高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案
(完整版)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。
2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。
3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。
在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。
二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。
高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案新人教A版必修4
tan(
) tan tan
1 tan tan
练习：（ 1）在△ ABC中， sinA sinB cosA cosB ，则△ ABC为（
）
A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形
（ 2） 3 cos
sin 的值为 （
）
12
12
A ． 0 B ．2 C ． 2 D ． 2
思考：已知
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin(
) sin cos cos sin
sin(
) sin cos cos sin
cos(
) cos cos sin sin
cos(
) cos cos sin sin
tan(
) tan tan
1 tan tan
思考：把上述关于 cos2 的式子能否变成只含有 sin 或 cos 形式的式子呢？
2
2
2
2
2
cos2 cos sin 1 sin sin 1 2sin ；
cos2 cos2 sin2 cos2 (1 cos2 ) 2cos2 1 ．
tan 2 tan
tan tan 1 tan tan
2tan ． 1 tan2
2 tan 1 tan2
1 ，由此得 tan 2 3
6 tan
10
120
．
119
解得 tan
2 5 或 tan
2 5．
例 4．已知 tan
1 , tan
7
1 ,求 tan( 3
2 )的值
2
3 ， cos(
高二数学(人教A版)必修4精品教案—3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。
2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。
②请试着用tan α表示tan 2α。
（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去； (Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数； (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.（Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值.练习1、已知cos 8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。
高中数学必修4人教新课标a版3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+tan 2α=-（四）课堂练习：详见学案（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：15034.P T T -。
2019-2020年高中数学 第三章三角恒等变换§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式教案 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学 第三章三角恒等变换§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式教案 新人教A 版必修4一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：（三）例题讲解例1、已知求的值．解：由得．又因为12cos213α===-．于是512120sin42sin2cos221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭；225119cos412sin21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin4120169tan4119cos4119169ααα-===-．例２、已知求的值．解：，由此得解得或．（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换《三角恒等变换》复习课（2个课时）教案新人教A版必修4一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
高中数学《二倍角的正弦、余弦、正切》教案3 苏教版必修4
3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到α角的三角函数与2α的三角函数的内在联系，α，β角的三角函数与αβ±角的三角函数之间的内在联系；四、教学过程： （一）复习： 1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=- 【练习1】化简：（1）cos 20cos 40cos60cos80oooo；（2）sin10sin30sin50sin 70oooo． （（1）（2）两题答案：116）． 总结：一般地，11sin(2)cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++⋅⋅⋅=．2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=，21cos tan 21cos ααα-=+． （二）新课讲解：1．半角公式：sin2α=cos 2α=tan 2α= 说明：（1）只要知道2α角终边所在象限，就可以确定符号；（2）公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切； （3）还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （下面给出证明）。
2．例题分析： 例1：求证：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan． 证法一：sinsin2cossin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅ ． 证法二：221cos (1cos )(1cos )sin tan ()21cos (1cos )(1cos )1cos ααααααααα--+===++++∴sin |sin ||tan |||21cos 1cos ααααα==++．又由2sin 2sin cos2tancos 2222ααααα==知sin α与tan 2α同号，且1cos 0α+≥，∴sin tan21cos ααα=+， 同理1cos tan 2sin ααα-=．【练习2】已知3sin 25θ=，且022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+的值。
人教A版高中数学必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式教案新课程新课标
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+或tan 2α=--．（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：15034.P T T -。
苏教版高中数学必修四二倍角的正弦、余弦、正切教案(1)
3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；2.结合三角函数值域求函数值域问题。
三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。
2.结合三角函数求值域。
四、教学过程： （一）复习：1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．练习：①=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π． ②若tan 3θ=，求sin 2cos2θθ-的值。
（解答：2222222sin cos sin cos 2tan tan 17sin 2cos 2sin cos 1tan 5θθθθθθθθθθθ+-+--===++）． （二）新课讲解：例1：利用三角公式化简：)10tan 31(50sin οο+．解：原式οοοοοο10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+= οοοοοοοο10cos 40sin 50sin 210cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2=+⋅=110cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2===οοοοο． 例2：求证21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-． 证明：原式等价于22tan 1sin 4cos 4(1sin 4cos 4)1tan θθθθθθ+-=++-， 即：1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)θθθθθ+-=++ （*） 而（*）式右边tan 2(1cos 4sin 4)θθθ=++2sin 2(2cos 2sin 2cos 2)cos 2θθθθθ=+22sin 2cos 22sin 2θθθ=+ sin 41cos4θθ=+-=左边，所以，（*）式成立，原式得证。
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课题:
二倍角的正弦、余弦、正切公式
教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时
一、教学目标
1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角
的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍
角公式解决有关问题。
2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，
寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化
归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问
题、解决问题的能力。
3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的
主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。
二、教学重点与难点
重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。
难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。
三、教学方法与手段
教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式
教学并通过多媒体辅助教学。
四、教学过程
2 / 7
教学
环节
教学内容设计意图师生活动
提
出
问
题问题1: sinsin成立吗？举一个反例：0030sin60sin问题2：sin有没有公式可求？
纠正学生常犯直觉性错误。激发学生新的求知欲。师：提问
生：思考
回答
复习回顾两角和的的正弦、余弦、正切公式
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
tantan1
tantan
)tan(ba
复习回顾两角和的三角公式，为探索二倍角公式做好铺垫。师：提问
生:回答
师：屏幕
展示公
式
推
导
公式利用)(S、)(C、)(T推导出sin、cos、tan公式sincoscossin)sin(aacossin22sinsinsincoscos)cos(22sincos2costantan1tantan)tan(a2tan1tan22tan使学生在已有认知结构的基础上进行新的认知建构,经历由和角公式导出倍角公式的过程,培养
学生的探
究意识和
丰富的联
想能力。
师：引导
学生推
出
sin
生：自行
推导
cos
tan
师：巡视
指导
生：上黑
板写出
推导的
结果
3 / 7
教学
环节
教学内容设计意图师生活动
课
堂
练
习
1、已知31sin且
3
22
cos
则2sin，
2cos
2、已知tanB=2，则B2tan=
3、已知53sin，则
cos
简单的练
习便于学
生理解、运
用和记忆。
由练习3
引出
2
C
公
式的变形，
激发学生
新的求知
欲。
师：用屏
幕展示
练习
生：完成
抢答
师：点评
公式变形从1sincos22，得到22sin1cos，代入公式
22
sincos2cos
，
得到
2
sin212cos
从
1sincos
22，得22
cos1sin
，
代入公式
22
sincos2cos
，
得到
1cos22cos
2
加深对公式的认识，培养学生灵活运用公式的能力和想象能力。师：引导
学生利
用同角
三角函
数关系
推导
生：自行
推导，回
答
课堂练习课本135页第5题求下列各式的值：（1）0015cos15sin；（2）8sin8cos22；（3）0205.22tan15.22tan；（4）15.22cos202通过练习提高学生灵活运用公式的能力。生：独立完成
师：点评
4 / 7
教学
环节
教学内容设计意图师生活动
例题讲解例5已知5sin2,,1342求sin4，cos4，tan4的值。
解法1：∵
24
∴
2
2
∵
5
sin2,
13
∴
a2cosa2sin1
22
)135(1
13
12
∴sin4)2(2sina= 2sin2cos2
169
120
cos4
)2(2cosaa2sin21
2
2
13521169
119
a4tan
=
aa4cos4sin119169169120119
120
解法2：∵
5
sin2,
13
∴cos4)2(2cosaa22sin21213521169119∵24，∴24∴sin4a42cos12)169119(1a4tan=aa4cos4sin119169169120119120指出：“倍角”概念，其实质是指两倍关系，如2是的两倍，4是2的两倍，2是4的两倍等等。通过例题使学生加深对公式的认识，培养学生灵活运用公式的能力。通过一题多解培养学生发散性思维。使学生认识“倍”的相对性。师：出示题目，引导学生分析解答，板书师:引导学生分析，寻求
另一解
法。
生：回答
解题思
路。
师: 屏
幕展示
解题过
程。
师:引导
学生观
察分析
生：回答
169
120
5 / 7
教学
环节
教学内容设计意图师生活动
课堂练习A组1、书本P135第1题
2、书本P135第2题
B组
1、Sin22.50 sin67.50 =
2、12cos24cos24sin =
巩固所学知识，使知识转化为能力，培养学生灵活运用公式的能力。有梯度的练习训练学生，实现将知识外化的目的。师：出示
题目,引
导学生
分析，巡
视指导
生：完成
回答
师：点评
归纳小结1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导2、熟记二倍角正弦、余弦、正切公式
acossin22sin
2sin2
cos2cos
12cos22sin21
2
tan1
tan2
2tan
3、注意“二倍角”关系，在解题过程中要
灵活运用二倍角公式。
引导学生进行小结，培养学生的概括能力。同时加深对公式及其推导过程的理解。生：归
纳小结
师：补充
完善,屏
幕展示
布置作业必做题:课本135页第3、4题，课本138页第17题.
选做题：
1、求
125sin12
11
sin
22
的值.
2、求178cos174cos172cos17cos的值.
避免一刀切，使学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥，体现了因材施教的教学原则。师：出示
题目
生：课后
完成
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二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明
在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发
式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。整个教学过程的设
计主要体现以下五点：
第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。引
导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。这样
设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识
的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。
第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的
是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出
2
C
公式变形的必要性。
第三、在解题教学过程中，启发学生先分析条件与求解目标之间的差
异，然后选择适当的公式，明确解题思路，最后严格规范解答过程，培养
逻辑思维能力。通过一题多解训练学生发散性思维，培养学生创新意识，
提高学生的数学素养。
第四、为巩固所学知识，本设计通过设置多重练习，让学生能更深刻
的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。
当然，通过本节的学习，学生能够容易地完成相应练习，使学生获得成功
感，增强学习数学的信心。
第五、为检查不同层次的学生的学习效果，在设计作业时有一定的梯
度，具有弹性，避免一刀切，使学有余力的同学的创造性得到进一步的发
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挥，体现了分层教学、因材施教的教学原则。