题图知：，又，712,1234T T ππππω-=∴==()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，又(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴=∴=∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭将向左平移得.()g x 4π()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭2326'︒2dm 表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：2.98dm，）tan 340.67︒≈tan 56 1.49︒≈A ．B ．C ．D ．2326'︒3234'︒34︒56︒【答案】B 【分析】由题意有，可得，从而可得2tan 0.672.98α=≈MAN ∠β【详解】由图1可得，又，2tan 0.672.98α=≈tan 340.67︒≈所以，所以，34α=︒903456MAN ∠=︒-︒=︒所以，5623263234β''=︒-︒=︒该地的纬度约为北纬，3234'︒故选：．B 6．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的（如图所示），则异面直线与所成的角为（ ）AB CFA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】依题意将图形放到正方体中，如图所示，由正方体的性质可得为异面直线与PQM ∠AB 所成的角，即可得解；CF 【详解】解：二十四等边体可认为是由正方体切去八个全等的三棱锥得到的，如图所示，可知，，//AB PQ //CF MQ 所以为异面直线与所成的角，因为是等边三角形，所以，PQM ∠AB CF PQM 3PQM π∠=故异面直线与所成的角为；AB CF 3π故选：C 7．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则111A B C ∆222A B C ∆A ．和都是锐角三角形111A B C ∆222A B C ∆B ．和都是钝角三角形111A B C ∆222A B C ∆C ．是钝角三角形，是锐角三角形111A B C ∆222A B C ∆D ．是锐角三角形，是钝角三角形111A B C ∆222A B C ∆【答案】D 【详解】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，111A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆由，得，那么，，矛盾，所以2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-2222A B C π++=是钝角三角形，故选D.222A B C ∆8．已知矩形沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折,ABCD 1,AB BC ==ABD BD 过程中A ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AC BDB ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AB CDC ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AD BC D ．对任意位置，三对直线“与 ”，“与 ”，“与 ”均不垂直AC BD AB CD AD BC 【答案】B【详解】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B 是正确的二、多选题9．如图是某市5月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：μg/m 3）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法错误的是（ ）A ．这10天日均值的83%分位数为78；B ．这10天的日均值的中位数为41；C ．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差；D ．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差．【答案】BC【分析】根据折线图可得10天中的PM 2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据统计相关概念运算辨析．【详解】对于选项A ：将10天中的PM 2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据第80百分位数的定义可得，这10天中PM 2.5日均值的第80百分位数是，6078692+=由于这10天日均值的83%分位数估计值大于这10天日均值的80%分位数估计值下一个所以这10天日均值的83%分位数估计值为78，故选项A 正确；对于选项B ：这10天中PM 2.5日均值的中位数为，故选项B 错误；4145432+=对于选项C ：由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项C 错误；对于选项D ：前5天的日均值的极差为41﹣30＝11，后5天的日均值的极差为80﹣45＝35，故选项D 正确．故选：BC ．10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH 1OA =A ．B ．OA OD ⋅= OB OH +=C ．D ．在AH HO BC BO ⋅=⋅AH AB【答案】AB【分析】首先明确正八边形的特征，然后数量积的定义进行计算，可判断A,C;根据向量的加发运算可判断B;根据向量投影的概念可判断D.【详解】图2中的正八边形中，每个边所对的角皆为，其中，ABCDEFGH π4||1OA =对于3πA :11cos 4OA OD ⋅=⨯⨯=对于，故正确．πB :,2BOH OB OH ∠=+==对于，，的夹角为 ,的夹角为 ,C :||||AH BC = ||||HO BO =,AH HO πAHO -∠,BC BO OBC AHO ∠=∠故，故错误．AH HO BC BO ⋅=-⋅对于在向量上的投影向量的模为D :AH AB cos AH 故选：．AB 11．中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，BC 边上的中线，则下列说法ABC 2a =2AD =正确的有：（ ）A ．B ．C ．D ．∠BAD 的最大值为60°3AB AC ⋅=2210b c +=3cos 15A ≤<【答案】ABC【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】∵．A 正确；()()22413AB AC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅-=-=-= ∵，cos cos ADC ADB ∠=-∠∴2222222cos 2cos b c AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠，故B 正确；22222221110AD DB DC =++=⨯++=由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由224242cos 122b c bc A bc bc bc +--=≥=-b c =A 选项知，∴，解得，故C 正确；对于D ，cos 3bc A =22cos cos1133cos AA A ≥-=-3cos 5A ≥，2222213cos 44c c BAD c c+-+∠==≥=c =∵，∴，又∴∠BAD 的最大值30°，D 选项错误．BAD ABD ∠<∠0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭cos BAD ∠≥故选: ABC12．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA ，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），2=2SA AB DE ==,M N ,BC SB Q DC ,D C 则下列说法正确的是（ ）A ．存在点，使得Q NQ SB⊥B ．存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60C ．三棱锥体积的最大值是Q AMN -43D ．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积解决垂直，夹角问题，利用等体积法求三棱锥体积最大值.【详解】以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z 设，则；1DE =2SA AB ==，，，，，，，；()0,0,0A ∴()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,2,1E ()0,0,2S ()1,0,1N ()2,1,0M 对于选项A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，选项A 正确；Q D NQ SB ⊥对于选项B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60，，()1,2,1NQ m =--()0,0,2SA =-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA⋅∴<>===⋅不存在点，使得异面直线与所成的角为，选项B 错误；∴Q NQ SA 60对于选项C ，连接；,,AQ AM AN设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ m S S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值；∴0m =Q D AMQ S 2又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，选项C 错误；()()max max 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于选项D ，由上分析知：，，()1,2,1NQ m =-- (1,1,1)NM =-若是面的法向量，则，(,,)m x y z =NMQ =(1)+2=0=+=0m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅--⎪⎨⋅-⎪⎩ 令，则，而面的法向量，=1x (1,2,3)m m m =-- AMQ (0,0,1)n = 所以，cos ,m n m n m n ⋅<>==3[1,3]t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n <> 故二面角先变小后变大，选项D 正确．故选：AD ．三、填空题13．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm ）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是______．【答案】11【分析】根据已知数据，利用极差的定义计算.【详解】苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为，19811-=故答案为：1114．已知非零向量满足，且，则__________．,a b ||3|3a b == a b += a b -=【答案】【分析】先求得，从而求得.a b ⋅ a b -【详解】由，a b += 22224a a b b +⋅+=，.1221224a b ++⋅+-= 0a b ⋅=所以.a -===故答案为：15．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)．①平均数； ②标准差； ③平均数且极差小于或等于2；3x ≤2S ≤3x ≤④平均数且标准差； ⑤众数等于1且极差小于或等于4．3x ≤2S ≤【答案】③⑤【分析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，3x ≤其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；3x ≤连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.故答案为：③⑤.16．如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 知点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可P MN MN 1A OM 求出结果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF∴点必在线段上．P MN 在中，11Rt A B M 1A M==同理，在中，可得11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形．1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P 又1A O===∴线段1A P 四、解答题17．已知方程的两复数根分别为，，其中的虚部大于02220x x +=-1z 2z 1z (1)求复数，；1z 2z (2)若复数，且，求实数的取值范围34i z a =+312z z z -<a 【答案】(1)，11i z =+21iz =-(2)()0,4【分析】（1）直接解方程即可求解；（2）利用复数的模，再解不等式即可求解.【详解】（1）由，得，2220x x +=-()211x -=-所以，所以，1i x -=±1i x =±而的虚部大于0，所以，.1z 11i z =+21i z =-（2）由（1）中可知，()()211i 1i 2z z =+-=所以可化为312z z z -<4i 2a +-<即()24i a -+<，解得，<04a <<即实数的取值范围是.a ()0,418．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k ）．【答案】(1)0.025(2)76(3)90k ≥【分析】（1）根据频率和为1列式求解；（2）用该组区间的中点值估计，代入计算；1ni ii x x f ==∑（3）根据题意入围成绩的临界值为，则计算求解．[]85,95m ∈()850.0200.1m -⨯=【详解】（1）由题意可得：，解得()100.0050.0100.0400.0201a ++++=0.025a =（2）由题意可得：50100.00560100.01070100.02580100.04090100.02076x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计该100名射击爱好者的射击平均得分76（3）根据频率分布直方图可知：的频率为[]85,95100.0200.2⨯=设入围成绩的临界值为，则，即[]85,95m ∈()850.0200.1m -⨯=90m =估计集训队入围成绩90k ≥19．如图，在三棱锥中，D ，E 分别为的中点，且平面．-P ABC ,AC PB ,AD DB EC =⊥ABC(1)证明：；AB PC ⊥(2)若，求锐二面角的大小．2AC BC ==B AP C --【答案】(1)证明见解析；(2).π6【分析】(1)根据线面垂直可证，再证平面即可得证；EC AB ⊥AB ⊥EBC （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）∵D 为中点，且，∴，即．AC AD DB =2ABC π∠=AB BC ⊥∵平面，平面，∴．EC ⊥ABC AB ⊂ABC EC AB ⊥∵，∴平面．BC EC C = AB ⊥EBC 又∵平面，∴；PC ⊂BCE AB PC ⊥（2）由（1）可知，以为x 轴，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．BC BA设，∵，∴，，EC a =2AC BC ==(0,0,0),,0,)B E a ,0,2),(0,3,0).,0,0)P a A a C∴．(0,3,0),,0,2)BA a BP a ==设平面的法向量为，有PAB ()111,,n x y z = 0,0.n BA n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，令，得．11130,20,ay az =⎧⎪⎨+=⎪⎩11x=(1,0,n = 设平面的法向量为，APC ()222,,m x y z =由，,3,0),,0,2)AC a CP a =-=有，取，则22223020AC m ay CP m az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x =222,3y z ==-可得，3)m =-有，m n ⋅==||5,||2m n ===∴二面角的余弦值为，BAP C --|||cos ,|||||m n m n m n →⋅<>===故锐二面角的大小为．B APC --π620．设的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且的面积．ABC ABC 224a b S -=(1)求的值；()sin sin sin A B A B -(2)若，求的取值范围．π2A ≠tan A 【答案】(1)2(2)()1tan ,0,2A ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先由余弦定理得到，结合三角形面积公式，正弦定理得到22cos cos a b ac B bc A -=-，化简后得到答案；()2sin sin sin sin sin cos sin cos A B C C A B B A =-（2）在第一问的基础上化简得到，根据三角函数的性质进行求解.cos 12sin tan B B A -=【详解】（1）由余弦定理得：①，2222cos a b c bc A =+-②，两式相减得：2222cos b a c ac B =+-，22cos cos a b ac B bc A -=-因为，1sin 2ABC S ab C =所以，221sin 24ab C a b -=即，2sin cos cos ab C ac B bc A =-由正弦定理得：()2sin sin sin sin sin cos sin cos A B C C A B B A =-因为，所以，且，()0,πC ∈sin 0C ≠()sin sin cos sin cos A B B B A A -=-故，即.()2sin sin sin A B A B =-()sin 2sin sin A B A B -=（2）由（1）知：，()sin sin cos cos sin cos 12sin sin sin sin sin tan A B A B A B B A B A B B A --==-=因为，所以，，224a b S -=>a b >π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()tan 0,B ∈+∞又因为，112tan tan A B =-所以，()12,tan A ∈-+∞所以.()1tan ,0,2A ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 21．如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点A ，B ，准备分别以A，B 两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道，，AP BP 并在两条栈道的终点P 处建造一个观景台，已知弧所对的圆心角为.AB π3(1)若为等腰直角三角形，且为斜边，求的面积；ABP AB ABP (2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当时，修建两条玻璃栈道最多共需要多少万元？3APB π∠=,AP BP 【答案】(1)平方米.62500(2)万元.120【分析】（1）根据圆心角和半径求出弦长，根据等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式AB 求出面积.（2）设，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘PAB θ∠=2π(0,)3θ∈PB PA PA PB +以即可得解.0.12【详解】（1）因为弧所对的圆心角为，圆的半径为500，所以米，AB π3500AB =又为等腰直角三角形，且为斜边，所以米，ABPAB PA PB AB ===所以的面积为平方米.ABP 221125026250022PA =⨯⨯=（2）设，，PAB θ∠=2π(0,)3θ∈由正弦定理得，得，πsin sin3AB PB θ=sin πsin 3AB PB θθ⋅===由正弦定理得，得，π2πsin sin()33AB PA θ=-PA=2πsin()3θ=-所以2πsin sin()3PA PB θθ⎤+=+-⎥⎦1sin sin 2θθθ⎫=+⎪⎪⎭，3sin 2θθ⎫=⎪⎪⎭π)6θ=+π1000sin()6θ=+因为，所以，2π03θ<<ππ5π666θ<+<所以当，即时，取得最大值为米，ππ62θ+=π3θ=PA PB +1000所以修建两条玻璃栈道最多共需要万元.,AP BP 10000.12120⨯=22．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且1111ABCD A B C D -1A A ⊥ABCD ABCD AD BC ∥．过三点的平面记为与的交点为．2AD BC =1,,A C D 1,BB ααQ(1)证明：为的中点；Q 1BB (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；α(3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小．14,2A A CD ==ABCD αABCD 【答案】(1)证明见解析(2)117(3)4π【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点；1QBC A AD Q 1BB （2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答,QA QD α12,V V 1V 2V 案；（3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角ADC △AE DC ⊥E 1A E 1AEA ∠αABCD 的平面角，然后，计算可得，进而得到.11tan 1AA AEA AE ∠==1AEA ∠【详解】（1）证明：四棱柱中，四边形为梯形，，1111ABCD A B C D -ABCD AD BC ∥平面平面，∴QBC 11A D DA 平面与面和平面的交线平行，∴1A CD QBC 11A D DA 1QC A D ∴∥，1QBC A AD ∴~ ，1112BQ BQ BC BB AA AD ∴===为的中点；Q ∴1BB（2）解：连接，设，,QA QD 1AA h =梯形的高为，ABCD d 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，α12,V V 设，则，BC a =2AD a =，11112323Q AA D V a h d ahd-∴=⋅⋅⋅⋅=，1213224Q ABCD a a h V d ahd-+=⋅⋅⋅=27V 12ahd ∴=棱柱，V 32ahd=111V 12ahd ∴=四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比∴α117（3）解：在中，作，垂足为，连接，ADC △AE DC ⊥E 1A E 则平面，DE ⊥1AEA ，1DE A E ∴⊥为平面与底面所成二面角的平面角，1AEA ∴∠αABCD ，,2BC AD AD BC = ∥，2ADC ABC S S ∴= 梯形的面积为，ABCD 6,2DC =，4,4ADC S AE ∴== ，11tan 1AA AEA AE ∴∠==，14AEA π∴∠=平面与底面所成二面角的大小为．∴αABCD 4π。
2021-2022年高一数学第一次月考试题及答案
2021-2022年高一数学第一次月考试题及答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共90分。
全卷满分为150分，答题时间为120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是正确的，请把正确答案涂在机读卡相应的位置上。
1．设全集，，，则等于( )(A) (B) {d} (C) {a,c} (D) {b,e}2．函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）3．下列函数中是偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）4．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．5．．函数的图象是（）7．函数的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）9．设函数对任意满足，且，则（）（A）-2 （B）（C）2 （D）110．，则（）（A）（B）（C）(D)11．定义在上的函数满足下列两个条件：⑴对于任意的，都有；⑵的图象关于轴对称。
则下列结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）12.对于，不等式恒成立的的取值范围是（）(A) (B) 或 (C) (D) 或第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）把答案填在答卷相应的横线上。
13．设集合，，则等于_______ __。
14． 。
15．函数的值域为_________ 。
16．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则_______（用区间表示）。
三、解答题（本题共6个小题，共70分）解答应写出必要的文字说明、证明过程以及演算步骤，把答案写在答卷相对应题号的方框内。
17．（本题满分10分）求下列各式的值（1）49lg 213lg 247lg 35lg 2++- （2）021231)12()972()71()027.0(--+---- 18．（本题满分12分）已知是方程()22040x px q p q ++=->的解集，，，且，，试求、的值。
2021-2022年高一数学上学期第一次月考题
2021-2022年高一数学上学期第一次月考题一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合,,则 （ ） A ． B ． C ． D ．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是 （ ） A ．B ．C ．D ．3．下列四个函数中，在上是增函数的是 （ ）A ．． B. C. D.4．已知，那么的值是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 5．已知两个函数和的定义域和值域都是集合 ，则方程的解集是 （ ） A. B. C. D. 6是 （ ） A. B. C. D. 7．函数是上的增函数，若对于都有成立，则必有（ ）A. B. C. D.8．若与在区间上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（0，1）D ． 9．设函R ）的最大值为，当有最小值时的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，是，这两个函数中的较小者，则的最大值是（ ） A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 11．设函数，给出下列四个命题： （1）当时，函数是单调函数； （2）当时，方程只有一个实根； （3）函数的图像关于点对称； （4）方程至多有3个实根。
其中正确命题的个数是 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12．已知定义的R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （）A. B ． C ． D ．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．一次函数是减函数，且满足，则 ． 14．已知函定义在上的减函数，那么的取值范围是 ．15．设，则集合的所有元素的积为_______________16．已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且函数，则方程的所有解之和为__________．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的值.18．(本小题满分12分)已知函数，且． (1)求实数k 的值及函数的定义域；(2)用定义法判断函数在(0，＋∞)上的单调性 19．(本小题满分12分)设函数．（1）在区间上画出函数的图象；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.20．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）当取使不等式恒成立的的最小值时，求．21．(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若函数的值域为，求的值；(Ⅱ)若函数的函数值均为非负数，求的值域．22．(本小题满分12分)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
高一数学-必修一月考测试题
必修一数学月考试题考试时间120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果集合{}1->=x x P ，那么（ ）A 、P ⊆0B 、{}P ∈0C 、P ∈∅D 、{}P ⊆0 2、若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A 、3个B 、5个C 、7个D 、8个3、已知集合{}|1A x x =≤，{}a x x B >=，且R B A = ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、()1,∞- B 、(]1,∞- C 、()∞,1 D 、[)+∞,1 4、xxx f --=11)(的定义域是（ ）A 、(1]-∞，B 、)1,0()0,(⋃-∞C 、(001-∞⋃，）（，]D 、[1+∞，）5、设函数x x x f =⎪⎭⎫⎝⎛-+11,则()x f 的表达式为 A 、x x -+11 B 、x x -+-11 C 、x x +-11 D 、xx +--11 6、下列各组函数中是同一函数的是（ ）A 、0()()1f x xg x == B、()()f x g x ==C 、1(0)||(),()(0)x t f x g t x x t <⎧==⎨->⎩ D、()||.()f x x g t =7、若集合P=}{4x 0x ≤≤,Q=}{2y 0y ≤≤,则下列对应中不是从P 到Q 的映射的是（ ）A 、y=x 21 B 、y=x 31 C 、y=x 81 D 、y=x 328、已知集合{}01,=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==kx x B x x y y A ,且B B A = ,则k 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1或1-或0 9、下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A 、f （x ）＝3－x B 、f （x ）＝x 2－3x C 、f （x ）＝－｜x ｜ D 、f （x ）＝－23+x 10、函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在 (－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )A 、[0,4]B 、[2，＋∞)C 、[0，14]D 、(0，14]11、已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )A 、f (－1)<f (1)<f (2)B 、f (1)<f (2)<f (－1)C 、f (2)<f (－1)<f (1)D 、f (1)<f (－1)<f (2)12、若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4--，，则m 的取值范围是（ ） A 、(]4,0 B 、3[]2，4 C 、3[3]2， D 、3[2+∞，）二、填空题:本大题4小题,每小题5分,共20分,注意答题的格式哦!13、已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，则a 的值为 ． 14、若函数()1,(0)()(2),0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，则)3(-f =________15、某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人16、函数()f x =______________________；三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2021年高一上学期第一次月考试题 数学 含答案
一、选择题(每小题5分，共60分)1．设全集U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,4}，P ＝{2}，那么下列关系正确的是( )A ．P ＝(∁U M )∩NB ．P ＝M ∪NC ．P ＝M ∩(∁U N )D ．P ＝M ∩N2．已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 3．设集合A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1≤x ≤3}，则A ∩∁R B 等于( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)4．设全集U ＝{x ||x |<4，且x ∈Z }，S ＝{－2,1,3}，若∁U P ⊆S ，则这样的集合P 共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且B ∩∁U A ≠∅，则( )A ．k <0或k >3B ．2<k <3C ．0<k <3D ．－1<k <36．已知函数f (x )与函数g (x )＝21－1－x 是相等的函数，则函数f (x )的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(0,1)， 7．若g (x )＝1－2x, f (g (x ))＝1－x 2x2，则f (12)的值为( )A ．1B ．15C ．4D ．308．函数y ＝x x －1＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]10．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋111．已知， ，则＝（ ） A ．NB ．MC ．RD ．12．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．14．函数f (x )＝11－x1－x的最大值是________15．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．16．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1.x ∈[－3,2]的最大值为4.求其最小值．19．(12分)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a 、b 的值．20．（12分）已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1.是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .21．（12分）设计一个水槽，其横截面为等腰梯形，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面面积y与腰长x之间的关系式，并求它的定义域和值域．22．(12分)已知函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域为R，求实数k的值．答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，－3]14．函数f(x)＝11－x1－x 的最大值是________．[答案]4315．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]16．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间是________．答案：(－∞，－3]三、解答题(写出必要计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．（10分）17．解析：(1)借助数轴可知：A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)∁R A＝{x|x＜3或x＞7}．∴借助数轴可知，(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7＜x＜10}．(3)∵A∩C＝A，∴A⊆C，结合数轴可知a＞7.18．（12分） [解] 当a＝0时，f(x)＝1与已知不符．当a≠0时，f(x)的图象为对称轴是x＝－1的抛物线上的一段．当a<0时，4＝f(－1)＝－a＋1.∴a＝－3，此时最小值为f(2)＝－23.当a >0时，4＝f (2)＝8a ＋1，∴a ＝38，此时最小值为f (－1)＝58.19．(12分)解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B 、A 两集合中的方程得⎩⎨⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧ 4＋a ＋3b ＝0，4－2a ＋b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求．20．（12分） [解] 由对应法则：1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1 ∴a 4≠10，a 2＋3a ＝10，得a ＝2或a ＝－5(舍去)，∴a 4＝16. 又3k ＋1＝16，∴k ＝5.故A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．21．（12分） [解] 如右图，设AB ＝CD ＝x ，则BC ＝a －2x ，作BE ⊥AD 于E ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，BE ＝32x ，AE ＝12x ，AD ＝a －x . 故梯形面积y ＝12(a －2x ＋a －x )·32x＝－334x 2＋32ax ＝－334(x －a 3)2＋312a 2.由实际问题意义，⎩⎨⎧x >0，a －x >0a －2x >0⇒0<x <12a .即定义域为(0，12a )．当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，即值域为(0，312a 2]． 22．(12分)由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解．当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.27343 6ACF 櫏kb36720 8F70 轰32701 7FBD 羽!34849 8821 蠡d38059 94AB 钫W26981 6965 楥 35827 8BF3 诳。
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2021年高一数学6月月考测试题
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则下列不等式成立的是（）
2.在数列中，=1，，则的值为（）
3.已知，函数的最小值是（）
4.在△ABC中，若a = 2 ,, , 则B等于（）
或或
5.如图所示的方格纸中有定点，则（）
6. 右图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）
7. 已知集合A={x|，其中}，B={x|}，且AB = R，则实数的取值范围
( )
8.如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面
上的射影可能是（）
①②③②③①②④②④
9.已知为等边三角形，，设点满足，
，，若，则= ( )
10.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，
从左往右数第个数，如，若，则= ( )
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答
题卡上相应位置.
11.不等式的解集为 .
12.一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所
示，则该几何体的体积为 .
13.设0
,0
),
0,
(
),
1
,
(
),
2
,1(>
>
-
=
-
=
-
=b
a
b
OC
a
OB
OA，为坐标原
点，设三点共线，则的最小值为________.
14.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，
则这个四面体的正视图的面积为 .
15.已知数列满足,
...1
4
2
2
2
3
3
2
2
1
-
=
+
+
+
+n
n
n a
a
a
a2则的通项
公式为________.
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
... ....
B
O
P
俯视图
正视图
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)平面内给定三个向量．
⑴求满足的实数；
⑵若满足，且，求．
17. (本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为
⑴求的值；⑵若，解不等式.
18.(本小题满分12分)已知递增等比数列满足：，且是的等差中项．
⑴求数列的通项公式；⑵若求数列的前项和．
19.(本小题满分13分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行
道组成。
已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别Array为4米和10米。
⑴若设休闲区的长米，求公园所占面积S
关于的函数的解析式；
⑵要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？
20. (本小题满分12分)
已知是半径为的圆的内接三角形，且
⑴求角；⑵试若时，求面积的最大值.
21. (本小题满分14分) 设数列的前项和为，已知，
．
⑴求的值；⑵求证数列求数是等比数列；
⑶记，证明：对一切正整数，有34930 8872 衲24299 5EEB 廫23321 5B19 嬙34122 854A 蕊33675 838B 莋29657 73D9 珙^v37971 9453 鑓
20811 514B 克W36716 8F6C 转40373 9DB5 鶵32782 800E 耎。