复数的基本知识
复数基础知识
一、虚数的由来利用二次方程式解的公式，√b2−4ac<0时，出现负数，这是发现虚数单位的根源二、虚数的定义虚数用英文名表述为imaginary number,故取其英文名首字母i命名，i称为虚数单位（imaginary unit）并定义i=√−1i2=−1三、复数的定义对于a+bi的形式表示称为复数（complex number）若a不等于0，b等于0，则复数不存在，只有实数a;若a等于0，b不等于0，则复数则为纯虚数;若a不等于0，b等于0，则a+bi为一般复数四、共轭复数a+bi与a-bi 称为共轭复数五、复数的运算1、复数的加减z1=a+biz2=c+diz1+z2=(a+c)+(b+d)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i2、复数的乘法z1∗z2=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i3、复数的除法z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac−adi+bci−bdi2c2−d2i2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i#利用共轭复数的算法4、复数的幂z12=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi六、复数的极坐标表示对于复数a+bi，|z|=√a2+b2,称为复数z的绝对值;令|z|=r，∠zox=θ，则复数可转换为z=a+bi=r(ar +bri)的形式，根据三角函数定义ar=cosθ,br=sinθ,则复数的表示方式可以转换为：z=r(cosθ+isinθ)#称为复数的极坐标七、复数的指数形式表示八、德.莫依尔定理使用极坐标可以简单方便的计算复数的积的运算。
z1∗z2=(cosθ1+isinθ1)∗(cosθ2+isinθ2)=cosθ1∗cosθ2−sinθ1sinθ2+(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)i 根据三角函数的加法定理z1∗z2=cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2)i对于n个复数相乘，同样有类似的规律：z1∗z2∗z3∗…∗z n=cos(θ1+θ2+⋯+θn)+isin(θ1+θ2+⋯+θn）当θ1=θ2=⋯=θn=θ时，z n=cosnθ+isinnθ（n为正整数、负整数以及0都成立），该公式称为德.莫依尔定理当n为复数时，则有e n=e x+iy=e x(cosy+isiny)。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
复数计算知识点总结
复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。
复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。
例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。
例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。
例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。
例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。
例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。
例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。
五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。
例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。
复数的知识点公式总结
复数的知识点公式总结一、复数的基本概念1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部与虚部：复数z=a+bi中，a称为实部，b称为虚部，通常用Re(z)和Im(z)表示。
3. 纯虚数：实部为0的复数，称为纯虚数，如bi，则bi为纯虚数。
4. 共轭复数：设z=a+bi是一个复数，如果将z的虚部b改变符号，得到一个新的复数z’=a-bi，称z’是z的共轭复数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：z=a+bi，即由实部a和虚部b构成的复数形式。
2. 幅角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为复数的模，θ为复数的辐角。
3. 按模辐角表示：z=r·exp(iθ)。
4. 柯西-黎曼公式：当z=x+yi时，可表示为z=r(exp[i(θ+2kπ)]), k=0,±1,±2,...。
三、复数的运算规则1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a+c)-(b+d)i。
3. 乘法：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
5. 复数的乘方：(a+bi)²=a²-b²+2abi。
6. 复数的幂运算：zⁿ=(r·exp(iθ))ⁿ=rⁿ·exp(iθn)。
7. 复数的共轭：z=a+bi的共轭为z*=a-bi。
8. 复数的倒数：z=a+bi的倒数为1/z=1/(a+bi)。
四、复数的性质1. 除法：任一非零复数z=a+bi，存在有唯一的复数1/z=1/(a+bi)，满足z(1/z)=1。
2. 复数的模：|z|=√(a²+b²)，其中|z|为z的模。
完整版)复数知识点总结
完整版)复数知识点总结复数一、复数的概念1.虚数单位i虚数单位i的平方等于1，即i²= 1.实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律。
i的乘方：i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=1，i⁴ⁿ⁺³=i，n∈N*，它们不超出bi的形式。
2.复数的定义形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部。
3.复数相等a+bi=c+di，即a=c且b=d，那么这两个复数相等。
4.共轭复数当z=a+bi时，z的共轭复数为z=a bi。
性质：z=z；z₁±z₂=z₁±z₂；z₁×z₂=z₁×z₂；(z₂≠0)二、复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴。
2.复数的坐标表示点Z(a,b)表示复数z=a+bi。
3.复数的向量表示向量OZ表示复数z。
4.复数的模在复平面内，复数z=a+bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作|z|。
由定义知，|z|=√(a²+b²)。
三、复数的运算1.加法a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁+z₂对应的向量为OZ₁+OZ₂=(a+c,b+d)。
因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释。
2.减法a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁z₂对应的向量为OZ₁OZ₂=Z₂Z₁=(a c,b d)。
z₁z₂=(a c)+(b d)i=(a c)²+(b d)²表示Z₁、Z₂两点之间的距离，也等于向量Z₁Z₂的模。
复数有关知识点总结
复数有关知识点总结一、复数的基本概念复数是指表示多个人、事物或概念的一种形式。
在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es后缀来表示的。
复数形式不仅用于表示数量上的复数，还可以用于表示概念上的复数，比如表示一类人或物体的情况。
二、复数的形成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词的末尾加上-s后缀。
比如：cat—cats，dog—dogs，book—books等。
2. 当单数名词以s, sh, ch, x, o结尾时，复数形式一般是在单数名词的末尾加上-es后缀。
比如：bus—buses，brush—brushes，box—boxes，tomato—tomatoes等。
3. 当单数名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y改为i，并加上-es后缀。
比如：city—cities，party—parties等。
4. 以f或fe结尾的单数名词变复数时，通常将f或fe改为v，再加上-es后缀。
比如：leaf—leaves，knife—knives等。
5. 以o结尾的单数名词变复数时，有些名词只需加上-s后缀，比如：photo—photos，radio—radios等；有些名词加上-es后缀，比如：potato—potatoes，tomato—tomatoes 等。
6. 有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。
比如：child—children，man—men，woman—women等。
以上是复数形式的一般规则，但是也有例外情况。
需要通过大量的阅读和实际练习来熟练掌握各种名词的复数形式。
三、不可数名词和复数的用法不可数名词是指不能用复数形式表示的名词，它表示不可分割的整体，或者是一种抽象的概念。
英语中有很多不可数名词，比如：water, air, milk, advice, information等。
这些名词在表示数量上并不具有复数形式，而是用单数形式来表示。
但是有些名词在特定情况下可以表示一定数量的概念，这时候可以用复数形式来表示。
总结复数的知识点
总结复数的知识点一、一般规则1. 单数名词加-s一般情况下，名词的复数形式是在词尾加上-s。
比如：- cat → cats- dog → dogs- book → books- pen → pens2. 以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词加-es对于以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词，其复数形式需要在词尾加上-es。
比如：- bus → buses- dish → dishes- watch → watches- box → boxes- quiz → quizzes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i再加-es对于以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式需要先将y变为i，再在词尾加上-es。
比如：- baby → babies- party → parties- city → cities- penny → pennies4. 以-o结尾的名词，加-es或加-s对于以-o结尾的名词，其复数形式有两种情况，一种是在词尾加上-es，另一种是直接加上-s。
需要根据具体情况来决定。
比如：- potato → potatoes- tomato → tomatoes- radio → radios5. 以-f或-fe结尾的名词，变-f或-fe为-v再加-es对于以-f或-fe结尾的名词，其复数形式需要将-f或-fe变为-v，然后在词尾加上-es。
比如：- leaf → leaves- knife → knives- half → halves- wolf → wolves6. 不规则变化有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。
比如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet以上是一般规则下的名词复数形式变化。
但在实际应用中，还有很多特殊情况需要注意，下面将重点针对这些特殊情况做详细的总结。
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补充复数的基本知识：
1、虚数单位
由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。
引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定
（1） 它的平方等于-1，即12-=j ；
（2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。
性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j
一般地，对于任意整数n ，有：
14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34
2、复数集
定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。
通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj
a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(；
b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(；
举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数
定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==⇔+=+bj a
定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为
共轭复数。
复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -=
例：3j 2j,1++的共轭复数
注：b a bj a bj a 22))((+=-+
4、复数的几何表示（复平面）
任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。
于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。
用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。
复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。
即
复数bj a Z +=↔点)b ,a (Z
矢量（或向量）：既有大小又有方向。
矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。
如下图所示：
相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。
(1) 矢量的大小称为矢量的模；
矢量0Z 的模r 称为复数bj a Z +=的模，记作：Z 或bj a +即:
b 22Z r +=+==a bj a
(2) 矢量的方向
以实轴的正半轴为始便，矢量0Z 所在的射线为终边的角θ，称为复数bj a Z +=的辐角。
非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差π2的整数倍。
通常适合于πθπ≤<-的辐角θ称为主辐角，θ值称为辐角的主值。
规定：要用主辐角表示复数bj a Z +=的辐角。
模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。
⎪⎩
⎪⎨⎧+==b 22r b tan ααθ αθb arctan = )sin (cos θθj r bj a Z +=+= r α
θ=cos r
b
=θsin 5、复数的指数形式
欧拉公式：θθθsin cos j e j +=
例如：3sin 3cos 3π
ππ
j e j += 对于任何一个复数：
e j r j r bj a Z θθθ=+=+=)sin (cos 称为复数的指数形式 例：e j j j 33
sin 3cos 2321πππ=+=+ e j j j 35arctan 34)34
5342(3453=+=+ 7、复数的四则运算
（1）复数代数形式（bj a Z +=）的加减法
j d b c a dj c bj a )()()(±+±=+±+
复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
（2）复数代数形式的乘法
j bc ad bd ac dj c bj a )())((++-=++
按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中j 2换成-1，并且把实部、虚部分别合并。
例：j j j 51)1)(32(+-=++ j j j 617)32)(34(+=+-
（3）复数代数形式的除法
分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。
j bc ad bd ac bj a bj a bj a dj c bj a dj c b
a b a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 例：j j j 13
1135231+=++ （4）复数指数形式（e j r Z θ=）的乘除运算
令e r Z j θ111=；e r Z j θ222=
则e r r e r e r Z Z j j j )21(21221121θθθθ+==•
e r r e r e r Z Z j j j )21(2
1221121θθθθ-==
例：e j j j )34arctan 4(25)43)(1(+=++π
j j
j e e j j ===-++2)44(11πππ （5）复数极坐标形式（θ∠=r Z ）的乘除运算
设复数θ111∠=r Z ，θ222∠=r Z
)(212121θθ+∠=•r r Z Z
)(212
121θθ-∠=r r Z Z 8、方程根的求解
一元二次方程根的求解。
一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。
例：0672=++x x 11-=x ，61-=x ；
0222=++x x 41512,1j x ±-=
； 补充题：
1、计算下列各式，并作几何表示
（1）)21()22(j j +++
（2）)23()53(j j --+
j j j 43)21()22(+=+++ 1.5334arctan ==θ 5r = 在复平面上描述
j j j 3)23()53(=--+ 90 =θ 3r = 在复平面上描述
2、计算下列各式，并化成代数形式
（1）e e j j 6
1232ππ （2）e e j j 63212ππ-- j e e e j j j 6632324612+==πππ
12
12263-==---e e e j j j πππ 3、求出下列方程的解
（1）0572=++x x 22972,1±-=x
（2）0632=++x x 21532,1j
x ±-=。