备战2023年中考数学一轮复习考点08 全等三角形

考点08 全等三角形全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。

在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。

一、全等三角形的性质；二、全等三角形的判定；三、角平分线的线的性质。

考向一：全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.全等三角形的周长相等，面积相等；3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A．40B．24C．48D．645．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．1．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（ ）个与ABC 全等的格点三角形（不含ABC ）．A ．3B ．4C ．7D ．82．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ）A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部D ．三角形的任意两边之和大于第三边2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm3．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P ．其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 于点M ，联结OP ．若∠BOP ＝28°，则∠AMP 的大小为（ ）A ．62°B ．56°C ．52°D ．46°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M N ，重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定定理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD =5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．51．下列命题错误的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处D ．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等2．如图，已知ABC A BC ''≌，A C BC ''∥，∠C ＝25°，则ABA '∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．（2022·福建·模拟）如图，AD 是AEC △的角平分线，2AC AB =，若4ACD S =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．14．如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟）如图，已知ABC ，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 的内部相交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．下列说法一定成立的是（ ）A ．BD AD =B ．BD CD >C ．>BD AC D ．2BD CD =6．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．（2022·山东威海·一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为M ．若∠ABC ＝30°，∠C ＝38°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．68°B ．70°C ．71°D ．74°8．（2022·福建三明·模拟）如图，BD 平分∠ABC ，F ，G 分别是BA ，BC 上的点（BF BG ≠），EF EG =，则∠BFE 与∠BGE 的数量关系一定满足的是（ ）A ．90BFE BGE ∠+∠=B ．180BFE BGE ∠+∠=C ．2BFE BGE ∠=∠D ．90BFE BGE ∠-∠=9．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ．下列条件中，不一定能推得ABD △与ACD 全等的条件是（ ）A ．AB AC = B ．BD CD =C ．B DAC ∠=∠D ．BAD CAD ∠=∠ 10．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ； ③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，D 为Rt ABC △中斜边BC 上的一点，且BD AB =，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ．若6cm AE =，则DE 的长为 __cm ．12．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ︒∠===．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 点运动；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 点运动．点P 和Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．点P 运动________秒时，PEC ∆与QFC ∆全等．13．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，①ABE 的面积＝BCE 的面积；②∠F AG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．以上说法正确的是_____．14．如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．15．如图，E ABC AD ≅∆∆，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，105AED ∠=︒，10CAD ∠=︒，50B ∠=︒，则EAB ∠=__︒．16．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC 中，高AE 交BC 于点E ，若1452ABE C ∠+∠=︒，5CE =，△ABC 的面积为10，则AB 的长为___________．17．（2022·山东济南·三模）如图，正方形ABCD 的边长为3，P 、Q 分别在AB ，BC 的延长线上，且BP=CQ ，连接AQ 和DP 交于点O ，分别与边CD 和BC 交于点F 和E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②AOD S =OECF S 四边形；③OA 2=OE•OP ；④当BP =1时，tan ∠OAE =1316，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）18．（2022·贵州铜仁·一模）如图，在ABC 中，8BC =，6AC =按下列步骤作图：步骤1：以点C 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交BC 、AC 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ； 步骤3：作射线CM 交AB 于点F ，若 4.5AF =，则AB =______．19．（2022·湖北襄阳·一模）如图，已知AC BD =，A D ∠=∠，添加一个条件______，使AFC DEB △≌△（写出一个即可）．20．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．21．已知：如图所示，PC PD C D =∠=∠，．求证：PCB PDA ≌．22．如图所示，点E 在线段BC 上，12∠=∠，AD AB AE AC ==，，求证：DE BC =23．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在一条直线上，且AD CF =，AB DE =，BAC EDF ∠=∠．求证：B E ∠=∠．24．如图，己知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使=DF CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．25．（2022·陕西延安·二模）如图，已知ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB AC26．如图，已知等边ABC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，在AD上求作一点O，使∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）60BOD，，，与MN分别交于点27．如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA DC AB CB，，，．E H G F(1)求证：EF GH =；(2)若FG AC =，试判断AE 与AD 之间的数量关系，并说明理由．28．如图（1）所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．29．如图，已知EB CF ∥，OA ＝OD ，AE ＝DF ．求证：(1)OB=OC ；(2)AB ∥CD ．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC △≌CEB ；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC4．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件是________．（只需添一个）6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ． ③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG 的面积为18，则CBG 的面积为________．7．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．8．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：BD =CE9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．1．（2022·江苏南京·二模）如图，在ABC 中，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，延长BA 到点E ，使得BE BC =，连接DE ．若38ADE ∠=︒，则ADB ∠的度数是（ ）A ．68°B ．69°C ．71°D ．72°2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（ ）A B ．9 C ．6 D ．7．23．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为10，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E ，F 在AC 上，AD =BC ，DF =BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（ ）A ．∠A =∠CB ．∠D =∠BC ．AD ∥BC D ．DF ∥BE5．（2022·江苏南通·二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； ③作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．6．（2022·江苏·模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD ＝2，则点D 到AB 的距离是_________．7．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，5AB =，则ABD △的面积是________．8．（2022·江苏·苏州市振华中学校二模）已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1)ABC BAD ≌．(2)AE BE =．9．（2022·江苏镇江·模拟）如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAF ；(2)若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．10．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，BD ∥AC ，直线OD 交AC 于点E ．(1)求证：△BDO≌△CEO；(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．11．（2022·江苏徐州·模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关2系，并证明．12．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内一点P，P A=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠P AB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠P AC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形,所以∠A P'P=60° ,……按照小明的解题思路，易求得∠APB= ；【尝试应用】如图3，在等边三角形ABC外一点P，P A=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？【解决问题】如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:P A=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②【答案】D【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合 故选D ．2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得出ACB DCB ∠=∠，求出ACB ∠，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：ABC DBC ∆∆≌，ACB DCB ∴∠=∠，86ACD ∠=︒， 43ACB ︒∴∠=，45A ∠=︒，18092ABC A ACB ∴︒--∠︒∠=∠=；故选：B ．4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A ．40B ．24C ．48D ．64【答案】C【分析】根据平移的性质可得ABC ≌DEF △，则四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH SSSSS -=-=梯形即可求解．【详解】解：∵将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △， ∴ABC ≌DEF △，6BE =cm ， ∴ABC 的面积等于DEF △的面积， 又AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =， ∴1046HE DE DH AB DH =-=-=-=（cm ）， ∴四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH S SSSS -=-=梯形()12AB HE BE =+⋅ ()11066482=+⨯=（2cm ） 故选C ．5．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠E ＝30°，则∠C 的度数为（ ）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△ABC≌△ADE，∠E＝30°，∠C=∠E＝30°，故选：D．考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样1．在如图所示33的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC全等的格点三角形（不含ABC）．A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】如图所示大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去ABC 外有7个与ABC 全等的三角形． 故选C ．2．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得． 【详解】解：在ABE 和ACD 中，AEB ADC A BB C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴无法证明ABE ACD △△≌， 选项A 说法错误，符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项B 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中，A A AB AC BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ACD △△≌（ASA ），选项C 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项D 说法正确，不符合题意； 故选A ．3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题， 故选：C ．4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS【答案】B【分析】根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法，即可求解．【详解】解：根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒， 根据全等三角形的判定方法可得()POM PON HL △≌△ 故选B5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD ，根据全等三角形的性质解答． 【详解】∵∠E ＝50°，∠D ＝62°， ∴∠EBD ＝180°−50°−62°＝68°， ∵△ABC ≌△EBD ， ∴∠ABC ＝∠EBD ＝68°， 故选：A ．考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ） A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D ．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意；C 、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意；D 、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意； 故选：D2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】D【分析】作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，证明OD OE OF ==，再利用2150cm =++=ABC BOC AOB AOC S S S S △△△△即可求出OD 的长度．【详解】解：作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，。