(完整版)高中数学必修四二倍角练习题
高中数学苏教版必修四练习：3.2二倍角的三角函数(含答案)
§3.2 二倍角的三角函数 课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sin α＝________________，sin2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________，1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos20°cos40°cos80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 8．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A＝tan 4A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：tan70°·cos10°·(3tan20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos2α2 1＋cos2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2. 2.18解析 原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α ＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 8.π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos2A ＋2cos 22A －13＋4cos2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos2A 1＋cos2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A ＝tan 4A .12．解 sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x＝sin2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin(－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32，此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0， 此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。
高中数学必修四二倍角的三角函数(2)随堂练习新人教版必修4
sin cos
2
2
sin cos
2
2
2sin 15 1 cos30
2
f cosx cos2 x 2cos x 1 ，
3
.
2
考点： 1. 二倍角公式； 2. 诱导公式
6． 2 10
【解析】
试题分析：依题意， cos
5
，又
5
(0, ) ，则
0, ，则 sin 2
25
.
5
cos 2 3 sin 2
4
4
2 (sin 2 cos2 ) 2 (2sin cos cos2
二倍角的三角函数（ 2）
1. 若 sin( 3
2．若 tan(
) 1 ，则 cos( 2 ) =______.
3
3
) 2 ，则 sin 2 =
.
3．某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t 0
时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A 、 B 两点的距离 d cm 表示成 t （秒）的函数， 则 d _________其中 t 0,60 .
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设 PN x , 将 y 表示成 x 的函数关系式； ②设 POB , 将 y 表示成 的函数关系式 . （2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式 , 求 y 的最大值 .
参考答案
1． 7 9
【解析】
试
题
分
析
：
1
cos
sin
sin(
)
,
6
26
3
3
cos( 2 ) cos2
8． cos 2 15 sin 2 15
苏教版数学高一必修4试题 3.2二倍角的三角函数
3．2 二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？基础巩固 1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f(sin x)＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎫32等于________．答案：－124．sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________.答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是________．答案：π26．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋127．sin 2π12－cos 2π12等于________．答案：－328.tan 22.5°1－tan 222.5°＝________.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝() A.22 B.33C. 2D. 3解析：由已知得：cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案：11611．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________.解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1， ∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)·2＝2×2×…×223个＝223.答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2. ∴π<2α－β<5π2，又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213， ∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos ＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665， ∴sin 2α＝1－cos 2α2＝9130，∴sin α＝3130130.13．(2014·4月韶关模拟)已知函数f(x)＝23cos x·sin x ＋2cos 2x.[](1)求f ⎝⎛⎭⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f(x)的值域．解析：(1)f(x)＝23cos xsin x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴f ⎝⎛⎭⎫43π＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＝π6时，f(x)max ＝3；当x ＝π2时，f(x)min ＝0.故f(x)的值域是．。
必修4二倍角三角函数(经典练习)
1 若54cos -=α，α是第三象限的角，则2tan12tan 1αα-+=（ ）A. 21-B. 21C. 2D. 2- 2. 函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数3 若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4 函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为（ ） A. π2 B.23π C. π D. 2π 5已知函数)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f （1）求)(x f 的定义域；（2）若角α在第一象限，且53cos =α，求)(αf （3）若223)4tan(+=+πα，则αα2sin 2cos 1-= 6．函数y =2-sin 2x 是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数7．函数y =3sin x +2cos x 的最小值是 A ．0 B ．-3 C ．-5 D ．-13 8．已知函数f (x )＝a (2cos 22x ＋sin x )+b .(1)当a =1时,求f (x )的单调递增区间(2)当x ∈[0,π]时，f (x )的值域是[3，4]，求a 、b 的值.9．已知tanα =43-，则tan 2α的值为 _______10．函数f (x ) = | sin x +cos x | 的最小正周期是 A 、4π B 、2π C 、π D 、2π1122sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+A 、tan αB 、tan2αC 、1D 、1212．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于 A ．12B ．2C ．14D ．413．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z )C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z )14．已知sin120=a ,则sin660= .15．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是A ．[2,2-]B ．[1,2-]C ．[0,2]D ．[1,2]16．已知函数f (x )=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f (x )的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f (x )是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.17．已知sin 2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于 （ ）A ．183B ．2213C ．223 D ．6119．已知sin α=55,则cos4α的值是π A ．254 B ．257-C ．2512 D ．2518-20、求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.21．讨论函数f (x )=|sin x +cos x |-|sin x -cos x |的性质，并在函数性质的基础上作出函数的草图.22. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= f (x +2),x ∈[3,5]时,f (x )=2-|x -4|,则 A ．f (sin π6)<f (cos π6） B ．f (sin1)>f (cos1） C ．f (cos 2π3)<f (sin 2π3） D ．f (cos2)>f (sin2）23．函数y =tan(21x -3π)在一个周期内的图象是（ ）24、若θ∈（54π，32π）,化简：1sin 21sin 2θθ++-的结果为A 2sin θ （Ｂ）2cos θ （Ｃ）- 2sin θ （Ｄ）-2cos θ25函数y =x +sin|x |,x ∈[-π, π]的大致图象是y y y y π π π-π o π x -π o π x -π o π x π x26．若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( ) A ．[2,2]- B ． 31(1,)2-- C ．31[1,]2-- D ．31(1,]2-- 27．使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在[0，]4π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．3πB ．32π C ．34π D ．35π28．求ϕ使函数3cos(3)sin(3)y x x ϕϕ=---是奇函数。
高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(练)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学试题
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
苏教版高中数学必修四学三角恒等变换二倍角的三角函数同步训练
3.2 二倍角的三角函数一、填空题1．2sin 222.5°－1＝________. 2.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 4．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 5．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 6．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是________． 7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是________． 8．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 二、解答题9．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 11．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 三、探究与拓展12．化简：(1)cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x2n .答案 1．－22 2.2 3.－79 4．2 5．3 6.459 7．－155 8．3 9．解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 10．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°1＋3tan 10°－co s 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 12．解 (1)原式＝125sin π11·25sin π11·cos π11cos 2π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋16π11＝125sin π11·24sin 2π11cos 2π11cos 4π11·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π11⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 16π11 ＝125sin π11·23sin 4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11 ＝125sin π11sin 32π11 ＝125sin π11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π11 ＝sin π1125sin π11＝132. (2)原式＝12n sin x 2n ·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x 2n ＝12n sin x 2n ·2n －1· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x2n ·cos x2n ·cos x 2cos x 4…·cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n ·2n －1sin x 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1 ＝sin x 2n sin x 2n .。
高中数学 基础知识篇 3.2二倍角的三角函数同步练测 苏
3.2 二倍角的三角函数（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分） 1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 . 2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋错误!未找到引用源。
)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 22x ＋sin x 的最小正周期是________．6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分) 7．（15分）求cos π7cos 2π7cos 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分) 已知f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＋a，a ∈R.(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.一、填空题1. 43-解析：由f （tan x ）=tan 2x= 22tan 1tan x x-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin2αcos 2α，tan 2α＝sin2cos 2αα， ∴sin α与tan2α同号． 3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13,原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f(x)＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75. 二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos7777π2sin7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos77π8sin7=8πsin 7π8sin 7=πsin7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2k π≤2x＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ， ∴212cos 1sin 13αα=--=-，∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-，cos 2α = 211912sin 169α-=，tan 2α = 119120-.。
高中数学必修四北师大版 二倍角的三角函数(一) 课时提升作业 含答案
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课时提升作业二十六二倍角的三角函数(一)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin15°sin105°=( )A. B.- C. D.-【解析】选A.sin15°sin105°=³2sin15°sin(90°+15°)=³2sin15°cos15°=sin30°=.2.(2016²全国卷Ⅲ)若tanθ=-，则cos2θ=( )A.-B.-C.D.【解题指南】选择合适的运算公式，尽量避免讨论.【解析】选D.因为cos2θ=cos2θ-sin2θ==，又tanθ=-，所以代入上式可得cos2θ=.3.已知sin2α=，则cos2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin2α=，所以cos2====.4.(2016²阜阳高一检测)已知cos=，且sinθ<0，则tanθ的值为( )A.-B.±C.-D.【解析】选C.已知cos=，且sinθ<0，所以cosθ=2cos2-1=2×-1=，故sinθ=-=-，所以tanθ==-.5.(2016²景德镇高一检测)若tanθ+=4，则sin2θ=( )A. B. C. D.【解析】选D.因为tanθ+=4，所以+=4.所以=4，即=4.所以sin2θ=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知<α<π，3sin2α=2cosα，则cos(α-π)=________. 【解析】因为<α<π，3sin2α=2cosα，所以sinα=，cosα=-.所以cos(α-π)=-cosα=-=.答案：7.cos=，那么sin2x=________.【解析】因为cos=，所以sin2x=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-.答案：-8.已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ=________.【解题指南】利用圆的性质求出cosθ，再用二倍角公式求cos2θ. 【解析】如图，因为AD=4DB，所以OC+OD=4(OC-OD)，即3OC=5OD，所以cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=2×-1=-.答案：-三、解答题(每小题10分，共20分)。