3.2一元一次方程的应用(等积)
七年级上数学期末复习资料
七年级上数学期末复习资料学习是把学问、力量、思维（方法）等转化为你的私有产权的重要手段，是“公有转私”的重要途径。
你的一生，无法离开学习，学习是你最忠实的伴侣，它会听你的呼唤，它会关心你走向一个又一个胜利。
多看多学，才会进步。
下面就是我为大家梳理归纳的内容，盼望能够关心到大家。
七班级上数学期末复习资料第三章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法①方程是含有未知数的等式。
②方程都只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的整式方程叫做一元一次方程。
③留意推断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程);2)化简后方程中只含有一个未知数;(系数中含字母时不能为零)3)经整理后方程中未知数的次数是1.④解方程就是求出访方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
方程的解代入满意，方程成立。
⑤等式的性质：1)等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子(整式或分式)，等式不变(结果仍相等)。
a=b得：a+(-)c=b+(-)c2)等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变。
a=b得：a×c=b×c或a÷c=b÷c(c≠0)留意：运用性质时，肯定要留意等号两边都要同时+、-、×、÷;运用性质2时，肯定要留意0这个数。
⑥解一元一次方程一般步骤：去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)→去括号→移项→合并同类项→系数化1;以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不肯定完全用上，或有些步骤还需要重复使用.因此，解方程时，要依据方程的特点，敏捷选择方法.在解方程时还要留意以下几点：⑴去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项;分子是一个整体，去分母后应加上括号;留意：去分母(等式的基本性质)与分母化整(分数的基本性质)是两个概念，不能混淆;⑴去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最终去大括号不要漏乘括号的项;不要弄错符号(连着符号相乘);⑴移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(以=为界限)，移项要变号;⑴合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式.⑴系数化1：(两边同除以未知数的系数)把方程化成ax=b(a≠0)的形式，字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解不要分子、分母搞颠倒(一步一步来) --------3.2一次方程的应用：(一)、概念梳理⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特殊留意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，留意单位统一，留意设未知数;①解：设出未知数(留意单位)，②依据相等关系列出方程，③解这个方程，④答(包括单位名称，检验)。
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
一元一次方程的应用等积变形问题
抚松外国语七年级数学“一元一次方程的应用等积变形问题〞师生共用导学稿审核: 序号:【学习目标】1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；重点：找相等关系，设未知数列方程．难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。
一．自主探究〔前置性学习〕探究活动〔一〕本课内容必备：圆柱体积公式：长方体体积公式：如图，圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)〔二〕知识盘点：〔三〕学习中还有哪些疑问没有解决？二．合作探究〔一〕交流展示〔二〕体验成功1、用直径为4cm的圆钢〔截面为圆形的实心长条钢材〕铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，那么需要截取多长的圆钢？2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？3、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？4、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？5、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？假设装不下，那么瓶内水面还有多高？假设未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
6、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？7、一个直径为米高为米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。
沪科版-数学-七年级上册-3.2 一元一次方程的应用 教案
3.2 一元一次方程的应用教学目标：1.培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力和技巧2.使学生能够借助线段图或者图表的方式分析实际问题中的数量关系3.培养学生用数学的意识教学重点: 用一元一次方程解决实际问题教学难点: 分析实际问题中的数量关系,根据等量关系列方程教学过程:一、情境引入:著名的数学家，哲学家，物理学家，解析几何的创始人笛卡尔认为：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程。
二、温故知新1.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？2.行程问题中的公式是: 路程=速度×时间3.相遇问题常用的等量关系:快者＋慢者＝初始距离4.利润率问题：打几折就是按原售价的百分之几十出售利润率＝利润进价×100%； 利润＝售价－进价5. 等积变形: 各种几何图形的面积公式；各种几何体的体积公式找出变形前后面积或体积之间的关系三.小试牛刀:三角形的周长是84cm ，三边长的比为17：13：12，则这个三角形最短的一边长为【解析】设三边长分别为17x ，13x ，12x ，根据三角形的周长公式即可列方程求解.设三边长分别为17x ，13x ，12x ，由题意得17x+13x+12x=84解得x=2则这个三角形最短的一边长为24cm.【答案】24cm四.有趣的实际问题1.等积变形:例1 如图，用直径为200 mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300 mm，300 mm 和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1 mm）？【解析】把圆柱体钢，锻造成长方体毛坯，虽然形状发生了变化，但锻造前后的体积是相等的，也就是圆柱体体积=长方体体积.圆柱体的体积=πr2h（r为底面圆半径，h为高）、长方体体积=abc（a为长，b为宽，c 为高）解：设应截取的圆柱体钢长为x mm.根据题意，得3.14×2 200()2x=300×300×90解方程，得x =258.答：应截取约258 mm长的圆柱体钢.2.行程问题:例2 为了适应经济发展，铁路运输再次提速，如果客车行驶的平均速度增加40 km/h，提速后由合肥到北京1 110 km的路程只需行驶10 h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？【解析】行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间，他们之间的基本关系是：路程=平均速度×时间.解：设提速前客车平均每时行驶多x km，那么提速后客车平均每时行驶（x+40）km.客车行驶路程是1 110 km，平均速度是（x+40）km/h，所需时间是10 h.根据题意，得10（x+40）=1 110.解方程，得x=71.答：提速前，这趟客车的平均速度是71 km/h.分析行程问题中的等量关系，还可以借助线段示意图.以上几例，说明了列方程解应用题的一般步骤：1.弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；2.分析题意，找出相等关系（可借助示意图、表格等）；3.根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4.解这个方程，求出未知数的值；5.检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.3.利率问题:例3 王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到本息共23 000元，问当年王大伯存入银行多少钱？【解析】本题中涉及的数量关系有本金×利率×年数=利息，本金+利息=本息和.解：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想；●通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
重点难点：●列方程解应用题。
学习策略：●通过联系实际并对实际问题进行分类，理解并记忆一些关系式，通过练习灵活运用这些公式，熟练掌握各种问题的解题思路。
二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不为的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是： (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。
例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有个未知数x，且x的次数是次，但化简后为，不是一元一次方程.（二）等式两边加（或减），结果仍相等。
等式两边乘，或除以同一个的数，结果仍相等。
（三）解方程（1）0.48x －6 = 4－0.02x （2）5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)（3）37615=-y （4）1815612=+--x x（5）103.02.017.07.0=--x x （6）143)221(314151-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x知识点一：列一元一次方程解应用题的方法和一般步骤列方程解应用题的关键是从问题中找出一个 关系，然后恰当地设出 ，把 关系中的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程，这一过程可以简单表述为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．在设未知数和解答时，应注意量的 ．综上所述，列方程解应用题的方法步骤可概括为：（1） ，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2） ，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3） ，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4） ．（5） ，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．注意：（1）设未知数和写答案时，单位要写清楚．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
《一元一次方程的应用-等积问题》公开课教学PPT课件【初中数学人教版七年级上册】
一、导入新课
一、一元一次方程
只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程.
二、运用方程解决实际问题的一般步骤
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示 ( 例如x) ; 3.列方程:根据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
解：将下底缩短xm,则长方形的长是（60 －x), 由题意得：
（30+60） ×30 ÷2=1350
30（60 —x)=1350
解得：x=15
30m
30m
经检验：x=15是方程的解，且符合题意.
答：将下底由60m缩小到45m.将上底30m放大到45m.
60m
四、小结
运用一元一次方程解决等积问题
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示 ( 例如x) ; 3.列方程:根据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
再见
200 x
等量关系：圆柱体体积=长方体体积
解：设应截取的圆柱体钢长为x mm，根据题意得方程
3.14
200 2
2
x
300 300
90
解方程，得 x 258
.
30
300
0
90
经检验，x 258 是方程的解. 答：应截取258毫米长的圆柱体钢.
三、巩固练习
练习：把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不 变，则应将原梯形的上下底边作怎样的调整？
第三章 一元一次方程
等积变形和行程问题
3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【学习目标】1、理解等积变形前后不变的量，速度、时间、路程三个基本量之间的关系．会列一次方程解行程问题。
2、在解决行程问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤。
等积变形和行程问题：等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc行程问题基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．【自主学习】1、还记得小学学过的行程问题中的路程 时间和速度三个量之间关系吗？注意：（1）“同时”、“同地”、“相向”、“同向”关键字的含义。
（2）行程问题一般从时间、路程找等量关系。
（3）注意单位的统一。
2、慢车每小时行驶48千米，x 小时可行驶 千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开5/12小时，那么在慢车开出x 小时后快车行驶 千米。
3、(1) 如图甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时他们走的时间的关系是_________________ ______，走的路程关系是_______ __ __.4、 (2)如果甲从A 、乙从B 同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追击，那么他们走的路程关系是_ ____________， 时间关系是______ ___________4、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？5、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？【合作探究】问题1：小明与小兵的家分别在相距20千米的甲、乙两地，星期天小明从家出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为每小时13千米．两人商定到时候小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车速度是每小时12千米。
初一数学《一元一次方程》各类应用题公式概括与汇总
关于一元一次方程应用题各类型公式总汇：1，等积变形问题涉及到的公式：长方体体积=长×宽×高正方体体积=边长×边长×边长圆柱体体积=底面积×高=hr 2⨯⨯π圆锥体体积=hr 31312⨯⨯⨯=⨯⨯π高底面积2，行程问题：总公式：路程=速度×时间S=Vt 速度=路程÷时间时间=路程÷速度①相遇问题模型：甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后甲乙在途中相遇，实质上时两人共同走了AB之间的这段路程，两人同时出发：AB 两地路程=甲走的路程+乙走的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间一方先走而出现的相遇问题：两地路程=甲先走的路程+甲后走的路程+乙走的路程②相离问题模型：两个运动的物体，从同一地点相背而行，若干时间后，相距一段距离相离路程=两个运动物体走的路程之和=速度和×相离时间③追击问题模型：两个运动的物体从不同地点同时出发，慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
两地相距距离=路程差=快的行驶路程-慢的行驶路程=速度差×追击时间④航行问题模型：⑴行船问题：顺水速度=船的静水速度+水流速度逆水速度=船的静水速度-水流速度顺水速度-逆水速度=2×水流速度顺水速度+逆水速度=2×船的静水速度⑵飞行问题：顺风速度=飞机速度+风的速度逆风速度=飞机速度-风的速度顺风速度-逆风速度=2×风的速度顺风速度+逆风速度=2×飞机速度航行问题的等量关系：抓住两码头或两地之间的距离不变⑤过桥山洞问题模型：⑴完全过桥（完全过隧道）完全过桥是指火车车头接触桥到火车车尾离开桥的一段路程火车完全过桥总路程=桥的长度+火车车长火车完全过隧道总路程=隧道长度+火车车长⑵完全在桥上（完全在隧道里）完全在桥上是指火车车尾接触桥到火车车头离开桥火车完全在桥上总路程=桥的长度-火车车长火车完全在隧道里总路程=隧道长度-火车车长、特别：错车问题模式：两列火车相对而行从车头相遇到车尾分开两列火车的路程之和=两列火车车身长度之和两列火车同向而行，完全超过快的路程—慢的路程=两列火车车身长度之和⑥环形跑道问题模型：同一地点出发：同向而行（首次相遇）快的走的路程-慢的走的路程=环形跑道周长同一地点出发：背向而行（首次相遇）两者走的路程之和=环形跑道周长若遇到问第n次相遇时，只需要给环形跑道周长乘以n即可3工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率①先做的工作总量+后做的工作总量=总工作量②计划工作总量+超额完成的工作量=实际完成的工作总量③计划工作时间-实际工作时间=提前的时间4：利润盈亏问题：售价-进价=利润售价=标价（定价）×打几折利润=进价×利润率0000100100⨯-=⨯=进价进价售价进价利润利润率售价=进价×（1+利润率）5：计分问题：总积分=胜场积分+平场积分+负场积分（负场积分为负数）6：配套问题：当生产某两种物品A,B 。
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（注意：此题结果不是四舍五入）
变式训练1
用一根长为100米的铁丝围成一个长 比宽长10米的长方形，问这个长方形的 长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
解：设长方形的宽X米. 根据题意得：
2（x+x+10）=100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20 长为：x+10=20+10=30米 答：该长方形的长为30米，宽为20米.
变式练习2：
有100米长的篱笆材料，想围成一长方形仓 库，在场地的北面有一堵足够长的旧墙，其它 三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且 长比宽长10米，求这个仓库的长和宽？
示图分析
100米
这一问题和上一题有什么区别和相同点？ 篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
解：设仓库的宽X米. 根据题意得： 2x+x+10=100 3x=90 X=30 所以仓库的长为:x+10=30+10=40米
方程组）；
（4）、解这个方程（或方程组），求出未知数的值； （5）、检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案
（包括单位名称）。
即：审—找—列—解—检—答
答：该仓库的长为40米，宽为30米。
三、交流· 总结
1、由例题可知，一些实际问题可以设一 个未知 数，建立一元一次方程来解决 2、你能说一说解一元一次方程的应用 的一般步 骤吗？
一般步骤如下：
（1）、弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x,y）表示
问题里的未知数；
（2）、分析题意，找出相等关系（可借助示意图、表格等）； （3）、根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程（或
到1毫米).
观察下图：
截取部 分高为x
毫米
长方体
圆住体半径 为
200 2
长方体长300毫米、 宽300毫米、高为80毫米
=100毫米
思考：题目中隐藏着怎样的相等关系（等量关系）？
解：设至少要截取圆柱体钢X毫米.由题
意得：
π×1002 x
= 300 ×300 ×80
x ≈229.2 x≈230
答：至少应截圆柱体钢长约是230毫米
-----等积变形问题
自学提纲：
1、如何计算圆柱体的体积和长方体的体积？ 2、例1中圆柱体钢锻造成长方体毛坯的过程中形 状发生了变化，体积变了吗？
合作探究
【例1 】： 用直径为200毫米的圆柱钢，锻 造一个长、宽、高分别是300毫米、300毫米
和80毫米的长方体，至少应截取长为多少毫
米的圆柱体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（计算时π 取3.14,结果精确