专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。
首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。
在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。
接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。
首先是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。
其次是周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。
最后是相关公式。
三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。
在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。
很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。
这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。
此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。
例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。
对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。
最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。
在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。
比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
初中三角函数题型及解题方法
初中三角函数题型及解题方法在初中数学学科中，三角函数的学习与应用非常重要，尤其是在三角函数的解题方法上。
本文就三角函数的解题方法进行讲解，以帮助学生掌握这个重要的数学知识，提升解题能力。
一、三角函数的概念在数学中，三角函数指的是一种特定函数，它以三角形的边和角为参数，并以边长或角度大小为自变量，求出的函数值。
换句话说，它是一种把三角形的一些参数变成函数的一种方式，可以根据不同情况进行几何性的分析。
比如道格拉斯三角函数（如 sinx,cosx,tanx 等），它们的参数是角的值，而三角形应用函数（如sinx，cosx，tanx 等），它们的参数是角的值，可以用来表示三角形的形状或变换。
二、三角函数的特点1、三角函数有其独特的特点，它比普通函数具有更丰富的变化特性，其分析过程也更为复杂，更加充实。
2、三角函数具有不变形特性（无论斜边或角度的变化，它的函数值保持不变），可提高算的精度和方便解题的难度。
3、三角函数还可以帮助我们解答许多实际问题，是数学分析中不可缺少的重要知识之一。
三、三角函数的解题方法（1）解决问题的关键是要理解三角函数的基本函数，比如反三角函数的定义、变换规律以及其应用。
（2）要注意问题中出现的连续性和不变形性，以及需要用到的三角函数和反三角函数的变换规律。
（3）比较全面地分析问题，根据三角函数的变换规律，结合实际情况进行推断，在此基础上解决问题。
（4）实际解题中，要注意把握细节，一定要全面考虑问题的背景条件，把解决问题的方法与实际结合起来，才能得出正确且完整的答案。
四、结语三角函数是初中数学课堂中一个非常重要的知识点，在课堂中学生要掌握三角函数基本概念、特点以及解题方法，才能更好地学习它，并能在解题中发挥作用。
最后，鼓励学生要认真研究三角函数，逐渐掌握其基本知识，熟练掌握解题方法，提升解题技巧，这样才能正确理解三角函数，解决问题，在初中数学学习上取得更大的进步。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
三角函数基本题型及解题方法
三角函数基本题型及解题方法三角函数基本题型及解题方法对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。
这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。
但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。
特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。
若不成立，则必然选项是错误的。
特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。
一、单调性类问题例11）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA。
sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。
2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。
分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。
常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。
对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。
例2若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋A=30°，B=50°，C=100°，知C错。
故选A。
例3函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。
分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。
如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排除C、D。
例4函数y=2sin(π/6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：只需考虑区间端点处的函数值，有①x=0，y=1；②x=π/12，y=√3/2；③x=π/3，y=-2；④x=5π/6，y=1.可知选项B为正确答案。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。
本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。
首先，我们来了解一下基本概念。
在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。
其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。
它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。
在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。
其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。
比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。
此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。
然后，我们要了解一些三角函数的性质。
三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。
另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。
最后，我们来谈一谈解题方法。
在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。
常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。
我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。
除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。
通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。
因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。
三角函数大题常考题型
三角函数大题常考题型一、引言三角函数是高中数学中非常重要的概念之一，也是数学建模与应用中常用的工具之一。
三角函数大题在高中数学考试中经常出现，对学生的理解与运用能力提出了很高的要求。
本文将从定义、基本性质、常见题型和解题技巧等方面，对三角函数大题进行全面、详细、完整且深入地探讨，帮助读者更好地理解和应对该题型。
二、三角函数的定义三角函数由单位圆上一点的坐标值定义，分为正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)六个。
其定义如下：1.正弦函数(sin)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值；2.余弦函数(cos)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值；3.正切函数(tan)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值除以x坐标值；4.余切函数(cot)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值除以y坐标值；5.正割函数(sec)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值的倒数；6.余割函数(csc)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值的倒数。
三、基本性质三角函数有许多重要的基本性质，下面我们将简要介绍其中的一些：1. 周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)成立。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数没有周期。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是既不奇也不偶的。
3. 对称性正弦函数的图像关于y轴对称，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数的图像关于x轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都没有对称性。
4. 定义域和值域正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1,1]；正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集合；正割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)，而余割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。
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专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函
数问题的热点题型
三角函数是中学数学中的重要内容之一，也是中学生数学竞赛中经常涉及的题型之一。
本文将探讨中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型，以帮助学生更好地应对这类题目。
1. 正弦函数与余弦函数问题
1.1 角度转换
在数学竞赛中，经常出现要求将弧度转换为角度或者将角度转换为弧度的问题。
考生需要熟悉如何使用正弦函数和余弦函数的定义来进行转换，并灵活运用。
1.2 函数图像
理解正弦函数和余弦函数的函数图像是解题的关键。
考生需要熟悉函数图像的特点，如振幅、周期、相位等，并能利用这些特点解决各种类型的问题。
1.3 同角三角函数的关系
正弦函数、余弦函数与其他三角函数之间存在一定的关系，如正切函数、余切函数等。
考生需要了解这些关系，并能够利用它们简化计算、求解方程等。
2. 三角恒等式与方程
2.1 基本恒等式
三角函数的基本恒等式是解题中常用的工具，如正弦函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。
考生需要熟悉这些恒等式的推导和应用，并能够利用它们求解各类三角函数方程。
2.2 复杂方程与恒等式的转化
在数学竞赛中，有时会出现较为复杂的三角函数方程或者恒等式，考生需要能够灵活运用恒等式的性质将其转化为较为简单的形式，从而更好地解决问题。
2.3 解三角形
三角函数的性质可以用来解决三角形相关的问题，如求解三角
形的边长、角度等。
考生需要了解三角形的基本概念和性质，并能
够运用三角函数解决各类三角形问题。
3. 应用题型
数学竞赛中的应用题目常常涉及到三角函数的应用，如航空、
导航、建筑等领域。
考生需要能够理解问题背景，灵活运用三角函
数的概念和性质解决实际问题，并能够给出合理的解释和推理过程。
总结
中学生数学竞赛中三角函数问题是较为常见的题型，要解决这
类问题，考生需要熟悉正弦函数和余弦函数的性质，掌握三角函数
的基本恒等式和转化方法，并能够灵活应用于各类题目中。
通过不
断练习和探索，考生将能够在数学竞赛中取得更好的成绩。