九年级数学下册 第2章 2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1练习 (新版)湘教版
九年级数学下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形同步练习2 (
第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质知识点 1 圆周角定理的推论21．如图2－2－32，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，则∠B的度数为 ( )图2－2－32A．15°B．30°C．45°D．60°2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )图2－2－33A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )图2－2－34A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．图2－2－355．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．图2－2－36知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )A．60°B．120°C．140°D．150°7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )图2－2－37A．50°B．60°C．80°D．100°8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．图2－2－389．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD ＝120°，则∠DCE＝________°.图2－2－3910．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图2－2－4011．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )图2－2－41A．15°B．30°C．45°D．60°12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.图2－2－4213．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－2－4315．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图2－2－4416．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．图2－2－45教师详解详析1．D 2.B3．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．6．B7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.8．96°9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝12∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE ＝∠A ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ， ∴△ADE 是等腰三角形．11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，C (3，0)，得OD ＝1，OC ＝3，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝12CD ，∴∠OCD ＝30°，∴∠OBD ＝30°.故选B.12．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝2，AC ＝3，∴cos ∠BAD ＝AB AD ＝22，cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.∵AB＝2，AC＝3，∴cos∠BAD＝22，cos∠CAD＝32，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.故答案为15°或75°.14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋7，x2＝1－7(舍去)．∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋7.15．解：(1)证明：如图，连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)如图，连接DE，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴BEBA＝BDBC，即3BA＝26，∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°. ∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，∴四边形ABDC为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，∴BC 为⊙O 的直径，∴BC ＝6 2，∴BO ＝CO ＝DO ＝12BC ＝3 2.∵∠BAD ＝2∠DAC ，∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°， ∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 2，则BE ＝3 62，∵OE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝3 6.。
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
3.4课时1圆周角定理及其推论1教学设计2023-2024学年北师大版数学九年级下册
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解圆周角定理及其推论。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
作业评价：
1. 作业批改：对学生的课后作业进行认真批改，及时发现学生的问题并进行解答。例如，可以批改学生对圆周角定理及其推论的应用，检查学生是否能够正确运用定理解决实际问题。
2. 作业点评：对学生的作业进行点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。例如，可以对学生的作业进行评分，指出学生的优点和不足，给出改进的建议。
（4）使用数学游戏和软件：学生可以利用课余时间，使用一些数学游戏和软件，如GeoGebra、Desmos等，通过互动式学习，加深对圆周角定理及其推论的理解和掌握。
七、典型例题讲解
例题1：
题目：已知一个圆的半径为6cm，求圆心角为60°的圆周角的大小。
答案：圆心角为60°的圆周角的大小为30°。
例题2：
本节课的核心素养目标包括：
1. 逻辑推理：通过探究圆周角定理及其推论，培养学生的逻辑推理能力，使学生能够从具体的事实和现象中抽象出圆周角与中心角、弧、弦之间的关系，并能够运用逻辑推理证明这一关系。
2. 数学建模：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识建立模型的能力，使学生能够将圆周角定理及其推论应用于解决与圆相关的问题，提高学生解决实际问题的能力。
2. 观察评价：通过观察学生的课堂表现，了解学生的学习状态和参与程度，及时发现问题并进行指导。例如，可以观察学生是否认真听讲，是否积极参与课堂讨论，是否能够正确运用圆周角定理及其推论解决实际问题等。
2019-2020【提分必做】九年级数学下册 第二章 2.2 圆心角、圆周角练习 (新版)湘教版
2.2 圆心角、圆周角2．2.1 圆心角基础题知识点1 认识圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)A B C D2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D) A ．54° B ．72°C ．90°D ．126°知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3．下列说法中，正确的是(B) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB＝122°，则∠AOC 的度数为(A) A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B) A ．AB>CD B ．AB ＝CD C ．AB<CDD ．不能确定6．如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD＝80°，则∠ABC 等于(B) A ．40°B ．65°C ．100°D ．105°7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空： (1)若AC ＝BC ，则AC ︵＝BC ︵，∠AOC＝∠BOC； (2)若AC ︵＝BC ︵，则AC ＝BC ，∠AOC＝∠BOC； (3)若∠AOC＝∠BOC，则AC ︵＝BC ︵，AC ＝BC ．8．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC 等于40°．9．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B＝70°，则∠A ＝40°．10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，求∠AEO 的度数．解：∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵， ∠COD＝34°， ∴∠BOE＝102°. ∵OA＝OE ，∴∠AEO＝∠EAO＝12∠BOE＝51°.中档题11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA.则∠BCD 等于(C) A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°12．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中，正确的个数为(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB ︵＝DE ︵；③OF＝OC ；④AC＝EF. A ．1B ．2C ．3D ．413．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为(B)A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CDC ．AB ＞2CD D ．不能确定提示：如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，连接DE ，CE ，则有AB ︵＝CE ︵.∴AB＝CE.又CD ＋DE ＝2CD>CE ＝AB ，∴AB＜2CD ，故选B.14．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC 的度数； (2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴AB＝BC ＝CA.∴△ABC 是等边三角形．15．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD ＝DE.证明：连接OE ， ∵OA＝OE ， ∴∠A＝∠OEA. ∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA. ∴∠BOD＝∠DOE. ∴BD＝DE.16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点， ∴OM＝ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC 和Rt△OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)． ∴∠COM＝∠DON. ∴AC ︵＝BD ︵. 综合题17．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E ，F. (1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE ＝OF ，那么AB ︵与CD ︵的大小有什么关系？为什么？解：(1)OE ＝OF.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝12∠AOB，∠FOD＝12∠COD.∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD. 在△EOB 和△FOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFD，∠EOB＝∠FOD，OB ＝OD ，∴△EOB≌△FOD(AAS)． ∴OE＝OF. (2)AB ︵＝CD ︵.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°.∴点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．在Rt△BEO 和Rt△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)． ∴BE＝DF.∵AB＝2BE ，CD ＝2DF ， ∴AB＝CD. ∴AB ︵＝CD ︵.2.2.2 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1基础题知识点1 认识圆周角1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)知识点2 圆周角定理2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)A．75° B．70° C．65° D．35°3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．知识点3 圆周角定理推论16．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，AC ，BD 相交于点E ，则∠ABD＝(A) A ．∠ACD B ．∠ADB C ．∠AEDD ．∠ACB7．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A) A ．28°B ．42°C ．56°D ．84°8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B 等于(C) A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°9．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是(D) A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°10．如图所示，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．11．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠BDC＝∠ADB. ∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°． 中档题13．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D) A ．45°B ．40°C ．25°D ．20°14．(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D) A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正弦516．如图所示，在⊙O 中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO 的度数为50°．17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC ，则∠BAC＝35°．18．如图，点A ，B ，C 三点在⊙O 上，过C 作CD∥AB 与⊙O 相交于D 点，E 是CD ︵上一点，且满足AD ＝DE ，连接BD 与AE 相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AD＝DE ，∴AD ︵＝DE ︵. ∴∠DAE＝∠AED.∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC， ∴△AFD∽△ABC. 综合题19．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．证明：(1)△A BC 是等边三角形． 在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角， ∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ， ∵∠APC＝60°， ∴△APD 是等边三角形． ∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°， 即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠B PC ＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP.∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP.第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质基础题知识点1 圆周角定理推论21．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)A．∠A DC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)A．12个单位长度B．10个单位长度C．4个单位长度D．15个单位长度3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)A．20° B．40° C．50° D．70°4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A．30° B．45° C．60° D．70°5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB．5 cmC．6 cmD．10 cm6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.知识点2 圆内接四边形对角互补7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A．115° B．105° C．100° D．95°8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A．80° B．120° C．100° D．90°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠DCB.∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．中档题12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)A ．60°B ．120°C ．140°D ．150°13．如图，AB 为⊙O 的直径，关于角p ，q ，r ，s 之间的关系：①p＝2q ；②q＝r ；③p＋s ＝180°中，正确的是(A) A ．只有①和② B ．只有①和③ C ．只有②和③D ．①②③14．(2018·白银)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B) A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°15．(2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．16．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，CD 为∠ACE 的平分线． (1)求证：△ABD 为等腰三角形；(2)若∠DCE ＝45°，BD ＝6，求⊙O 的半径．解：(1)证明： ∵CD 平分∠ECA，∴∠ECD＝∠DCA.∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠ECD＝∠DAB.又∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB.∴DB＝DA.∴△ABD是等腰三角形．(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，∴∠ECA＝∠ACB＝90°.∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．∵BD＝AD＝6，∴AB＝BD2＋DA2＝62＋62＝6 2.∴⊙O的半径为3 2.17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形．又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)∴平行四边形ABFC是菱形．(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2， 设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x. ∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋x)2－72＝42－x 2. ∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去)． ∴S 半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15. ∴S 菱形ABFC ＝815. 综合题18．如图，在⊙O 中，直径AB 的两侧有定点C 和动点P ，点P 在AB ︵上运动(不与A ，B 重合)，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)试猜想：△PCQ 与△ACB 具有何种关系？(不要求证明) (2)当点P 运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．解：(1)△PCQ∽△ACB. (2)当CP ︵为半圆时， △ABC≌△PCB. 证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CP ︵为半圆，∴CP是直径．∴∠PBC＝90°，AB＝CP.∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．。
湘教版九年级下册数学：223圆周角定理的推论
∴∠BAC=90° 又∠ABC=60° ∴∠C=30°
∵∠ADB与∠C都是弧AB所对的圆周角
∴∠ADB=∠C=30°
在圆中求角时，可以利用圆周角定理及其推论，将 圆心角与圆周角进行转换,也可以构造直角三角形求角.
三、探究活动2
圆内接四边形与四边形外接圆的概念： 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个四 边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆。
∠ABC80° D.70°
4.若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则下列描述有可
能为正确的是（ C ）
A ∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4 B ∠A:∠B:∠C:∠D=1:3:3:2 C ∠A:∠B:∠C:∠D=4:2:3:5 D ∠A:∠B:∠C:∠D=1:4:3:2
C D
A
O
B
探索圆内接四边形的性质 如上图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，它的四个 内角有什么特殊的关系呢？
圆内接四边形对角互补
典例分析
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，
求∠BAD及∠BCD的度数。
A
O
B
D
C
解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD都对弧BD，
∠BOD=100°
C
O A
B
4.如图所示的凹面是否成半圆，你会检验吗？
二、探究活动1
观察，如下图，AB是⊙O的直径，∠D等于多少
度？∠E、∠C呢？你能概括并证明你所观察到的
结论吗？
DE C
A
B
O
直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
典例分析
例3：如图，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上，求∠ADB的度数。
湘教版数学九年级下册.2圆周角课件
D
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°．
O
B
C
探究新知
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？
证明猜想：
∵∠DCE+∠BDC=180°，
又∠A+∠BCD=180°，
A
D
O
B
C
E
∴∠A=∠DCE．
我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相
B. 112.5°
C. 120°
D. 135°
当堂练习
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AB∥DC,AD∥BC,求证：四
边形ABCD是矩形
解 ∵ AB∥DC,AD∥BC
∴ ∠A+∠D = 180°，
∠A+∠B = 180°
∴∠B = ∠D
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠D = 180°
∴∠B = ∠D=90°
是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所
对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道
∠AOB的度数，利用圆周角定理，就
可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
探究新知
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别
是多少呢？
因为A，O，B 在一条直线上， 所
以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3
邻的内角∠DCB的对角．
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
知识要点
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角
圆周角定理及其推论随堂练习考试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于 ( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EF所对的圆周角的度数( )A. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘17. 如图，四边形ABCD接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD接于⊙O，点O在∠D的部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC上一点，AE，DC的延长线交于点F．求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4，求EF的长．534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√223. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．因为AD=AC，所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，所以BE=CE=12因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=3．235. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。
圆周角第1课时 圆周角定理及推论 教案 2020-2021学年沪科版数学九年级下册
24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、教学目标1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明．二、教学重点及难点重点：了解圆周角与圆心角的关系.难点：能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明.三、教学用具多媒体课件四、相关资料无五、教学过程【情景引入】你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【探究新知】【知识点解析】圆周角，本微课资源针对圆周角进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。
【探究1】圆心角、圆周角问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？图3－4－13处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．【数学探究】探究圆周角与圆心角的数量关系，通过探究的方式 ,定量地揭示出圆周角与圆心角的数量关系,同时根据圆周角和圆心角不同的分布,分类讨论,证明定理的正确性. 试一试：指出图3－4－14中的圆心角和圆周角．图3－4－14解：圆心角有∠AOB ，∠AOC ，∠BOC ； 圆周角有∠BAC ，∠ABC ，∠ACB .处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的角即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO 没有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO 延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．【探究2】 探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题： 问题1：你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？问题2：通过上述问题，你有何猜想？问题3：对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．(几何画板展示)教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角――→特殊一边经过圆心．由图3－4－15可知，显然∠ABC ＝12∠AOC ，结论成立．(预设学生口述，并展示)证明：∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO .∴∠AOC ＝2∠ABO . 图3－4－15即∠ABC ＝12∠AOC .如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如图3－4－16)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)图3－4－16如图①，当点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .如图②，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果，有∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .问题4：还会有其他情况吗？经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？教师适时总结：这一结论称为圆周角定理．板书：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．问题5：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？图3－4－17处理方式：学生通过从对特殊角的圆周角与圆心角的数量关系入手进行猜想，进而提出猜想、作图，然后写出已知、求证，并进行讨论、交流，在教师的引导下寻找解决问题的途径．教师在讲台利用几何画板演示圆心与圆周角的三种不同位置情况，配合学生的思考过程进行逐步演示分析．并给学生充足的时间思考．通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用．多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工．【探究3】 探究同弧或等弧所对圆周角之间的关系问题回顾：如图3－4－18，当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，这三个角的大小有什么关系？处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．分析：如图3－4－18，连接AO ，CO ，∵∠ABC ＝12∠AOC ，∠ADC ＝12∠AOC ，∠AEC ＝12∠AOC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC .图3－4－18由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 【新知运用】 探究点一：圆周角定理【类型一】 利用圆周角定理求角例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A .方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想例2 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题例3 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A .55 B .255 C ．2 D .12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D .方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题例4 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 【随堂检测】1．如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB ＝________°，∠DAB ＝________°.2.如图，A ，B ，E ，C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD ＝∠EAB ，AE 是⊙O 的直径吗？为什么？3.如图，在⊙O 中，直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .求BC ，AD 和BD 的长．六、课堂小结1．圆周角的概念 2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。
2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论
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分层作业
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答案
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A．35° C．40°
图 2-2-35 B．38° D．42°
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第2课时 圆周角定理的推论
3．[2019·德州]如图 2-2-36，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的 距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B )
A．130° C．150°
图 2-2-36 B．140° D．160°
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第2课时 圆周角定理的推论
当堂测评
1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A＝70°，则∠C＝( D )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
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第2课时 圆周角定理的推论
2．[2019·滨州]如图 2-2-31，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为( B )
图 2-2-39
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第2课时 圆周角定理的推论
解：∵∠BOD＝80°， ∴∠BAD＝40°. 又∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝140°.
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第2课时 圆周角定理的推论
7．如图 2-2-40，已知 AC，AB，BC 是⊙O 的弦，CE 是⊙O 的直径，CD⊥ AB 于点 D.
(2019-2020)【重点资料】新九年级数学下册 第2章 2.2.2 圆周角 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形
2.2.2 圆周角第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形知|识|目|标1．通过特殊化思想探究直径所对的圆周角，理解圆周角定理的推论2.2．在学习圆周角的基础上，结合图形理解圆内接四边形的概念，并探究圆内接四边形的性质.目标一 理解圆周角定理的推论2并能计算或证明例1 教材补充例题2017·宁波模拟如图2－2－10，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，sin ∠BAC ＝35，D 为优弧ABC 上任意一点．图2－2－10(1)求AC 的长；(2)求tan ∠ADC 的值．【归纳总结】1．圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的相互转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中的条件出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，得到直角，然后结合直角三角形的性质解决问题，即“见直径出直角”．目标二 理解圆内接四边形及其性质例2 教材补充例题如图2－2－11，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，经过点A 的直线与两圆分别交于点C ，D ，经过点B 的直线与两圆分别交于点E ，F ，且CD ∥EF. 求证：(1)四边形EFDC 是平行四边形；(2)CE ︵＝DF ︵.图2－2－11【归纳总结】圆内接四边形的角的“三种关系”：(1)对角互补，若四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，则∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°；(2)若四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，则∠A ＋∠C ＋∠B ＋∠D ＝360°；(3)圆内接四边形任意一个外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．知识点一圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．知识点二圆内接四边形定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作这个四边形的外接圆．性质：圆内接四边形的对角______．如图2－2－12，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，D是圆上一点(不与点A，B，C重合)，求∠ADC的度数．图2－2－12解：连接BC，如图2－2－13，图2－2－13∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADC＝50°.上述解答完整吗？若不完整，请补充完整．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1)连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝10，sin ∠BAC ＝35， ∴BC ＝6，∴AC ＝8.(2)∵∠ADC ＝∠B ，∴tan ∠ADC ＝tan B ＝AC BC ＝86 ＝43. 例2 证明：(1)连接AB.∵四边形ABEC 是⊙O 1的内接四边形，∴∠BAC ＋∠E ＝180°. 又∵四边形ADFB 是⊙O 2的内接四边形，∴∠BAD ＋∠F ＝180°.又∵∠BAC ＋∠BAD ＝180°，∴∠BAC ＝∠F ，∴∠E ＋∠F ＝180°，∴CE ∥DF.又∵CD ∥EF ，∴四边形EFDC 是平行四边形．(2)由(1)得四边形EFDC 是平行四边形，∴CE ＝DF.又∵⊙O 1与⊙O 2等圆，∴CE ︵＝DF ︵.备选目标 圆心角、圆周角性质定理的综合运用例 已知：如图所示，BC 为半圆⊙O 的直径，AB ︵＝AF ︵，AC 与BF 相交于点M.(1)若∠FBC ＝α，求∠ACB 的度数(用α表示)；(2)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，交BF 于点E ，求证：BE ＝EM.[解析] (1)利用AB ︵＝AF ︵，探索∠ACB 与∠FCB 的关系；(2)欲证BE ＝EM ，因为它们所在的三角形不全等，故找中间线段转换，注意到∠BAC ＝90°，因此选择AE 为中间线段． 解：(1)如图，连接CF.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠F ＝90°.∵∠FBC ＝α，∴∠FCB ＝90°－α.∵AB ︵＝AF ︵，∴∠5＝∠ACF ，∴∠5＝12∠FCB ＝12×(90°－α)＝45°－12α. 即∠ACB ＝45°－12α. (2)证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，即∠1＋∠2＝90°.∵∠ADC ＝90°，∴∠5＋∠2＝90°，∴∠1＝∠5.∵AB ︵＝AF ︵，∴∠5＝∠4，∴∠1＝∠4，∴BE ＝AE.在Rt △ABM 中，∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠4，∴∠2＝∠3，∴EM ＝AE ，故BE ＝EM.[归纳总结] 在圆中求角的度数时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手，在进行角的转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或利用中间线段进行等量代换．【总结反思】[小结] 知识点一 直角 直径知识点二 互补[反思] 解答不完整．正确解法：连接BC ，如图．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠CAB ＝40°，∴∠B ＝50°.当点D 在优弧ABC 上时，∠ADC ＝∠B ＝50°；当点D 在劣弧AC 上时，∠AD ′C ＝180°－∠B ＝130°，∴∠ADC 的度数为50°或130°.。
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2.2.2 圆周角
第1课时圆周角定理及其推论1
知|识|目|标
1．通过对比圆心角的概念，理解圆周角的概念，并能识别圆周角．
2．通过分类讨论探索圆周角与圆心角的关系，理解圆周角定理及其推论.
目标一能识别圆周角
例1 教材补充例题如图2－2－5，下列图形表示圆周角的是( )
图2－2－5
【归纳总结】圆周角的两个基本特征：
(1)顶点在圆周上；(2)两边与圆相交．
目标二理解圆周角定理及其推论
例2 教材补充例题如图2－2－6，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝________°.
【归纳总结】圆周角定理的应用：
(1)圆周角与圆心角之间的关系是通过它们所对的弧联系起来的．
(2)运用圆周角定理时要强调前提条件：①在同圆或等圆中；②同一条弧所对．
(3)一条弧所对的圆心角是这条弧所对的圆周角的2倍．
例3 高频考题如图2－2－7，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，
图2－2－7
求证：AD＝CE.
知识点一圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆______的角叫作圆周角．
知识点二圆周角定理及其推论1
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的______．
推论1：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．[注意] 在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等．
平面内有四个点A，O，B，C，其中∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，AO＝BO＝2，求满足题意的OC的长度为整数的所有值．
解：画△OAB，使∠AOB＝120°，AO＝BO＝2.
(1)如图2－2－8，以点O为圆心，2为半径画圆，点C1在优弧AC1B上，
此时，∠AC1B＝60°，OC1＝2；
图2－2－8
(2)如图2－2－9，画⊙O′，使点A，O，B在⊙O′上，OO′的延长线与⊙O′交于点C2，
此时，∠AC2B＝60°，OC2＝4.
图2－2－9
所以OC的长度为整数的所有值是2，4.
以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．
教师详解详析
【目标突破】
例1 D
例2 [答案] 35
[解析] ∵OB ＝OC ，∠OBC ＝55°，∴∠OCB ＝55°，∴∠BOC ＝180°－55°－55°＝70°，由
圆周角定理得∠A ＝12
∠BOC ＝35°. 例3 证明：∵AB ∥CE ，
∴∠ACE ＝∠BAC.
又∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAC ＝∠DAC ，
∴∠ACE ＝∠CAD ，∴AE ︵＝CD ︵，
∴AE ︵＋DE ︵＝CD ︵＋DE ︵，
∴AED ︵＝CDE ︵，∴AD ＝CE.
【总结反思】
[小结]
知识点一 相交
知识点二 一半
[反思] 不完整．补充如下：
在题图2－2－9中，以点O 为圆心，3为半径画弧与⊙O ′交于点C 3，如图所示，此时，∠AC 3B ＝60°，OC 3＝3，所以OC 的长度为整数的所有值是2，3，4.
度数)．。