5.7确定二次函数的解析式
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
初中二次函数解析式
初中二次函数解析式二次函数是初中数学中比较重要的一个知识点，也是高中数学中的基础。
在初中阶段，我们主要学习二次函数的解析式、图像、性质等方面的知识。
本文将重点介绍初中二次函数解析式的相关内容。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式是指用代数式表示二次函数的函数式。
对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，我们可以通过以下步骤求出它的解析式：1. 将二次函数的一般式y=ax²+bx+c中的a、b、c代入解析式y=a(x-h)²+k中。
2. 化简得到y=ax²+bx+c的解析式。
其中，h和k分别表示抛物线的顶点坐标，即h=-b/2a，k=c-b²/4a。
例如，对于二次函数y=2x²+4x+1，我们可以先求出它的顶点坐标：h=-b/2a=-4/(2×2)=-1k=c-b²/4a=1-4²/(4×2)=-3因此，二次函数y=2x²+4x+1的解析式为y=2(x+1)²-3。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(h,k)，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
当a>0时，抛物线的最小值为k；当a<0时，抛物线的最大值为k。
例如，对于二次函数y=2x²+4x+1，我们可以通过以下步骤画出它的图像：1. 求出抛物线的顶点坐标：h=-b/2a=-4/(2×2)=-1，k=c-b²/4a=1-4²/(4×2)=-3。
2. 将顶点坐标标在坐标系中。
3. 求出抛物线的对称轴：x=h=-1。
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数是一种以二次方项为主要组成的代数函数，其解析式可以通过一些特定的形式来表示。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数的解析式以及如何确定它们。
一、二次函数的解析式定义二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这种形式的函数图像通常为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式是另一种常见的表示形式，它利用顶点坐标来描述函数。
顶点式的一般形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(a, h, k)表示顶点的坐标。
1.确定顶点坐标要确定二次函数的顶点坐标，首先需要找到抛物线的对称轴。
对称轴的公式为x = -b/2a。
通过计算得到对称轴的x坐标，将其代入原始函数或者顶点式中，即可得到顶点的坐标。
2.分析顶点式形式顶点式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。
当a大于0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
顶点式中的h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。
三、二次函数的标准式二次函数的标准式形式为y = ax^2 + bx + c，其中y表示函数的值。
标准式是一种简化形式，常用于计算与建模。
1.求解标准式要将二次函数转换为标准式，需要进行一些代数运算。
首先，可以使用配方法、完全平方和法等方法来将顶点式转换为标准式。
其次，可以通过因式分解或者使用求根公式等方法，将二次函数从其他形式转换为标准式。
2.分析标准式标准式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
标准式中的b 和c分别表示x的系数和常数项。
四、二次函数的解析式应用二次函数的解析式在数学和实际应用中扮演重要角色。
它们可以用于描述和分析各种现象和问题，如自然科学、工程学、物理学、经济学等领域的建模和预测。
1.函数图像与性质通过二次函数的解析式，我们可以绘制出函数的图像，进而分析其性质。
九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解
二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。
下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。
1.顶点形式：y=a(x-h)²+k顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
2. 一般形式：y = ax² + bx + c一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。
3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。
其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。
求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。
以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。
不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。
希望对你的学习有所帮助！。
5.7确定二次函数的解析式
九年级数学导学稿第五章对函数的再探索5.7确定二次函数的解析式繁华初级中学 编写学习目标：1、通过确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、会利用待定系数法求二次函数的表达式。
重点：求二次函数的函数关系式难点：能根据题意，选择合适的方式求出函数关系式。
教学过程：【温故知新】1、什么叫待定系数法？待定系数法有哪些步骤？2、若抛物线y=ax2经过点A （1,2），那么A 点坐标是函数y=ax2的什么？求a 的值。
3、如何判定一点在不在函数的图像上？【创设情境】某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB ）的薄壳屋顶。
它的拱宽AB 为4m ，拱高CO 为0.8m ，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？【探索新知】1. 已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。
提示：设y ax bx c =++2，其图象经过点C （0，－5），可得c =-5，再由另外两点建立关于a b 、的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可。
请根据提示求出函数关系式。
解：小结：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 ，然后确定a 、b 、c 的值即得，本题由C （0，－5）可先求出c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。
例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
提示：由已知顶点为（1，-92），故可设y a x =--()1922，再由点（－2，0）确定a 的值即可。
请根据提示求出函数关系式。
解：小结：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据2，但我们可以不用这种形式而另设其他条件确定a的值。
本题虽然已知条件中已设y ax bx c=++2这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在=++=-+()2这种形式。
确定二次函数的解析式
§5.7 确定二次函数的解析式高密市姜庄中学 曹桂芹一、教学目标：1、通过确定二次函数解析式的过程，让学生体会求二次函数表达式的思想方法，培养学生数学应用意识。
2、会利用待定系数法求二次函数的解析式。
二、教学重点:能够利用待定系数法求二次函数的解析式.三、教学难点:会根据已知条件，选择恰当的方法确定二次函数解析式四、教学过程:（一）知识回顾：二次函数的两种形式两种函数形式：{22(()(y ax bx c y a x h k =++=-+一般式）顶点式）（二）探索新知：例1：已知抛物线2y ax bx c =++过（-1,0），（3,0），（0，3-2）三点，求此抛物线的解析式。
分析：要求二次函数解析式，已知三个点的坐标，可是一般式，列出一个三元一次方程组求出a 、b 、c 的值即可。
教法：教师在黑板上完整的完成这个例题的解答过程，目的是为学生做好示范。
（三）练习：1 、二次函数的图像如图所示，这个函数的解析式为（ ）2222:-23-2-3:--23:-23A y x xB y x xC y x xD y x x =++==+=--： 2、二次函数2y x bx c =++的图像经过A(-2，-3)与B(2，5).求：①这个二次函数的解析式②这个二次函数图像对称轴方程。
例2：二次函数的图像的顶点坐标是（-1，-6），并且图像经过点（2,3），求这个函数的解析式。
分析：此题已知顶点坐标，可设顶点式，再代入求值即可。
教法：由学生上黑板板演，对照学生的解答过程，教师再补充完善，让学生清楚此类题目的解答方法。
（四）对应练习：1、已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
（五）拓展延伸：1、如图，抛物线2-y x sx n =++经过点A （1,0），与y 轴的交点为B ，①求抛物线的解析式；②P 是y 轴正半轴上一点，且ΔPAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标。
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1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入 ，得
教师引导学生完成解答过程
回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式： ，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式： ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
二、温故知新
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数 的关系式，又需要几个条件呢？
二、实践与探索
某涵洞是抛物线形，它的截面如图27．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数 ．
Y
Y
想一想：如果我们建立如图所示的坐标系又该怎样求函数关系式呢？
X
X
O
教师引导学生完成上述问题的探索总结如果已知抛物线的顶点坐标可以设解析式为顶点式：
例1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
教师课件展示解答过程
三、再接再厉
想一想：已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。能用上述方式求解函数关系式吗？
学生回答教师板书
学生回忆举例后思考确定二次函数 的关系式，需要几个条件
学生思考交流探索作题方法
学生尝试解答
学生思考交流
学生总结规律
学生板演
归纳总结
今天你收获了什么？还有疑问吗？
布置作业
课本页A组2题
选做B组 1题
板书设计
5.7确定二次函数的解析式
问题情境例1
例2
教后反思
本节课利用涵洞抛物线问题的变形学生自然想到已知顶点坐标可设顶点式，再由例1过度到例2已知三点坐标学生自然想到设一般式，在探索中总结解决问题的方法效果较好
安乐镇中学教案
第__14___课时
课题
5.7确定二次函数的解析式
教学目标
会根据不同的条件，利用待定系数法确定二次函数的函数解析式．
教学重点及难点
重点：求二次函数的函数关系式
难点：灵活的根据条件求二次函数的函数关系式
教学过程
教学流程
教师活动
学生活动
一、知识回顾
二次函数解析式有哪几种表达式？
一般式：
顶点式：