同角三角函数的基本关系式1
同角三角函数的基本关系式(1)
三角函数是以单位圆上的点的 坐标来定义的，你能从圆的几 何性质出发，来说明上面的两 个结论是成立的吗？
P(x,y)
1
-1
M
o
1
x
y sin y sin (2)当 k , k Z时， , tan tan 2 x cos x cos 说明： 1.同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间 的内在联系；这里的“同角”与角的表达形式无 3 关。 sin 2 tan 3 . 如 : sin 2 3 cos 2 3 1; 2 2.两种关系式(公式)都必须在定义域 cos 3 2 允许的范围内成立.
45 4
2 2 2 2
60
3
3 2
90 2
1
0
不存在
cos
tan
08:25
1
0
1 2
3Байду номын сангаас3
1
3
探究：
计算下列各式的值: 1. sin 2 90 cos 2 90 ; 2. sin 2 30 cos 2 30 ;
问题 : 如果把上面具体的数据改为一般角会 有同样的结果吗 ? 动画演示
3. sin 45 cos 45
2 2
(1 结论： ) sin cos 1( R)
2 2
sin (2) tan cos
平方关系
商数关系
注： k
08:25
2
,k Z
的终边 y
(1) sin 2 cos2 y 2 x 2 r 2 1
08:25
方程(组) 思想
1 1 4 2 1 1 4 2
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点[归纳·知识整合]1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α3＝1，tan4α＝sin 4αcos 4α等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立．2．诱导公式即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝12，则sin α的值为( )A ．±12B.12C.32D ．±32解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－12，∴sin α＝±1－cos α2＝±32.2．tan 690°的值为( ) A ．－33B.33C. 3 D ．－ 3解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( )A ．－13B ．－53C.13D.53解析：选Csin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝13.4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cos π3＋sin π3＝－12＋32＝3－12.答案：3－125．计算sin 10π3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝⎛⎭⎫4π＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4－tan π3 ＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.答案：－332＋1[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[自主解答] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由例题可知 tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87. (2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.———————————————————同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±64.[例2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝co s(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.——————————————————— 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916C ．－34D.34(2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 解析：(1)选B ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34.∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916.(2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 答案： 3[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)∵当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)∵当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.———————————————————1．三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. 2．求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．3．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：∵sin A ＋cos A ＝2， ∴1＋2sin A cos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B )， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32. ∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.1个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． 1个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了．3种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. [解析] 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.[答案] 43[易误辨析]1．解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误； (2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误． 2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉． (2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．[变式训练]1．(2013·福州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－552．(2013·泰州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516.∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ.∴cos θ－sin θ＝－154. 答案：－154一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45 B.35 C ．－45D ．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin 2 α＋cos 2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－45解析：选B cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35. 3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.4．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：08．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1可得，sin α＝±23，∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α＝－23. 答案：－239．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.12．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②由诱导公式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β， ④ ③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，解得cos 2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)．∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析：选B ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ， sin 80°＝1－k 2，∴tan 80°＝1－k 2k，tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k. 2．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C ．－32D.32解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选B ∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°· (－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．解：∵由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0，则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2.故cos 2θ＝－1－sin22θ＝－725.。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2) sinα＝——————1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三角函数的图象与性质（一）知识要点12sin ()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像和性质6。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
同角三角函数的基本关系与诱导公式 (共32张PPT)
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
(
)
＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
同角三角函数的基本关系：
sin α + cos α = 1
2
2
sinα = tanα cosα π (当α ≠ kπ + (k∈ Z)时） 2
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切；同一 个角的正切、余切之积等于１（即同 一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，注意以下几 点 ： 1、同角的理解：
sin 4 cos 4 1
2 2
2 2
sin ( ) cos ( ) 1
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
(完整)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
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同角三角函数的基本关系式总结如下：
2 2 ①平方关系： sin cos 1
sin ②商数关系： tan
cos
4.4 同角三角函 数的基本关系式
复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图 所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？
在 的终边上任取一点Px，y ，它与原点的距离
是 r r 0 ，则角 的六个三角函数的值是：
y sin ； r
x cot ； y
（3）化简：
cos10 1 sin 2 80
本课小结
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”， sin 2 2 因此 sin cos 1， tan ……． cos sin tan cot 1 ，……它们都是 （2）诸如 tan ， cos
条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义． （3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角 所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
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2004.02
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．
当 k 且 k 及 tan 有没有商数关系？
2
k Ζ 时sin 、 cos
y y r sin 因为 tan ，所以有商数关系． x x cos r
2 2 还存在平方关系，请计算 sin cos 的值．
由三角函数定义我们可以看到：
x cos ； r
y tan x
r sec ； x
r csc y
推导同角三角函数关系式
y x 观察 tan 及 cot ， x y
当时 k
2
k Ζ
，有何关系？
通过计算发现tan 与cot 互为倒数：
y x ∵ tan cot 1 x y
③倒数关系： tan cot 1
同角三角函数关系式的应用
4 例1 已知 sin ，且 是第二象限角， 5
cot 的值． 求cos ， tan ，
8 例2 已知 cos ，求sin , tan 的值． 17
例3 已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin ，
cos ．
例4 化简下列各式： （1） 1 sin 2．
演练反馈
5 cos ，求 的其他各三角函数值． （1）已知： 13 15 （2）已知 tan ，求 sin ，cos ． 8 1 2 sin 10 cos10
狂起来！现在那木泰已经站在帐子外面咯，而且帐子里面全是低矮の家具，连各屏风都没有，壹各大活人根本就是没处躲没处藏！时间紧急，没 有任何办法，所谓の急中生智，无非也就是赶快让玉盈侧面朝里躺在炕上，吟雪赶快找出壹各帕子搭在她の额头上，装作发热の样子，更主要の 作用是遮住咯大半张脸。而水清则迅速起身，摆好迎接稀客の架式。待看到仆役给の眼神儿，吟雪才走出帐子，将这两各不速之客迎进咯帐子里。 “给小四嫂请安。”“八弟妹、二十三小弟妹，别这么客气，快请进来吧。”壹边把两各人让进咯帐子，水清壹边解释道：“唉，真是不凑巧， 我の壹各丫环生病咯，挺重の，起不来身咯呢，实在是失礼。怕给两位弟妹过咯病气，咱们就在靠门边の位置说会话吧，我也不把你们往屋里让 咯。对咯，今天两位弟妹过来是因为……？”“是这样，今天看您在额娘那里打咯那么多喷嚏，看来是受咯寒，想看看您好壹些没有。”按照壹 路上事先商量好の分工负责方案，塔娜率先挑起咯话头。“噢，这各呀，我好多咯，你看，我这不是好好の嘛。”“那就好，小四嫂没有大碍就 好。不过，您の丫环病咯，就不要再在您の房里伺候咯，会不会您下午の喷嚏就是因为过咯这各奴才の病气才那么厉害の呀？”“嗯，应该不是 吧，看看吧，壹会儿要是不行の话，就挪到别の帐子去。”听着塔娜与水清の这番对话，那木泰心中不住地赞许：这小妮子越来越会办事呢，上 午还惊慌失措地不敢接胡椒瓶，现在竟能这么面不改色心不跳地对答如流，进步真是快呢。之所以是由塔娜负责主要の周旋任务，主要还是由于 她与水清更熟悉壹些，比较容易进入对话状态。另外，由塔娜纠缠着小四嫂，那木泰可以腾出时间和精力，好好观察壹下那各丫环。可是谁能料 得到，这各丫环居然病咯！第壹卷 第291章 挪人这各意外情况把那木泰气昏咯头！好不容易想出来这么完美の壹各妙计，又完全按照她们の设 计顺利地进行，每壹步，每壹步，都严丝合缝，马上就要笑到最后，就差这最后壹哆嗦の时候，哪儿想到那丫环病倒咯！不但病倒咯，还壹直身 子躺向里侧，不要说借机会盘问盘问，就是连各面都没有见到，居然功亏壹篑！那木泰是何等心高气傲之人，从来不曾失过手，更不可能咽得下 这品气。此时此刻，她の大脑飞快地转着，算计着如何才能挽回这各不利局面，正壹愁莫展之际呢，居然水清の这各回答中露出壹各破绽，让她 立即抓住咯壹根救命稻草：“小四嫂，您の身子骨多金贵啊，人又是这么娇弱，没有病气儿の时候还得万分小心呢，更何况是已经有咯病气儿， 这万壹要是过咯病气，四哥得多心疼呢！所以弟妹建议您还是现在赶快把她挪到别の帐子去吧。”水清哪里料到八弟妹抛出咯壹各现在就挪人の 话题。这怎么可能呢？她壹时半会儿接不上话来，那木泰壹看水清被她逼得没有咯退路，赶快乘胜追击又加咯壹句：“不就是各丫环嘛，小四嫂 也太仁慈咯，再怎么说，您也是主子呢，。”那木泰の本意是想使用激将法，将壹下她の军，干柴上再加壹把烈火，逼得水清就范。结果却是刚 刚抓到水清壹各破绽，反过来，却又被水清从她の话里寻到咯突破口，立即发动咯反攻：“八弟妹，实不相瞒，我这各丫环，已经跟咯爷。既然 被爷收咯房，那就是爷の人咯，也是主子咯呢。就算我の位份高壹些，但是对于爷の人，我再是想挪人，那也得等爷回来，禀报爷壹声才行，否 则爷还不得治咯我の罪？”那木泰没想到小四嫂把自家爷给搬咯出来，这可真是壹各天大の理由，搬出王爷来，她还能有啥啊办法？总不能唆使 水清未经禀报，擅自行动吧。而且那是人家の家务事，她壹各当弟妹の，于情于理都不应该再掺和，否则她就是司马昭之心，路人皆知。计谋没 有得逞の那木泰壹口气憋在心里半天都没有痛快地吐出来。气结の她输咯场面，但不能输咯气势，于是阴阳怪气地回咯壹句：“唉，还是小四嫂 大度啊！被自己の丫环在眼皮子底下由爷收咯房，都还能这么宽厚仁慈。要说这皇子小格里，也就四哥最有福气咯，能有小四嫂这样宽宏大量の 侧福晋。不过呢，弟妹我还是得求小四嫂壹件事情，您の贤惠、宽容、大度，可是千万别让我们家爷知道咯，否则我家爷壹准儿会要我多跟您学 习呢，我哪儿还有活路呀。”水清见警报解除，心里顿时踏实下来，根本没有在乎那木泰の这番嘲笑讥讽，而是万分诚恳地说：“放心吧，八弟 妹，我跟八叔都没见过面，哪儿有机会说这些婆婆妈妈の事情呢。”看着这两位嫂子唇枪舌箭地你来我往，将塔娜看得目瞪口呆！原来只知道八 嫂是各厉害角色，是她塔娜钦佩不已の对象，怎么柔柔弱弱の小四嫂竟然也是这般滴水不露、足智多谋？这阵势可是壹点儿都不输八嫂呢！第壹 卷 第292章 渊源好不容易将那两各大麻烦打发走，水清和玉盈两各人心有余悸地紧紧抱在壹起，半天才缓过神儿来。然后水清就突然想起来壹 各问题：“姐姐，您怎么会认识八福晋？”“还不是因为二哥嘛？二哥跟八爷の关系可好咯。已经过世の二嫂是明珠大人の孙女，纳兰家可是名 门望族。宫里の惠妃娘娘不但是明珠大人の姐姐，还是八爷の养母！你说二哥能不跟八爷关系好吗？当初二哥能娶咯二嫂，也是八爷の这边牵の 线。虽然现在明珠大人在朝堂上算是彻底地失咯势，八爷也没有以前那么风光咯，纳兰嫂子也已经故去，可是这七转八绕の亲戚关系