数学---湖北省荆州市沙市中学2016-2017学年高一(上)期末试卷(解析版)(理科)

湖北省荆州市沙市中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．设函数f（x）=则的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．23．角α的终边过点（3a﹣9，a+2），且cosα＜0，sinα＞0，则a的范围是（）A．（﹣2，3）B．[﹣2，3）C．（﹣2，3] D．[﹣2，3]4．函数的交点的横坐标所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C． D．（e，+∞）5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣ B．C．﹣D．6．已知a=cos17°cos23°﹣sin17°sin23°，b=2cos225°﹣1，c=，则a，b，c的大小关系（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b7．函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数9．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣11．使函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的一个θ值是（）A．B． C． D．12．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是．14．若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，且，则α+β=．15．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则cos2α=．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若f（）=0，△ABC 的内角A满足f（cos A）＜0，则A的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x﹣18≤0]，N={x|1﹣a≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求M∩N和∁R N；（2）若M∩N=N，求实数a的取值范围．18．（12分）A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若方程f（x）﹣t=1在内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．20．（12分）已知函数cos2x+1，（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）若对任意实数x，不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=sin x+a cos x的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．22．（12分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D【解析】∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D2．B【解析】∵函数f（x）=，∴f（13）=f（9）=log39=2，f（）=log3=﹣1，=2+2（﹣1）=0．故选：B．3．A【解析】由题意α的终边上有一点P（3a﹣9，a+2），满足cosα＜0且sinα＞0，故此点是第二象限中的点，∴3a﹣9＜0，且a+2＞0，∴﹣2＜a＜3，故选：A．4．B【解析】令h（x）=ln x﹣，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，又函数h（x）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线，所以函数h（x）在区间（2，3）内有零点，即ln x﹣=0有解，函数的交点的横坐标所在的大致区间（2，3）故选B．5．D【解析】sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．6．C【解析】∵a=cos17°cos23°﹣sin17°sin23°=cos（17°+23°）=cos40°，b=2cos225°﹣1=cos50°．c==cos30°，由于cos x在（0°，90°）单调递减，可得cos30°＞cos40°＞cos50°．∴b＜a＜c．故选：C．7．C【解析】由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．8．C【解析】∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]=2sin（2x+φ+），∴ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ+=kπ+（k∈Z），即φ=kπ（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选：C．9．C【解析】在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cos x|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sin x|=|cos x|•|sin x|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．10．D【解析】sin（a+）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=cos（α﹣）=，则cos（2α﹣）=2﹣1=2×﹣1=﹣故选D11．D【解析】f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）=2[cos（2x+θ）+sin（2x+θ）]=2sin（2x+θ+），∵函数f（x）为奇函数，∴θ+=kπ，k∈Z，即θ=kπ﹣，∵在[0，]上是减函数，∴θ=kπ﹣，（k为奇数），∴为θ的一个值，故选D．12．B【解析】∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．{x|0≤x＜2且x≠1}【解析】由，解得0≤x＜2且x≠1．∴函数y=的定义域是{x|0≤x＜2且x≠1}．故答案为：{x|0≤x＜2且x≠1}．14．【解析】依题意得tanα+tanβ=3，tanα•tanβ=4，∴tan（α+β）===﹣．又∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．15．﹣【解析】∵＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，∵sin（α+β）=﹣，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α﹣β）sin（α﹣β）=﹣•﹣•（﹣）=，故答案为：﹣．16．（，）∪（，π）【解析】根据题意，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且（）=0，则有当0＜x＜时，f（x）＜0，当x＞时，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则有当﹣＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣时，f（x）＜0，综合可得当x＜﹣或0＜x＜时，f（x）＜0，又由△ABC的内角A满足f（cos A）＜0，则有cos A＜﹣或0＜cos A＜，解可得＜A＜或＜A＜π；即A∈（，）∪（，π）；故答案为：（，）∪（，π）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解（1）∵集合M={x|x2﹣3x﹣18≤0}，N={x|1﹣a≤x≤2a+1}．∴a=3时，M={x|﹣3≤x≤6}，N={x|﹣2≤x≤7}，∴M∩N={x|﹣2≤x≤6}，∁R N={x|x＜﹣2或x＞7}．（2）∵M∩N=N，∴N⊂M，∴当N=∅时，1﹣a＞2a+1，解得a＜0，成立；当N≠∅时，，解得0＜a≤．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．18．解（1）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限设B（x，y），则y=sinθ=，x=cosθ=﹣=﹣，∴B点的坐标为（﹣，）；（2）===﹣．19．解（1）函数f（x）=2cos2x+2．化简可得：f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1．由2x+≤上是单调增函数，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函数f（x）的单调递增区间为[+kπ，]，（k∈Z）．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）+1，当时，则2x+∈[，]．方程f（x）﹣t=1在内恒有两个不相等的实数解，即：2sin（2x+）+1﹣t=1，可得：sin（2x+）=t在内恒有两个不相等的实数解，设2x+=u那么函数f（x）转化为g（u）．等价于g（u）=sin u与函数y=t有两个不同的交点．∵g（u）=sin u的图象为：（如图）由图象可得：sin≤＜1，即≤＜1，解得：1≤t＜2．故得实数t的取值范围是[1，2）．20．解（1）函数cos2x+1，化简得：f（x）=1+cos（2x﹣）﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+2=2sin（2x﹣）+2．∴函数f（x）的最小正周期T=；对称轴方程；2x﹣=，（k∈Z）解得：x=．即函数f（x）的对称轴方程；x=，（k∈Z）．（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x﹣）+2．对任意实数x，不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，只需f（x）max＜2+m和f（x）min＞m﹣2在x∈[，]上恒成立，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为4．当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为3．∴，解得：2＜m＜5．故得实数m的取值范围是（2，5）．21．解（1）因为函数f（x）=sin x+a cos x的图象经过点（，0），所以sin+a cos=0，解得a=﹣；（2）由（1）可得，f（x）=sin x﹣cos x=，所以g（x）=[f（x）]2﹣2=﹣2==，由x∈（，）得，∈（，），则，所以，则函数g（x）的值域：[﹣2，1）；（3）因为g（）=﹣，所以=﹣，即，因为＜a＜，所以，则=﹣，所以sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=﹣×（）+=，则cos（α+）=sinα=．22．解（1）g（x）===1﹣，若a＞1，a x+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R递增；（2）由题意y=f1（x）=a x，a＞1时，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），当0＜a＜1时，a﹣a2=2，无解，综上，a=2，由（1）得：此时g（x）=的定义域是R，定义域关于原点对称，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数；（3）在（2）的条件下，f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x），∵x∈[1，+∞），∴2x﹣2﹣x＞0，故条件等价于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零点，令p=2x，则p≥2，令t=p﹣，则t在p∈[2，+∞）递增，∴t≥，﹣2m=，设h（t）==t+，任取t1＞t2≥，则t1﹣t2＞0，t1•t2＞，h（t1）﹣h（t2）=t1+﹣（t2+）=＞0，∴h（t）在t∈[，+∞）递增，h（t）≥，即﹣2m≥，∴m≤﹣．。