幻方的起源于发展史
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方是一种中国传统游戏，最早出现于中国古代的洛书-九宫图。
在中国古代，幻方也被称作河图、洛书又叫纵横图。
九宫洛书既蕴含奇门遁甲的布阵之道，也被看作科学的结晶与吉祥的象征。
洛书（幻方）被公认为是组合数学的鼻祖。
同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。
幻方的规则是将给定数字放入正方形的格子中，使每行、每列和对角线的数字之和相等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
幻方的解题方法包括暴力搜索法和加1法。
暴力搜索法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻
方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
以上内容仅供参考，建议查阅关于幻方的书籍或咨询数学领域专业人士获取更多信息。
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
幻方
分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
类似幻方量化
类似幻方量化幻方量化：探索数字之美导语：幻方是一种古老而神秘的数学游戏，它具有独特的规律和美学价值。
本文将以类似幻方的方式，探索数字之美，介绍幻方的定义、特点以及应用领域，带领读者一同领略数字的无限魅力。
一、什么是幻方幻方是由一组不重复的数字组成的正方形矩阵，在同一行、同一列以及对角线上的数字之和均相等。
幻方最早起源于中国古代，被用于卜筮和祭祀，后来发展为一个独立的数学领域。
二、幻方的特点1. 数字不重复：幻方中的每个数字都不重复出现，保证了整个矩阵的唯一性。
2. 行列对角线和相等：幻方中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这是幻方最重要的特点之一。
3. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方沿着垂直或水平轴进行翻转，所得的矩阵仍然是一个幻方。
三、幻方的应用领域1. 数学研究：幻方是数学研究中的一个重要课题，涉及到组合数学、线性代数等多个领域。
研究幻方的规律和性质，可以推动数学理论的发展。
2. 密码学：幻方在密码学中有广泛的应用。
通过幻方的特性，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储。
3. 游戏设计：幻方作为一种数学游戏，常被应用在游戏设计中。
通过设计幻方谜题，可以提升玩家的逻辑思维和数学能力。
4. 美学艺术：幻方具有独特的美学价值，许多艺术家和设计师将幻方的规律和结构应用在艺术作品中，创造出独特的美感。
四、幻方的历史与进展幻方最早可以追溯到公元前2200年的中国古代，出现在《周髀算经》中。
在古代，幻方被当作神秘的数学符号，与卜筮和祭祀密切相关。
随着数学的发展，幻方逐渐成为一个独立的数学领域。
16世纪的德国数学家利奥波德·艾勒尔发现了一种构造幻方的方法，为幻方的研究奠定了基础。
之后，许多数学家纷纷加入到幻方研究的行列中，推动了幻方理论的发展。
在现代，幻方的研究已经成为一个活跃的数学领域。
许多数学家通过计算机模拟和数学推导，发现了更多规律和性质，推动了幻方理论的进一步发展。
五、幻方的魅力与启示幻方作为一种数学游戏，具有独特的美学价值和思维启发。
幻方
幻 方三帆中学 陈立雪一、幻方的古老传说据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。
图上有九个数字。
大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
它由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。
这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。
后来，人们称它为“幻方”。
因为它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
二、幻方问题幻方是数学的重要分支——组合学研究的一个问题：将1~2n 的自然数填入n n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角线上的n 个数之和相等（称为幻和），这个方阵称为n 阶幻方。
根据阶数不同，常把幻方分为奇阶幻方、偶阶幻方、双偶幻方（阶数为4的倍数的幻方）、单偶幻方（阶数为不是4的倍数的偶数）；另外，随着人们的研究深入，又出现了同心幻方、完美幻方、平方幻方、幻立方、幻圆等更加奇妙的幻方。
三、三阶幻方的构造：字母推理法由连续自然数构成的三阶幻方只有一种构造方法。
以1~9九个自然数构成的三阶幻方为例，设图中填入的九个数字分别为i h g f e d c b a ,,,,,,,,（如图）。
a b c d e f g h i首先，由幻方每行、每列、以及每条对角线上的三个数字之和是一个常数，则可得：154531)987654321(31)(31=⨯=++++++++=++++++++=++=++=++i h g f e d c b a ih g f e d c b a 即幻和为15。
其次，由图可知：()()()()ei h g f e d c b a d e fg e c h e b i e a 3)(+++++++++=+++++++++++所以有：e 345415+=⨯，因而可得：5=e 。
数学文化第五讲幻方
120 117
135 123
114 129
4 3
9 5
2 7
132
111
126
8
1
6
（4）将幻方对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方 框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41 又分别构成三阶幻方。
31 22 67 30 21 66 35 26 71
76 40 4 75 39 3 80 44 8
33 51 29 71
67
17 47
8、和、积幻方（也叫加—乘幻方）
162
105 92 57 58
207
152 27 30 75
51
100 91 174 171
26
29 136 225 90
133
138 45 108 17
120
243 38 23 52
116
39 150 119 216
25
34 261 104 161
81 45 9 77 41 5 73 37 1
18 63 54 14 59 50 10 55 46
29 20 65 34 25 70 33 24 69
74 38 2 79 43 7 78 42 6
11 56 47 16 61 52 15 60 51
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。 2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
1 11 21 31 41 51 61 71 81
8 77 69 39 33 59 29 37 18
44 78 63 67 25 47 3 28 14
34 26 46 55 17 75 76 16 24
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
幻 方 溯 源
杨辉构造出3—10阶幻方（1275年）。
目前已经排出125阶幻方。 如果一个幻方可以通过旋转或反射
得到另一个幻方，则称这两个幻方本质 上相同。
4.幻方有多少？
➢ 3阶幻方只有1种； ➢ 4阶幻方有880种； ➢ 5阶幻方有275305224种（约两亿
七千五百万）； ➢ 7阶幻方有363916800种（约三亿
若幻方各数是从1到n2的连续自然数， 称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为
2.为什么要研究幻方？
神奇之美 启智之功 广泛应用
3. 幻方分类
按照幻方阶数的奇偶性分类： 双偶阶幻方
偶数阶幻方 单偶阶幻方
奇数阶幻方
3. 幻方分类 按照幻方性质分类： 平方幻方（双重幻方）
和积幻方（乘积幻方）
4.幻方有多少？
几千年来，“河图”与“洛书” 成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝 库，哲学、天象、医学、数学、音乐 等都从中得到启蒙。
1. 洛书与九宫图
河图、洛书两图中黑点组成的数都 是偶数（古代称阴数），白点表示的数 是奇数（古代称阳数）。其中把“洛书” 用数字表达就是下面的数表，其任意横、 竖、斜各条直线上的三个数之和均相等 （等于15），这就是我们今天要讨论的 一个“幻方”。
六千四百万） ； ➢ 8阶幻方超过10亿种。
数学欣赏
数学欣赏
两个传说
在我国古老的《易经》中有 这样一句话：“河出图，洛出书， 圣人则之。”后来，人们根据这 句话传出许多神话。
传说在伏羲氏时 代，黄河里跃出一匹 龙马，龙马背上驮了 一幅图，上面有黑白 点55个，用直线连成 10数（如图），后人 称之为“河图”。
又 传 说 在 公 元 前 23 世 纪 大 禹 治水的时候，在黄河支流洛 水中，浮现出一个 大乌龟， 甲上背有9种花点的图案，9 种花点数正巧是1—9这9个数， 各数位置的排列也相当奇妙， 横行、纵列以及两对角线上 各 自 的 数 字 之 和 都 为 15 （ 如 图），后人称之为“洛书”。
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任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
欧拉的马步幻方
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64。
别离情
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆，十二月逢六天面。
一首诗，一个幻方
这就是完美幻方。
十诉别情八回怨， 十三云月三重天。 五作别诗十一首，两地相望十六年。
①具有一般幻方的性质。 ②每一正方形，每一等腰梯形、每一平行四 边形上的四个角，所含四数之和均为34。 ③每一交*十字点上，画一个“X”向四边沿伸 使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等。
传说两千多年前， 夏禹治水时, 黄河中跃出一匹神马, 马背上驮着一幅图, 人称「河图」;
又洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，
人称「洛书」。
他们发现, 这些图案每一列,每一行及对角线, 加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的
在西方被称为：
。
通过人们的研究， 现在的幻方种类许许多多…….
平方幻方
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们（每 一行、每一列及两条 对角线上，下同）的 平方和也等于另外的 定值。
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。 双重幻方
将自然数排列 在多个同心圆或 多个连环圆上， 使各圆周上数字 之和相同，几条 直径上的数字和 也相同。
幻圆
六角幻方