3.1 不等式与不等关系(第1课时)
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3.1不等关系与不等式(一)
生活中的不等关系：
实例1：某天的天气预报报道，最高气温 32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B， 若点A在点B的左边，则xA< xB. 实例3：若一个数是非负数，则这个数大 于或等于零.
生活中的不等关系：
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边. 实例6：限速 40 km/h 的路标，指示司机 在前方路段行驶时，应使汽车速度 v 不超 过 40 km/h.
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
或 2.5 0.1n 8 0.2n 20
比较两种表示
例3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm两种，按照生产的 要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关 系的不等式呢？
3.1 不等关系与 不等式(一)
思考1：
回忆初中学过的不等式，比较“不 等关系”与“不等式”有何异同.
不等关系强调的是关系.用符号“<” “>” “≤” “≥ ”和“≠”表示. 不等式就是用不等号将两个代数式连结起 来所成的式子.如﹣7 <﹣5，3 + 4 > 1 + 4， 2x ≤ 6，a + 2 ≥ 0，3 ≠ 4，0 ≤ 5 等.
生活中的不等关系：
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸 奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%蛋白质 的含量 p 应不少于2.3%.
思考2：
如何用我们学过的知识来表示 这些不等关系？
应用示例
例1 设点A与平面的距离为d，B为 平面上的任意一点，则d ≤ |AB|.
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本.根据市场调若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若 把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
高中数学教学课例《3.1不等关系与不等式(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
高中数学教学课例《3．1 不等关系与不等式(1)》教学设计 及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学 教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究 在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题 探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在 下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问 题探索中学习新知。 能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？ 下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归 纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易 接受。 然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教 师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习， 一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨 论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。 例 3、比较下面两组代数式的大小： 步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因 式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答 情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点， 强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解 决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选 教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推 择与设计 理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主 体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理 念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活 动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意 关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学 过程的每个环节。
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学 教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究 在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题 探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在 下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问 题探索中学习新知。 能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？ 下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归 纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易 接受。 然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教 师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习， 一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨 论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。 例 3、比较下面两组代数式的大小： 步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因 式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答 情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点， 强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解 决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选 教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推 择与设计 理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主 体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理 念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活 动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意 关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学 过程的每个环节。
不等关系和不等式
a 与n b 的大
n
a ＞ b ＞0
n
n
a ＞ b (n∈N*)
a ≤ n b ，即
证明：用反证法，假定
n
n n 或 a b ， a b
n
根据乘方性质，得 (n a )n (n b )n 或(n a )n (n b )n
即：a<b或a=b，
这都与a>b矛盾，因此
n
a b
n
ac 2)a>b,b>c ____________
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的 大小关系如何？为什么？ 性质6：a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(乘法法则)
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小 关系如何？
性质7：a＞b＞0
n＞bn (n∈N*) a
（乘方法则）
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么n 小关系如何？ （开方法则） 性质8：
=(x－1)2+1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.例 2 已知 x＜1，试比较 x－1 与 2x －2x 的大小．
3
2
若去掉x<1这条件，结果还一样吗？
探究：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质。
性质1：如果a > b，那么b < a，如 果b < a，那么a > b．(对称性)
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材与丙的有什么大小关系？ 性质2：如果a > b，且b > c，那么a > c．(传递性) 即：a > b，b > c a > c．
3.1不等关系与不等式(两课时)
500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话， 用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d
B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得 当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5： 如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性
2014年人教A版必修五课件 3.1 不等关系与不等式
例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍. 写 出满足上述所有不等关系的不等式. 解: ① 600 mm 钢管数 x 不能超过 500 mm 钢管 数 y 的 3 倍: x≤3y, ② 总长度不能大于 4000 mm: 600x500y≤4000 x 3 y, ③ 钢管数不能为负: 600x 500 y 4000, x≥0, y≥0, x 0, 由①②③得: y 0.
2. 有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字 比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系, 并求出 这个两位数 (用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数 字和个位数字). 解: 10ab>50, ① 10ab<60, ② ③ b=a2. 48 ; a ③代入①得 ④ 11 58 ③代入②得 a . ⑤ 11 由④⑤得 a = 5, 则 b = 7. ∴这个两位数是 57.
f 2.5%, p 2.3%.
Hale Waihona Puke 例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上 任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系. (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售 出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售 量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设 为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 写出满足 上述所有不等关系的不等式.
3.1不等式与不等关系1
性质8:如果a>b>0, 那么n
a b ,(n∈N,n≥2).
n
开方法则
c c 已知a > b > 0,c < 0, 求证 > .(课本P83) a b
1 证明: a b 0, ab 0, 0. ab
1 1 于是 a b , ab ab 1 1 c c 即 . 由c 0, 得 a b b a
f 2.5% p 2.3%
一 .新课引入
问题1：设点A与平面α的距离为d,
d
A
B为平面α上任意一点，则
d≤|杂志原以每本2.5元的价格销售,可以销售出8 万本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可以相 应减少200本,若把提价后杂志的定价设为X元,怎样用不 等式表示销售的总收入仍比低于20万元呢？
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即
abba
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即
(对称性) (传递性)
（可加性）
a b, c 0 ac bc a b, c 0 ac bc
a b, b c a c
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.即
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种.按照生产的要求，
600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的 3倍. 写出满足上述所有不等关系的不等式?
500 x 600 y 4000; 3x y; x 0; y 0.
二、重难点讲解
a b ,(n∈N,n≥2).
n
开方法则
c c 已知a > b > 0,c < 0, 求证 > .(课本P83) a b
1 证明: a b 0, ab 0, 0. ab
1 1 于是 a b , ab ab 1 1 c c 即 . 由c 0, 得 a b b a
f 2.5% p 2.3%
一 .新课引入
问题1：设点A与平面α的距离为d,
d
A
B为平面α上任意一点，则
d≤|杂志原以每本2.5元的价格销售,可以销售出8 万本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可以相 应减少200本,若把提价后杂志的定价设为X元,怎样用不 等式表示销售的总收入仍比低于20万元呢？
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即
abba
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即
(对称性) (传递性)
（可加性）
a b, c 0 ac bc a b, c 0 ac bc
a b, b c a c
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.即
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种.按照生产的要求，
600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的 3倍. 写出满足上述所有不等关系的不等式?
500 x 600 y 4000; 3x y; x 0; y 0.
二、重难点讲解
§3.1.1不等关系与不等式(一)
浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明 成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两 实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元， 销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的 定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍 不低于20万元呢？ 分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生 小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用 问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这 笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若 每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多 少元？ 分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：
3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)
探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋ ＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.
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第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第1课时
【授课类型】新授课
【学习目标】
1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系.
【教学重点】同目标2
【教学难点】同目标3
【教学过程】
1、 情境导入（2min ）
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
2、展示目标
下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度
（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.
（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系.
【自主阅读教材5分钟】
3、检查预习（4min ）
（1）用不等式表示不等关系
限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：
40v ≤
4、合作探究（7min ）
（2）用不等式表示不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于
2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩
5、交流展示（5min ）
引例：b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再加入m 克糖（m ＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 .
6、精讲精练（10min ）
例题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤.
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1
x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
2.5(80.2)200.1
x x --⨯≥ 例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
7、反馈测评（5min ）
(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子.
(2)课本P74的练习1、2、3
8、课时小结（2min ）
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.
9、课时作业
（1）巩固所学知识；（2）课时作业；（3）预习下一课时.
【板书设计】
【授后记】
5006004000;3;0;0.
x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩。