复数与复数运算
复数及复数运算
复变函数（§1.1）§1.1复数运算(一)复数的基本概念一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数i y的和，z = x + i y， (1.1.1) 这称为复数的代数式，x和y分别为该复数的实部和虚部，并分别记作Re z和Im z。
如果将x和y当作平面上点的坐标(图1−1)，复数z就跟平面上的点一一对应起来。
这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
如果将x和y当作矢量的直角坐标分量(图1−1)，复数z还可以用复数平面上的矢量来表示。
改用极坐标ρ和φ (图1−1)代替直角坐标x和y，两者之间的关系如下{ρ=√x2+y2，φ=arctan(yx )；{x=ρcos φ ，y=ρsin φ 。
(1 .1 .2 )则复数z可表为三角式或指数式，即z = ρ ( cos φ + i sin φ ) ，(1 .1 .3 )或z =ρe iφ(1 .1 .4 )ρ称为该复数的模，记作|z|。
φ称为该复数的幅角，记作Arg z 。
一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍。
通常约定，以arg z表示其中满足条件0 ≤ Arg z <2π的一个特定值，并称arg z为Arg z的主值，或z的主幅角。
于是有φ = Arg z = arg z + 2kπ(k = 0，±1，±2 … ) 。
复数“零”(即实部x及虚部y都等于零的复数)的辐角没有明确意义。
一个复数z的共扼复数 z∗，指的是对应的点对实轴的反映，即z∗= x –i y = ρ (cos φ –i sin φ) = ρe−iφ(1 .1 .5 )(二)无限远点前面我们将模为有限值的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点。
关于无限远点，可作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面相切于原点，如(图1−2) 所示。
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
(完整版)复数及其运算教学设计
(完整版)复数及其运算教学设计引言本教学设计的目的是帮助学生理解和掌握复数的概念及其运算方法。
复数是数学中一个重要的概念，对于理解和应用数学在科学和工程中起着关键的作用。
目标本教学设计的目标是使学生能够：1. 理解复数的定义及其在数学中的重要性。
2. 掌握复数的运算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
3. 应用复数的运算方法解决实际问题。
教学内容和方法1. 复数的定义和表示方法（10分钟）- 介绍复数的定义：复数由实数部分和虚数部分组成。
- 解释复数的表示方法：复数可以用a+bi的形式表示，其中a 为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
2. 复数的加法和减法运算（20分钟）- 详细解释复数的加法和减法规则。
- 给出实例，让学生通过实际计算加深理解。
3. 复数的乘法和除法运算（20分钟）- 讲解复数的乘法和除法规则。
- 提供示例演示如何进行复数的乘法和除法运算。
4. 实际问题解决（20分钟）- 使用实际生活或科学问题来应用复数的运算方法。
- 引导学生逐步解决问题，帮助他们理解复数的实际应用价值。
5. 总结和讨论（10分钟）- 对本课程的教学内容进行总结，强调复数的重要性和运算方法。
- 回答学生提出的问题，并开展讨论。
教学资源- 教课投影仪或白板和彩色笔。
- 预先准备的教案和题。
评估方法- 练题：在课后布置一些练题，用于检验学生对于复数概念和运算方法的理解。
- 实际问题解决：观察学生在实际问题解决中的能力和应用复数知识的情况。
结论通过本教学设计，学生将能够全面理解复数的概念及其运算方法，并且能够应用复数解决实际问题。
这将对于学生后续学习数学及其应用领域具有重要的帮助。
复数的运算与复数方程的解集求解
复数的运算与复数方程的解集求解复数的运算是指对复数进行四则运算（加法、减法、乘法、除法）。
复数是由实部和虚部组成的，通常用符号"a+bi"来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在复数的运算中，实部和虚部分别进行相应的运算，最后将两个结果相加或相减得到最终结果。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要将实部和虚部分别进行相加或相减。
例如，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的加法运算，可以按照下列方式进行：z1 + z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i。
类似地，复数的减法运算可以通过将第二个复数的实部和虚部取相反数，然后与第一个复数进行加法运算来实现。
具体而言，对于z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的减法运算，可以按照如下方式进行：z1 - z2 = (a1-a2) + (b1-b2)i。
二、复数的乘法复数的乘法涉及到实部和虚部的乘法运算，其中虚部的乘法需要注意虚数单位i的平方等于-1。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的乘法运算，可以按照下面的公式进行计算：z1 × z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法复数的除法需要将除数分子乘以除数的共轭，并按照实部和虚部进行分数的除法运算。
具体而言，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的除法运算，可以按照下面的公式进行计算：z1 ÷ z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 +b2^2)]i。
四、复数方程的解集求解复数方程是指含有复数的方程。
对于一次复数方程a+bi=0，其中a和b分别是实部和虚部，可以得到方程的解为：a=-bi。
通过这个公式，可以求解出该复数方程的解集。
对于二次复数方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c都是复数，可以使用求根公式来解方程。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
复数与复数的运算
复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。
一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。
因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。
2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。
解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。
因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。
二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。
同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。
因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。
三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。
除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。
例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。
复数与复数运算的详细解读
复数与复数运算的详细解读复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数两部分。
复数的表示形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i是虚数单位。
复数运算是对复数进行加减乘除等数学运算的过程。
本文将详细解读复数及其运算规则。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，它的表示形式为a+bi。
其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都是实数。
二、复数的加法与减法复数的加法是将实部和虚部分别相加。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
减法的运算规则与加法类似。
三、复数的乘法复数的乘法是按照分配律进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
其中，ac-bd是新的实部，ad+bc是新的虚部。
四、复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即将除数的虚部乘以-1，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。
五、复数的共轭复数的共轭是将虚部的符号取反，即a+bi的共轭是a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
六、复数的模与幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
模的计算公式为|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反三角函数计算。
幅角的计算公式为θ=arctan(b/a)。
七、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即a+bi=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为幅角，e为自然对数的底。
指数形式可以方便地进行复数的乘除运算。
八、复数运算的性质复数运算满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的复数a、b和c，有：- 加法满足交换律和结合律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；- 乘法满足交换律和结合律：ab=ba，(ab)c=a(bc)；- 加法对乘法满足分配律：a(b+c)=ab+ac。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
谢 谢 观 看！
数学物理方法
绪论
教学目的
• 数学物理方法是高等师范院校本科教育
的一门重要基础课，它使学生获得复变 函数，傅里叶变换，三种偏微分方程的 建立与求解及球函数、柱函数等方面的 基础知识。是学习物理专业四门基础理 论课的基础与数学工具。课程目的重点 在于培养学生运用数学方法分析、解决 物理问题的能力。
课程内容
数学物理方程（七、八、九、十、十一
• 考试方式：闭卷 • 考核方式：平时10％，期末90％ • 即平时成绩满分10分，每缺席1次扣2分，6
次以上取消本门课程考试资格。
1.1 复数与复数运算
• 重点：复数与复平面上的点的对应关系，复数
的直角坐标表示，极坐标表示 • 难点：复数的指数式与代数式之间的转换，无 限远点的概念 • 掌握：复数的三种表示方式，复数的运算法则 • 1. 复数的概念
(5)复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = 2 +i 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
i
] , k 0,1
2 2 k 0, e cos i sin i 4 4 2 2 5 i 5 5 2 2 4 k 1, e cos i sin i 4 4 2 2
4
（8）区别：|z|2与z 2 |z|2 2 z z* , z 2 z z
1 i ( e 2
1
2)
(6)复数的n次幂： zn (x＋iy )n = n (cos i sin )n zn ( ei )n n ein n (cos n i sin n ) (cos i sin ) n (cos n i sin n )棣莫弗公式
1 又( cos i sin )5 C50 cos5 C5 cos 4 i sin C52 cos3 (i sin ) 2 3 5 C5 cos 2 (i sin )3 C54 cos (i sin ) 4 C5 (i sin )5
2
3
x 实轴
复数可用复平面上的一个 点来表示，z（x,y）
-3i
复数z——有向线段，矢量 y 虚轴 Z (x , y ) y
复数的模，|z| －复数的幅角，Argz Argz＝arg z＋2k 约定： 0 arg z<2 ，主幅角
三角式 指数式
0
x
x 实轴
ei cos i sin
z2
z1
z1＋z2
z2
z1
-z2
z1 -z2
(4)复数的积： z1z2 (x1＋iy1 )(x2＋iy2 )=(x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1z2 1 (cos 1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 ) 1 2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 1 2 ei (1 2 )
cos5 10 cos3 sin 2 5cos sin 4 i (5cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5 ) 比较可得： cos 5＝cos5 10 cos3 sin 2 5cos sin 4 sin 5＝5cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5
课程内容
• 第二篇
章）
• 内容简要：本篇是全书的中心内容，主要研究三类数学物
理方程的推导和定解问题的写法，重点介绍求解数学物理 问题最基本的方法---分离变数法，重点研究分离变数法求 解各类齐次及非齐次方程，介绍二阶常微分方程的级数解 法，介绍勒让德多项式和贝塞尔函数这两类特殊函数的导 出、性质和应用。 • 教学要求：熟练掌握几类物理问题的数学方程的推导，掌 握分离变数法求解以上几类数学物理方程，能利用两类特 殊函数求解某些物理问题。
x cos y sin
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
y 虚轴
y
0
Z (x , y )
请写出下面复数的另外 两种表示方式
(1) (4)
(1)
x
x 实轴
(7)复数的n次根式：
n
z ( e ) e (cos
n n n
1 i n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i sin ) n n
n
e n n e
i ?
i
i
2 k
n
n e ne
i
i
2 k n
, k 0,1,....n 1共n个根
i [e
1 i ( 2 k ) 2 2
• 第一篇
复变函数论 （包括一、二、三、 四、五、六章）
• 内容简要：主要讲授复变函数的基本概念和理论及
其一些应用，重点研究解析函数的独特性质、留数 定理及其应用；介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换的 概念及性质及拉普拉斯变换的应用。 • 教学要求：在掌握复变函数、解析函数、罗朗级数、 留数定理等概念的基础上，能运用相关概念和定理 进行有关求解解析函数的运算，能在指定区域将某 个复变函数展为泰勒级数或罗朗级数，能运用留数 定理求解某些类型的积分，能运用拉普拉斯变换求 解积分、微分方程。
• 实数
-4 -3 -2 -1 0 1 2
一对有序的实数（x，y）定义为复数
2.5
3
4 x
z=2＋2i
虚单位
• 复数：z = x + i y
实部:x=Re z
i
1
y 虚轴
3i 2i i
i 2 1
虚部:y=Im z
(2,2)
x 是实数，y 也是实数 iy 是纯虚数
-3
-2
-1
0
1 -i
-2i
i (2) 1
ei
(3)
1 i
z*
i 代数式
i
指数式 e 2，三角式 cos
2
i sin
2
2.复数零（z=0）与无限远点
复数零：模为0，幅角无意义
x y0
y 虚轴
y
x
Z (x , y )
0 复平面上的点，模都是有限的，模为无限大的复数对应于 那一点呢？
x 实轴
N
复平面A
小结：|对复数的研究可归结为对一对实数(x,y)的研究 复变数z x iy 复常数z0 x0 iy0 可归结为：x x0 , y y0 则，关于实变数的极限的定理、判据完全适用于复变数。
计算下列复数: ii ,cos 5
解： ( cos i sin )5 cos 5 i sin 5
复数球A’
测地投影
A’
S
A
无限远点
N极
模为无限大，幅角无定义，看作一点
3.复数的运算
(1)复数相等：z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , z1 z2 x1 x2 , 且 y1 ＝ y2
(2)复数的和：z1＋z2 （x1 x2）＋ （ i y1＋y2） (3)复数的差：z1－z2 （x1－x2）＋ （ i y1－y2）
极坐标表示：z= cos i sin ei (欧拉公式)
x2 y 2 y arctan x
z* 共轭复数
z* x iy cos i sin [cos( ) i sin( )] ei