2019-2020学年广东省中山市2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
【名师推荐】广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 命题 p：∃������0 ∈ ������，������(������0) ≥ 2，则￢������为( )
A. ∀������ ∈ ������，������(������) ≥ 2 C. ∃������0 ∈ ������，������(������) ≤ 2
【答案】B
B. ∀������ ∈ ������，������(������) < 2 D. ∃������0 ∈ ������，������(������) < 2
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题 p：∃������0 ∈ ������，������(������0) ≥ 2，则￢������为：∀������ ∈ ������，������(������) < 2． 故选：B． 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查． 已知 a，������ ∈ ������，若������ < ������，则( )
2 2 2 对 B，若������ = 0，则������������ = ������ ；若������ > 0，则������������ < ������ ；若������ < 0，则������������ > ������ ，故 B 错误；
1 1 2 2 对 C，a，������ > 0，则������ < ������ ，若 a，b 中有负的，则不成立，故 C 错误；
������(������ + 3) ������ + 2
2018-2019学年广东省中山市高二上学期期末考试数学(文)试题(Word版)
中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题1．命题p：?x∈R，f（x）≥2，则￢p为（）00A．?x∈R，f（x）≥2 B．?x∈R，f（x）＜2C．?x∈R，f（x）≤2 D．?x∈R，f（x）＜2 00aa＜b，则（，b∈R，若）2．已知11332baaa＜b C． DA．2b＜B．．b＜ba?22aqqa}为递增数列的（ { 的公比是），则＞1{3．设等比数列”是“数列是}nn A．充分不必要条件 B．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 C．充要条件2?x?1的解集是（ 4．不等式）x?2B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，0） A．（﹣3，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣ 3，0），D．（﹣∞，﹣3）∪（0+∞）aaaaaa＝（，则）中，+++……+ ＝5．在等差数列{30}n615102A．3B．6 C．9 D．12x yxe在（0，1）处的切线方程为（＝sin + ）6．曲线xyxyxyxy+1＝D0．．＝0C0+2﹣﹣42A．﹣2＝+20B．＝﹣+17．某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这a，，其离心率种椭圆叫做“黄金椭圆”．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为bcabc满足的关系是（，则），，，2abcbacbabcac 2D．2A．＝+ B＝ C．＝+ ．＝1x fxxe+1，则（．设函数（））＝ 8xfxxfx）的极小值点为 B．．A（＝1为＝（1）的极大值点xffxxx）的极小值点．（＝﹣C．1＝﹣1为（为）的极大值点 D2yxFlxKPPFPKF则△，＝，准线若与|轴的交点为5，9．已知抛物线＝4抛物线上一点的焦点为|，的面积为（）A．4 B．5C．8D．10xcyabF的对称点在另一．已知双曲线，0＞0），若焦点）关于渐近线（＝＝1（＞0，10xy上，则双曲线的离心率为（＝﹣）条渐近线． DC．3A． B．2anSaSnaa＝（），{+11．设数列{}的前项和为}，且为常数列，则＝1nnnnn1． BA ．．． CD x+1AByeAByya之间的最短距离是（和，交于＝）12．已知直线＝，分别与函数＝两点，则．．． DBC ．A二、填空题xf[，3]上最小值为．（）＝在 13aaaaaaaaaa＝ +，＝2++．+＝4，则．等比数列14{}中，+ +n121161421035zxyxy取得最大值时的最优解为﹣满足约束条件，则＝215．若变量，ABCCBA的正东方向上，测得点，使的高，先在河岸上选一点在塔底16．如图，为测得河对岸塔CDBDCAB的高°，则塔，测得∠＝45米到位置°方向走°，再由点的仰角为60沿北偏东1510是米．2三、解答题22xxxaxaaqpx＜．＞0），（17．10分）设≤：实数：实数满足5﹣5满足+42＜0（xqap”为真，求实数1）当∧＝1时，“的取值范围；（aqp的取值范围．2（）若的充分不必要条件，求实数是AaBbBCabccCAABC，cos的对边分别为），+，，．且costan（18．（12分）已知△＝的内角C；（1）求角ABCc的面积为2（）若，求三角形的周长．＝32，△Snaa项和为}为单调递增数列，，且满足＝119．（12分）已知数列{，其前nn12naSnS）2，2．＝∈﹣2+1（N≥nnn+﹣1a}1）求数列{的通项公式；（n nbnTT其前＝＞项和为成立，求，若的最小值．（2）若数列nnn CABcmA，12分）如图，在半径为30，的半圆形铁皮上截取一块矩形材料在直径上，点（点．20（ADD，并将其卷成一个以．为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）在半圆周上））若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（1 ）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？（2MBMABA的轨迹为曲线，记点0），且它的周长为6（﹣1，0），（1分）在三角形21．（12，中，点E．E的方程；（1）求PDQPEQBD，不可能为直角．，过2（）设点2（﹣，0）两点，求证：∠的直线与交于xalnxa＞0）﹣（（22．12分）已知函数+12）（．3xafx）的极值；的值及函数（21（）若＝是函数的极值点，求（2）讨论函数的单调性．42018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案一、选择题1．B； 2．D； 3．D； 4．A； 5．B； 6．B； 7．B； 8．D； 9．A； 10．B；11．B； 12．D；二、填空题．； 162． 15（4，）；；16 140．13；．三、解答题17．18．519． 20．6．21．22789。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
1 1 2 2 对 C，a，������ > 0，则������ < ������ ，若 a，b 中有负的，则不成立，故 C 错误；
5.
A. 3
【答案】B
B. 6
C. 9
D. 12
【解析】解：在等差数列{������������}中，由������������ > 0，且������1 + ������2 + … + ������10 = 30， 得(������1 + ������10) + (������2 + ������9) + (������3 + ������8) + (������4 + ������7) + (������5 + ������6) = 30， 即5(������5 + ������6) = 30， ∴ ������5 + ������6 = 6． 故选：B． 由已知结合等差数列的性质可得5(������5 + ������6) = 30，则答案可求． 本题考查等差数列的性质，是基础的计算题． 曲线������ = ������������������������ + ������ 在(0,1)处的切线方程为( )
5−1 2
7.
.
设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为 a，b，c，则 a，b，c 满
中山市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
中山市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -=2． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n4． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到 D ．向左右平移个单位得到6． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）A ．1B ．C ．2D ．47． 设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．6D ．58． 已知i 为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}11．下列关系式中，正确的是（ ） A ．∅∈{0} B ．0⊆{0}C ．0∈{0}D ．∅={0}12．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案二、填空题13．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．14．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．16．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．17．已知函数，则__________；的最小值为__________．18．函数f （x ）=的定义域是 ．三、解答题19．已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．20．解关于x 的不等式12x 2﹣ax ＞a 2（a ∈R ）．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．23．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体（Ⅰ）求几何体的表面积（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BDCE ；（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长中山市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】考点：直线的方程.2．【答案】B【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），=（﹣2，0，1），=（2，2，0），设异面直线BE与AC所成角为θ，则cosθ===．故选：B．3．【答案】D【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．4．【答案】D【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．5．【答案】C【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．6．【答案】B【解析】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．7．【答案】B【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选B．8．【答案】A【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），故选：A．9．【答案】A【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．10．【答案】B【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B11．【答案】C【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．12．【答案】D【解析】【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(附答案及解析)
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、解答题 本大题共1道小题。
1.已知圆O 的方程为224x y +=，若抛物线C 过点()()1,01,0A B -，，且以圆0的切线为准线，F 为抛物线的焦点，点F 的轨迹为曲线'C . (1)求曲线'C 的方程;(2)过点B 作直线L 交曲线'C 与P 、Q 两点，'P P 、关于x 轴对称，请问:直线'P Q 是否过x 轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E 的坐标试卷答案1.（1）22143x y +=（2）直线P Q '过x 轴上的定点4,0E（）分析：设直线m 和圆O 相切与点M ，过A B 、分别向直线m 作垂线，垂足分别为A B ''、，则2AA BB OM ''+=，由抛物线定义可知，,AA AF BB BF =''=，所以24AF BF OM +==，由椭圆的定义可知，点F 的轨迹为以A B 、为焦点，以4为长轴的椭圆，则曲线'C 的方程可求； (2)设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,,P x y '-直线P Q '的方程为()212221y y y y x x x x +-=--令y=0，122112x y x y x y y +=+，设直线L ：1x ny =+，则1212122ny y y y x y y ++=+（*） 联立直线和椭圆方程()2234690n y ny ++-=，可得1212,y y y y +的表达式，代入（*）式得：4x =，即可证明直线'P Q 过x 轴上的定点4,0E（）. 详解：(1)设直线m 和圆O 相切与点M ，过A B 、分别向直线m 作垂线，垂足分别为A B ''、，则2AA BB OM ''+=，由抛物线定义可知，,AA AF BB BF =''=，所以24AF BF OM +==，由椭圆的定义可知，点F 的轨迹为以A B 、为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为22143x y +=.(2)设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,,P x y '-直线P Q '的方程为()212221y y y y x x x x +-=--令y=0，122112x y x y x y y +=+，设直线L ：1x ny =+， 则1221121212122x y x y ny y y y x y y y y +++==++（*） 联立直线和椭圆方程()2234690n y ny ++-=，则12122269,3434n y y y y n n --+==++，代入（*）式得：4x =,所以直线P Q '过x 轴上的定点4,0E （）. 点睛：本题考查利用定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.已知a，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：a，，若，对A，，若，则；，则；，则，故A错误；对B，若，则；若，则；若，则，故B错误；对C，a，，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，在R上递增，可得，故D正确．故选：D．讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用在R上递增，即可判断D．本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．3.设等比数列的公比是q，则”是“数列是为递增数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若，时，递减，数列单调递增不成立．若数列单调递增，当，时，满足递增，但不成立．“公比”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4.不等式的解集是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：不等式等价于如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为，故选：A．原不等式等价于把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5.在等差数列中，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，且，得，即，．故选：B．由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求．本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程的正跟，即有，可得，又，所以．即b是a，c的等比中项．故选：B．通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．7.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为A. eB.C.D.【答案】C【解析】解：设切点坐标为，，，切线的斜率是，切线的方程为，将代入可得，，切线的斜率是；故选：C．设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．8.若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，；又函数有极大值和极小值，；故或；故选：B．由题意求导；从而化函数有极大值和极小值为；从而求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9.已知平面内有一个点，的一个法向量为1，，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，0，，，故不在平面内；同理可得：选项B，，，故在平面内；选项C，2，，，故不在平面内；选项D，，，故不在平面内；故选：B．由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．本题考查平面法向量的定义，属基础题．10.设数列的前n项和为，且，为常数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：数列的前n项和为，且，，为常数列，由题意知，，当时，，从而，，当时上式成立，．故选：B．由题意知，，当时，，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．11.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面；若，则P、A、B、C共面．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于，若，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，正确；对于，若，则，这里系数，A、B、C、D不共面，错误；对于，若，则，所以P、A、B、C共面，正确．综上所述，正确的命题序号是，共3个．故选：C．在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由，能判断P、A、B、C四点共面．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题．12.已知函数，，对任意存在使，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则，令，可得，则，．显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为，故选：D．令，则，令，可得，利用导数求得取得最小值．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则取得最大值时的最优解为______【答案】【解析】解：画出约束条件的可行域，如图：由得：，显然直线过时，z最大，所以最优解为：故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，则点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，，．因此的最小值为．故答案为：2．平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，可得点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案．本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10米到位置D，测得，则塔AB的高是______米【答案】【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．16.记为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：设正项等比数列的公比为，，，，可得：解得．则，当且仅当时取等号．的最小值为8．故答案为：8．设正项等比数列的公比为，由，可得，可得：解得可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列为单调递增数列，，其前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列其前n项和为，若成立，求n的最小值．【答案】解：，可得时，，相减可得，即为，数列为单调递增数列，即，可得，为首项为1，公差为2的等差数列，可得；，可得前n项和为，即，解得，即n的最小值为10．【解析】由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C；若，求面积的最大值．【答案】解：，由正弦定理可得：．，．．由余弦定理可得：，可得，当且仅当时取等号．面积的最大值．【解析】利用正弦定理与和差公式即可得出．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点A，B在直径上，点C，D在半圆周上，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】解：连接OC，设，则，其中，，当且仅当，即时，S取最大值900；取时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．设圆柱底面半径为r，高为x，则，解得，，其中；，令，得；因此在上是增函数，在上是减函数；当时，取得最大值，取时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为．【解析】设，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；用x表示出圆柱的底面半径，得出体积关于x的函数，判断的单调性，得出的最大值．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．求E的方程；设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．【答案】解：由题意得，，，则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，．的方程为；证明：设直线PQ的方程为，代入，得．设，，则，．．不可能为直角．【解析】由题意得，，则，可得M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明不可能为直角．本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．21.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【答案】证明：连接MD，FD．四边形BDEF为菱形，且，为等边三角形．为BF的中点，．，，又D是AC的中点，．平面平面，平面平面BDEF，平面ABC，平面BDEF．又平面BDEF，．由，，，平面AMC；解：设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，0，，1，．，，，．设平面AEF，平面BCF的法向量分别为，．由．解得．取，．又由解得．取，．．平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．【解析】连接MD，FD，可得为等边三角形又M为BF的中点，得，进一步求得，再由面面垂直的性质可证平面AMC；设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键，是中档题．22.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ0)'/>，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．Ⅱ令，原问题等价于在区间上恒成立，可见，要想在区间上恒成立，首先必须要，而，另一方面当时，，由于，可见0'/>，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，成立，故原不等式成立．综上，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为【解析】Ⅰ当时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数的单调性；Ⅱ利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。
中山2018-2019年高二下年末统一考试数学试题(文)含解析.doc.doc
中山2018-2019年高二下年末统一考试数学试题(文)含解析高二数学试卷〔文科〕本试卷共4页，22小题，总分值150分、考试用时120分钟、本卷须知1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上、2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上、3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、考生必须保持答题卡的整洁、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交、【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、〕1、抛物线的焦点坐标为A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为〔0，1〕、应选D、2、假设复数满足，那么A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，应选C、A、R，B、R，C、R，D、R，【答案】D【解析】“R，”的否定为R，,应选D、4、某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响、部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，那么以下选项正确的选项是〔〕A、有99、5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B、有99、5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C、在犯错误的概率不超过0、001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D、在犯错误的概率不超过0、001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7、879＜K2=10＜10、828，对照数表知，有99、5%的把握认为使用智能手机对学习有影响、应选：A、5、用反证法证明：假设整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数、以下假设正确的选项是A、假设都是偶数；B、假设都不是偶数C、假设至多有一个偶数D、假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，应选B、6、函数的单调递减区间是A、 B、C、，D、【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为〔0，+∞〕、令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是、应选：A 、点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一〔1〕确定函数y＝f〔x〕的定义域；〔2〕求导数y′＝f′〔x〕；〔3〕解不等式f′〔x〕>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；〔4〕解不等式f′〔x〕<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间、方法二〔1〕确定函数y＝f〔x〕的定义域；〔2〕求导数y′＝f′〔x〕，令f′〔x〕＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；〔3〕把函数f〔x〕的间断点〔即f〔x〕的无定义点〕的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f〔x〕的定义区间分成假设干个小区间；〔4〕确定f′〔x〕在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7、执行如下图的程序框图，假设输出的的值为64，那么判断框内应填入的条件是A、 B、 C、 D 、【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，应选A、8、F为双曲线的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为A、 B、 3 C、 D、【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，那么可设F〔，0〕，设双曲线的一条渐近线方程为y=x，那么F到渐近线的距离为d==，应选A、9、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x〔吨〕与相应的生产能耗y〔吨〕的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0、7x＋0、35，那么以下结论错误的选项是A、产品的生产能耗与产量呈正相关B、t的值是3、15C、回归直线一定过〔4、5,3、5〕D、A产品每多生产1吨，那么相应的生产能耗约增加0、7吨【答案】B【解析】由题意，应选：B、10、中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外、”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，那么9117 用算筹可表示为A、 B、C、 D、【答案】A【解析】试题分析：由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11、设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,那么双曲线的离心率为A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】由题意，F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕，一条渐近线方程为y= x，那么F2到渐近线的距离为=B、设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4〔c2﹣a2〕，∴c2=4a2，即c=2a，e=2、故答案为：C 、点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等、12、大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论、其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，那么的值为A、 1200B、 1280C、 3528D、 3612【答案】D【解析】由题意，那么A〔10，4〕为数列{a n}的第92+4=85项，∴A〔10，4〕的值为=3612，应选D 、点睛：此题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可、此题的关键是正确理解树形图，明确项数、【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上〕13、一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，那么t=2时的瞬时速度为_________、【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′〔2〕=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314、是函数的一个极值点，那么实数____________【答案】12【解析】f′〔x〕= +2x﹣10〔x＞0〕、∵x=3是函数f〔x〕=alnx+x2﹣10x的一个极值点，∴f′〔3〕= +6﹣10=0，解得a=12、∴f′〔x〕=∴0＜x＜2或x＞3时，f′〔x〕＞0，3＞x＞2时，f′〔x〕＜0，∴x=3是函数f〔x〕=12lnx+x2﹣10x的一个极小值点，故答案为：12、15、双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________、【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，那么c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，那么P为上支上一点，那么由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，〔F'为下焦点〕、那么有PF'=19、那么点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42、故答案为42、16、函数，如果对任意的，都有成立，那么实数a的取值范围是__________、【答案】【解析】求导函数，可得g′〔x〕= ﹣2= ，x∈[，2]，g′〔x〕＜0，∴g〔x〕min=g〔2〕=ln2﹣4，∵f〔x〕=2x+a，∴f〔x〕在[，2]上单调递增，∴f〔x〕max=f〔2〕=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f〔x1〕≤g〔x2〕成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②假设就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，假设恒成立，转化为;③假设恒成立，可转化为、【三】解答题〔本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、〕17、复数〔〕，且为纯虚数、〔1〕求复数；〔2〕假设，求复数的模、【答案】〔1〕;〔2〕、【解析】试题分析：〔1〕化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数z；〔2〕先化简，然后求模即可、试题解析：〔1〕∵为纯虚数，∴∴，所以〔2〕,∴、点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法、复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可、②复数的除法、除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式、③利用复数相等求参数、、18、，设：实数满足，：实数满足、〔1〕假设，且为真，求实数的取值范围；〔2〕假设是的充分不必要条件，求实数的取值范围、【答案】〔1〕;〔2〕、【解析】试题分析：〔1〕为真时实数的取值范围是，为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；〔2〕是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且、试题解析：〔1〕由得当时，，即为真时实数的取值范围是、由，得，即为真时实数x的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是、〔2〕由得，所以，为真时实数的取值范围是、因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：、19、为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变产卵数其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，〔1〕根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数、〔与估计值均精确到小数点后两位〕〔参考数据：〕〔2〕假设模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好、【答案】〔1〕详见解析;〔2〕模型②的拟合效果更好、【解析】试题分析：〔1〕利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；〔2〕因为，所以模型②的拟合效果更好、试题解析：〔1〕对于模型①：设，那么其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，那么其中，所以，当时，估计产卵数为〔2〕因为，所以模型②的拟合效果更好、点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系、②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过〔，〕点，可能所有的样本数据点都不在直线上、③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值〔期望值〕、20、椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点、〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值、【答案】〔1〕；〔2〕、【解析】试题分析：〔1〕根据，解得c值，即可得椭圆的方程；〔Ⅱ〕联立l与椭圆C的方程，得,得，、所以，又O到l的距离、所以△OMN的面积求最值即可、试题解析：〔Ⅰ〕设椭圆的焦半距为c，那么|OF| = c，|OA| = a，|AF| =、所以，其中，又，联立解得，、所以椭圆C的方程是、〔Ⅱ〕由题意直线不能与x轴垂直，否那么将无法构成三角形、当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为、联立l与椭圆C的方程，消去y，得、于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0、设点，、由根与系数的关系得，、所以，又O到l的距离、所以△OMN的面积、，那么，当且仅当t = 3时取等、所以△OMN面积的最大值是、点睛:此题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用、21、设函数、〔1〕假设曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间〔其中为自然对数的底数〕；〔2〕假设对任意恒成立，求的取值范围、【答案】〔1〕的单调减区间为,单调增区间为;〔2〕、【解析】试题分析：〔1〕由，解不等式得到单调区间；〔2〕根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得k的取值范围、试题解析：〔1〕由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为、〔2〕因为，恒成立，那么有，对恒成立，令，那么在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，那么、所以的取值范围是、点睛：此题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题、不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ〔ｘ〕，那么此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、正数，恒成立、〔1〕试给出这个常数的值；对任意正数，，恒成立、”【答案】〔1〕;〔2〕详见解析;〔3〕详见解析、论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立、试题解析：〔1〕令得：，故；〔2〕先证明、∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立、∴、再证明、∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立、∴、〔3〕猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立、。
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x≤0，x2≥0”的否定是()A. ∀x≤0，x2≥0B. ∀x≤0，x2<0C. ∃x>0，x2>0D. ∃x<0，x2≤02.双曲线x210−y210=1的焦距为()A. 3√2B. 4√5C. 3√3D. 4√33.在数列{a n}中，a1=1，a n=1+(−1)na n−1(n≥2)，则a5等于()A. 32B. 53C. 85D. 234.在△ABC中，若c=2，a=√3，∠A=π6，则sinC=()A. √33B. √32C. 13D. √225.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为4√33，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. √62D. √67.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线C:x216−y248=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点，F1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，若|PF1|=10，则|OQ|=()A. 10B. 1或9C. 1D. 99.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10. 已知直线y =kx +3与椭圆x 216+y 24=1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A. (√54,+∞) B. (−∞,−√54) C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞) D. (−√54,√54)11. 等差数列{a n }中，已知a 7>0，a 3+a 9<0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为( )A. S 4B. S 5C. S 6D. S 712. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P.若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为4，则椭圆的方程为______ ．14. 设a >0，b >0，且a +b =1，则1a +1b +1ab 的最小值为______ ．15. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A 处测得公路北侧有一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =________m ．16. 已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．19. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y =x +3，求|MF|+|NF|的值；(2)若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|MN|．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n =S n +1(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点肘(−a,0)到直线xa+yb=1的距离d=8√217．(1)求C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与C相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于P，Q两点，O为坐标，求△OPQ面积的取值范围．原点，若直线OA，OB的斜率之积为−34-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题． 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x ≤0，使得x 2≥0”的否定是∀x ≤0，x 2<0． 故选B ．2.答案：B解析：解：双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，∴c 2=a 2+b 2=20． ∴c =2√5， ∴2c =4√5．双曲线的焦距为：4√5． 故选：B ． 双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，求出c ，从而得到焦距2c ． 本题考查双曲线的简单性质，确定c 是关键．3.答案：D解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出前5项即可． 解：数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a2=1+1=2，a3=1+−12=12，a4=1+112=3，a5=1+−13=23．故选：D．4.答案：A解析：解：在△ABC中，由于：c=2，a=√3，∠A=π6，利用正弦定理：asinA =csinC，解得：sinC=2⋅1 2√3=√33，故选：A．直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：C解析：本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，即可求解．解：由P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，即−2=−p2，则p=4，故抛物线的焦点坐标为：(2,0)，故选：C．6.答案：B解析：本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 求出双曲线的渐近线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可． 解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为bx −ay =0，则：{bx −ay =0x 24+y 2=1, 消去y 可得：x =√a 2+4b 2，y =√a 2+4b 2， 一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，可得：4a 2+4b 2a 2+4b 2=(2√33)2=43，可得2a 2=b 2=c 2−a 2，解得e =ca =√3． 故选：B ．7.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆， 则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2,即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立， 当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立， 故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8，c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8， 因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)， P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点， 所以|OQ|=12|PF 2|=9． 故选：D ．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题． 解：在△ABC 中，∵cos 2A2=1+cosA 2=b+c 2c=b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ， ∴sinAcosC =0， ∵sinA >0， ∴cosC =0，C =π2， ∴△ABC 的形状是直角三角形， 故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0， 当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点．故选C ．11.答案：C解析：利用等差数列通面公式推导出a 6<0.a 7>0，由此能求出{a n }的前n 项和S n 的最小值．本题考查数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 9<0，∴a 3+a 9=2a 6<0， 即a 6<0.又a 7>0，∴{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 故选：C ．12.答案：D解析：本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 设P(x,y)，通过联立直线PF 2的方程、直线PF 1的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 解：如图，设P(x,y)，根据题意可得F 1(−c,0)、F 2(c,0)，双曲线的渐近线为y=bax，直线PF2的方程为y=ba(x−c)，①即直线PF1的方程为y=−ab(x+c)，②又点P(x,y)在双曲线上，∴x2a2−y2b2=1，③联立①③，得x=a2+c22c，联立①②，得x=b2−a2a2+b2×c=b2−a2c，∴a2+c22c =b2−a2c，即a2+a2+b2=2b2−2a2，∴b2=4a2，∴e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√5a2a2=√5．故选D．13.答案：x216+y24=1解析：解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为4，即有b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解得a=4，c=2√3，则椭圆方程为x216+y24=1．故答案为：x216+y24=1．由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解方程可得a=4，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要椭圆的离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．14.答案：8解析：解：∵a>0，b>0，且a+b=1，则1a+1b+1ab=2ab≥2(a+b2)2=8，当且仅当a=b=12时取等号．故答案为：8．a>0，b>0，且a+b=1，可得1a +1b+1ab=2ab，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：50√6解析：解：由题意可知∠BAC=30°，∠ABC=180°−75°=105°，AB=300，∠CBD=30°，在△ABC中，由三角形的内角和定理可知∠ACB=45°，由正弦定理得：，即√22=BC12，解得BC=150√2．在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC =√33，∴CD=√33BC=50√6．故答案为50√6．在△ABC中根据正弦定理计算BC，在△BCD中，根据锐角三角函数的定义计算CD．本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题．16.答案：x−y=0解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，y1+y2=4，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=1×(x−2)即x−y=0．故答案为：x−y=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．17.答案：解：对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7，∵“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，∴p假q真，由{x<−2或x>6−3≤x≤7，得−3≤x<−2或6<x≤7，∴实数x的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．当B=⌀时，2−m>2+m，解得m<0，当B≠⌀时，∴{2−m≤2+m2−m≤−22+m≥6，得m≥4，∴实数m的取值范围为(−∞,0)∪[4，+∞)．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7.由“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，可得p假q真，解出即可．(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，由于q是p的充分不必要条件，可得B⊊A.分类讨论：当B=⌀时，当B≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a =5 cm ，b =8 cm ，c =7 cm 或a =8 cm ，b =5 cm ，c =7 cm ．解析：由已知及三角形面积公式可求ab =40，结合a +b =13，可得a ，b 的值，利用余弦定理可求c ，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8y y =x +3，整理得y 2−14y +9=0，则y 1+y 2=14， 因为M ，N 在抛物线上，所以|MF|+|NF|=y 1+2+y 2+2=18； (2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ， 联立{x 2=8y y =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，则x 1+x 2=16，x 1x 2=−8t ， 由Δ=162+32t >0可求出t >−8，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点N 为线段MP 的中点，所以x 1=2x 2， 从而可求出x 1=323，x 2=163，此时−8t =5129，t =−649>−8，计算可知|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=16√53．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8yy =x +3，整理得y 2−14y +9=0，利用韦达定理和抛物线的定义求解；(2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ，联立{x 2=8yy =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，利用韦达定理，结合MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1=2x 2，由弦长公式求解|MN|． 20.答案：解：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1=1．n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：2a n −2a n−1=a n ，可得a n =2a n−1.. 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n =2n−1．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1．∴数列{b n }的前n 项和T n =3×1+5×2+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1． 2T n =3×2+5×22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ， ∴−T n =3+2×(2+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=1+2×2n −12−1−(2n +1)⋅2n ，可得：T n =(2n −1)⋅2n +1．解析：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1.n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：a n =2a n−1..利用等比数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)由e =12，得c =12a ，又b 2=a 2−c 2，所以b =√32−a ．由左顶点M(−a,0)到直线xa +yb =1，即bx +ay −ab =0的距离d =8√217， 得√a 2+b 2=8√217，即√a 2+b2=8√217， 把b =√32−a 代入上式，解得a =4，所以b =2√3，c =2．所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线AB 的方程y =kx +m(k ≠0)与椭圆方程联立，得{x 216+y 212=1,y =kx +m,即(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 则Δ=48(16k 2+12−m 2). 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−483+4k 2．因为k OA⋅k OB=−34⇒34x1x2+y1y2=0．所以(34+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．所以4m2−483+4k2(34+k2)−8k2m23+4k2+m2=0．整理得m2=8k2+6，此时Δ>0，又点P(−mk,0)，Q(0,m)，所以S▵OPQ=12⋅|m|⋅|mk|=12⋅m2|k|=4k2+3|k|=4|k|+3|k|≥4√3，(当且仅当k2=34，取“=”)综上所述，△OPQ面积的取值范围是[4√3,+∞)．解析：本题主要考查直线与椭圆位置关系，椭圆综合应用题，属困难题．(1)根据左顶点(−a,0)到直线xa+yb=1距离公式得√a2+b2=8√217，把b=√32−a代入上式即可求得椭圆方程；(2)直线l与椭圆联立，用k把△OPQ面积表示出来，然后利用基本不等式即可求得面积的范围．。
广东省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试题及答案
（1）当 a = 3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围；
（2）当 a 0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
18.
ABC 的内角
A，B
，C
的对边分别为 a ， b
， c ，已知 b
=
2a
，
c2 a2
=1+ 4
3 sin C .
（1）求 C ；
（2）若 c = 2 7 ，求 ABC 的面积.
6
4
（）
A. 2 3
B. 3 6 2
C. 3 3
D. 2 6
5. 已知点 P (−2, 4) 在抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. (0, 2)
B. (0, 4)
C. (2,0)
D. (4,0)
6. 已知双曲线 x2 − y2 = 1 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1的焦点相同，则 m = （ ）
广东省 2019～202分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 5，选修 2—1.
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的.
m2
4
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
1
7. “ −1 m 3 ”是“方程 x2 + y2 = 1表示椭圆”的（ ） m+1 7−m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
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2019-2020学年广东省中山市2018级高二上学期期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
1.“0x >”是“12x x +
≥”的 A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
先考虑充分性,当x>0时,12x x +
≥=,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性,当12x x
+≥时,如果x>0时,22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立. 所以x>0.
故选C.
2.在等差数列{}n a 中,若123583,9a a a a a ++==，则的值是( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
【答案】C
【解析】
由已知直接利用等差数列的性质求解．
【详解】在等差数列{a n }中,由a 1+a 2+a 3=3,
得3a 2=3,即a 2=1,
又a 5=9,
∴a 8=2a 5-a 2=18-1=17．
故选C ．
3.如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ,线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面
内,且均与棱AB 垂直,若AB =,1AC =,2BD =,则CD 的长为（ ）.
A. 2
B. 3
C. 23
D. 4
【答案】B
【解析】 由CD CA AB BD =++,两边平方后展开整理,即可求得2CD ,则CD 的长可求． 【详解】解：CD CA AB BD =++,
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++,
CA AB ⊥,
BD AB ⊥,
∴0CA AB =,0BD AB =,
()1||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=． ∴2124219CD =+++⨯=,
||3CD ∴=,
故选：B ．
4.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,若26442,S 6a S a =-=,则5a =
A. 4
B. 10
C. 16
D. 32 【答案】C
【解析】
由64S S -=6546a a a +=得,()22460,60q q a q q +-=+-=,解得2q ,从而3522=28=16a a =⋅⨯,
故选C.
5.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB 是半圆O 的直径,点D 在半圆周上,CD AB ⊥于点C ,设
AC a =,BC b =,直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为（ ）。