(教师用书)高中数学 2.6 距离的计算课件 北师大版选修2-1
北师大版高中数学选修(2-1)-2.6《距离的计算》参考课件
C1 B1
④ DD1与平面EFG所成的角；
（用三角函数表示）
F
⑤求A1D与CK之间的距离。
D
y C
解：以D为坐标原点
E
DA , DC , DD1 为单位正 x A
B
交基底建立直角坐标系。
①∵A1(1,0,1) D(0,0,0)
z
C(0,1,0) K 0,0, 1 2
∴ DA1=(1,0,1) CK 0,1, 1
x z 0
令x=2,得 n =(2, －1, －2)
n =(2, －1, －2)
z
DK 0，0，1 2
D1
C1
∴A1D与CK之间的距离
A1
KG
B1
d=
|DK ·n | |n|
1 1 93
F
y
D
C
E
xA
B
例2 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1
2
D1
A1
KG
C1 B1
cos DA1 , CK
1
F
= DA1·CK
| DA1| ·|CK|
2
2
1 1 4
x
A
D E
y C
B
10 10
∴ DA1 与CK的夹角为 arccos 10
10
z
②求点B到平面EFG的距离；
E 1 ,0,0， 2
F
1,0,
1 2
|n|
β
A
a
n
B
4. 两个平行平面间的距离
d= |AB ·n |
|n|
A
A、B分别是a、β上的任意点， a
高中数学(北师大)选修2-1课件：第2章 距离的计算 参考课件
D1 KG
C1 B1
④ DD 与平面EFG所成的角；
（用三1 角函数表示）
F
⑤求A D与CK之间的距离。
1
D
y C
解：以D为坐标原点
E
DA , DC , DD 为单位正 x A
B
1
交基底建立直角坐标系。
①∵A (1,0,1)
1
D(0,0,0)
z
C(0,1,0)
K 0,0, 1 2
∴ DA =(1,0,1) 1
5 45
5 3
n 在二面角A—B P—B内是指向平面APB
1
1
n 在二面角A—B P—B内是指向平面APB
1
1
z
m在二面角A—B P—B内是背离平面BCPB
1
1
D1
故二面角A—B P—B的平面角为
1
m , n A1
不妨令二面角A—B P—B的平面角为 1
tan
1 1
cos2 n, m
D
A x
C1 B1 P
由已知可知P(0,4,z)
AP=(－4, 4, z ),
BD =(－4,－4, 0 ),
D A x
y C
B
AP ·BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
②C P=2,求二面角A—B P—B的正切值。
1
1
z
解：P(0, 4,3)
B (4,4,5)
1
D1
AP =(－4, 4,3)
2. 点到平面的距离
已知AB为平面a的一条斜线段, n平面a的法向量.
则A到平面a的距离
A
|AB · n |
n
河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算(2)教案北师大版选修2-1
4.由于直线AB经过点A（1,2,3），将点A的坐标代入方程，得到3*1 + 3*2 + 3*3 + D = 0，解得D = -14。
5.因此，直线AB的方程为3x + 3y + 3z - 14 = 0。
例题3：
题目：已知空间两点A（1,2,3）和B（4,5,6），求直线AB的截距式方程。
3.教学媒体和资源使用：
（1）PPT：教师将制作精美的PPT，展示空间向量与立体几何的基本概念、运算方法和几何关系，以便学生更好地理解和掌握知识。
（2）视频：播放一些与空间几何相关的视频，如立体几何动画、空间向量运算演示等，帮助学生形象地理解抽象的空间几何知识。
（3）在线工具：利用在线工具，如几何画板、立体几何模型等，让学生自主探索空间几何问题，提高学生的空间想象力。
情感升华：
结合空间向量与立体几何内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习空间向量与立体几何的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的空间向量与立体几何内容，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
1.知识方面：学生已经掌握了初中阶段的平面几何知识，对于点的坐标、直线的方程等基本概念有所了解。在空间向量的学习过程中，学生已经掌握了向量的加减、数乘等基本运算。然而，空间几何的抽象性使得学生在理解和运用上还存在一定的困难，特别是在空间想象方面。
2.能力方面：学生在逻辑推理方面有一定的基础，能够通过已有的知识推导出一些简单的几何结论。然而，在空间向量与立体几何的学习中，学生需要进一步提升逻辑推理能力，以便能够灵活运用向量知识解决空间几何问题。此外，学生在数学建模、数据分析等方面的能力还有待提高。
2.6《距离的计算》,课件(北师大版选修2-1)
∠ACB=90°,侧棱AA1=2，D，E分别是C1C，A1B的中点，点E在
平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD夹角的大小;
(2)求点A1到平面AED的距离.
【解题提示】建立空间直角坐标系，利用向量运算进行 证明.
【解析】(1)连接BG，GE，则BG是BE在平面ABD上的射影，即 ∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立空间直角坐标 系，坐标原点为C，射线CA，CB，CC1分别为x轴,y轴，z轴的
ABCD折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、 BC间的距离为（ ）
（A） 2 （B） 3 （C） 3 （D）1 2 【解题提示】正确的比较两个图形. 【解析】选D.CE为公垂线段.E为CD中点，CE=1.
4.如图，ABCD—EFGH是边长为1的正方体，若P在正方体内部且
满足 则P到AB的距离为( )
2 a,d2= 3 a,d3=a. 2 3
答案：d2＜d1＜d3
6.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1 到平面MBD的距离是_________.
【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系. 则A1(a,0,a),A(a,0,0),M(a,0, B(a,a,0),D(0,0,0).
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·商丘高二检测)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量 AB，AD，AA1两两夹角均为60°,且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3， 则|AC1|=（ ）
高中数学北师大版选修2-1课件：第二章6 距离的计算
2
22
设平面 OCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
n·O→P＝0，
2y－ 2z＝ 0， 2
n·O→D＝0，得 － 2x＋ 2y－2z＝0，
22
x＝0，
解得 y＝2
取 z＝ 2z.
2，得 n＝(0，4，
2)．
设点 B 到平面 OCD 的距离为 d，
因为O→B＝(1，0，－2)，所以 d＝|O→B·n|＝2， |n| 3
⊥l 于 D.若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等
于( C )
A. 2 3
B. 3 3
C. 6 3
D． 1
(2)如图，P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，
且 PD⊥AD，PD⊥DC，PD＝3，AD＝2，若
M 是 AB 的中点，则点 M 到平面 PAC 的距离
3 22
为____2_2___．
→→
d＝
|B→F|2－|BF→·EF|2＝ |EF|
174. 6
[方法归纳 ] 利用公式 d＝ |P→A|2－|P→A·s0|2 求点到直线的距离的步骤为： 直 线的方 向向量 →所 求点到 直线上 一点的 向量及 其在 直线的 方向向量上的投影 →代入公式．
2．(1)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内一点，且 满足A→P＝34A→B＋12A→D＋23A→A1，则点 P 到棱 AB 的距离为( A )
第二章 空间向量与立体几何
§6 距离的计算
1．问题导航 (1)向量 a 在向量 b 上的投影是如何定义的？ (2)你能用向量法导出点到直线距离公式吗？ (3)你能用向量法导出点到平面距离公式吗？
2．例题导读 P48例1.通过本例学习，掌握向量法求点到直线距离的方 法和步骤． P49例2.通过本例学习，掌握向量法求点到平面距离的方 法和步骤． 试一试：教材P50练习T1、T2你会吗？
高二数学北师大版选修2-1课件第2章 6 距离的计算
(2)单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点B1到直线AC的距离为________．
【自主解答】 建立坐标系如图，
B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，
∴A→C＝(－1,1,0)，A→B1＝(0,1,1)，A→B|A→1C·A→|C＝
1， 2
∴点B1到直线AC的距离为
n·D→B＝0， 则n·D→C1＝0
⇒yx＋＋zy＝＝00， ⇒
x＝－y， z＝－y.
令y＝－1，则面BDC1的法向量为n＝(1，－1,1)．
取面BDC1内的点D(0,0,0)，则D→A＝(1,0,0)，
∴点A到面BDC1的距离d＝D→A·|nn|＝
3 3.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
距离的计算课件 (北师大版选修2-1)
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 0
G
x
F
A
D
C
E
B
果断地用坐标法处理.
y
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), C x D
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) 2 2 2 2 z 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC P 2 ∴ n MC ax ay 0 且 2 N a a D C y n MN y z 0 2 2 M 2 解得 x y z , A 2 B x ∴可取 m ( 2,1, 1)
【高中课件】北师大版选修21高中数学2.6距离的计算课件ppt.ppt
第二章 空间向量与立体几何
第二章 2.6 距离的计算
课前自主预习
• 1．点到直线的距离
• 因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点 到直线的距离问题就是空间某一平面内点到直线的 距离问题．
• 如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外 一定点．
作 AA′⊥l，垂足为 A′，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA′的长度，而向量P→A在 s 上的投影的大小|P→A·s0|(|s0|＝1)等于线 段 PA′的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 d＝_____|P_→A_|_2－__|_P→_A_·_s0_|2_____ .
离，叫直线到平面的距离． • 求直线到平面的距离时，一般转化为点到面的距
离． • 求直线到平面的距离
设直线 a∥平面 α，A∈a，B∈α，n 是平面 α 的法向量，过 A 作 AC⊥α，垂足为 C，则A→C∥n，
∵A→B·n＝(A→C＋C→B)·n＝A→C·n， ∴|A→B·n|＝|A→C|·|n|. ∴直线 a 到平面 α 的距离 d＝|A→C|＝|A→|Bn·|n|.
A．
5 5
B． 5
C．2 5
D． 105
[答案] A
[解析]
∵P→A＝(－2,0,3)，∴点
P
到平面
α
的距离为
→ d＝|P|An·|n|
＝|－4＋3|＝ 5
5 5.
3．如右图，空间四边形 ABCD 的各边及两对角线的长均为 m，
则点 A 到平面 BCD 的距离是( )
A．
6 3m
B．
5 3m
C． 63m [答案] A
|AA′|＝ AD2－A′D2＝ 36m，即点 A 到平面 BCD 的距离为 36m.
2.6距离的计算 教案(北师大版选修2-1)
§6距离的计算●三维目标1．知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．2．过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．3．情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用．三、教学建议1．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标．●教学流程设置情境引入课题――→探索空间距离的定义――→探索空间距离的计算公式――→应用通过例子，深化对空间距离的认识――→比较比较综合法的“难”，向量法的“易”――→尝试通过练习进行反馈矫正――→小结提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识1．如图，已知向量s 是直线l 的方向向量，点P 在直线l 上，点A 是空间中一点，则向量P A →在s 上的投影是什么？其几何意义是什么？【提示】 向量P A →在s 上的投影为P A →·s |s |.作AA ′⊥l 于A ′，则投影P A →·s|s |的几何意义是有向线段P A ′的数量．2．如何利用P A →在s 上的投影求点A 到直线l 的距离？ 【提示】 由勾股定理得， d ＝P A 2－P A ′2.∴d ＝|P A →|2－|P A →·s |s ||2.利用向量求点A 到直线l 的距离步骤： (1)找到直线l 的方向向量s ； (2)在直线l 上任取一点P ； (3)计算点P 到点A 的距离|P A →|； (4)计算P A →在向量s 上的投影P A →·s 0； (5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.如图，已知向量n 是平面π的法向量，点P 在平面π内，点A 是空间中一点，试用向量P A →在n 上的投影表示点A 到平面π的距离．【提示】 d ＝|P A →·n|n ||.利用向量求点A 到平面π的距离步骤： (1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ； (3)计算P A →在向量n 上的投影P A →·n 0； (4)计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n 0|.11111分别是AB ，CC 1的中点，求点D 1到直线GF 的距离．【思路探究】 建系⇒求D 1、F 、G 坐标⇒GF →、GD 1→的坐标⇒求GD 1→在GF →上的投影⇒利用公式求解【自主解答】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，F (1,1,0)，G (0,2,1)， 于是有GF →＝(1，－1，－1)， GD 1→＝(0，－2,1)，所以GF →·GD 1→|GF →|＝2－13＝13，|GD 1→|＝5，所以点D 1到直线GF 的距离d ＝|GD 1→|2－|GD 1→·GF →|GF →||2＝5－13＝423.用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：1．点P 可以在直线l 上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点． 2．直线l 的方向向量可任意选取．3．点到直线的距离公式中s 0是单位向量，在求得直线l 的方向向量s 后，要将其单位化．已知ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD→＋23AE →，则P 到AB 的距离为( ) A.56 B ．18112 C.10306 D ．56【解析】 建立如图所示空间直角坐标系，则 AP →＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝(34，12，23)．又∵AB →＝(1,0,0)，∴AP →在AB →上的投影为AP →·AB →|AB →|＝34，∴点P 到AB 的距离为|AP →|2－|AP →·AB →|AB →||2＝56.【答案】 A图2－6－1如图2－6－1直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．【思路探究】 建坐标系确定向量A 1B →的坐标形式找出平面A 1BC 的 一个法向量为n 代入d ＝ |A 1B 1→·n |n ||求解【自主解答】 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0，1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)∴A 1B →＝(－1,1，－3)，A 1C →＝(－1,0，－3)，B 1A 1→＝(1，－1,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0n ·A 1C →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0－x －3z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0z ＝1即n ＝(－3，0,1)，所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32.1．本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．2．求点到平面的距离的步骤可简化为： (1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．图2－6－2如图2－6－2所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，求点A 1到平面AD 1C 的距离．【解】 以D 为原点建立空间直角坐标系，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面AD 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧n ·AD 1→＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴n ＝(1,1,1)，∴d ＝|AA 1→·n ||n |＝13＝33.图2－6－3如图2－6－3所示，在已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点．求A 1B 1与平面ABE 的距离．【思路探究】 求A 1B 1与平面ABE 的距离，因为直线A 1B 1平行于平面ABE ，所以直线A1B 1上任意一点到平面ABE 的距离相等，所以A 1B 1与平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离，从而转化为点到平面的距离求解．【自主解答】 如图所示，以D 为原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，E (0，3，1)， 过C 作AB 的垂线交AB 于F ， 易得BF ＝3，∴B (1,23，0)，∴AB →＝(0,23，0)，BE →＝(－1，－3，1)． 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0得⎩⎨⎧23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，∴y ＝0，x ＝z ，不妨取n ＝(1,0,1)． ∵直线A 1B 1∥平面ABE ，∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离． ∵AA 1→＝(0,0,2)，∴A 1B 1到平面ABE 的距离为|AA 1→·n |n ||＝22＝ 2.求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 证明：(1)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，FP →＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)， ∴DE →＝12FP →＋12FB →.∴DE →∥平面PFB ．又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB ．(2)∵DE ∥平面PFB ，∴E 到平面PFB 的距离等于D 到平面PFB 的距离．设平面PFB的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FB →＝0，n ·FP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，FD →＝(－1,0,0)．∴D 到平面PFB 的距离为d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63.利用向量求点到平面的距离的常见错误在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，求点N 到平面ACM 的距离．【错因分析】 (1)不知条件AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于N 点如何使用． (2)不知道转化，求点N 的坐标，增加了运算量．(3)求点到平面的距离公式d ＝|P A →·n 0|中n0是单位法向量而不是法向量．【防范措施】 (1)认真分析图形性质；(2)进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．【正解】 分别以AB 、AD 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)，∴A C →＝(2,4,0)，AM →＝(0,2,2)，设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥A C →，n⊥AM →，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)． 由已知得，AN ⊥NC ，在Rt △P AC 中，P A 2＝PN ·PC ，所以PN ＝83，则NC ＝PC －PN ＝103，NC PC ＝59. 所以所求距离为点P 到平面ACM 距离的59，又点P 到平面ACM 的距离为|A P →·n n |＝263.所以点N 到平面ACM 的距离为10627.空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( ) A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 P A →＝(－2,0，－1)，|P A →|＝5，P A →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n|n ||2＝5－12＝322. 【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24 C.22 D ．32【解析】 建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)， 则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)， A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 1229294．已知棱长为1的正方体AC 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点． (1)求证：E 、F 、D 、B 共面； (2)求点A 1到平面的DBEF 的距离．【解】 如图，建立空间直角坐标系D －xyz .则知A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，E (12，1,1)，F (0，12，1)．(1)证明：由BD →＝(－1，－1,0)，EF →＝(－12，－12，0)，得EF →＝12B D →，E F →∥BD →，∴EF ∥DB ，∴E 、F 、D 、B 共面．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面DBEF 的法向量． 由n ⊥DB →，n ⊥DF →，DB →＝(1,1,0)，DF →＝(0，12，1)得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝x ＋y ＝0，n ·DF →＝12y ＋z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－12y . 令y ＝1，得n ＝(－1,1，－12)，又DA 1→＝(1,0,1)，则A 1到平面DBEF 的距离d ＝|n ·DA 1→||n |＝1.一、选择题1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在直线间的距离是( )A.62a B ．a C.2aD ．a 2【解析】 如图建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )． ∴A 1B →＝(0，a ，－a )，|A 1B →|＝2a ， BC 1→＝(－a,0，a )，|BC 1→|＝2a . 点A 1到BC 1的距离d ＝ 错误!2) ＝2a 2－a 22＝62a .【答案】 A 2.图2－6－5如图2－6－5已知ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，点C 1到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B ．28a C.324a D ．22a 【解析】 ∵ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1， ∴A 1B ⊥面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，由于C 1D ＝CD ，所以C 1到平面AB 1D 的距离等于C 到平面AB 1D 的距离， 设点C 到平面AB 1D 的距离为d ，则d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a ＝|0＋a ×a ×cos 60°|2a＝24a . 【答案】 A3．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，EF ∩BD ＝G .则三棱锥B 1－EFD 1的体积V 等于( )A.66 B ．1633 C.163D ．16 【解析】 以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B 1(22，22，4)，D 1(0,0,4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，∴D 1E →＝(22，2，－4)，D 1F →＝(2，22，－4)，D 1B 1→＝(22，22，0)，∴cos<D 1E →，D 1F →>＝D 1E →·D 1F→|D 1E |·|D 1F |＝2426·26＝1213， ∴sin<D 1E →，D 1F →>＝513，所以S △D 1EF ＝12|D E →|·|DF |·sin<D E →，D F →>＝12×26×26×513＝5，又∵平面D 1EF 的法向量为n ＝(1,1，342)，∴点B 1到平面D 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝165，∴VB 1－EFD 1＝13·S △EFD 1·d ＝13×5×165＝163.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )．则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B ．3a C.23a D ．33a【解析】 由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．明显，A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n |n ||＝a 3＝33a .【答案】 D 二、填空题6．若平面α∥平面β，直线l α，且平面α与β之间的距离为d ，下面给出了四个命题： ①β内有且仅有一条直线与l 的距离等于d ； ②β内所有直线与l 的距离等于d ； ③β内无数条直线与l 的距离等于d ； ④β内所有的直线与α的距离都等于D ．其中正确的命题的序号为________． 【解析】 由面面平行的性质可知③④正确． 【答案】 ③④7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·A B →＝0，n ·A C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又A D →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|A D →·n|n ||＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2|＝4917＝491717.【答案】4917178．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．【解析】 如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.【答案】233三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是AD 1的中点，求点E 到直线BD 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系．设EF ⊥BD ，F 为垂足，由于F 的位置未确定，设DF →＝λDB →(λ∈R )，则F (λ，λ，0)．∵DE →＝(12，0，12)，∴EF →＝DF →－DE →＝(λ－12，λ，－12)．∵EF →⊥DB →，DB →＝(1,1,0)， ∴EF →·DB →＝0，即(λ－12)＋λ＝0.∴λ＝14.∴EF →＝(－14，14，－12)．∴|EF →|＝64，故点E 到直线BD 的距离为64.10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，试求点F 到平面A 1D 1E 的距离．【解】 取AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．如图，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1. ∴n ＝(1,0,2)． 又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.11．如图2－6－6已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1的高．图2－6－6【解】 设正四棱柱的高为h . (1)证明：连AO 1， ∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴∠AB 1A 1是AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角， ∴∠AB 1A 1＝α.∵在等腰△AB 1D 1中，AO 1⊥B 1D 1. 又A 1C 1⊥B 1D 1，∴∠AO 1A 1是二面角A －B 1D 1－A 1的一个平面角， ∴∠AO 1A 1＝β.在Rt △AB 1A 1中，tan α＝AA 1A 1B 1＝h ；在Rt △AO 1A 1中，tan β＝AA 1A 1O 1＝2h .∴tan β＝2tan α.(2)如图建立空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )，则AB 1→＝(1,0，－h )，AD 1→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(u ，v ，w )． ∵n ⊥AB 1→，n ⊥AD 1→， ∴n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧u ·1＋v ·0＋w ·(－h )＝0，u ·0＋v ·1＋w ·(－h )＝0， 得u ＝h w ，v ＝h w ，∴n ＝(h w ，h w ，w )． 令w ＝1，得n ＝(h ，h,1)． 由点C 到平面AB 1D 1的距离为 d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得高h ＝2.(教师用书独具)在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M ，N ，R 分别为OA ，BC ，AD 的中点，求：直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离．【思路探究】 由题意得到MN ∥平面OCD ，平面MNR ∥平面OCD ，将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解．【自主解答】 因为M ，R 分别为AO ，AD 的中点，所以MR ∥OD ．在正方形ABCD 中，N ，R 分别为BC ，AD 的中点，所以NR ∥CD ．又MR ∩NR ＝R ，所以平面MNR ∥平面OCD ．又MN 平面MNR ，所以MN ∥平面OCD ．所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于点N 到平面OCD 的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0，2,0)，N (2,1,0)．所以NC →＝(0,1,0)，OD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－2,0,0)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·OD →＝2y －2z ＝0，n ·CD →＝－2x ＝0，，令z ＝1，得n ＝(0,1,1)．所以点N 到平面OCD 的距离d ＝|NC →·n |n ||＝22.所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于22.求线面距离或面面距离前，应先判断线面或面面的位置关系，只有直线(平面)与平面平行时，才能将线面(面面)距离转化为点到面的距离求解．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，EB 1＝1，D 、F 、G 分别为CC 1、B 1C 1、A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面ABD ；(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．【解】(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1(a,0,0)，则C 1(0,2,0)，F (0,1,0)，E (0,0,1)，A (a,0,4)，B (0,0,4)，D (0,2,2，)，G (a 2，1,0)． ∴B 1D →＝(0,2,2)，A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)，∴B 1D →·A B →＝0＋0＋0＝0，B 1D →·B D →＝0＋4－4＝0.∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD ＝B ，∴B 1D ⊥平面ABD ．(2)证明：∵A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)， G F →＝(－a 2，0,0)，E F →＝(0,1，－1)． ∴GF ∥AB ，EF ∥BD ．又GF ∩EF ＝F ，AB ∩BD ＝B ，∴平面EGF ∥平面ABD ．(3)由(1)、(2)知DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段．设B 1H →＝λB 1D →＝(0,2λ，2λ)，则E H →＝(0,2λ，2λ－1)，E F →＝(0,1，－1)． ∵E H →与E F →共线，∴2λ1＝2λ－1－1，即λ＝14， ∴B 1H →＝(0，12，12)，∴H D →＝(0，32，32)， ∴|H D →|＝322. 因此，平面EGF 与平面ABD 的距离为322.。
2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：2.6 距离的计算 精品
[再练一题] 3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
【导学号：32550051】 【解】 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)， B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A→1B＝(0,1，－1)，A→1D＝(－1,0，－1)，A→1D1＝(－1,0,0)．
D． 2
【解析】 P→A＝(－2,0，－1)，|P→A|＝ 5，P→A·|nn|＝－21，则点P到直线l的距离d
＝ |P→答案】 A
教材整理2 点到平面的距离
阅读教材P49例2以上的部分，完成下列问题．
利用向量求点A到平面π的距离步骤：
(1)找到平面π的法向量n；
3．异面直线间的距离 如图，设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线b上任一 点，则异面直线a，b的距离d＝|n|·nA→|B|.
[再练一题] 1．线段AB在平面α内，AC⊥α.BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB＝ a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．
【解】 (1)当C，D在平面α同侧时， 由AC⊥α，可知AC⊥AB， 过D作DD1⊥α，D1为垂足， 则∠DBD1＝30°，
n·D→B＝0， 则n·D→C1＝0
⇒yx＋＋zy＝＝00， ⇒
x＝－y， z＝－y.
令y＝－1，则面BDC1的法向量为n＝(1，－1,1)．
取面BDC1内的点D(0,0,0)，则D→A＝(1,0,0)，
∴点A到面BDC1的距离d＝D→A·|nn|＝
3 3.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
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●重点难点 重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用． 难点：把空间距离转化为向量知识求解． 引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索 中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学 生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”， 体会向量法在研究空间问题中的作用．
三、教学建议 1． 引导学生自主发现问题、 分析问题并解决问题， 比如， 为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优 越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索 全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识． 2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化 的思想． 3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体， 以向量法作为主要教学目标．
【提示】
s → → 向量PA在 s 上的投影为PA· .作 AA′⊥l 于 |s|
→ s A′，则投影PA· 的几何意义是有向线段 PA′的数量． |s|
→ 在 s 上的投影求点 A 到直线 l 的距离？ 2．如何利用PA
【提示】 由勾股定理得， d＝ PA2－PA′2. ∴d＝ s2 → → 2 |PA| －|PA· | . |s|
用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点： 1．点 P 可以在直线 l 上任意选取，因此可选取易求得坐 标的特殊点． 2．直线 l 的方向向量可任意选取． 3．点到直线的距离公式中 s0 是单位向量，在求得直线 l 的方向向量 s 后，要将其单位化．
已知 ABCD－EFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方 3→ 1 → 2→ → 体内部且满足AP＝4AB＋2AD＋3AE，则 P 到 AB 的距离为 ( 5 A. 6 10 30 C. 6 181 B． 12 5 D． 6 )
【解析】
建立如图所示空间直角坐标系，则
1 2 3 1 2 → 3 AP＝4(1,0,0)＋2(0,1,0)＋3(0,0,1)＝(4，2，3)． → 又∵AB＝(1,0,0)， → AB 3 → → → ∴AP在AB上的投影为AP· ＝4， →| |AB ∴点 P 到 AB 的距离为 → |2＝5. → 2 → AB 6 |AP| － |AP· →| |AB
§ 6
距离的计算
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的 概念． (2)掌握各种距离的计算方法．
2．过程与方法 (1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解 决问题的能力． (2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空 间直角坐标系． 3．情感、态度与价值观 学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计 算”的转化过程，从而提 － 1,1 ，－ 3) ， A C ＝ ( － 1,0 ，－ 3) ， B 1 1 1A1＝(1， －1,0)． 设平面 A1BC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， x＝－ 3 → n· A1B＝0 －x＋y－ 3z＝0 则 ⇒ ⇒y＝0 → －x－ 3z＝0 z＝1 A1C＝0 n· 即 n＝(－ 3，0,1)， |n· A→ 3 1B1| 所以，点 B1 到平面 A1BC 的距离 d＝ ＝2. |n|
利用向量求点 A 到直线 l 的距离步骤： (1)找到直线 l 的方向向量 s； (2)在直线 l 上任取一点 P； → |； (3)计算点 P 到点 A 的距离|PA
→· → PA s0 (4)计算PA在向量 s 上的投影
(5)计算点 A 到直线 l 的距离 d＝
； → → 2 |PA|2－|PA· s|
0
.
点到平面的距离
【问题导思】 如图， 已知向量 n 是平面 π 的法向量， 点 P 在平面 π 内， → 点 A 是空间中一点，试用向量PA在 n 上的投影表示点 A 到平 面 π 的距离．
n → 【提示】 d＝|PA· |. |n|
利用向量求点 A 到平面 π 的距离步骤： (1)找到平面 π 的法向量 n； (2)在平面 π 内任取一点 P；
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.理解点到直线的距离、点到平 面的距离的概念．(重点) 2.掌握点到直线的距离公式、点 到平面的距离公式．(重点) 3.通过转化，会利用空间向量解 决距离问题，从而培养准确的运 算能力．(难点)
点到直线的距离
【问题导思】 1．如图，已知向量 s 是直线 l 的方向向量，点 P 在直线 → l 上，点 A 是空间中一点，则向量PA在 s 上的投影是什么？其 几何意义是什么？
【答案】 A
求点到平面的距离
如图 2－6－1 直三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1 ＝ 3，底面△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC＝1，求点 B1 到 平面 A1BC 的距离．
图 2－6－1
【自主解答】
如图建立空间直角坐标系，由已知得直
棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0， 3)，B1(0,1， 3)，C1(0,0， 3)
→· → PA n0 (3)计算PA在向量 n 上的投影
；
→· | PA n0| . (4)计算点 A 到平面 π 的距离 d＝
求点到直线的距离
在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2， AD＝1，点 F，G 分别是 AB，CC1 的中点，求点 D1 到直线 GF 的距离．
【自主解答】 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直 线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)， → 于是有GF＝(1，－1，－1)， → GD1＝(0，－2,1)， →· → 2－ 1 1 GF GD 1 → |＝ 5， 所以 ＝ ＝ ，|GD 1 → 3 3 |GF| 所以点 D1 到直线 GF 的距离 d＝ → GF → → |GD1|2－ |GD1· |2 ＝ → |GF| 1 42 5－ ＝ . 3 3