2019备战中考数学基础必练(北师大版)-锐角三角函数(含解析)
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
近年九年级数学下册考点综合专题锐角三角函数与其他知识的综合北师大版(最新整理)
考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合——代几结合，掌握中考风向标错误!类型一锐角三角函数与四边形的综合1．如图,在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝错误!，AB＝4，则AD的长为（）A．3 B。
错误! C.错误! D.错误!第1题图第2题图2．（2016·宝山区一模）如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝错误!，则对角线AC 的长为________．3．(2016·福州中考)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是________．第3题图第4题图4．如图,在四边形ABCD中,∠B＝∠D＝90°，AB＝3,BC＝2，tan A＝43，则CD＝________．5．（2016·菏泽中考）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝________．第5题图第6题图6．（2016·东营中考)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5错误!cm,且tan∠EFC＝错误!，那么矩形ABCD的周长为________cm.7．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E。
（1)求证：∠BAM＝∠AEF；（2)若AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝错误!，求DE的长．8．(2016·杭州中考）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC 上，点A，D,G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC,CG,AE，并延长AE交CG于点H。
（1)求sin∠EAC的值；(2）求线段AH的长．◆类型二锐角三角函数与其他函数的综合9．如图，直线y＝错误!x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（)A.错误!B.错误! C。
锐角三角函数的基础训练题(北师大版九年级数学下册)
1 / 4锐角三角函数的基础训练题班级 姓名一、基础知识1、在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，则cosA= （ ）。
A ．23B ．22C ．23D ．212、在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AC=4,BC=3,则sinA=（ ）.A. 43;B. 34; C. 53; D. 54. 3、在Rt △ABC 中,∠C 为直角,sinA=22,则cosB 的值是( ). A. 21; B. 23; C.1; D. 22.4、已知在Rt ABC △中，90C ∠=，1sin 2A =，AC =BC 的值为（ ）A ．2B ．4C．D ．65、在Rt ABC △中，90C ∠=，BC =AC =A ∠=（ ） A ．90B ．60C ．45D ．306、在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AC=5,BC=12,那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( ).A. sinA=135;B.cosA=1312;C. tanA=1213;D. ctgA=125.7、已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，25tan =B ，那么cosA （ ） A 、25 B 、35 C 、552 D 、32 8、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中正确的是（ ）A 、sinA ＝sinB B 、sinA ＝cosBC 、tanA ＝tanBD 、c0tA ＝cotB9、sin cos(90)a a =-。
tan cot(90)a a =-；已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是10、一个斜坡的坡度为1=ι︰3，那么坡角α的余切值为2 / 411、已知cosA=23,且∠B=900—∠A,则sinB=__________.12、若α为锐角,tan α=33,则α=__________,sin α=_______, cos α= .13、已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 14、等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则sinA ＝________ 15、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,135==BC A ,则._______=AC 二、基础训练16、1sin 30π+32-0°+() 17、1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°．18、在△ABC 中,∠C 为直角, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c,已知a=25,b=215,求c 、∠A 、∠B.19、在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c,已知b=3, c=14. 求sin ∠A 、cos ∠A 、tan ∠A 的三角函数值.20、如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB 的高3 / 421、如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P相距 （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？ （2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）22、如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．23、如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？1.732 1.414）ABCDABF E P45°30°4 AD45°30°24题图24、今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东600的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处就人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东300的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由（参考数据3≈1.732）25、某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A在地面上的影子E与墙角C 有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）．4 /。
中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3639==米，2∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高3．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.【解析】试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB 与OD相交于点M，连接OB，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，∴，∴，∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=时，∴QD=，∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ OP=，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20AB=，4cos5AOC∠=．设OP x=，CPF∆的面积为y．（1）求证：AP OQ=；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE∆是直角三角形时，求线段OP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x xy xx-+=<<；（3）8OP=【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ=，联结OD后还有OA DO=，再结合要证明的结论AP OQ=，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO∠=∠即可；（2）根据PFC∆∽PAO∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos5AOC∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD，∵OC OD=，∴OCD ODC∠=∠，∵//CD AB，∴OCD COA∠=∠，∴POA QDO∠=∠．在AOP∆和ODQ∆中，{OP DQPOA QDOOA DO=∠=∠=，∴AOP∆≌ODQ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP 的长为8．5．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DFEF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒. ∴90EAD FCD ∠=∠=︒. ∵CF AE =。
北师大版数学九年级下册第一章1.1锐角三角函数(2)同步练习(含答案)
A
B
参考答案： 1~8 ABBAC ABB
9、 5 ； 10、 2 21 ； 11、 2 5 ； 12、 5 ；
13
5
5
4
3
4
13、sinB= ， cosB= ， tanB= ；
5
5
3
14、 3 ； 5
15、 21 ； 2
C D
16、（ 1）略；（ 2） 24 ； 3
1 11、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，若 sin A ，则 sinB 的值为 _______；
2
12、如图，在 4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△
ABC 的顶点都在格点上，则 sin
∠ BAC=______ ；
三、解答题： 13、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°， AB=10 ，AC=8 ，求 sinB， cosB， tanB 的值； 14、如图，在 Rt△ ABC 中，若∠ ACB=90°， AB=10 ， BC=6 ， CD ⊥ AB 于 D，求 sin∠ BCD ；
3
A、
5
4
B、
5
3
C、
4
4
D、
3
3、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，BC=12 ， AB=13 ，则下列三角函数值正确的是（
）
12 A 、 sin A
5
5 B、 cos A
13
12 C、 tan A
13
12 D、 tan B
5
4、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，AB=4 ， AC=1 ，则 cosB=（ ）
2019~2020 பைடு நூலகம்年北师大版九年级（下）第一章
备战中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ，∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，∵22AB BF -=3， ∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN ，∵AD=AD ，CD=ND ，∴△ADC ≌△ADN ，∴AC=AN ，∵AB=AC ，∴AB=AN ， ∵AH ⊥BN ，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径∴90BDC ∠=︒∴90BDA ∠=︒∵OA OB =∴OD OB OA ==∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠即：EBO EDO ∠=∠∵CB x ⊥轴∴90EBO ∠=︒∴90EDO ∠=︒∴直线OD 为E 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时：∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x == 1504333131OF =-= 即143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时：∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x = ∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ，∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MG CF BC ==∵MG≤半径4=∴41882 BG MGCF=≤=∴BGCF的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D处成功拦截.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.在Rt ABC 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM∠=， 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有2491716=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．4．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．5．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．【答案】32．4米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE，∴BE=CE•cot30°=12×3=123，在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=123．∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．6．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4， ∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt △ANE 中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－， tan ==0．60， 解得=2．5，答：DM 和BC 的水平距离BM 为2．5米．考点：解直角三角形．7．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，∴FG =tan 3AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3． 又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG﹣3AG =24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCDS 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+=【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0，∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.9．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为. 【解析】【分析】 在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据tan ∠ADC==即可求出AB 的长度 【详解】解：∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC==1，∴BC=CD= 40m 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC==∴tan50°= =1.19答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用10．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②123【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∴△DPF ∽△DCB ，∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.。
备考2019年中考数学专题专项突破训练：锐角三角函数的综合(特训篇)(附解析)
中考数学专题训练：锐角三角函数的综合（特训篇）一．选择题1．（2019•郓城县一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（）A．B．C．D．2．（2019•东阿县三模）如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（）A．B．C．D．3．（2019•西湖区一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（）A．sin A＜sin B B．sin B＜sin C C．sin A＜sin C D．sin C＜sin A 4．（2019•苏州一模）如图，一架无人机航拍过程中在C处测得地面上A，B两个目标点的俯角分别为30°和60°．若A，B两个目标点之间的距离是120米，则此时无人机与目标点A之间的距离（即AC的长）为（）A．120米B．米C．60米D．米5．（2019•大渡口区模拟）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN 和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．则AB的长度约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：（）A．9.4米B．10.6米C．11.4米D．12.6米6．（2019春•宿豫区期中）若2sin A＝，则锐角A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．（2019•安丘市一模）已知抛物线y＝3x2+1与直线y＝4cosα•x只有一个交点，则锐角α等于（）A．60°B．45°C．30°D．15°8．（2019•福田区一模）如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（）（参考数据： 1.4，≈1.7）A．7米B．14米C．20米D．40米9．（2019•海宁市一模）如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A是光盘与桌面的切点，∠BAC＝60°，光盘的直径是80cm，则斜边AB被光盘截得的线段AD长为（）A．20cm B．40cm C．80cm D．80cm 10．（2019•涪城区模拟）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B． m C． m D．4m 11．（2019•藁城区一模）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB的长度为（）A．3米B．5米C．米D．6米12．（2019•河南模拟）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点之间有一条彩带相连．若AB＝13米，则旗杆BC的高度为（）A．（+1）米B．5米C．9.5米D．12米二．填空题13．（2019•东阿县二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为nmile．（结果保留根号）14．（2019•如皋市一模）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A，B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100m的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500m，在点D测得端点B的俯角为45°，则岛屿两端A，B 的距离为m（结果保留根号）．15．（2019•张家港市模拟）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为千米．（结果保留根号）16．（2019•荔湾区一模）如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为．17．（2019•涪城区模拟）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，AD＝AC，sin∠ABD ＝．18．（2019•镇海区一模）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为80m，那么该建筑物的高度BC为m（结果保留根号）．19．（2019•淮安区模拟）如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan ∠1＝，则m的值是．20．（2019•绿园区一模）如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C 岛之间的距离约为36海里，B岛在C岛的南偏东43°，A、B两岛之间的距离约为海里（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】三．解答题21．（2019•温岭市一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计， EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．（2019•沈北新区一模）在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A 成45°仰角，已知小明身高DE＝1.5m．求旗杆AB的高度．（结果保留到根号）23．（2019•潮阳区一模）如图，小明站在河岸上的G点，利用测角仪器DG测量小船C到岸边的距离，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若测角仪器DG的高度是2米，BG ＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C 到岸边的距离CA的长？（结果保留根号）24．（2019•河南模拟）郑东新区是中国河南省郑州市规划建设中的一个城市新区，在2019年春节期间，小明一家人前去观看郑东新区“大玉米”灯光秀．小明想利用刚学过的知识测量大屏幕“新”字的高度：如图，小明先在如意湖湖边A处，测得“新”字底端D 的仰角为58°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B到水平面的距离BF；（2）求“新”字的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，，）25．（2019•邛崃市模拟）某市开展一项全民健身跑步运动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向上，C地在A地北偏东75°方向上，且BC＝CD＝10km，问：沿上述线路从A地到D 地的路程大约是多少？（结果保留1位小数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，，）26．（2019•东阿县三模）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B 的仰角∠CEB＝30°（点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC）．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.732，≈1.414）．27．（2019•贵池区二模）如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）28．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．29．（2019•海陵区一模）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为63°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：3，AB＝10米，CD＝2米．（1）求点B距地面的高度；（2）求大楼DE的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据tan63°≈2，≈1.732）30．（2019•洪泽区一模）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）参考答案一．选择题1．解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝，故选：A．2．解：∵P（，1），∴tanβ＝＝，故选：C．3．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sin B＜sin C．故选：B．4．解：设CE＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，则AE＝＝x，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝，则BE＝＝x，由题意得， x﹣x＝120，解得，x＝60，即CE＝60，则AC＝2CE＝120（米）故选：B．5．解：延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．在Rt△BCH中，CH＝BC＝5，BH＝5≈8.65，∴DH＝15，在Rt△ADH中，AH＝＝＝20，∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．故选：C．6．解：∵2sin A＝∴sin A＝∴∠A＝45°，故选：B．7．解：根据题意得：3x2+1＝4cosα•x，即3x2﹣4cosα•x+1＝0，则△＝16cos2α﹣4×3×1＝0，解得：cosα＝，所以α＝30°．故选：C．8．解：如图，作BH⊥AC于H．∵∠BCH＝45°，∠BHC＝90°，∴∠HCB＝∠HBC＝45°，∴HC＝HB，设HC＝BH＝xm，∵∠A＝60°，∴AH＝x，∴x+x＝20，∴x＝10（3﹣），∴AB＝2AH＝2××10（3﹣）≈14（m）故选：B．9．解：连接DO，AO，过O作OE⊥AD交AD于点E，∵∠BAC＝60°，A是光盘与桌面的切点，∴∠OAC＝90°，∴∠OAE＝30°，∵OA＝OD，∴E是AD的中点，在Rt△AEO中，AO＝80cm∴AE＝40cm，∴AD＝80cm；故选：D．10．解：∵sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．11．解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，∵BC＝3m，∴AC＝6m，∴AB＝＝3（m），故选：A．12．解：设CD＝x米，∵斜面AC的坡度为1：2，∴AD＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝（）2，解得，x＝，∴CD＝x＝，AD＝2x＝5，在Rt△ABD中，BD＝＝12，∴BC＝BD﹣CD＝9.5（米），故选：C．二．填空题（共8小题）13．解：作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，cos∠APC＝，则PC＝PA•cos∠APC＝86×＝43，在Rt△BCP中，cos∠BPC＝，则PB＝＝43（nmile），故答案为：43．14．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB＝EF，AE＝BF．由题意可知：AE＝BF＝100米，CD＝500米．在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100米．∴CE＝＝＝（米）．在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100米．∴DF＝＝100（米）．∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝500+100﹣＝600﹣（米）．答：岛屿两端A、B的距离为（600﹣）米．故答案为：（600﹣）．15．解：作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，∴BD＝AB•sin∠DAB＝6，在Rt△CBD中，cos∠CBD＝，∴BC＝＝6（千米），故答案为：6．16．解：设小正方形的边长为1，∵AC＝＝，BC＝＝5，AB＝＝2，∵AB2+AC2＝（2）2+（）2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，∴cos∠ABC＝＝；故答案为：．17．解：∵∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB，∴，∵AD＝AC，∴AB＝，∴BD＝，∴sin∠ABD＝，故答案为：．18．解：∵在Rt△ABD中，AD＝80，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝80×＝80（m），∴BC＝BD+CD＝（80+80）（m）答：该建筑物的高度BC约为＝（80+80）米．故答案为：（80+80）．19．解：解：作AB⊥x轴于点B．∵A的坐标是（3，m），∴OB＝3，AB＝m．又∵tan∠1＝＝，即，∴m＝5故答案为：520．解：由题意得，AC＝36海里，∠ACB＝43°．在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB＝AC•tan∠ACB＝36×0.93≈33.5海里．故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．故答案为：33.5．三．解答题（共10小题）21．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92＞1.9米．∴该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．22．解：过点D作DFEB交AB于点F，则BF＝DE＝1.5．设AB＝x．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝＝＝，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝x﹣1.5，AD＝＝（x﹣），又AD＝AC，∴＝（x﹣），解得：x＝，即旗杆AB的高为m．23．解：∵坡AB的坡度i＝4：3，坡高BE＝8，∴AE＝6，由题意得，四边形BEHG为矩形，∴GH＝BE＝8，EH＝BG＝2，∴DH＝DGDG+GH＝9，在Rt△DCH中，tan C＝，则CH＝＝9，∴AC＝CH﹣AE﹣EH＝9﹣8，答：小船C到岸边的距离CA的长为（9﹣8）米．24．解：作BH⊥CE于H，∵坡面AB的坡度，∴tan∠BAF＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25；（2）由勾股定理得，AF＝＝25，在Rt△DAE中，tan∠DAE＝，则DE＝AE•tan∠DAE≈75，∴BH＝FE＝25+75，∵∠CBH＝45°，∴CH＝BH＝25+75，∴CD＝CH+H E﹣DE＝25+75+25﹣120＝25﹣20＝23.25≈≈23.5（米）25．解：过D作DM⊥AC于M，则∠DAM＝45°，∠DCM＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝10，∵DM⊥AC，∴CM＝BM＝5，∴AM＝DM＝CD•cos∠DCM＝10×sin60°≈8.5，∴AM+MC+CD＝8.5+5+10＝23.5答：从A地到D地的路程大约是23.5km．26．解：设AC＝x米，则BC＝（x﹣10）米，在Rt△ACD中，∠CDA＝∠CAD＝45°，所以CD＝AC＝x，在Rt△ECB中，CE＝CD+DE＝x+8．所以tan∠CEB＝，即＝tan30°＝．解得，x＝≈34.59．答：楼高AC约为34.59米．27．解：分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，设EM为xm，则EN为（10+x）m．在Rt△CEN中，tan45°＝，∴CN＝10+x，∴AM＝40+x，在Rt△AEM中，tan37°＝，即，解得，x＝120，则EF＝x+20＝140（m）答：电视踏高度EF为140m．28．解：（1）根据题意，得AB ＝20，∠ABC ＝70°，CH ＝BD ＝2， 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，∴AC ＝AB •sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH ＝20.8．答：这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH 为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x 千米，由题意，得，解得，x 1＝60，x 2＝﹣40，经检验：x 1＝60，x 2＝﹣40都是原方程的解，但x 2＝﹣40符合题意，舍去， 答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．29．解：（1）作BG ⊥AE 于点G ，由山坡AB 的坡度i ＝1：，AB ＝10，得：BG ＝5．； （2）可求得AG ＝，作BF ⊥DE 与点F ，设DE ＝x 米，在Rt △ADE 中∵tan ∠DAE ＝， ∴AE ＝≈x∴EF ＝BG ＝5，BF ＝AG +AE ＝+x ， ∵∠CBF ＝45°，∴CF ＝BF ，∴CD +DE ﹣EF ＝BF ，∴2+x ﹣5＝+x ， 解得：x ＝≈23.3（米）答：大楼DE 的高度约为23.3米．30．解：由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，设AD＝xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝，∴CD＝AD＝x，∴BD＝BC+CD＝x+60，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝，∴x＝（x+60），∴x＝30（+1）米，答：山高AD为30（+1）米．。
北师大版初三数学运用锐角三角函数测试题(附答案)
北师大版九年级数学运用锐角三角函数测试题（附答案） 一、选择题1. 一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．（A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里2. 如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30的方向，则河的宽度是（ ）A．B．3C．D ．100m3. 王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60 o ， 又知水平距离BD =10m ，楼高AB =24 m ，则树高CD 为（ ）A ．()31024-mB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-331024m C ．()3524-mD ．9m4. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B．C．3米 D5. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ） A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°6. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米7. 小明沿着坡度为2:1的山坡向上走了m 1000，则他升高了（ ）A ．m 5200B ．m 500C ．m 3500D ．m 10008. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ） Am B ．4 mA BCm αC．m D ．8 m9. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米 C ．15米 D．10. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B点的仰角∠OAB ＝65°，则这幢大楼的高度为（结果保留3个有效数字）（ ） （A ）42.8 m （B ）42.80 m（C ）42.9 m （D ）42.90 m二、填空题11. 如图，AB 是伸缩式的遮阳篷，CD 是窗户．要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是 米．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为︒60)12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是_________cm 2.13. 如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B点的距离为 .14. 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是 米(精确到0.1米) .15. 如图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，从C 处看桥的两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60,测得BC ＝7m ，则桥长AB ＝ m （结果精确到1m ）2第7题ACE BAC B A DCBA16. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：2 1.414≈ 3 1.732≈）17. 水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .18. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24米，则旗杆AB 的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）19. 如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点．在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上．此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是 海里（不作近似计算）．20. 如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB = a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为 ．三、应用题21. 某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB ⊥BD ，∠BAD ＝18o ，C 在BD上，BC ＝0.5m ．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD 的长就是所限制的ABC30°60° 30°SBA 北南西 东45︒60︒A ′B MAODC高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m）22. 水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库大坝进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD，如图（9）所示，已知迎水面AB的长为10米，60B∠=°，背水面DC的长度为103米，加固后大坝的横断面为梯形.ABED若CE的长为5米.（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度.（计算结果保留根号．．．．．．．．）23. 据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P 处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒=12001小时），并测得∠APO=59°，∠BPO=45°.试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）．24. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.25. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．ABC（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点 后两位．）26. 某乡镇中学数学活动小组，为测量教学楼后面的山高AB ，用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C 处测得山顶A 的仰角为60︒，在教学楼顶D 处，测得山顶A 的仰角为45︒.已知教学楼高12CD =米，求山高AB .（参考数据3 1.732 1.41==，，精确到0.1米，化简后再代参考数据运算）一、选择题第1题答案.B第2题答案.A第3题答案.A第4题答案.C第5题答案.B第6题答案.B第7题答案.A第8题答案. B第9题答案.A第10题答案.C 二、填空题第11题答案.3第12题答案.492第13题答案.tan tan m n αα-⋅第14题答案.11.2第15题答案.12第16题答案.82.0第17题答案.π21第18题答案.13.9第19题答案.第20题答案.a 426- 三、应用题第21题答案.解：在△ABD 中，∠ABD ＝90 ，∠BAD ＝18，BA ＝10∴tan ∠BAD ＝BABD…………………………………2分 ∴BD ＝10×tan 18∴CD ＝BD―BC ＝10×tan 18―0.5…………………………4分 在△ABD 中，∠CDE ＝90―∠BAD ＝72∵CE ⊥ED ∴sin ∠CDE ＝CDCE…………………………………6分 ∴CE ＝sin ∠CDE×CD ＝sin72×（10×tan 18―0.5）≈2.6（m ）………9分 答：CE 为2.6m ……………………………………10分第22题答案.解：（1）分别过A D 、作AF BC ⊥、DG BC ⊥，垂足分别为F G 、，如图（1）所示， 在Rt ABF △中，10AB =米，60B ∠=°. ∴sin AFB AB ∠=，即sin 6010AF =°， 310532AF ∴=⨯=，………………………………………………… 2分 ∴53DG =……………………………………………………………………3分所以11255533222DCE S CE DG =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴需要填方100253125032⨯=（立方米）. ……………………………6分（2）在Rt DGC △中，103DC =， 所以GC＝()()22221035315DC DG -=-=， (7)分所以15520.GE GC CE =+=+=∴背水面DE 的坡度i ＝533.204DG GE ==………………………………10分 答：（1）需要土石方12503立方米；新大坝背水面DE 的坡度34i =.………………10分第23题答案.解：设该轿车的速度为每小时x 千米∵AB AO BO =-，45BPO ∠= ∴0.1BO PO ==千米 ··················又tan590.1 1.6643AO OP =⨯=⨯ ·················································∴0.1 1.66430.10.10.66430.06643AB AO BO =-=⨯-=⨯= ·············即0.066AB ≈千米 ·····································································而3秒=12001小时 ∴0.06643120079.716x =⨯≈千米∕时 ············································∵79.716＜80 ∴该轿车没有超速. ·················································第24题答案.解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为点D .则90CDA ∠=°，60CAD ∠=°，30BAD ∠=°，CD =240米.1分在Rt ACD △中，tan CDCAD AD∠=， 24080 3.tan 603CD AD ∴===°3分 在Rt ABD △中，tan BDBAD AD∠=， 3tan30803803BD AD ∴==⨯=·°. 5分 ∴BC CD BD =-=240-80=160.答：这栋大楼的高为160米.6分（注：只要正确求出BC 的值，没答不扣分）第25题答案.解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°∴AC=BC=AB ·sin45°=22224=⨯……………2分 在Rt △ADC 中，∠ADC=30°∴AD=24212230sin =÷=oAC ……………………2分 ∴AD-AB=66.1424≈-∴改善后滑滑板会加长约1.66米. ……………4分（2）这样改造能行，理由如下： ……………………5分 ∵989.462332230tan ≈=÷==oAC CD ……………6分∴07.22262≈-=-=BC CD BD …………………7分 ∴6-2.07≈3.93＞3∴这样改造能行. …………………………………8分第26题答案.解：过D 作DE AB ⊥于E ，则DE BC ∥设AB h =米，在Rt ABC △中，60tan 30BC hh =︒=︒·cot ? 在Rt AED △中，3tan 45tan 453AE DE BC h =︒=︒= 又12AB AE BE CD -===3123h h ∴-= 123636(33)1863186 1.73633313h +∴====+=+⨯--1810.3828.4=+≈（米）答：山高AB 是28.4米ABCD。
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2019备战中考数学基础必练（北师大版）-锐角三角函数（含解析）一、单选题1.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A. B. C. D. 22.在△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（）A. 不变B. 缩小3倍C. 扩大3倍D. 扩大9倍3.在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A. 缩小2倍B. 扩大2倍C. 不变D. 不能确定4.在直角△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）。
A. B. C. D.5.已知在R t △ABC中，∠C = 90°，∠A =，AB = 2，那么BC的长等于A. B. C. D.6.若，则下列结论正确的为（）A. 0°<∠A < 30°B. 30°<∠A < 45°C. 45°< ∠A < 60°D. 60°< ∠A < 90°7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是( )A. B. C. D.8.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.9.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）.A. B. C. D.二、填空题11.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=________ ．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c=4a，则tanA=________13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是________．14.比较大小：sin24°________ cos66°，cos15°________ tan55°．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为________16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是________ ．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=，则BC的长是________18.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为________．19.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则sinA=________三、解答题20.已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．21.用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．22.如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA= ，sinB= ，∴c= ，c= ，∴= ，根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．四、综合题23.如图，在方格纸中，点A，B，C都是格点．（1）求tan∠BAC．（2）仅用直尺在图中画一个与∠BAC相等的角，使点B或点C是这个角的顶点，且BC为这个角的一边．(画出一个角即可)24.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B 的正弦？25.如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.（1）根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”):若α=45°,则s in α________cos α;若α<45°,则sin α________cos α;若α>45°,则sin α________cos α.（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB 的对边与斜边的比，就可以求出．【解答】如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．【点评】通过构造直角三角形来求解，利用了锐角三角函数的定义2.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据三角函数的定义解答即可．【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，∴∠A的正弦值不变．故选A．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】锐角的正弦值是对应的边除以第三边，因为比例未变，所以该正弦值为改变，故选C【点评】本题属于对直角三角形基本知识和正弦值概念的理解和运用4.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可．【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，∴cosA==．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．5.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】在R t △ABC中，∠C = 90°，因为sin=，所以BC=AB·sin=2 sin.【点评】该题较为简单，主要考查学生对三角函数意义的理解和应用，另外，对特殊角的三角函数值要熟记。
6.【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【分析】因为在（0o ,90o)上是减函数，因为【解答】所以则故选B【点评】本题属于对特殊角三角函数值的分析和综合运用。
7.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】先根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD，再根据三角函数的定义依次分析各项即可。
【解答】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴sinA=sin∠BCD=故选D.【点评】直角三角形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注。
8.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．9.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】根据圆锥的底面半径为5cm，则底面周长是10π．根据扇形的面积公式S=L•R，则65π=•10π•R，∴R=13，因而sinθ=．故选B．10.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】：∵由图可得cosB＝，且AB=3，BC=2，∴cosB＝＝；故答案为：B。
【分析】利用余弦的定义，邻边除以斜边，可求出值.二、填空题11.【答案】1【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由AC2+BC2=5+5=10，AB2=9+1=10，∴AC2+BC2=AB2，∠C=90°．tanA==1，故答案为：1．【分析】根据勾股定理逆定理，可得∠C的度数，根据正切函数值是对边比邻边，可得答案．12.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：设a=x，则c=4x，由勾股定理得，b=x，tanA==，故答案为：【分析】设a=x，用x表示出b、c，根据正切的概念求出答案．13.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC= =4，∴cosA= = ．故答案为：．【分析】在△ABC中，根据勾股定理可得出AC值，再由锐角三角函数余弦定义即可得出答案.14.【答案】=；<【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：cos66°=sin（90°﹣66°）=sin24°，cos15°＜cos0°=1，1=tan45°＜tan55°，cos15°＜1＜tan55°，故答案为：=，＜．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案；根据锐角的余弦随随角的增大而减小，可得ocs15°与cos0°的大小关系，根据锐角的正切函数随角的增大而增大，可得tan45°与tan55°d的大小关系．15.【答案】6【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵AB=10，cosB=，∴BC=10×=8，∴AC==6，故答案为：6．【分析】首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长．16.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：tanA==，故答案为：．【分析】根据锐角三角函数的定义（tanA= ）求出即可．17.【答案】6【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵sinA=，∴=，解得BC=6．故答案为：6．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．18.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由图形知：tan∠ACB= = ，故答案为：．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．19.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=1，AB=2，∴BC=，则sinA==．故答案为：．【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边计算即可．三、解答题20.【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC==10，sin∠A===；tan∠A===．【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．21.【答案】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【分析】根据余弦函数，函数值随角度的增大而减小即可作出判断．22.【答案】解：= = ，理由为：如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sinB= ，即AD=csinB，在Rt△ADC中，sinC= ，即AD=bsinC，∴csinB=bsinC，即= ，同理可得= ，则= =【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】,理由为：如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，根据正弦函数的定义，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ADC中，AD=bsinC，故csinB=bsinC，即，同理,从而得出结论。