八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
北师大数学八年级上册 第二章 实数 知识点
北师大数学八年级上册第二章实数知识点实数部分知识点总结一、认识无理数1.无理数的定义：无限不循环小数称为无理数.2.无理数类型：（1）化简后含有π的（2）特殊结构的，如：0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）（3）开方开不尽的二、平方根1.平方与开平方互逆运算.2.补充：一个正数有两个平方根,它们是互为相反数.0的平方根是0负数没有平方根3.平方根与算术平方根的区别和联系.联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.2.表示法不同：平方根表示为a，而算术平方根表示为a.注:非平方数的算术平方根只能用根号表示.算术平方根：总结：算术平方根a具有双重非负性.①被开方数a是非负数，即：a中的a≥0；（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）5.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a ≥0，b ≥0）；（b ≥0，a>0）． a ≥0，b ≥0）；a b ab =（b ≥0，a>0）． 口诀：合久必分，分久必合。
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．ab a b b b a a=a b ab。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四<五总分得分[1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分.一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=、D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a(3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2 C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a 4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=~B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数。
D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数（7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,<B．,,C．，，D．,, 9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<@D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－！11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米*C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b-14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）^A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间，C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
北师大版八年级数学上册第二章《实数》章末复习题含答案解析 (3)
一、选择题1.下列各式中，运算正确的是( )A．√8−√3=√5B．√13×√27=9C．3√2−√2=3D．√3×√5=√152.已知m=1+√2，n=1−√2，则代数式√m2+n2−3mn的值为( )A．±3B．3C．5D．93.如果代数式√−m+√mn有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n)的位置在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.对于任意的正数m，n，定义运算⋇如下：m⋇n={√m−√n(m≥n),√m+√n(m<n).计算(3⋇2)×(8⋇12)的结果为( )A．2−4√6B．2C．2√5D．205.估计√13+1的值在( )A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间6.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72第一次→[√72]=8；第二次→[√8]=2；第三次→[√2]=1，这样对72只需进行3次操作即可变为1．类似地，将81变为1需要操作的次数是( )A．2B．3C．4D．57.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72→第一次[√72]=8→第二次[√8]=2→第三次[√2]=1．这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是( )A．254B．255C．256D．2578.设a>0，b>0，则下列运算错误的是A．√ab=√a⋅√b B．√a+b=√a+√b C．(√a)2=a D．√ab =√a√b9.在有理数1，12，−1，0中，最小的数是( )A．1B．12C．−1D．010.在下列各数中，无理数是( )A．207B．π3C．√4D．0.101001二、填空题11.若x−5y−4√xy=0，则xy=．12.设a是π的小数部分，则根式√a2+6a+10+2π可以用π表示为．13.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√(−a)2+√b2−√(a+b)2的结果为．14.在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由(√2+1)(√2−1)=1，可得√2+1与√2−1互为倒数，即√2+1=√2−1，√2−1=√2+1，类似地，3+2=√3−√2，3−2=√3+√2；2+3=2−√3，2−3=2+√3；⋯．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）6+5=，√n+1+√n=；（n为正整数）（2）若22+m=2√2−m，则m=；（3）计算：√2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99=．15.若a=√17+12，则a3−5a+2020=．16.对于实数a，我们规定：用符号[√a]表示不大于√a的最大整数，称[√a]为a的根整数，例如：[√9]=3，[√10]=3．（1）仿照以上方法计算：[√4]=；[√37]=．（2）若[√x]=1，写出所有满足题意的x的整数值：．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[√10]= 3→[√3]=1，这时候结果为1．（3）对 120 连续求根整数， 次之后结果为 1．（4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 ．17. 计算：√2a ⋅√a = ．三、解答题 18. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+√3)(2−√3)=1，(√5+√2)(√5−√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：(1) 4−√7 的有理化因式可以是 ，23分母有理化得 ．(2) 计算：①已知 x =√3+1√3−1，y =√3−1√3+1，求 x 2+y 2 的值；②1+√2+√2+√3√3+√4⋯+√1999+√2000．19. 已知 x x 2+1=√55，求 x −3+x 3 的值．20. 计算：6(13√2+√3)−12(4√2−8√3)21. 当 x 取什么值时，√x +1+2 的值最小？请求出这个最小值．22. 计算：(1) −12×(−4)2+∣∣−52∣∣×6；(2) (√3−1)2−(√5+√2)(√5−√2)．23. 记 R (x ) 表示正数 x 四舍五入后的结果，例如 R (2.7)=3，R (7.11)=7，R (9)=9．(1) R (π)= ，R(√3)= ．(2) 若 R (12x −1)=3，则 x 的取值范围是 ． (3) 若 R (R (x+2)2)=4，则 x 的取值范围是 ．24. 已知：x =√5+√3，y =√5−√3，求代数式 (x +2)(y +2) 的值．25. 当 a =2 时，求下列二次根式的值．(1) √4a −8． (2) √a 2−2a +5．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】二次根式的乘法2. 【答案】B【解析】由已知可得：m+n=2，mn=(1+√2)(1−√2)=−1，原式=√(m+n)2−5mn=√22−5×(−1)=√9=3．【知识点】二次根式的加减、二次根式的乘法、完全平方公式3. 【答案】C【知识点】二次根式的概念4. 【答案】B【解析】原式=(√3−√2)×(√8+√12) =(√3−√2)×(2√2+2√3)=2(√3−√2)×(√3+√2)=2×[(√3)2−(√2)2]=2×(3−2)= 2.【知识点】二次根式的混合运算5. 【答案】C【解析】∵3<√13<4，∴4<√13+1<5，即√13+1在4和5之间，故选：C．【知识点】平方根的估算6. 【答案】B【知识点】二次根式的乘法7. 【答案】B【知识点】平方根的估算8. 【答案】B【知识点】二次根式的概念9. 【答案】C【解析】根据有理数比较大小的方法，可得<1，−1<0<12，−1，0这四个数中，最小的数是−1．∴在1，12【知识点】实数的大小比较10. 【答案】B是分数，是有理数，故不是无理数；【解析】A．207是无理数；B．π3C．√4=2是整数，故不是无理数；D．0.101001是有理数，故不是无理数．【知识点】无理数二、填空题11. 【答案】25或1【知识点】二次根式的混合运算12. 【答案】π+1【知识点】二次根式的性质与化简13. 【答案】2b【知识点】二次根式的加减14. 【答案】√6−√5；√n+1−√n；±√7；9【解析】（1）∵(√6+√5)(√6−√5)=1，=√6−√5；∴√6+√5∵(√n+1+√n)(√n+1−√n)=(√n+1)2−(√n)2=1，=√n+1−√n；∴√n+1+√n（2）=2√2−m，∵2√2+m∴(2√2+m)(2√2−m)=1．∴(2√2)2−m2=1，∴m 2=7， ∴m =±√7； （3）√2+1√3+√2√4+√3⋯√100+√99=(√2−1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√100−√99)=−1+√2−√2+√3−√3+√4+⋯−√99+√100=√100−1=9.【知识点】二次根式的加减、分母有理化15. 【答案】 2024【解析】 ∵a =√17+12， ∴a 2=9+√172，a 3=13+5√172，∴a 3−5a +2020=13+5√172−5×√17+12+2020=13+5√17−5√17−52+2020=82+2020=4+2020=2024.【知识点】二次根式的加减、简单的代数式求值、二次根式的乘法16. 【答案】 2 ； 6 ； 1，2，3 ； 3 ； 255【解析】（1）∵22=4，62=36，72=49， ∴6<√37<7， ∴[√4]=2，[√37]=6．（2）∵12=1，22=4，且 [√x]=1， ∴x =1,2,3．（3）第 1 次：[√120]=10，第 2 次：[√10]=3，第 3 次：[√3]=1． （4）∵[√255]=15，[√15]=3，[√3]=1，∴ 对 255 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1． ∵[√256]=16，[√16]=4，[√4]=2，[√2]=1， ∴ 对 256 需进行 4 次连续求根整数运算后结果为 1，∴ 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 255． 【知识点】实数的大小比较17. 【答案】 √2a【知识点】二次根式的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 4+√7；√32(2) ①当x=√3+1√3−1=√3+1)(√3+1)(√3−1)(√3+1)=4+2√32=2+√3，y=√3−1√3+1=√3−1)(√3−1)(√3+1)(√3−1)=4−2√32=2−√3时，x2+y2=(x+y)2−2xy=(2+√3+2−√3)2−2×(2+√3)×(2−√3)=16−2×1=14.②原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2000−√1999 =√2000−1.【解析】(1) 4−√7的有理化因式可以是4+√7，2√3=√3×√32√3=√32．【知识点】二次根式的除法19. 【答案】2√5．【知识点】二次根式的混合运算20. 【答案】原式=2√2+6√3−2√2+4√3=10√3．【知识点】二次根式的加减21. 【答案】当x=−1时，最小值为2．【知识点】二次根式的概念22. 【答案】(1) 原式=−12×16+52×6=−8+15=7.(2) 原式=3−2√3+1−(√52−√22) =4−2√3−3=1−2√3.【知识点】二次根式的混合运算、有理数的加减乘除乘方混合运算23. 【答案】(1) 3；2(2) 7≤x<9(3) 4.5≤x<6.5【解析】(1) ∵π≈3.14，∴R(π)=3；∵√3≈1.73，∴R(√3)=2，即：R(π)=3；R(√3)=2．x−1)=3，(2) ∵R(12x−1<3.5，∴2.5≤12解得：7≤x<9．)=4，(3) ∵R(R(x+2)2<4.5，∴3.5≤R(x+2)2∴7≤R(x+2)<9，∵R(x+2)为整数，∴R(x+2)=7或R(x+2)=8，∴6.5≤x+2<8.5，∴4.5≤x<6.5．【知识点】解连不等式、实数的大小比较+2√5．24. 【答案】412【知识点】二次根式的混合运算25. 【答案】(1) 当a=2时，√4a−8=√4×2−8=√0=0.(2) 当a=2时，√a2−2a+5=√22−2×2+5=√5.【知识点】二次根式的性质与化简。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
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第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四五总分得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,B．,,C．，，D．,,9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，118、如果是6－x的三次算术根，那么（）A．x<6B．x=6C．x≤6D．x是任意数19、若m<0，则m的立方根是（）A．B．－C．±D．20、在下列各式中：=，=，=，－=－27，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)21、已知m是3的算术平方根，则x－m<的解集为______.22、若是一个实数，则a=______.23、等腰三角形的两条边长分别为2和5，那么这个三角形的周长等于______.24、－的相反数是______，绝对值等于______.25、计算（保留四个有效数字）=______.26、的平方根为______.27、（）÷=______.28、a是的整数部分，b是的整数部分，则a2+b2=______.29、大于－且小于的整数有______.30、不等式（2－）x>0的解集为__________.评卷人得分三、计算题(注释)31、计算：。
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ，227，0，3−4，5.⋅6，−2.5656656665⋯ （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：23.跟踪练习1. 下列各数：3.14159，−27，0，−π ，−17，其中有理数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0，227，−1，−π2，0.101001⋯ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小：52 33（填“> ”“=”或“< ”）.实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0> 负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a ，b ，①当a−b >0时，a >b ；②当a−b =0时，a =b ；③当a−b <0时，a <b ；（4）平方法：若要比较任意两个实数a ，b 的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a ，b 本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中，最小的数是（）.A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）.A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算：12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算：（1）232−18−12；（2）35+4135−75115;（3）128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是（）.A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是（）.A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是（）.A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是（）.A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中，正确的是（）.A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（）.A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运(a≠0)；特别地：算有括号和无括号的区别，公式：a0=1(a≠0)；a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算：|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2 =a(a≥0)；③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.13. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简，再求值：x (6−x )+(x +5)(x−5)，其中x =6−2.17. 已知a =13−2，b =13+2.（1） 求a +b 的值；解：a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.（2） 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1．C 2．B（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数，如：23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3．B4．D实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0>负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a，b，①当a−b>0时，a>b；②当a−b=0时，a=b；③当a−b<0时，a<b；（4）平方法：若要比较任意两个实数a，b的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a，b本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5．（1）解：232−18−12=82−32−22=922.（2）35+4135−75115=155+1215−515=36155.（3）128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解：原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1．B2．B3．±54．D5．B6．B7．A重难点二实数的混合运算8．解：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9．解：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10．解：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11．解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12．解：|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13．−a−2b14．解：根据数轴可得c<b<0<a，∴a−b>0，c−a<0，b+c<0，∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15．解：由数轴可知a<0，b>2，∴a−b<0，a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16．解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，当x=6−2时，原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17．（1）解：a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17．（1）a+b=3+2+3−2=23.（2）∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1，∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
北师版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破(二十一类题型清单)
第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练2．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0巩固训练6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．48．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34±D ．当0x ≠时，2x -有平方根9）A ．4B ．4±C ．2D ．2±题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)()21x -=(2)()312x -=-7巩固训练11．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．13巩固训练13．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =题型五立方根例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义巩固训练17．下列说法正确的是（）A ．任意实数都有平方根B ．任意实数都有立方根C ．任意实数都有平方根和立方根D ．正数的平方根和立方根都只有一个18=．19=，=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3题型六立方根的性质及应用例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等巩固训练22x =．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A ．2B CD ．2.5巩固训练28．如图在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．1C D 129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30. 1.333≈ 2.872≈≈．巩固训练31a =）A ．0.1aB ．aC ．1.1aD ．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．0.9巩固训练34．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．2535．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14题型十一整数部分、小数部分问题例题36m，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，中，最小的是．巩固训练41（填写“＞”或“＜”或“＝”）．42313（选填“>”，“<”或“=”）题型十三实数与数轴例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点巩固训练44．下列说法正确的是（）A ．有理数与数轴上的点一一对应B 2C ．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D ．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P （要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M ，点N 也在这条数轴上且MN MP =，直接写出点N 表示的数．题型十四无理数的估算例题46．估计262的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间巩固训练47．已知5a b <<，a ，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若6m n <，则m n +的值为．49107的近似数的过程：∵面积为107107，且1010711<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．巩固训练51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x 为36时，输出的y 的值是_______；(2)若输入x 值后，始终输不出y 的值，则满足题意的x 值是_______；(3)若输出的2y >，则x 的最小整数值是_______.题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 2.2801 1.51=；23409231041=；③只有3个正整数a 满足15.215.3a << 2.31 1.510<．其中正确的是．（填写序号）a 1515.115.215.315.4…a 2225228.01231.04234.09237.16…巩固训练54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，31⎡=⎣，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）A 37B ．12C 3D 7-巩固训练5614x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．57()22a a a a --a 的取值范围是.58．已知n 51n +n 的最小值为．59．已知x 、y 为实数，且994y x x =--，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4题型十八二次根式的化简例题60=巩固训练61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥题型十九最简二次根式等有关概念例题64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 巩固训练65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D66．下列各组二次根式中，能合并的是()AB C D67．若最简二次根式是同类二次根式，则2xy =．68x 的值为（）A ．12-B ．34C ．2D ．5题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（）A 2=±B ．(2=C=D．(÷巩固训练70．下列运算正确的是（）A+=B=C．=D．5= 71．计算：；1)．72．计算：+(2)-；(4)21)2)-+．7．例题74．李老师家装修，长方形电视背景墙BC，宽AB，中间要镶一个长为，的长方形大理石图案（图中阴影部分）．(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/2m，大理石造价为200元/2m，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号20cm 18cm 中号25cm 20cm 大号30cm25cm已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为280cm ，2180cm ，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记1()2p a b c =++，那么三角形的面积为S =．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，ABC 中，7BC a ==，6AC b ==，5AB c ==，请利用上述公式求ABC 的面积；(2)在（1）的条件下，作BD AC ⊥于点D ，求BD ，CD 的长．第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．52．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解析】解：A ．8-的立方根是2-，故此选项不符合题意；B ．2(4)-的算术平方根是4，故此选项不符合题意；6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．4【答案】D【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据平方根的定义可知()4210m m -+--=，解方程即可．【解析】解：由题意得：()4210m m -+--=，解得：1m =，∴这个正数为()2424m -=，故选：D ．8．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C．916的平方根是34±D．当0x≠时，2x-有平方根9）A．4B．4±C．2D．2±例题10．解方程：(1)()21x-=(2)()312x-=-711．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．1313．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义17．下列说法正确的是（）A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个【答案】B【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【解析】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．18=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等22x =．【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x 的值，进而代入计算得出答案．【解析】解：由题意可知：12370x x -+-=，解得：6x =．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x 的值是解题关键．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数【答案】B【分析】根据算术平方根及立方根定义，结合四个选项中的数逐项验证即可得到答案．【解析】解：0的算术平方根为0；0的立方根为0；1的算术平方根为1；1的立方根为1；∴若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是0或1，故选：B ．【点睛】本题考查算术平方根及立方根定义，理解题意，弄清楚一个数的算术平方根与它的立方根相同的含义是解决问题的关键．巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A．2B CD．2.528．如图在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A．12B．1C D129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．【答案】2【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得出310008936x -=，整理得38x =，再利用立方根的定义解方程即可得出答案．【解析】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得：310008936x -=，整理得：38x =，解得：2x =，∴截去的每个小正方体的棱长是2cm ，故答案为：2．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题301.333≈2.872≈≈．31a =）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.934．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．25题关键．35．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14例题36m ，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．例题40．在实数1，0，中，最小的是．例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点44．下列说法正确的是（）A．有理数与数轴上的点一一对应BC．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN MP=，直接写出点N表示的数．（3）解：如图，设点N表示的数为x，由题意得：1171-=-，x解得217x=-，所以点N表示的数为217-．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十四无理数的估算例题46．估计262-的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间47．已知a b <<，a，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若m n <，则m n +的值为．∵2,3是连续的两个整数，∴2,3m n ==，∴235m n +=+=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．49的近似数的过程：∵面积为107，且1011<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）∵图中22816S x x =++正方形∴2281674x x ++=，当2x 较小时，省略2x ，得16得到0.625x ≈，即748.6≈（3）如图，设m a x =+，正方形的面积为：22a ax ++当2x 较小时，省略2x ，得a例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．【答案】32【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据运算程序进行计算即可．【解析】解：根据步骤，输入64，先有3644=，是有理数，42=是有理数，返回到第一步，取2的立方根是32，是无理数，最后输出32故答案为：32．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；y>，则x的最小整数值是_______.(3)若输出的2【答案】(1)6(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；x，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．（3）先得出输入的>4例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 1.51=；1=；③只有3个正整数a满足15.215.3<．其中正确的是．（填写序号）<< 1.510a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，1=，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．故答案为：255．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）C DA B．157a的取值范围是.a≥【答案】2【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案．58．已知n n 的最小值为．【答案】13【分析】根据当51n +是最小的完全平方数时，n 最小，从而得出答案．【解析】解：∵27=49，28=64，∴51=64n +，∴13n =．故答案为：13．【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．59．已知x 、y 为实数，且4y =，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4例题60=61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）例题65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D。
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八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。
如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。
如3＜10＜4 方法二：作差法。
如a ＞b 则a-b ＞0.方法三：乘方法.如比较3362与的大小。
例：比较下列两数的大小（1）2123-10与 （2）5325与 【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。
（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b - （3）比较大小(填“>”或“<”).-， 76______67， 215- 21， （4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )A. 32<-<-B. 32-<<-C. 23-<<-D. 32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。
【二次根式】定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。
若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （4）32-- 二次根式的性质：性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：)0,0.( b a baba ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：（1）1512⨯ （2）)0(2724≥b b a （3）x942.计算：32278115.041--+ 323811613125.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-3.已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++ ②6111212113121122=+-+=++ ③12111313114131122=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411++的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。
课后练习一、重点考查题型：1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数3.数－3．14与－Л的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是6.在实数中Л,－25 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数 8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。
9．下列说法正确是（）（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a（2） bc和ad二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－227,0，－9 ,－3－18, －Л2,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1<x<2，则|x－3|+(1-x)2 = 。
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31 3互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－ 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求|a+b|2m 2+1+4m-3cd= 。
*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 。
三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）A 、无尽小数都是无理数B 、无理数都是无尽小数C 、带拫号的数都是无理数D 、不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）A 、整数B 、有理数C 、无理数D 、实数 2． 零是（ ）A 、最小的有理数B 、绝对值最小的实数C 、最小的自然数D 、最小的整数 4.如果a 是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是1a ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个*5．比较下列各组数的大小： (1) 323时, 1a1b6．若a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,则2a+3ba 的值是*7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c|（1） 判定a+b,a+c,c-b 的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为 9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12．把下列语句译成式子：（1）a 是负数 ；（2）a 、b 两数异号 ；（3）a 、b 互为相反数 ； （4）a 、b 互为倒数 ；(5)x 与y 的平方和是非负数 ； （6）c 、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a 、b 两数均不为0 。
*13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。
四．独立训练：1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。
A 表示的数是－12 ，且AB ＝13，则点B 表示的数是 。
3 －33 ,л,(1－ 2 )º,－227,0．1313…,2cos60º, －3－1 ,1．101001000…(两1之间依次多一个0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。
4. 若a 的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是6．实数可分为（ ） A 、正数和零 B 、有理数和无理数 C 、负数和零 D 、正数和负数 *7．若2a 与1－a 互为相反数，则a 等于a= 8．当a 为实数时，a 2 =－a 在数轴上对应的点在（ ）A 、原点右侧B 、原点左侧C 、原点或原点的右侧D 、原点或原点左侧 *9．代数式ａ｜ａ｜ ＋ｂ｜ｂ｜ ＋ａｂ｜ａｂ｜ 的所有可能的值有 个。
10．已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较a －b 与a+b 的大小 （2）化简|b －a|+|a+b|有德教育11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。
求它的周长。
＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）211 / 11。