2015年河南省中招数学试题及解析答案

2015年河南省中招考试数学试题及答案解析

一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各数中最大的数是（ ） A. 5

C.π

D.－8

【答案】：A

【解析】：根据有理数的定义，很容易得到最大的数是5，选A 。

2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）

【答案】：

B

【解析】：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，选B 。

3.据统计，2014年我国高新产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）

A.4.0570×109

B. 0.40570×1010

C. 40.570×1011

D. 4.0570×1012

【答案】：D

【解析】： 科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中110a ≤＜，n 为整数。确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值＞1时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1时，n 是负数。 将40570亿用科学记数法表示4.0570×1012元，选D 。

4.如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=1250，则∠4的度数为（ ）

A.550

B.600 C .700 D.750

【答案】：A

【解析】：本题考查了三线八角，因为∠1=∠2，所以a ∥b,又∠3=1250，∠3与∠4互补，则∠4的度数为550。选A 。

a b

c

C D

B A 正面

第2

题

5.不等式组

x50

3x1

+≥

?

?

-

?＞

的解集在数轴上表示为（）

GURUILIN

D C

B A

【答案】：C

【解析】：本题考查了不等式组的解集，有①得x≥-5，有②得x＜2，这里注意空心和实心；所以选C。

6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试，技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）

A.255分

B.84分

C.84.5分

D.86分

【答案】：D

【解析】：本题主要考察加权平均数的计算方法，（85×2+80×3+90×5）÷（2+3+5）=86分，所以选D.

7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，交BC 于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）

A.4

B.6

C.8

D.10

【答案】：C

【解析】：本题主要考察平行四边形和等腰三角形三线合一

定理。设BF与AG相交于O；有∠BAD的平分线AG和

AB=AE,得AG垂直平分BF于O，可得BO=3，可证△

ABE是等腰三角形，得AB=BE=5，也得AE=2AO,在Rt

△AOB中，得AO=4,所以AE=8.故选C.

8.在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒

2

π

个单位

第7题谷

长度，则2015秒时，点P的坐标是（）

A.（2014，0）

B.（2015，-1）

C.（2015，1）

D.（2015，0）

【答案】：B

【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=

2

π

×2015，

设点P走了n个半圆，则有

2

π

×2015=nπ，所以n=

2015

2

个2，即1007

1

2

个2，1007个2时正好是上半圆弧，还有

1

2

半圆弧，正好在下半圆弧的中点，因此的P在（2015，-1）处。

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.计算：（-3）0+3-1= 。

所以EC=3

2

。填

3

2

。

11.如图，直线y=kx与双曲线y=2

x

（x＞0）交于点A（1，a），则k=

【答案】：2

【解析】：本题考查了直线y=kx与双曲线y=2

x

交点问题，点A在双曲线y=

2

x

上，1

×a=2，则a=2，所以点A（1，2），又点A（1，2）在y=kx上，所以k=2。填2。

12.已知点A(4，y1y2)，C(-2，y3)都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是

【答案】：y3＞y1＞y2 。

【解析】：本题考查了点在函数的图像上，代入求函数值比较大小的方法，

y1=（4-2）2-1=3；y2=-2）2-1=（4-2）2；y3=（-2-2）2-1=15；

所以y3＞y1＞y2 。填：y3＞y1＞y2 。

13.现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是

【答案】：5 8

【解析】：本题考查了概率问题，

共有16种，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，

P（两次抽出的卡片所标数字不同）=10 16

=

5

8

填5

8

。

14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=900，点C为OA的中点，CE⊥OA,交AB于

E，以点O为圆心，以OC为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积是

【答案】

：12π

【解析】：本题考查了扇形的面积及直角三角形的性质，连接OE, 因为CE ⊥OA ，点C 为OA 的中点，OA=2，所以OC=1，在Rt △OCE 中，可证∠EOC=600，S 扇形AOE=

16π×4=2

3

π；S △OCE=

12×1

；SAOE=23π

；S 扇形AOB=14π×4=π； S 扇形COD=1

4

π

×1=

14π；所以S 阴影= S 扇形AOB －S 扇形COD －SAOE=π－14π－2

3

π

12π。

填

+122

π。 15.如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3,点F 是BC 上不与点B,C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B /处，若△CDB /恰为等腰三角形，则DB /的长为 .

【答案】：16或

【解析】：本题分两种情况：（1）若DB /=DC,是等腰三角形，则DB /=16；（2）若DB /= CB /，过B /作MN ⊥CD 于M,交AB 于N ，则CM=DM=8=BN,又AE=3，则BE=13，所以EN=5,由翻折可知EB /=13,在Rt △EB 、

N 中，可求NB /=12,所以B 、

M=4,在Rt △EB 、

N 中，

N

M C

B

A

E

F

F

B

A

C O 第14

题

第15题

B

A

E

填

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.（8分）先化简，再求值

22a 2ab b 112a-2b b a -+??

÷- ???

，其中

，

解：原式=()()2

a-b a-b

2a-b ab

÷ …………………………………………4分 =a-b ab

2a-b ?

=ab

2…………………………………………………………6分

当

，

时，原式

=

)5-1=2

2

=2…………………8分

17.（8分）如图，AB ，是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A,B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC=PB,D 是AC 的中点，连接PC,PO 。

(1)求证：△CDP ≌△POB.

证明：（1）∵D 是AC 的中点，且PC=PB,

∴DP ∥AB,DP=1

2

AB, ∴∠CPD=∠PBO,

∵OB=1

2

AB, ∴DP=OB,

在△CDP 与△POB 中.

PC PD CPD PBO DP OB =??

∠=∠??=?

∴△CDP ≌△POB. …………………………………………5分 (2)填空：

①若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 .

②连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.

解：①4；………………………………………………………………7分 当四边形AOBD 是正方形时，即OP ⊥OB 时，面积最大=2×2=4. ②600. …………………………………………………………………9分

由（1）DP∥AB,DP=1

2 AB,

∴四边形DPBO是平行四边形，

又△CDP≌△POB,且∠PBA=600.

∴△CDP和△POB都是等边三角形,

∴PB=PD,

∴四边形BPDO是菱形.

18. （9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

调查结果扇形统计图

其它

报纸

电视

手机上网

电脑上网

根据以上信息解答下列问题

（1）这次接受调查的市民总数是

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是

（3）请补全条形统计图.

（4）若该市民约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

解：（l）1000: …………………………………………………………………………2分

提示：400÷40%=1000

（2）3600×15%=540. ………………………………………………………………4分

（3）（1000×10%=100.正确补全条形统计图）：…………………………………6分补全条形统计图如图所示。

（4）80×（

26%+40%）=52.8（万人）：

所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为52.8万人。……………………………………………………………………………9分

19.（9分）已知关于x 的一元二次方程（x-3）（x-2）=m . （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值和方程的另一根.

（1）证明：原方程可化为x 2-5x+6-m =0………………………………1分 ∴△=（-5）2-4×（6-m ）25-24+4m =1+4m ………………………3分 ∵m ≥0, ∴1+4m ＞0,

∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根…………………4分 (2)把x=1代入原方程，得m =2，∴m=±2， ………………6分 把m =2代入原方程得x 2-5x+4=0，解得x=1或x=4

∴m=±2，方程的另一根是4. ………………………………9分

20.（9分）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，≈1.73）

解：延长BD 交AE 于点G,过点D 作DH ⊥AE 于H ， 由题意得，∠DAE=∠BGH=300,DA=6,∴GD=DA=6, ∴GH=AH=DA ·cos300=6

…………………………2分 设BC=x 米，在Rt △GBC 中，

GC=

x

tan tan 30

BC BGC ==∠……………4分 在Rt △ABC 中，AC=0

x

tan tan 48

BC BAC =∠………………………………………6分 ∵GC-AC=GA,

x-0x

tan 48

…………………………………………8分

∴x ≈13.即大树的高约为13米。………………………………………………9分

21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两张优惠卡：①金卡每张600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡每张150元/张，每次凭卡另收费10元.暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳x 次时，所需总费用为y 元.

（1）分别写出选择银卡，普通票消费时，y 与x 的函数关系式；

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出A,B,C 的坐标。

（3）请根据函数图像，直接写出选择那种消费方式更合算.

解：（1）银卡：y=10x+150，……………………………………………………1分

普通票：y=20x ， ……………………………………………………2分 （2）把x=0代入y=10x+150中，得y=150，∴A （0，150）……………………3分

由题意y=20x

y=10x+150???,解得x=15，y=300,∴B （15，300）……………………4分

把y=600代入y=10x+150，得x=45，∴C （45，600）……………………5分 (3)当0＜x ＜15时，选择购买普通票更合算；（若写0≤x ＜15不扣分） 当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x ＜45时，选择购买银卡更合算；

当x=45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比购买普通票合算； 当x ＞45时，选择购买金卡更合算；………………………………………10分

22.（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，连DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现 ①当α=00时，

AE BD = ；②当α=1800时，AE

BD

= . （2）拓展探究

试判断：当00≤α≤3600时，AE

BD

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

(3)解决问题

当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.

谷瑞林制图

备用图

图2

图1

D

B

C

C

B

C

B

A

解：（1

…………………………………………1分

2分 提示：①当α=00时，在Rt △ABC

中，BC=2AB=8,∴AB=4；

又点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB,

∴

AE CE CA BD CD CB ===

②当α

=1800时，∴DE ∥AB,

∴

∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12

∴

12AE BD ==2

（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分） (3)

分

D E

B

在图1中，∵点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB, ∴

CE CD

CA CB

=

,∠EDC=∠B=900; 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，

∴

CE CD

CA CB

=

仍然成立。…………………………………………………………4分 又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE ∽△BCD ，∴AE AC

BD BC

=

………………………6分 在Rt △ABC 中，

∴

AE AC BD BC

=

=8

=2。 ∴AE

BD

的大小不变。………………………8分 （3）

或

5

………………………10分 提示：如图4，当△EDC 在BC 上方，

且A 、D 、E 三点共线时，四边形ABCD 是矩形， ∴

如图5，当△EDC 在BC 下方，且A 、D 、E 三点共线时，△ADC 是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,

根据

AE BD =,得

23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.

(1)直接写出抛物线的解析式.

（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.

图4

B

E

B

C

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.

理由：设P （x ，- x +88） 则PF=8-(21- x +88)=2

1x 8

…………………………………………………4分

过P 作PM ⊥y 轴于点M ，

则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2

216--x +88??

?? ????

???

=4211x +x +4642=2

21x +28??

???

∴PD=

2

1x 8

+2, …………………………………………6分 ∴PD-PF=21x 8+2-2

1x 8

=2,

∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。……………………………………9分 当点P 运动时，DE 大小不变，

∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小。 ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,

∴PE+PD=PE+PF+2,

当P 、E

此时点将x=-4∴P （-4且△

∴△（-4，6设P （x 则PN=△ PDE 的面积S=12×4×（213- x x+282-）=21-x -3x+44=()2

1-x+6+134

，

由-8≤x ≤0，知4≤S ≤13，

所以S 的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个， 所以“好点”共有11个。