《立体几何》专题13点线面学案（Word版含答案）
高一数学必修二 立体几何点线面 专项练习(含答案)
（3）求直线与平面所成角的正切值.
15. （本题13分）在几何体ABCDE中, ∠BAC= , DC⊥平面ABC, EB⊥平面ABC, F是BC的中点, AB=AC=BE=2, CD=1.
（1）求证: DC∥平面ABE；
（2）求证: AF⊥平面BCDE；
（3）求几何体ABCDE的体积.
16. 如图, 在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底面边长及侧棱长均为2, D是棱AB的中点,
(1)求证 ;
(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
17.如图,在正方体中,为底面的中心,是的中点,设是上的中点,求证:（1）;
(2)平面 ∥平面 .
18. (14分)如图, 在直三棱柱中, , 点是的中点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求证: 平面 ；
（Ⅲ）求异面直线 与 所成角的余弦值.
参考答案
Hale Waihona Puke 1．D2．D3．C
4．D
5．B
6．②④
7.平行或相交（直线在平面外）
8．1, 2, 3
9．
10. ②④⑤
11. （1）见解析（2）见解析
12. 见解析。
13. （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。
14. （1）证明: 见解析；（2）证明: 见解析；（3）
二、填空题:
6.设是三个不重合的平面,是直线,给出下列四个命题:
①若
②若
③若
④若
其中正确的命题序号是
7. 已知两条相交直线, , ∥平面, 则与的位置关系是 .
8．如图, 空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE的中点, 那么
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 专题学案汇编
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 班级： 姓名： 小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念． (2)掌握各种距离的计算方法． 【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用． 难点：把空间距离转化为向量知识求解． 【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，则|a |＝______________，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则d AB ＝|AB→|＝________________. 答案：a 21＋a 22＋a 23(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)22．点到直线距离的求法设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外定点．作AA ′⊥l ，垂足为A ′，则点A 到直线l 的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA →在s 上的投影的大小|PA →·s 0|等于线段PA ′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线l 的距离d ＝_____________．d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.3．点到平面的距离的求法设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′，则点A 到平面π的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA→在n 上的投影的大小|PA →·n 0|等于线段AA ′的长度，所以点A 到平面π的距离d ＝____________. d ＝|PA →·n 0|.【预习检测】1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( )A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 PA →＝(－2,0，－1)，|PA →|＝5，PA →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·n |n ||2＝5－12＝322.【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24【解析】 建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)， 则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)，A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 122929【自主探究】 求点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2，求点B 到直线A ′C 的距离．[分析] 可利用坐标向量法求出点B 到直线A ′C 的距离． [解析] 画出空间直角坐标系如图，因为AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2， 所以A ′(0,0,2)，C (1,1,0)，B (1,0,0)．计算直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1,1，－2)；找到直线A ′C 上一点C (1,1,0)； 求点B (1,0,0)到直线A ′C 上一点C (1,1,0)的向量BC →＝(0,1,0)； BC →在A ′C →上的投影为BC →·A ′C →|A ′C →|＝(0，1，0)·(1，1，－2)12＋12＋(－2)2＝16； 所以点B 到直线A ′C 的距离为d ＝|B C →|2－|B C →·A ′C →|A ′C →||2＝1－16＝56＝306.点面距已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且|GC |＝2，求点B 到平面EFG 的距离．[分析] 在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解．还可利用等积法求解． [解析] 解法一：(转化法)连接AC ，BD 交于点O ，设AC 与EF 交于H ，连接GH ，GO ，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ． ∵BD Ú平面GEF ， ∴BD ∥平面GEF .∴点B 到平面EFG 的距离即为点O 到平面EFG 的距离． ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ． ∵GC ⊥平面ABCD ，又EF Ü平面ABCD ，∴GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH .∵EF 面GEF ， ∴平面GEF ⊥平面GCH . 过O 点作OM ⊥GH 于M ，则OM ⊥平面GEF ，因此OM 是O 点到平面GEF 的距离，也等于B 点到平面GEF 的距离．∵正方形ABCD 边长为4， ∴|CH |＝34|AC |＝34×42＝3 2.∵|GC |＝2，且GC ⊥CA ，∴|GH |＝4＋18＝22. ∵Rt △OMH ∽Rt △GCH ， ∴|OM ||OH |＝|GC ||GH |，∴|OM |＝21111. ∴点B 到平面EFG 的距离为21111.解法二：(等体积法)连接BG ，BF ，可知V G －BEF ＝V B －GEF ，∵E 为AB 的中点，∴S △BEF ＝12S △ABF ＝12×12×2×4＝2.连接AC 交EF 于H ，连接GH ，∵EF ⊥AC ，GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH ，∴EF ⊥GH . ∵|GC |＝2，|AC |＝42，∴|CH |＝34×42＝32，∴|GH |＝GC 2＋CH 2＝4＋18＝22.∴S △GEF ＝12×|EF |×|GH |＝12×22×22＝211.设点B 到平面GEF 距离为h由V G －BEF ＝V B －GEF ，得13×|GC |×S △BEF ＝13×h ×S △GEF ，∴13×2×2＝13×h ×211，解得h ＝21111. ∴B 点到平面GEF 的距离为21111.解法三：(向量法)如图所示，以C 为原点，分别以CD 、CB 、CG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则B (0,4,0)，E (2,4,0)，F (4,2,0)，G (0,0,2)．∴GF →＝(4,2，－2)，EF →＝(2，－2,0)， 设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GF →＝0n ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －z ＝0x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，z ＝3x .令x ＝1，得n ＝(1,1,3)．。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直学案答案(重要上课用)
立体几何空间点、线、面的位置关系五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A 在直线l 上 ；点B 不在直线l 上 （2）点与面的位置关系：点A 在平面α内 ；点B 在平面α外 （3）直线与直线的位置关系：a 与b 平行 ；a 与b 相交于点O （4）直线与平面的位置关系：直线a 在平面α内 ；直线a 与平面α相交于点A ；直线a 与平面α平行 （5）平面与平面的位置关系：平面α与平面β平行平面α与平面β相交于a平 行 问 题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行, 记为:2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为: （2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
记为: （3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
记为: （4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行, 记为: （二）直线与平面平行1.没有公共点，称直线a 平行与平面α，记为:这条直线和这个平面平行。
定理模式：3①中位线定理 ②平行四边形 ③比例关系④面面平行-线面平行① 中位线定理例题1：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．_ H_ G_ D_ A_ B_ CEFGP A BC D F E A B C D EF练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 1111D C B A ABCD -是正四棱柱,侧棱长为1， 底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
立体几何初步空间几何与点线面章节综合学案练习(一)含答案人教版高中数学考点大全
高中数学专题复习《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．如图，正三棱柱111ABC A B C 的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点，则EF 的长是（ C ）A 1B 1C 1GFEABC(A)2 (B)3 (C) 5 (D)7 (2020浙江文)2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A)（A ）316 （B ）916 （C ）38 （D ）932(2020全国2理)3．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125(2020江西理)4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm (2020江苏) 5．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） ()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 226．直线a ，b 异面直线， a 和平面α平行，则b 和平面α的位置关系是（ ） （A ）b ⊂α （B ）b ∥α （C ）b 与α相交 （D ）以上都有可能7．棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是A 1∶7B 2∶7C 7∶19D 5∶ 168．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
点线面答案
参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°．7．C解析：当A ，B 两点在 同侧时，直线AB 和平面 平行；当A ，B 两点在 异侧时，直线AB 和平面 相交．8．B解析：对于A ， ⊥ ，m ⊥ ，n ∥ ，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥ ，n ∥ ，m ⊥n ， ， 可以不垂直； 对于D ， ⊥ ， ∩ ＝m ，n ⊥m ， n ， 可以不垂直． 9．A解析：设A ，C ∈ ，B ，D ∈ ，① 若AB ，CD 共面，∵ ∥ ，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ EF ∥AC ，且EF ⊄ ，AC ⊂ ，∴ EF ∥ ．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交 于M ，交 于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄ ，AM ⊂ ，∴ EF ∥ ．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π＝2a ，BB ′＝a cos 4π＝2a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5．(第10题)ABC A 1B 1C 1EFG(第12题)13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ， 点A 到直线OC 距离是AB ．依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ．∴ AB ＝16243+a ＝414a ． 14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥ ，b ∥ 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立． 三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线．∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ，∴P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ， 则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ．又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°． 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ．ABCOA ′(第13题)A BC A 1B 1C 1P · DD 1O(第16题)POECDBA(第17题)(第18题)(第18题)又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． ∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2． 故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ． ∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1， 又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61．(方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61． 20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ．又AC AE ＝ADAF＝ (0＜ ＜1)， ∴ 不论 为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ． ABC ． ∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论 为何值总有平面BEF ⊥平面(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ．∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7．由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ ＝AC AE ＝76．故当 ＝76时，平面BEF ⊥平面ACD ．数列测试答案一、选择题1．A 解析：由等差数列的求和公式可得63S S ＝da da 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0所以126S S ＝da da 661215611＋＋＝d d 9027＝103．2．B解析：解法1：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0．(第20题)∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：∵ a 3·a 9＝a 26，b 4＋b 10＝2b 7，∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝21(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝21ac sin 30°＝23，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1． 5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d 2＋1∈[5，7]，∴ k ≠4．6．A解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10，∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝26． 8．B解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24＝－＋＋209118321a a a a a a∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2＋20201)(a a ＝180． 9．C解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒21＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝41，两式相除可求得q ＝21，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式可得222111q q a a n－)－(＝332(1－4－n )．二、填空题 11．－2．解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1-n n a a ＝1．方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0，q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，∴ S 30＝3232－562)(＋56＝74． 15．21，211． 解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8，①2n －36＝36(2n －1)．a 4＋a 5＋a 6＝－4．②两式相除得q 3＝－21， ∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·421－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝21＋121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211． 16．152．解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，①4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72， 故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝718．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋d 2910⨯，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝13a a ＝dd 3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1． 又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式．】、 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n n b ＝11223+-⨯n n ＝43，c 1＝21a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴nn a 2＝21＋(n －1)43＝43n －41，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2． S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n ＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。
复习课(一) 空间几何体及点、线、面的位置关系 Word版含答案
复习课(一)空间几何体及点、线、面的位置关系(1)空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合．要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质．(2)空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题．[考点精要]1．三视图的画法规则(1)正、俯视图都反映了物体的长度——“长对正”；(2)正、侧视图都反映了物体的高度——“高平齐”；(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．2．表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和．(2)旋转体的表面积：①S圆柱＝2πrl＋2πr2；②S圆锥＝πrl＋πr2；③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.3．体积(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)锥体：V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)．(3)台体：V台体＝13(S＋SS′＋S′)h.其中S，S′分别表示台体的上、下底面面积．[典例](1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A ．5＋3B ．5＋2 3C ．4＋2 2D ．4＋23(2)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②球的直径是连接球面上两点的线段；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．(3)(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．[解析](1)如图所示，该几何体的表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，故选A.(2)①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的四面体A -CB 1D 1；②错误，因为球的直径必过球心；③错误，必须是相邻的两个侧面． (3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[☆答案☆] (1)A (2)① (3)2＋π2[类题通法](1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．[题组训练]1．下列说法正确的是( )A ．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B ．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C ．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D ．圆台的母线可能平行解析：选C 对于A ，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．对于B ，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．对于D ，圆台的母线不可能平行．2．某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是( )解析：选A该几何体是由圆柱切割得到的，由俯视图可知正视方向和侧视方向，可进一步画出正视图和侧视图，如图所示，故选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S为________．解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以S＝2×(4×1＋3×1＋4×3)＋2π－2π＝38.☆答案☆：38与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，属于低档题．[考点精要]球的表面积与体积(1)球的表面积公式S球＝4πR2.(2)球的体积公式V球＝43πR3.[典例](1)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π B．3πC.23π D ．2π(2)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．[解析] (1)如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12，所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π.(2)由正视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R 2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫2332＝1912(其中R 为球的半径)，则球的表面积S ＝4πR 2＝4π×1912＝193π.[☆答案☆] (1)A (2)193π[类题通法]解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．[题组训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4. 2．设A ，B ，C ，D 是球面上的四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝3，AC ＝4，AD ＝11，则球的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．100πD ．144π解析：选A 三棱锥A -BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥A -BCD 的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R ，则2R ＝32＋42＋(11)2＝6，故R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π，故选A.空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查．常以选择、解答题形式出现，难度中档．[考点精要]1．判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点．(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理： a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b . (4)利用面面平行的性质定理： α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . (5)利用线面垂直的性质定理： a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 2．判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点，往往借助反证法． (2)利用直线和平面平行的判定定理： a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.(3)利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.3．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.(4)平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.4．证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面．符号表示：∀a⊂α，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”)(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝P⇒l⊥α.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒m⊥β.5．证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直．符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°⇒α⊥β.(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.[典例]如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．[解](1)证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∵GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理：FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF⊂平面FHG，∴GF∥平面BCD.(3)取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB.取线段DC的中点M，取线段DB中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MS綊12BC，又RE綊12BC，∴MS綊RE，∴四边形MERS是平行四边形，∴RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE.∵EM⊂平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.[类题通法]1．平行、垂直关系的相互转化2．证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．[题组训练]1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：选D平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以☆答案☆选D.2.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)解析：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC.又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.☆答案☆：AF3.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.难度中档以上．主要考查转化思想与空间想象能力．[考点精要]1．异面直线所成角的求法(1)一作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角，常用直接平移法、中位线平移法和补形平移法；(2)二证：证明作出的角就是所要求的角；(3)三计算：一般通过构造三角形来求角．2．求直线与平面所成角的方法(1)确定点在平面内的射影的位置是解题的关键．只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成角的一般步骤：①寻找(或作出)过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定所求角；③把该角放在三角形中计算．(3)当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是90°；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角是0°.3．二面角的平面角的确定(1)用定义法来确定二面角的平面角：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”点，是为了方便计算平面角的大小)．(2)垂面法：过二面角棱上一点，作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面分别相交得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，可找到二面角的平面角或其补角．此种方法通用于求二面角的所有题目．4．求二面角的大小一作，作二面角的平面角；二证，证明该角是所求二面角的平面角；三计算，解三角形，确定平面角的大小．[典例] 如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的大小；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小．[解] (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BCC ′B ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成的角为30°.(2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .由题知OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12， AE ＝ 12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55. (3)由(1)知OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.[类题通法]求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．但要注意角的范围．[题组训练]1.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ；(2)求二面角D -AB 1-B 的平面角的余弦值．解：(1)证明：连接A 1B 交AB 1于E ，连接ED ，∵E ，D 分别是A 1B ，BC 的中点，∴A 1C ∥ED .又A 1C ⊄平面AB 1D ，ED ⊂平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D .(2)过D 作AB 的垂线，垂足为F ，则DF ＝32，且DF ⊥平面AB 1B ， 过F 作AB 1的垂线，垂足为G ，则FG ＝324， 连接GD ，则∠FGD 就是二面角D -AB 1-B 的平面角，且GD ＝304，∴cos ∠FGD ＝FG GD ＝155， 即二面角D -AB 1-B 的余弦值为155. 2．(2017·浙江高考)如图，已知四棱锥P -ABCD ，△PAD 是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，F B.因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EF∥AD且EF＝12AD.又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ，BN.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥A D.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥A D.又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN，故平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD＝1.在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝2得CE＝2，在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝3得QH＝1，4，MQ＝2，在Rt△MQH中，QH＝14所以sin∠QMH＝2，8所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.。
立体几何点线面知识复习
知识探究 一、空间角的计算
1.异面直线所成角：
若异面直线l1与直线l2所成角为 (0
l2的方向向量CD ( x2 , y2 , z2 )
2
), l1的方向向量AB
( x1,
y1 ,
z1 )
AB
l1
C
l2
D
AB CD
cos cos AB,CD
AB CD
注意： 异面直线所成角的范围！！！
B 设平面OAB的法向量n ( x, y, z)
O
A x
y
由OA n OB n
0 0
x
y
y0 z0
令x 1,则y 1, z 1
n (1,1,1)
赋值
知识探究
平面的法向量
特别：有现存的线面垂直关系，直线向量就可以作为法向量。
z E F
O A
x
D G
C
B
平面OABC的法向量：OE (0,0,1) 平面OAFE的法向量：OC (0,1,0) y 平面ABGF的法向量：OA (1,0,0)
(1)点C1,点A1, BC1的中点M的坐标 C (2)AM的坐标
y
z
E
D
o
A
x
如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边 三角形，四边形ABCD是矩形，若AD = 2
建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系， 并 求 出CE的 坐 标
C
y
B
知识探究 利用空间向量解决立体几何问题
平面的法向量
aIα=A
a
直线上所有的点都在 平面内直线在平面内
a α
四、空间中面与面的位置关系
图形
文字语言
符号语言
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《立体几何》专题13点线面学案（Word版含答案）《立体几何》专题13-1点线面（4套，7页，含答案）知识点1：点线面基本概念：直线、平面都是无限延伸的，平时可以用书本表示平面，用笔表示直线，加以想象，方便理解。
熟悉各种符号：∈、、∩、⊂、⊄；三个公理：1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．符号：________________________________．2．公理2：过______________________的三点，____________一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．符号：________________________________．答案：（答案：两点这条直线A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α；答案：不在一条直线上有且只有；答案：一个一条P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l；）典型例题1：1.下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50M，宽是20M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为（答案：A；[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．])A．1B．2C．3D．42.用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：____________答案：(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)l⊂α且l⊂β(4)M⊂α，n⊂α且M∩n＝A；____________．3.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（答案：C；[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．])A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合4.空间中，可以确定一个平面的条件是（答案：C；)A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点随堂练习1：1.下列图形中，不一定是平面图形的是（答案：D；)A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)Aα，a⊂α________．(2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O____答案：(1)C(2)D(3)A(4)B；____．3.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是_____答案：③；___．4.空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（答案：D；[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．])A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个知识点2：线线：1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：__________、__________、_________．2．异面直线的定义：________________________________的两条直线叫做异面直线．（可以这样理解：既不平行也不相交的两条直线叫做异面直线）3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应______，那么这两个角_____或_____．答案：（答案：相交直线平行直线异面直线；答案：不同在任何一个平面内；答案：互相平行；答案：平行相等互补；）典型例题2：1.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有（答案：C；)A．∠BAC＝∠B′A′C′B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D．∠BAC＞∠B′A′C′2.异面直线是指（答案：D；[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．)A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（答案：C；[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．)A．3条B．4条C．6条D．8条4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是______，不平行的两条直线的位置关系是_______，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是______，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为___ 答案：平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面；____．随堂练习2：1.如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_____答案：平行或异面；___．2.“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且a不平行b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是（答案：D；)A．①④⑤B．①③④C．②④D．①⑤3.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（答案：B；[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．)A．1B．2C．3D．4知识点3：平面：1．一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系(用符号语言表示)．答案：（答案：a⊂α，a∩α＝A或a∥α；答案：α∥βα∩β＝l；）典型例题3：1.下列说法中正确的是（答案：D；[解析] 镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.)A．镜面是一个平面B．一个平面长10m，宽5mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的2.经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作____答案：无数，无数，一；____个平面．3.指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图，直线a在平面α内．(2)如图，直线a和平面α相交．(3)如图，直线a和平面α平行．答案：解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：4.已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（答案：D；)A．相交B．平行C．异面D．平行或异面5.以下结论中，正确的结论序号为_____答案：②③⑥；[解析] ①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条直线都在平面β内，有且只有一个β∥α；③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，假设l1不在α内，直线l与点A确定一个平面β，与α相交得交线l′，∵a∥α，∴a∥l′，又l∥l1，∴l1∥l′，这与l1∩l′＝A矛盾，故l1⊂α.___．①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．随堂练习3：1.空间中四点可确定的平面有（答案：D；[解析] 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．)A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个2.若一直线a在平面α内，则正确的图形是（[答案] A；)3.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（[答案] D；[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P 确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.)A．①②B．②③C．①④D．③④①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b4.下列命题正确的有____[答案] ①⑤；[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．____．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.《立体几何》专题13-2点线面1.若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作（答案：B；)A．M∈b∈βB．M∈b⊂βC．M⊂b⊂βD．M⊂b∈β2.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（答案：C；)A．0B．1C．1或4D．无法确定3.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是__[答案] ③；______．4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（答案：B；)A．12对B．24对C．36对D．48对5.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（答案：D；[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．])A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面6.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（答案：D；)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能7.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（答案：B；[易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG 或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．])A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形8.若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是（答案：D；)A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α9.若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是（答案：B；)A．α内的所有直线与M异面B．α内不存在与M平行的直线C．α内存在唯一的直线与M平行D．α内的直线与M都相交10.三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为________答案：4,6,7,8；______．11.下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是（[答案] C；[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．)A．①④B．②③C．④D．③《立体几何》专题13-3点线面1.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（答案：D；)A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条2.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是___答案：0；_____．3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（答案：D；)A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面4.a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定（[答案] C；[解析] 若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b 是异面直线矛盾．故选C.)A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交5.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（[答案] D；[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.)A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能6.三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有（答案：D；)A．1条B．2条C．3条D．1条或2条7.平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为（答案：C；)A．0B．1C．2D．38.若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是_______答案：b⊂α，b∥α或b与α相交；___________．9.下列命题中正确的是（[答案] B；[解析] 当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．) A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形《立体几何》专题13-4点线面1.空间中可以确定一个平面的条件是（答案：C；)A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点2.已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为____答案：A∈M；解析因为α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．____．3.如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_____答案：②④；解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN 必相交．___(填序号)．4.下列命题中，正确的结论有（[答案] B；[解析] ②④是正确的．)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（答案：C；)A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α6.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（答案：D；)A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有_答案：3；个．8.下列命题正确的是（答案：D；)A．若直线a在平面α外，则直线a∥α；B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交；C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β；D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β；。