2015年清华大学夏令营试题解析

2015年清华大学夏令营试题解析
01
一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.
解析 设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有
0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.
解得
22x
F v
v gx t
ρρρ∆===∆. 故
3N F gx gx ρρ=+=.
所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.
02
单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.
解析 无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .
根据高斯定理，有
10
2E σε=
. 由积分可求得带电圆板产生的场强为
20(12E σε=
. 所以合场强为
120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=
-= ⎝.
03
如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .
解析 1P 点的场强为
12211()()22E kq l l r r ⎡⎤
⎢⎥
=-
⎢⎥⎢-+⎥
⎣
⎦ 2P 点的场强为
2222
2
3
222
2cos 24
4
.()4
l q q E k
k
l l r r ql
k
l r θ=⋅⋅=⋅+
+
=+
对于电偶极子，q ±之间的距离l 远比场点到它们的距离r 小得多.当l r <<时，有 2
2
2222232211222222224l l r r lr l r l l l l l r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 3
32
2
24l l r
l r ≈
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. 所以在电偶极子延长线上，1E 的大小为
132ql
E k
r ≈. 在中垂面上，2E 的大小为
23
ql E k
r ≈. 04
推导点电荷的电势表达式.
解析 在正点电荷Q 的电场中，把正试探电荷q 沿电场线从a 点移到b 点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab 分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为1i r -和i r ，则试探电荷在该段所受的平均力为
1i i i
Qq
F k
r r -=. 于是库仑力在这一小段里做的功为
11111()i i i i i i i i i Qq
W F r k
r r kQq r r r r ---⎛⎫=∆=⋅-=- ⎪⎝⎭
.
对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即
11111i i i a b W W kQq kQq r r r r -⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑.
于是a 、b 两点的电势差为
11a b ab a b W
U kQ q r r ϕϕ⎛⎫-==
=- ⎪⎝⎭
. 规定离场源电荷无穷远处（即b r →∞）为电势零点，则在离场源电荷()a r r r =处的电势为
Q
k
r
ϕ=. 05
如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能k E ，很细的质子束射向一个远离加速
器、半径为r 的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为2
r
d =
.假定质子与金属球相碰后将其电荷q 全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.
解析 设质子初速度为0v ，当金属球充电到电势为U 时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O 的角动量守恒，有
0mv d mvr =. 解得
2
v v =
. 根据动能定理，有
2
20
1122
qU mv mv -=-. 解得
20313424k U mv E q q
=
⋅=.
06
如图5所示，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为0R 。

.以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B.在t=0时，一水平向左的拉力F 垂直作用于导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a.
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式.
（2）经过多少时间拉力F 达到最大值？拉力F 的最大值为多少？
（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量.
解析 （1）感应电动势为
E BLv BLat ==. 感应电流为
2
2
001
22
E BLat
I R R at R R at =
=
++⋅⋅.
（2）导轨所受安培力为
222
0A B L at
F BIL R R at ==+.
导轨所受摩擦力为
2220()B L at f N mg BIL mg R R at μμμ⎛⎫
==+=+ ⎪+⎝⎭
. 根据牛顿第二定律，有
A F F f Ma --=.
解得
22222
00(1)(1)B L at B L a
F Ma mg Ma mg R R R at R at t
μμμμ=+++=+++++.
由均值不等式，得
0R R at t +≥. 上式取等号的条件为
0R
R at t
+
，即t =
所以拉力F 的最大值为
2max 1(1)2F Ma mg B L μμ=+++
（3）设此过程中导轨运动距离为s ，根据动能定理，有 k E Mas ∆=. 摩擦力做功为
()A W ng F s mgs Q μμμ=+=+.
解得
W Q
s mg
μμ-=
. 导轨动能的增加量为
()k Ma
E W Q mg
μμ∆=
-. 07
如果质量相同的小球a 、b 在沿一条直线运动的过程中发生弹性正碰撞，则a 的碰后速度等于b 的碰前速度，b 的碰后速度等于a 的碰前速度.
如图6所示，将光滑水平绝缘的大桌面取为O xy -坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B . （1）平面上的小球a ，质量为m 、电量为(0)q q >，初速度方向垂直于y 轴，大小为0v ，而后a 将做匀速圆周运动，试求圆周运动的半径R 和运动周期T .
（2）图6中小球1a 、2a 质量同为m ，电量也同为q ，开始时分别位于y 轴上的1y 、2
y （2y >1y ）位置，初速度方向如图所示，大小也同为0v .设1a 、2a 间可能发生的碰撞都是弹性碰撞而且不会相互转移电荷（下同）.已知1a 能到达2y 处，试求2y -1y 的所有可能取值.
（3）图6中小球b 的质量也为m ，电量也为q ，t=0时位于x 轴上距O 稍远的1x 位置，初速度大小也为0v .现在给你一个质量为m 、电量为-q 、初速度大小为0v 的小球b '.t=0时b '的
初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在1
()2
t k T =+时刻（k N ∈），b 球可达到x 轴上
与1x 相距尽可能远的2x （2x >1x ）位置，最后给出你所得的2x -1x 的值.设b 与b '
两球发生弹
性正碰，而且电量也不会转移.（注：解题时可以略去球之间的电作用力）.
解析 （1）洛伦兹力提供带电小球做匀速圆周运动的向心力，则
20
0v qv B m R
=
解得
mv R qB
=
带电小球做匀速圆周运动的周期为
022R m
T v qB
ππ=
=
. （2）第一种情况如图7所示，两球未发生碰撞，1a 转过半圈后到达2y 处，2a 转过半圈
后到达1y 处，则02122mv y y R qB
-==.
第二种情况如图8所示，两球各自转过半圈后相碰，发生弹性碰撞并交换速度，以后1
a 转过半圈后到达2y 处，2a 转过半圈后到达1y ，则0
2144mv y y R qB
-==
.
（3）如图9所示，0t =时刻将b '放在（1,2x x y R ==）处，初速度方向沿x 轴正方向.同时释放b 和b '，两球各自转过四分之一圈后相碰，发生弹性碰撞并交换速度，以后每转过
半圈后相碰，在1
()2
t k T =+时刻，b 球又回到x 轴上.则
212(21)2(21)k mv x x k R qB
+-=+=
.。