基本不等式(第一课时)
2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
“基本不等式”(第一课时)教案
基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
课时3153_2.2 基本不等式(第一课时)-2.1等式性质与不等式性质(第一课时)教学设计
2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 ＜v ≤40;{f≥ 2.5p≥ 2.3%;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a>0,b>0,试比较√b +√a与√a+√b的大小；【预设的答案】√b +√a≥√a+√b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）A. a>bB. a≤bC. a≥bD. a<b 【预设的答案】D【设计意图】在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.例4 已知a>b , 证明：a>a+b2>b【预设的答案】∵a−a+b2=a−b2,a−b>0∴a−a−b2>0 即a>a+b2∵a+b2−b=a−b2,a−b>0∴a−b2−b>0 即a+b2>b综上，a>a+b2>b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质数学抽象两个实数大小关系的基本事实(作差法)思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
3.4基本不等式(第一课时)
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
D a OC b B
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
1 8
.
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
高中一年级数学《基本不等式》课件
你能给出它的证明吗？
基本不等式1：如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a2 b2 2ab （a b）2 当 a b 时，(a b)2 0 （比较法） 当 a b 时，(a b)2 0
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三 角形的面积和，即得到一个不等关系：
___a_2___b_2 __2_a_b___
当 直角三角形变成等腰直角三角形时， 即 a b时，正方形EFGH缩为一个点， 这时有_____a_2__b_2___2_a_b____.
基本不等式1：一般地，对于任意实数a、
又 AB⊥DE，∴ △ACD∽△BCD，
从而得到： CD2 AC CB ，
CD ab 半径 a b .
2
当且仅当点C 与圆心重合， 即 a b 时，等号成立 .
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
探究:你能对基本不等式2给出几何解释吗？
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形 的面积和，即得到一个不等关系： ____a_2 __b_2___2_a_b_____.
②设直角三角形的两条直角边长为a,b， 那么正方形的边长为____a_2__b_2____. 这 样,4个直角三角形的面积的和是 ____2_a_b_____,正方形的面积为__a_2___b_2 __.
当且仅当 a=b 时，等号成立.
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
证明： a ，b R， 由基本不等式1得：
( a )2 ( b )2 2 a b ，（综合法）
第1课时 基本不等式
课前 预习案重要不等式
∀a，b∈R，有 a2＋b2≥___2_a_b____，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 1．不等式中 a，b 的取值是任意的，a 和 b 代表的是实数，它们既可以是具体的 数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的 证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明． 2．不等式 a2＋b2≥2ab 常变形为 ab≤a2＋2 b2或 a2＋b2＋2ab≥4ab 或 2(a2＋b2)≥(a ＋b)2 等形式，要注意灵活掌握．
∵a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时等号成立)，∴2a＋abb≥1，
即 ab ≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
综上得1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
探究三 利用基本不等式证明不等式
[知能解读] 1．两个不等式(重要不等式、基本不等式)都具有放缩的功能，因此利用不等式 可以将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系．
bc ac ab (1)已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c． (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9．
解题流程：(以(2)为例) 第一步 泛读题目明待求结论：结合条件 a＋b＝1 将不等式左边进行适当变形． 第二步 精读题目挖已知条件：a＞0，b＞0，所以ba＞0，ab＞0． 第三步 建立联系寻解题思路：利用基本不等式进行证明． 第四步 书写过程养规范习惯．
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
(B ) (A )
4．有下列不等式：①a＋1a≥2；②(－a)＋－1a≤－2；③a2＋a12≥2；④(－a)2＋－1a 2≤－2.其中正确的是__________.(填序号)
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第一课时
1.课题导入
基本不等式
ab ab 2
的几何背景：
如图是在北京召开的第 24 界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。你能在这 个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗？
2.讲授新课
y x
＞0
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 xy >0 x2＋y2≥2 x 2 y 2 >0
x3＋y3≥2 x 3 y 3 >0（当且仅当x=y时，式中取等号）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy · 2 x2 y2 · 2 x3 y 3 ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全 等的直角三角形。设直角三 角形的两条直角边长为a,b那 么正方形的边长为 a2 b2 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为 a 2 b2
由于 4 个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 2 2 a b 2ab 了一个不等式：
例1 已知x、y都是正数，求证： (1) y x ≥2；
ab 分析 ：在运用定理： 2 ab时，注意条件 a 、
x
y
b 均为正数，结合不等式的性质 ( 把握好每条
性质都是正数
∴
x y
＞0，
x y x y x y 2 =2 即 2 y x y x y x （当且仅当x=y时，式中取等号。）
2 2
2
2
2
当a b时,(a b) 0,当a b时,(a b) 0 所以(a b)2 0，即a2 b2 2ab
4．1）认识基本不等式
ab ab 2
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b 分别代替a、b ，可得 a b 2 ab , 通常我们把上式写 作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2 式中取等号）
2 ） 从不等式的性质推导基本不等
式
ab ab 2
用分析法证明： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b
2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 （ a- b ）
2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
3、例题讲解
4.随堂练习
ab 分析：对于此类题目，选择定理： 2
1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
ab
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. c＋a≥2 ac ＞0
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ab >0 b ＋ c≥2 bc ＞
0 2 bc· 2 ac =8abc ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab ·
探究图形变化过程
当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
a b 2ab
2 2
2．得到结论：
一般的，如果a, b R,那么a b 2ab
2 2
(当且仅当a b时取" "号)
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a b 2ab (a b)
5.课外作业
课本第113页习题[A]组的第1题
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
5.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋ ab 2 b ≥2ab；两正数a、b的算术平均数( 2 )， 几何平均数（ ab ）及它们的关系 ab （ 2 ≥ ab ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求 函数最值的重要工具 。