无序图的邻接矩阵乘幂可以求任意两顶点间给定长度的路的条数

证明：无序图的邻接矩阵乘幂可以求任意两顶点间给定长度的路的条数
一、相关背景
1.1 概念
•无序图（Graph）定义为顶点（Vertex）和无序顶点对（Edge）的集合。

•路（Walk）可以视为连接一个顶点到另外一个顶点的边的序列。

•若图包含了n个顶点，则可以定义一个n×n的矩阵，称为A的邻接矩阵。

无序图的邻接矩阵是对称的。

1.2、例子
举例如下，下图的邻接矩阵为：
A=
[01000 10001 00011 00101 01110]
二、证明
2.1、平方的情形
设a ij k表示A k的(i,j)元素，则当k=1时，由邻接矩阵的定义可知，a ij等于顶点V i到顶点V j的长度为1的路的数量，亦即，a il等于顶点V i到顶点V l的长度为1的路的数量。

如果有一条边{V l,V j}(此边的长度为1或者0，这条边存在的时候为1，不存在的时候为0)，则对应的元素为a lj，立即推，a il×a lj表示从顶点V i到顶点V j的长度为2的路的数量。

可以理解为，给定一个图，我想要找到顶点A到顶点B之间的长度为2的路的数量，那么我可以这么做。

首先找到顶点C，这个顶点C可以是图中除了顶点A和B以外的任意n−2个顶点（为了式子的完整性，可以把C取为A或者B本身），然后我先找到顶点A到顶点C的长度为1的路的数量，例如上例中，取C为第3个顶点，那么A到C的长度为1的路的数量即为0（一旦取定了顶点C，那么这个数就给定了，可以是从0开始的自然数），然后找C到B的长度为1的路的数量，显然为1（一旦取定了顶点C，那么这个数也是给定的），那么，从顶点A到顶点B的长度为2的并且以C为这条路上倒数第二个顶点的路径的数量就可以确定下来了。

已知，a il×a lj表示从顶点V i到顶点V j的长度为2的路的数量，此处的l可以取1到n的任意自然数，则从顶点V i到顶点V j的长度为2的路的总的数量可以表示为：
n
a i1×a1j+a i2×a2j+a i3×a3j+a4l×a4j+⋯+a in×a nj=∑a ik×a kj
k=1再考虑一个问题，矩阵A2的元素(i,j)表达式。

显然这个元素为第一个矩阵A的第i行的第k列和第二个矩阵A的第j列的第k行对应相乘所得，其中k从1取到n，即：
n
a ij2=∑a ik×a kj
k=1
2.2、推而广之
设a ij k表示A k的(I,j)元素，则当k=m时，假设，a ij等于顶点V i到顶点V j的长度为m的路的数量，亦即，a il m等于顶点V i到顶点V l的长度为m的路的数量。

如果有一条边{V l,V j}(此边的长度为1或者0，这条边存在的时候为1，不存在的时候为0)，则对应的元素为a lj
立即推a il×a lj表示从顶点V i到顶点V j的长度为m+1的路的数量。

可以理解为，给定一个图，我想要找到顶点A到顶点B之间的长度为m+1的路的数量，那么我可以这么做。

首先找到顶点C，这个顶点C可以是图中除了顶点A和B以外的任意n−2个顶点（为了式子的完整性，可以把C取为A或者B本身），然后我先找到顶点A 到顶点C的长度为m的路的数量，例如上例中，取C为第3个顶点，那么A到C的长度为m的路的数量即为a il m（一旦取定了顶点C，那么这个数就给定了，可以是从0开始的自然数），然后找C到B的长度为1的路的数量（一旦取定了顶点C，那么这个数也是给定的），那么，从顶点A到顶点B的长度为m+1的并且以C为这条路上倒数第二个顶点的路径的数量就可以确定下来了。

已知，a il m×a lj表示从顶点V i到顶点V j的长度为m+1的路的数量，此处的l可以取1到n的任意自然数，则从顶点V i到顶点V j的长度为m+1的路的总的数量可以表示为：
n
a i1m×a1j+a i2m×a2j+a i3m×a3j+a i4m×a4j+⋯+a in m×a nj=∑a ik m×a kj
k=1再考虑一个问题，矩阵A m+1的元素(i,j)表达式。

显然为第一个矩阵A m的第i行的第k列和第二个矩阵A的第j列的第k行对应相乘，其中k从1取到n，即：
n
a ij m+1=∑a ik m×a kj
k=1。