一元整式方程.
整式方程和分式方程-教师版
【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）A ．343x y -=B ．24x -C ．322x x =-D ．22350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?① 23270x a x +-=； ②321240(0)x x x a b a b+-=+≠+； ③13(0)1x x x +=≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤213502m xm x ⋅+-=-； ⑥352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念．【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★【答案】（1）1a =-（2）3k =【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．例题解析【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m ≤；B ．0m <；C ．0m ≥；D ．0m >；【难度】★ 【答案】D【解析】因为42x m =-，所以412x m =-，若方程没有实数根，则0m >．【总结】考察二项偶次方程有解的情况．【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】当0m =时，方程化为14104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次方程，160m =+≥V ，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<V ， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32x kmkx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216m n ==，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12x =代入得：()141682k km n -=--，整理得：()13282m k n -=-，若k 为任意实数，则13216m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．（1）42416x x =；（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；（4）22(1)1x x x +--=．【难度】★★【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；（3）1234330322x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2220x x x +-=，解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，得：()()()222223223111231x x x x x x -+-+=-+，即()()222239230x x x x ---=，分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，解得原方程的解为：1234330322x x x x ====-，，，；（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．（1）(1)42a ax x -=-； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★【答案】（1）当2a ≠±时，12x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解； （2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解，当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【解析】解：（1）由(1)42a ax x -=-，得：()242a x a -=-，故当240a -≠时，即2a ≠±，12x a =+；当240a -=时， （1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：()()2212310a x a a --++=， 即()()()()11121a a x a a +-=++，当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解；当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论．【例9】解下列方程：（1）222(2)0x x --=；（2）(1)(2)(3)35x x x x +++=；（3）()()()()123410x x x x +++++=． 【难度】★★【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）12x x ==；（3）12x x ==【解析】解：（1）由222(2)0x x --=， 得：()()22220x x x x +---=，即()()()()21210x x x x +--+=，故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，；（2）由(1)(2)(3)35x x x x +++=，得：()()2235370x x x x +-++=，2350x x ∴+-=或2370x x ++=，当2350x x +-=，12x x =2370x x ++=，0<V ，方程无解．所以原方程的解为：12x x =； （3）由()()()()123410x x x x +++++=， 得：()()()()142310x x x x +++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()22545610x x x x +++++=， 所以()22550x x ++=， 即2550x x ++=，解得原方程的解为：12x x =． 【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．【例10】关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43nx m+=-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解； （3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论．【例11】解下列方程：（1）22b x x a a b-+=（0a b <<）； （2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★【答案】（1）x =（2）3312b a x x a b ==，．【解析】（1）因为22b x x aa b -+=，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则()()()2a b x a b b a +=+-， 因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，所以原方程的解为：x =（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以()()330ax b bx a --=， 则30ax b -=或30bx a -=，∴3ax b =或3bx a =，0ab ≠Q ，∴00a b ≠≠，，∴原方程的解为：3312b a x x a b==，．【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．【例12】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为13610，，，．【解析】（1）将原方程变形为()()2226x a x +=+，显然20x +≠，即2x ≠-．()()2262x a x +∴=+，Q a 是正整数，1a ∴≥，即()()22612x x +≥+，()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．Q 方程至少有一个整数根，∴当x 可取431012---，，，，，时，故对应的a 的值为141610319，，，，，，Q a 是正整数，a ∴的值为13610，，，．【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．【例13】已知方程：①2510x x +-=，②22123x x +=，③3711510x x +=+-，④10x=，⑤111y z x y x z +=---3=，其中分式方程有_________________． 【难度】★【答案】③、④、⑤．【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念．【例14】解下列分式方程： （1）23y y +=；（2）216244y y y -=--． 【难度】★【答案】（1）1212y y ==，；（2）2y =-． 【解析】（1）由23y y+=，得：2320y y -+=，即()()120y y --=，解得：1212y y ==，， 经检验：1212y y ==，是原方程的解， 所以原方程的解为1212y y ==，；（2）由216244y y y -=--，得：2280y y --=，即()()420y y -+=，解得：1242y y ==-，， 经检验：14y =是原方程的增根，所以原方程的解为：2y =-． 【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验． 【例15】解下列分式方程： （1）2613x x x +=+-； （2）214124x x -=--． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==； （2）1x =-． 【解析】（1）由2613x x x +=+-，得()()()2361x x x +-=+，即27120x x --=，解得：12x x =，经检验：12x x =是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）由214124x x -=-- ，得2244x x +-=-，即()()210x x -+=，解得：1221x x ==-，，经检验：2x =是原方程的增根， 所以原方程的解为：1x =-．【总结】考察分式方程解法，注意要检验根．【例16】解下列分式方程：（1）222412352x x x x x +-+=---；（2）21111333x x x x +-=--． 【难度】★★【答案】（1）12012x x ==-，；（2）无解． 【解析】（1）由222412352x x x x x +-+=---，得：()()22412312x x x x x +-+=-+-， 即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，， 经检验：12012x x ==-，是原方程的解， 所以原方程的解为12012x x ==-，；（2）由21111333x x x x +-=--，得：()()1111331x x x -=--， 即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，所以原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．【例17】解下列分式方程：（1）2223x x+=；（2）2231712x x x x -+=-．【难度】★★【答案】（1）123411x x x x =-===，，；（2）12122x x =-=，，3411x x =+=【解析】（1）由2223x x+=，得42320x x -+=，即()()(110x x x x +-=，解得：123411x x x x =-===，，，经检验：123411x x x x =-===，，是原方程的解，所以原方程的解为：123411x x x x =-==，，； （2）设21x a x =-，则1732a a +=可化为整式方程：26720a a -+=， 即()()32210a a --=， 解得：122132a a ==，，当2213x x =-时，即22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，， 当2112x x =-时，即2210x x --=，解得：3411x x =+= 经检验：12122x x =-=，，3411x x =+=所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==-【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根．【例18】解下列分式方程：（1）517311x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）51342212x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）612x y =⎧⎨=⎩．【解析】（1）设11a b x y x y ==+-，，则5731a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， 1112x y x y⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解， ∴原方程的解为3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）设11a b x y ==，，则3541222a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：16112a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1161112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，612x y =⎧∴⎨=⎩， 经检验：612x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解， 所以原方程的解为：612x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验．【例19】解方程：（1）2225413242x x x x x -+=++--； （2）221193431x x x x x ++=--+-． 【难度】★★【答案】（1）6x =； （2）无解．【解析】（1）原方程可化为：()()()()254112222x x x x x x -+=+++--， 去分母，得：28120x x -+=， 即()()260x x --=，解得：1226x x ==，，经检验：2x =是方程的增根，∴原方程的解为6x =；（2）原方程可化为：()()()12113313x x x x x -+=----，去分母，得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，经检验：1213x x ==，是方程的增根，∴原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根．【例20】若方程222312122x b bx x x x +-+=---有增根，求b 的值．【难度】★★【答案】1b =±或2b =-．【解析】222312122x b bx x x x +-+=---，去分母得()2221210x b x b -++-=，Q 方程有增根，∴（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±； （2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-± 综上所述，1b =±或2b =-．【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值．【例21】解方程：34xx x x-=【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，43x x-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >Q ，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解； 当0x <时，43x x+=，去分母，得23400x x -+=<V ，此时，∴方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论．【例22】解方程：（1）11115867x x x x +=+++++； （2）222(3)223x x x x x x -+++=+--． 【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）12403x x ==，．【解析】（1）由11115867x x x x +=+++++，得11115678x x x x -=-++++， 即()()()()115678x x x x =++++，所以()()()()5678x x x x ++=++， 去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132x =-， 经检验：132x =-是原方程的解， ∴原方程的解为132x =-； （2）由222(3)223x x x x x x -+++=+--，得()2362424223x x x x x x -++--++=+--， 即4412112223x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭，113223x x x -=-+-， 即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，解得：12403x x ==，，经检验：12403x x ==，是原方程的解，∴原方程的解为12403x x ==，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例23】解下列方程：（1）22111256890x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11111(1)(1)(9)(10)12x x x x x x ++⋅⋅⋅+=-+++；（3）222111011828138x x x x x x ++=+-+---．【难度】★★★【答案】（1）12122x x ==，，343223x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3）2181x x ==-，，3481x x =-=，． 【解析】（1）设1x a x+=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即()()256130a a --=，解得：1251326a a ==，，当52a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：12122x x ==，；当136a =时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：343223x x ==，；经检验：12122x x ==，，343223x x ==，是原方程的解， ∴原方程的解为12122x x ==，，343223x x ==，； （2）原方程变形为111111111191012x x x x x x -+-++-=-+++L ， 整理得：111111012x x -=-+，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，， 经检验12211x x ==-，是原方程的根，∴原方程的解为12211x x ==-，；（3）令228x x y +-=，原方程可化为1110915y x y y x++=+-， 解得：9y x =或5y x =-，当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，； 当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，； 经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，∴原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例24】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，当1x =时，221a +=-，解得：32a =-；当2x =时，解得：2a =-，综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根． 【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．【例25】当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-． 【解析】原方程可化为()222402x x ax x -++=-， （1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，Q 方程只有一个实数根，0∴=V ，即8280a =--=V ，72a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-；此时原方程为()224022x x x x x x x --++=--，去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-；此时原方程为()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论．【例26】解已知关于x 的方程22(1)()(27)1011x xa a x x --++=-- （1）求a 的取值范围，使得方程有实数根；（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且121231111x x x x +=--，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-且1a ≠±（2）5328a =-或1a ≠±；（3）128103a a ∴=-=，．【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1xy x =-，原方程可以化为()()2212710a y a y --++=，()()2227410a a ∴=+--≥V ，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-且1a ≠±， 综上所述：5328a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=V ，5328a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x ==--，，则12311y y +=，即2273111a a +=-， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128103a a =-=解得：，．【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．随堂检测【习题1】 在方程：①969642x x -=-，②213014000x x +-=，③3132x x +=， ④121014x x -=+中，是分式方程的有（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【难度】★ 【答案】D【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义．【习题2】 下列方程中，有实数根的是（） A ．220x x -+= B ．410x -=C ．40n x +=D ．111x x x =-- 【难度】★ 【答案】B【解析】.0A <V ，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．【总结】考察方程有无实数根的分类讨论．【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（ ）A ．51x =；B ．6x x =C ．31309x += D ．4160x +=【难度】★ 【答案】B【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数) 【总结】考察二项方程的定义．【习题4】 （1）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于__________；（2）若分式351x x +-无意义，当510322m x m x -=--时，则m =__________．【难度】★【答案】（1）2；（2）37m =．【解析】（1）由2220210x x x x ⎧--=⎨++≠⎩， 得：()()()212010x x x +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，2x ∴=； （2）若分式351x x +-无意义，10x ∴-=，即1x =；5103221m m ∴-=--， 去分母，得730m -=，解得：37m =．【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法．【习题5】 （1）用换元法解方程222212x x x x -+=-时，如设212y x x=-，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________； （2）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．【解析】（1）原方程可转化为()2212212x x x x ⋅--=-，212y x x =-Q ， ∴方程转化为分式方程为1210y y --=，去分母化为整式方程为：2210y y --=；（2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 【习题6】 解下列方程： （1）3(2)80x ++=； （2）45(52)10x -=．【难度】★★【答案】（1）4x =-；（2）12x x ==． 【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()328x +=-，解得：4x =-；（2）由45(52)10x -=，得：()4522x -=，解得：12x x ==． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个．【习题7】 解下列方程： （1）3244160x x x --+=；（2）()()426767720x x +-+-=；（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★【答案】（1）123224x x x =-==，，；（2）125233x x =-=-，；（3）12341122x x x x ====，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，即()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（2）由()()426767720x x +-+-=，得：()()226796780x x ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，所以()26790x +-=，即673x +=±，故原方程的解为：125233x x =-=-，；（3）原方程可变形为：()()()43322227777220x x x x x x x +--+++--+=，即()()()()43322227777210x x x x x x x ---+---=，所以()()32127720x x x x --+-=，()()()32122770x xx x ⎡⎤----=⎣⎦，()()()()21211710x x x x x x ⎡⎤--++--=⎣⎦，即()()()212210x x x ---=，解得原方程的解为12341122x x x x ====，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析．【习题8】 解下列方程： （1）22(a b)ax b bx a +=+≠；（2）2(3)40m y y -+=．【难度】★★【答案】（1）x a b =+；（2）1240(3)3y y m m==≠-，此时． 【解析】（1）原方程可变形为：()()()a b x a b a b -=+-， a b ≠Q ，0a b ∴-≠，()()a b a b x a b+-∴=-，x a b ∴=+；（2）原方程可变形为：()340y m y -+=⎡⎤⎣⎦，当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=；当30m -≠，即3m ≠时，12403y y m==-，，综上所述：1240(3)3y y m m ==≠-，此时【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论．【习题9】 解下列分式方程：（1）3363242x x -=-+； （2）214124y y -=--； （3）2116122312x x x x -+=--+--； （4）222222322141233636109x x x x x x x x x x -+-+-+=+--++． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==；（2）1y =-； （3）12233x x =-=，；（4）12912x x ==-，．【解析】（1）去分母，得：()()()()12233222432x x x x +--+=-， 化简，得：21224912127248x x x x +--+=-，2324280x x +-=，解得：12x x ，经检验：12x x ==是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；（3）去分母，得：()()()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=， 解得：12233x x =-=，，经检验：12233x x =-=，是原方程的解， 所以原方程的解为：12233x x =-=，；（4）原方程变形为：()()()()()()()()()()()12261311326(6)19x x x x x x x x x x x x ----+-+=+--+++，即()()21311369x x x x x x ---+=+++，去分母得：()()()()()()()()()169213931360x x x x x x x x x -+++-++--++= 所以()()()()()()()1692393360x x x x x x x -+++++-++=⎡⎤⎣⎦，即 ()()112540x x -+=，解得：12912x x ==-，经检验：12912x x ==-，是原方程的解，∴原方程的解为12912x x ==-，．【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根．【习题10】 当a 为何值时，方程2233x ax x-=---有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，Q 方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，∴当1a =时，方程有增根．【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值．【习题11】 解下列分式方程：（1）1111x a x a +=+--（a 为已知数）； （2）1121511015x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩； （3）16252736x x x x x x x x +++++=+++++． 【难度】★★★【答案】（1）121a x a x a ==-，；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）92x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()111111x a x a -+=-+--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121ax a x a ==-，是原方程组的解，∴原方程组的解为121ax a x a ==-，；（2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为()()112115110215b ab a ⎧+=⎪⎪+-⎨⎪+=⎪+-⎩，由()()21-，得：225a =--，解得：4a =，将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩经检验：22x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，∴原方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩；（3）原方程可化为111111112736x x x x -+-=-+-++++，则11112736x x x x +=+++++， 即11112367x x x x -=-++++， 去分母，得：()()()()6723x x x x ++=++， 解得：92x =-，经检验92x =-是原方程的根，所以原方程的解为：92x =-．【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验．【习题12】 若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★【答案】74m <或2m =【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，Q 原方程无实数根，则（1）()1420m =--<V ，即74m <；（2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =，综上所述：当74m <或2m =时，原方程无实数根．【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．【习题13】 已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ． 【难度】★★★ 【答案】7k =或133k =或4k = 【解析】原方程可化为：()()()23562680k k x k x --+-+=，即 ()()34520k x k x -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()350k k --≠Q ，124235x x k k ∴=-=---，， 124235k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，()()12212x x ∴+-=-．12x x Q ，都是整数，122112x x +=⎧∴⎨-=-⎩，122112x x +=-⎧⎨-=⎩，122211x x +=⎧⎨-=-⎩，122211x x +=-⎧⎨-=⎩解得：1211x x =-⎧⎨=-⎩，1233x x =-⎧⎨=⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍去），1242x x =-⎧⎨=⎩解得：7k =或133k =或4k =；经检验，7k =或133k =或4k =满足分式方程的解，综上所述：7k =或133k =或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．【作业1】用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关 于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=【难度】★ 【答案】A【解析】原方程可化为310y y-+=，去分母得230y y +-=． 【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法．【作业2】（1）若关于x 的方程(2)1a x b -=-无解，那么a ________，b __________；（2）已知关于x 的方程1302x a --=与203x ax --=的解相同，则a =____________．【难度】★【答案】（1）21a b =≠，；（2）531a =-． 【解析】（1）方程ax b =，当00a b ==，时，x 为一切实数；当00a b =≠，时，方程无解；当0a ≠时，bx a =-；（2）由方程1302x a --=，解得：61x a =+；由方程203x a x --=，解得：5ax =-：Q 方程的解相同，615a a ∴+=-，解得：531a =-．【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论．课后作业【作业3】下列说法错误的个数是（）①二项方程一定有解；②二项方程的解最多有两个；③二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】①二项方程一定有解；（错）；①二项方程的解最多有两个；（对）①二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B ． 【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念．【作业4】关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠；B ．6a ≠且3b ≠；C ．3b ≠；D ．6a =且3b ≠【难度】★ 【答案】C【解析】原方程可化为：()36b x a -=-，若方程有唯一解，则30b -≠，3b ∴≠． 【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论．【作业5】如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，试求a 、b 的值． 【难度】★★ 【答案】10332a b =-=，． 【解析】把1x =-代入方程，得：2123k a bk-+---=-，整理得()23310b k a -+=-， 230310b a ∴-==-，，解得：10332a b =-=，．【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换．【作业6】解下列方程： （1）3215200x x +=；（2）3244160x x x --+=；（3）22(321)(327)120x x x x -+--+=；（4）222()4(223)0x x x x ----=．【难度】★★【答案】（1）123403x x x ===-，； （2）123224x x x =-==，，；（3）1234151133x x x x ==-=-=，，，； （4）12341223x x x x =-==-=，，，．【解析】（1）由3215200x x +=，得：()25340x x +=，解得原方程的解为：123403x x x ===-，；（2）由3244160x x x --+=，得()()24440x x x ---=，故()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（3）由22(321)(327)120x x x x -+--+=，得()()2223263250x x x x ---+=，即()()223213250x x x x ----=，分解因式，得：()()()()1311350x x x x -++-=，解得原方程的解为：1234151133x x x x ==-=-=，，，；（4）由222()4(223)0x x x x ----=，得：()()2228120x x x x ---+=，即()()22260x x x x ----=，分解因式，得：()()()()12230x x x x +-+-=， 解得原方程的解为：12341223x x x x =-==-=，，，． 【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法．【作业7】解下列方程：（1）222()0abx a b x ab -++=（0a ≠，0b ≠）； （2）2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-． 【难度】★★【答案】（1）12b ax x a b==，；（2）当0a =时，0x =；当1a =时，2x =； 当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【解析】（1）原方程可分解为：()()0ax b bx a --=，即ax b =或bx a =， 00a b ≠≠Q ，，∴可得原方程的解为：12b ax x a b==，； （2）原方程可整理为：()()()2222210a a x a x a a ---++=， 当20a a -=时，当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当20a a -≠时，即0a ≠且1a ≠时，()()110ax a a x a -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得：1211a ax x a a +==-，， 综上所述：当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论．【作业8】解下列方程： （1）651(1)x x x x +=++；（2）225242414015x x x x x x-+++=+-；（3）221245422x x x x +++=++；（4）22171()102x x x x +--+=．【难度】★★【答案】（1）1x =； （2）1212x x ==，，3434x x =-=-，；（3）1x =-；（4）12122x x =-=，，3411x x =+=-【解析】（1）对原方程去分母得：65x x =+，解得：1x =， 经检验1x =是原方程的解，∴原方程的解为：1x =；（2）设251x xy x -=+，原方程可化为24140y y ++=， 214240y y ∴++=，()()2120y y ++=，解得：12212y y =-=-，．当2y =-时，2521x xx -=-+，2320x x -+=，解得：1212x x ==，当12y =-时，25121x xx -=-+，27120x x ++=，解得：3434x x =-=-，经检验1212x x ==，，3434x x =-=-，均是原方程的解， 所以原方程的解为：1212x x ==，，3434x x =-=-，； （3）原方程可化为()2212223022x x x x +++-=++，设222x x a ++=，则可化为1230a a+-=，转化整式方程得：22310a a -+=， ()()2110a a ∴--=，解得：12112a a ==，．当12a =时，21222x x ++=，22430x x ++=，0<V ，方程无解；当1a =时，2221x x ++=，2210x x ++=，121x x ∴==-； 经检验1x =-是原方程的解，所以原方程的解为：1x =-； （4）原方程可化简为：21712102x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x t x -=，则27302t t -+=，化成整式方程得：22760t t -+=，即()()2320t t --=，解得：12322t t ==，，当32t =时，132x x -=，22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，；当2t =时，12x x-=，2210x x --=，解得：3411x x ==经检验12122x x =-=，，3411x x ==所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验．【作业9】解下列方程：（1）11118475x x x x +=+----； （2）222212219116x x x x x x x +++++=+++． 【难度】★★★【答案】（1）6x =；（2）12x x ==，31x =． 【解析】（1）原方程可变形为：11118754x x x x -=-----，即()()()()118754x x x x =----， 所以()()()()8754x x x x --=--， 去括号，得：221556920x x x x -+=-+， 解得：6x =．经检验6x =是原方程的解，所以原方程的解为6x =；（2）原方程可变形为：222211231132x x x x x x ++++=++++，设2211x x y x ++=+，则原方程变为12332y y +=+，解得：122332y y ==，．当221213x x x ++=+时，化简得：2310x x ++=，解得：12x x ==； 当221312x x x ++=+时，化简得：2210x x -+=，解得：31x =，经检验12x x =，31x =是原方程的解，所以原方程的解为：12x x ==，31x =． 【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验．【作业10】若方程x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】0k =或12k =． 【解析】原方程可以化为()22310kx k x +--=①，（1）当0k =时，原方程有一个解，12x =； （2）当0k ≠时，()225410k k =+->V ，则方程①恒有两个不相等的实数根，又Q 原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即0x =或1x =，当0x =时，不是方程①的解，1x ∴=，代入方程①得12k =；把12k =代入原方程，得2x =-．综上所述：0k =或12k =【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论．【作业11】已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】原方程可整理得()()22221210x a x a a x a +-++-=⎡⎤⎣⎦+，进一步整理得：()()222220x ax a ax x a +-+=+，()20x a x a x a ⎡⎤∴+-=⎢⎥+⎣⎦，()0x a x a x a ∴+-=+， 去分母整理，得：()223210ax a x a +-+=；当0a =时，解得：0x =，此时0x a +=，原方程无意义；当0a ≠时，若方程有实数根，则()2242140a a =--≥V ，解得：1122a -≤≤，其方程的根为：x =，又0x a +≠Q ，即x a =≠-，解得：0a ≠，综上所述，当原方程有实数根时，a的取值范围为：1122a-≤≤且0a≠．【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结．。
数学词汇中英文对照（初中部分）方程与代数
数学词汇中英文对照（初中部分）方程与代数数学词汇中英文对照（初中部分）二、方程与代数代数（学）：algebra字母表示数：Use letters to indicate numbers代数式：algebraic expression单项式：monomial系数：coefficient次数：degree多项式：polynomial二项式：binomial三项式：trinomial二次三项式：second degree trinomial项：term常数项：constant term整式：integral expression升幂：in ascending order of the power降幂：in descending order of the power同类项：like terms合并：combine等式：equality, equation等号：sign of equality二次方：(x)squared三次方：(x)cubedn次方：(x)to the power of n/to the n-th power乘法公式：multiplication formula平方差：difference of squares平方差公式：formula for the difference of squares 完全平方：perfect square完全平方公式：formula for the perfect square分解因式：factorizing公因式：common factor提公因式法：method of extracting common factors 十字相乘法：method of cross multiplication分组分解法：method of regrouping长除法：long division分离系数法：method of detached coefficients分式：algebraic fraction无意义：illegal有意义：legal有理式：rational expression约分：reduction of a fraction最简分式：simplest fraction通分：turn fractions to a common denominator最简公分母：simplest common denominator根式：radical根指数：radical exponent被开方数：radicand二次根式：quadratic surd最简二次根式：simplest quadratic surd同类二次根式：similar quadratic surds分母有理化：rationalize a denominator有理化因式：rationalizing factor根：root增根：extraneous root已知数：given number未知数：unknown number方程：equation列方程：form an equation等量关系：equality检验：check根：root解方程：solving equation解法、解：solution一元一次方程：linear equation in one variable方程的解：solution of equation移项：transposition of terms去括号：remove brackes去分母：remove denominator化简：simplify不成立：false不等式：inequality一元一次不等式：linear inequality in one unknown一元一次不等式组：system of linear inequalities in one variable不等号：non-equal sign含绝对值的不等式：inequality with absolute value大于：greater than小于：less than大于等于：greater than or equal to小于等于：less than or equal to不等式性质：property of inequality解集：solution set解不等式：solve inequality公共部分：common part无解：no solution二元一次方程：linear equation in two unknowns二元一次方程组：system of linear equations in two unknowns 代入（消元）法：elimination by substitution加减（消元）法：elimination by addition and subtraction三元一次方程：linear equation in three unknowns三元一次方程组：system of linear equations in three unknowns一元二次方程：quadratic equation in one unknown一般式：general form二次项：quadratic term一次项：linear term常数项：constant term开平方法：radication因式分解法：factorization配方法：complete a perfect squae求根公式法： formula method一元二次方程根的判别式：discriminant of quadratic equation in one variable整式方程：integral equation一元整式方程：linear integral eqution一元高次方程：linear high-order equation二项方程：binomial equation双二次方程：biquadratic equation分式方程：fractional equation无理方程：irrational equation二元二次方程：quadratic equation in two variables一元二次不等式：quadratic inequality in one variable。
初二数学一元一次方程知识点
初二数学一元一次方程知识点一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式，接下来让我们来学习一元一次方程的知识点吧。
一元一次方程通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。
即一元一次方程必须同时满足4个条件：⑴它是等式;⑵分母中不含有未知数;⑶未知数最高次项为1;⑷含未知数的项的系数不为0。
起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。
在这本著作中，已经会列一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。
编辑本段详细内容合并同类项⒈依据：乘法分配律⒉把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项⒊合并时次数不变，只是系数相加减。
移项⒈依据：等式的性质一⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。
⒊把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-}。
性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。
等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立温馨提示：继续为大家带来的是初二数学知识点之一元一次方程，希望大家能够积累运用了。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
一元一次方程的一般形式
它的一般形式为：ax+b=0（其中a≠0）。
一元一次方程一般是这种形式的：ax+b=0(a,b为常数,且a≠0）.以下简介：一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0（其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式.这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1.即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0.
例如：3x+2=0
3x=-2
x=-3/2
再比如：（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
15x+5-20=3x-2-4x-6
15x-3x+4x=-2-6-5+20
16x=7
x=7/16.
还有比如：2x=14+2
2x=16
x=16/2=8
或者1700+150x=2450
150x=2450-1700
150x=750
x=750/150=5。
数学-8年级-第4讲-整式方程与分式方程
1对3辅导教案1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念；2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法； 3．会解可化成一元二次方程的分式方程．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾下上次课的预习思考内容1．一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程． 2．一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程叫做一元n 次方程． 3．一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．4．（1）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．（2）二项方程的一般形式为0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数 （3）二项方程根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根当n 为偶数时，如果ab <0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab >0，那么方程没有实数根.5．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A ．212x x x =+B ．33x x x --=C ．100991x x x -=-D ．()7110x x+= 6．下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）．A ．231ax x a +=-B ．32x x ax -=C ．3230ax a x x ++=D ．33x a = 7．下列方程中，是二项方程的是（ ）A . 230x x +=；B .42230x x +-=；C .41x =；D . 2(1)80x x ++=.参考答案：5．C ； 6．A ； 7．C（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：用适当的方法解下列方程（1）()228x -= （2）22410x x --=（3）2699910x x --=（4）()()212115x x ---=教法说明：首先回顾下解一元二次方程的四种方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法，要求灵活应用四种方法解一元二次方程，可以让学生观察四个方程分别用什么方法解比较简单。
代数方程复习(教师版讲义)
基本内容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。
就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。
一元整式方程
一元整式方程
一元整式方程是数学中已有许久的解题方法，也是最基础的一类方程，与它相关联的知识也是坚持了数百年的普及教育的重要组成部分。
一元整式方程的定义是：一元整式方程是由一个变量和一些整式组成的一类方程。
一元整式方程的标准形式如下：ax+b=0，其中，a 和b是常数，x是一个未知量，有时也称之为自变量。
一元整式方程的解法主要有两种：一种是在解法中求出根数；另一种是在方程中求出解。
在解法中求出根数是指在一元整式方程
ax+b=0中，求出x的值，即使它是一个未知量。
而在方程中求出解，是指在一元整式方程ax+b=0中，求出a和b的值，并用它来求出x 的值。
一元整式方程的解法有多种，比如特殊情况解法、数学归纳法解法等。
殊情况解法的思想是利用一元整式方程的特定关系来求解，从而快速求得解。
而数学归纳法解法，则是利用数学归纳法来化简，最后简化为可以轻松解决的简单一元整式方程，从而得到解答。
在解决一元整式方程时，除了以上提到的方法之外，还有一些方法非常有效。
例如，开方法是一种常用的一元整式方程解法，它能够帮助学生快速求解一元整式方程。
此外，还有一种称之为分段函数法的法则，它能够帮助解决一些复杂的一元整式方程。
最后，一元整式方程的解法也可以结合现代科学技术，如计算机软件，来完成。
计算机软件可以根据我们提供的方程自动计算出一元
整式方程的解，从而极大地简化了解决一元整式方程的时间，节省了不少精力。
总之，一元整式方程是数学中重要的一部分，解决它所涉及到的方法也是多种多样的，无论使用传统方法还是现代技术，都可以得到满意的解决方案。
05教案-初二数学-整式方程及高次方程
教师姓名学生姓名 年级 上课时间 学科 数学课题名称 整式方程 待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：一元整式方程1.含义如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程.2.高次方程如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程.例如：53116102x x x -+-=，42540x x -+=等都是高次方程. 知识点二：二项方程及其解法1.概念如果一元n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数2.解法对于二项方程0(0,0,)n ax b a b n +=≠≠是正整数当n 为奇数是，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时， 若a .b 异号，则方程有两个实数根，且这两个根互为相反数.若a .b 同号，则方程没有实数根.Ⅱ知识精析一.整式方程的概念（一）典例分析.学一学例1-1判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?;1523)3(;0814)2(;0121)1(332a x x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x x x x例1-2下列方程中，是二项方程的是（ ）A .330x x +=；B .42230x x +-=；C .41x =；D . 2(1)80x x ++=.（二）限时巩固，练一练下列方程不是整式方程的是（ ）A .221122x x -= B .20.20.31x x -= C .2132x += D .222x x=+二.整式方程的解法（一）典例分析.学一学例2-1方程027324=+-x x 的实数解为 .例2-2关于x 的方程22213x x k -=-的解为____________.例2-3解关于x 的方程2(2)ax x x +=-.（二）限时巩固.练一练1.方程0)4()3(22=-•-x x 的实数解为 .2.方程01223=-+x x x 的根是 .3.方程0924=-x x 的不相等的实数根的个数是（ ）.A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4.如果关于x 的方程()1m x =－1无解，那么m 满足（ ）. A ．1m > ； B ．1m =； C ．1m ≠； D ． 任意实数.5．方程x x b -=+312的根是________________.6.解关于x 的方程：21mx =.Ⅲ课堂测评1.关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________． 2．方程4(1)160x --=的根是_________________________．3.解下列方程：（1）427100x x -+=； (2)06)1(5=+-x4.解下列关于x 的方程：;)3(2)23(x x a -=-5.挑战：解下列高次方程.规则：比如学生选择相应的星级会得到相应的分值奖励；额外奖励：比如凡是做出五星级的同学可以免做回家作业.★★★：（1）x4+3x-10=0; (2) 3x4-2x2-1=0.★★★★：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）(x2+x)2-5x2-5x=6.★★★★★：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.Ⅳ回顾总结1、理解整式方程的相关概念，并把握好与一元一次方程和一元二次方程之间的联系和区别2.体会特殊的高次方程的解法，理解整体思想和降次策略3.总结解题规律和技巧，掌握分类讨论思想.Ⅴ 课后挑战1．判断下列方程是不是二项方程：（1）08213=+x ； （2）04=+x x ； （3）95=x ； （4）13=+x x .2．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）02435=+x； （2）054123=+x ； （3）010324=-x。
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八、课堂练习
练习21.1
题2、题3
九、课堂小结
通过本堂课你有什么收获? 十、布置作业
完成练习册21.1；同步辅导21.1
21.1 一元整式方程
一、复习
1、什么是一元一次方程？一元 二次方程？ 2、解一元一次方程、一元二次 方程的基本步骤是什么？
二、问题1
解下列问题时所列出的方程属于哪一 种类型？ 含字母系数的 （1）买a（a是正整数）本同样的练习本共 一元一次方程 需12元钱，求练习本的单价；
ax 12 （a是正整数）
（2）一个正方形的面积的b(b>0)倍等于2s （平方单位），求这个正方形的边长。 bx2 2s（b 0）
含字母系数的 一元二次方程
三、讨论
（1）这两个方程中的未知数是什么？已知数 是什么？
a、12、b一元 二次方程？它们与我们以前所见过的一元一 次方程、一元二次方程有什么区别与联系？
注意：字母系数要分情况讨论 练习：书P24 第1大题
2 2
五、问题2
有一块长10分米的正方形薄铁皮，分别在 它的四个角上剪去大小一样的一个小正方 形，然后做成一个容积为48立方分米的无 盖长方体物件箱，设小正方形的边长为x 分米，试根据题意列方程；再观察这个方 程，它与一元一次、二次方程有什么相同 点和不同点？
七、判断下列关于x的方程,哪些是整式方程？ 这些整式方程分别是一元几次方程？
1 2 2 x a x 1 0 （ 1） 2
x2 1 （ 2） 2x 3
2 （ 4） 3 7 x
（ 3） 4 x 81 0
3
1 4 2 x 7x 8 0 （5）3a＋2 x 5 x （6） a
x 10 x 25x 12 0
3 2
六、概念
如果方程中只含有一个未知数且两边都是 关于未知数的整式，那么这个方程叫做一 元整式方程。 一元整式方程中含未知数的项的最高次数 是n（n是正整数），这个方程叫做一元n次 方程；其中次数n大于2的方程统称为一元 高次方程，本章简称高次方程。
方程①满足一元一次方程的定义，方程②满足一 元二次方程的定义，所以它们分别是一元一次方 程和一元二次方程。它们与我们以前所见过的一 元一次方程、一元二次方程的最大区别在于已知 数是 a、b、2s是字母。
四、解下列关于x的方程
3a 2x 23 x （ 1 ）
（2）bx 1 1 x（b 1 ）