一元整式方程

21.1 一元整式方程教学目标知识与技能：知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 过程与方法：经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.情感态度与价值观：通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.教学重点及难点重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.教学流程设计教学过程设计一、 问题引入11．思考根据下列问题列方程：（1） 买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（2） 买a （a 是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（3） 一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；（4） 一个正方形的面积的b （b ＞0）倍等于s （平方单位），求这个正方形的边长. 说明 为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了（1）、（3）两个问题，也为解含字母的一元一次方程和一元二次方程埋下伏笔.2．讨论你所列出的方程之间有什么区别和联系?二、 新课学习11、 归纳概念1在方程12=ax 和s bx =2中，x 是未知数;字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.2．讲解例题例题1 解下列关于x 的方程：(学生进行尝试性地类比解题)（1）;)3(2)23(x x a -=- （2）).1(1122-≠-=-b x bx 3、思考含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.说明 通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.三、问题引入2（1） 有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为x 分米，根据题意列方程；（2） 某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年的平均增长率为x ,根据题意列方程.说明 增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.四、 新课学习21、 归纳概念2①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程;其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.2．讲解例题例题2 判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?;1523)3(;0814)2(;0121)1(332a x x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x x x x五、 巩固练习课本练习21.1 1、2、3六、课堂小结通过本堂课你有什么收获?七、作业布置完成练习册21.1作业分层作业：金牌B 卷33页5题教学反思：有字母系数的方程学生不会判断是否是整式方程，还有看起来有三次的方程，化简以后不一定是三次方程，学生有的没有理解清楚！21.2（1）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.教学过程设计一、 情景引入1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x ； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ； (7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9) 010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？（学生口述后，教师简单小结）二、学习新课1．概念辨析（1） 一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+注 ①nax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2．例题分析试一试：（学生尝试，教师讲评）解下列简单的高次方程： （1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.例1：利用计算器解方程06835=-x （近似根保留三位小数）例2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）（1）0643=-x （2）01824=-x （3）023215=+x （4）016=+x 思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.[说明] 在讲解书上例题前让学生先自主尝试求解一些简单的二项方程，让学生自己发现问题，学会自主探究.（1）、（2）两小题其实是复习数的开方，而（3）、（4）两题可以转化为（1）、（2）的形式，体现了从特殊到一般的数学思想.三、巩固练习1．判断下列方程是不是二项方程：（1）08213=+x ； （2）04=+x x ； （3）95=x ； （4）13=+x x .2．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）02435=+x ； （2）054123=+x ； （3）010324=-x 3．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）7)2(3=+x ； （2）012)32(4=-+x .四、课堂小结1．什么是二项方程？2．解二项方程的一般步骤是什么？五、作业布置练习册：习题21.2（1）分层作业：（1）解方程043=-y（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值. （3）解二项方程：010)31(24=--x教学反思：1．二项方程是特殊的高次方程，本节课从一元高次方程的概念开始引入， 通过复习一元一次和一元二次方程的概念让学生自己体会和归纳出什么是一元高次方程和二项方程.在引入时不要急着给出概念，而是给学生一段时间去思考，这样新知和旧知的衔接就能做到水到渠成.2．本节课的设计充分利用了书本的教材，尊重教材、挖掘教材.在此基础上适当地对例题进行了一些改编，并给学生充分的思考时间，拥有发表意见的自由度，让他们体会知识的产生过程，使他们感受自主探究的快乐.3．这节课的难点是把“整体”转化为“新”元的二项方程.在讲解书上例题时，适当降低了难度，把方程04)1(3=-+x 分为两个求解过程，实际是把换元的过程完整的呈现给学生，使他们加深印象.然后模仿这题的解题过程独立求解方程010)31(24=--x .这样有效的分解了教学的难点，使知识的掌握更扎实，更自然.、21.2（2）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学用具准备学习单、多媒体设备教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x ，（2）01224=-+x x如何求解上述方程？[说明]以前的教学中已经提及过换元法，经过前题中一元二次方程的求解的铺垫，大部分学生都能独立解决以上两题，并可以自然过渡到新课的讲解.3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x ，01224=-+x x 具有共同的特点？（1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x（4）013224=-+x x （5）012134=-+x x 这类方程有什么共同的特点？二、学习新课1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.2．例题分析例4：解下列方程：（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x例5：解方程 020924=++x x分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把2x 看作一个整体直接求解.3．问题拓展（1）自主探究：不解方程，判断下列方程的根的个数：（组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）①06524=+-x x ； ②013224=--x x ；③04224=+-x x ； ④036224=++x x .分析：令2x y =①△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2>0 ∴原方程有四个实数根.②△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2<0 ∴原方程没有实数根.③△>0,y 1y 2<0, ∴原方程有两个实数根.④△<0 ∴原方程没有实数根.（2）学生归纳：你对双二次方程的根的个数有什么发现？当△≥0时，如果y 1y 2<0，那么原方程有两个实数根；如果y 1y 2>0且y 1+y 2>0，那么原方程有四个实数根；如果y 1y 2>0且y 1+y 2<0，那么原方程没有实数根.当△<0时，原方程没有实数根.[说明]因为双二次方程能转化为一元二次方程，所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就很容易联想到根的判别式△，结合x 2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况.韦达定理在这里的应用是一个难点，可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系.三、巩固练习挑战五颗星：解下列高次方程.（规则：学生选择相应的星级会得到相应的分值奖励；额外奖励：凡是做出五星级的同学可以免做回家作业.）★★★：（1）x 4+3x-10=0; (2) 3x 4-2x 2-1=0.★★★★：（1）（x 2+2x ）2-7(x 2+2x)+12=0; （2）（x 2+x ）2+（x 2＋x ）=2;（3）（6x 2-7x ）2-2（6x 2-7x ）=3;（4）(x 2+x)2-5x 2-5x=6.★★★★★：（1）(2x 2-3x+1)2+4x 2-1=6x ;（2）12x 4-56x 3+89x 2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x 4的系数与常数项相同，x 3的系数与x 的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由说明本挑战的题目由学生自主选择，并不要求每位学生都能完成.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代.2．如何判断双二次方程的根的个数？五、作业布置练习册：习题21.2（2）分层作业：解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3）x4-（a2+b2）x2＋a2b2=0;（4）（x2+8x＋12）2＋6（x2＋8x＋12）＋9=0.教学反思在例4、例5的学习之后，展开了对双二次方程的根的个数问题的探讨.这是本节课的难点，课堂上应给予学生充足的思考时间、自由的讨论和发言空间，使学生站在一个新的高度来认识所学内容，培养了学生探求、归纳、总结等认识客观世界的认知方法.21.2（3）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.过程与方法：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x 2-4x+3； ② x 4-4；③x 3-2x 2-15x ； ④ x 4-6x 2+5；⑤（x 2-x ）2-4（x 2-x ）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x 2 和x 2-x 看成y ，于是就有y 2-6y+5和y 2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.2．观察：（1）若令①x 2-4x+3；② x 4-4；③x 3-2x 2-15x ；④ x 4-6x 2+5；⑤（x 2-x ）2-4（x 2-x ）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x 4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x 3-2x 2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程 （1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程.例7 解下列方程 （1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程 x 3-2x 2-4x ＋8=0．解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x 2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0．所以 x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dc b a ，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为 bkx 3+bx 2+dkx+d 即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x 3-2x=0 ; （2）y 3-6y 2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0; （2）x 3-2x 2+x-2=04．拓展：（1）（x 2-x-6）（x 2-x ＋2）=0，（2）（x-3）（x ＋2）（x 2-x ＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置练习册：习题21.2（3）分层作业：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学反思：新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力. 在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.21.3(1)可化为一元二次方程的分式方程教学目标知识与技能：经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤，领会化归思想.过程与方法：掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法.教学重点及难点掌握分式方程的解法,对增根的理解是难点.教学过程一、情景引入问题1：某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助结对的边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担，实际捐款时又有2名青年同事参加，但总费用不变，于是每人少捐30元，问实际共有多少人参加捐款.思考分析：设共有x 人参加捐款，则共青团员有（x －2）人.等量关系是：原定人均捐款（元）-实际人均捐款（元）=30（元）30120021200=--xx 于是，可以列出方程①.这是一个分式方程 巩固分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二、学习新课1、发现新知把方程①去分母，并整理后得到08022=--x x 方程②学生观察②，知道这是一个一元二次方程了.类比以前学的可化为一元一次方程的分式方程，可以命名①为可化为一元二次方程的分式方程. 121)4(,22)3(,131)2(,312112-=-+-==+x x x x x x x x ）（程？一元二次方程的分式方式方程？哪些是可化为：下列方程中哪些是分练习 答：（1），（2），（4）是分式方程，（3）是分式，不是方程.（4）是可化为一元二次方程的分式方程.2、尝试解决在七年级的时候我们学习过可化为一元一次方程的分式方程的解法，这里我们可以回忆后，类比尝试解决可化为一元二次方程的分式方程.就以为例）上面练习中的（12142-=-x x x ， 学生活动)1)(1(21+-=-x x x x 把方程化为 两边同乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)=2 2102212-===-+x x x x 解得整理得3、深入探究学生代入原方程验根发现分母为零，没有意义了，为什么呢？学生思考讨论后得出，分式方程去分母时，乘以一个x 的代数式，扩大了x 的取值范围，也就是说变形所得的整式方程的根不一定是原分式方程的根，所以分式方程一定要检验.教师强调：在保证解方程没错误的前提下，检验可以直接代入去分母时两边同乘以的代数式，代数式的值为0的根是增根要舍去，不为0的根是原方程的根.学生完成检验，当x=1时， (x-1)(x+1)=0,所以x=1是增根舍去当x=-2时， (x-1)(x+1)≠0,所以x=-2是原方程的根所以，原方程的根是x=-24、归纳总结学生讨论:求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：5、巩固练习我们再回头看情景问题1，请同学解决. 解方程30120021200=--x x ， 得到8,1021-==x x 是否都是问题的解呢？师生共同得出，实际问题需要满足实际意义，虽然两个都是分式方程的解，但不符合题意的也要舍去.所以问题的答案是：实际参加捐款的人有10人.1442122+-=-x x ：解方程练习. 三、学生小结1、分式方程的解法与步骤.2、通过这一节课的探讨学习你有什么体会？四、作业布置1、练习册15页 习题21.3（1）分层作业：思考：书34页第3题，找出和这个题目类似的题型！教学反思在设计本章的教学时，主要想渗透数学中的化归思想，让学生与可化为一元一次方程的分式方程进行类比去尝试解决问题，在尝试中不断发现新问题，在师生活动中解决问题，形成新知识.如用解整式方程中的去分母，类比到分式方程中的去分母，并且发现不同的地方，从而理解为什么要检验.在不断的尝试中体会化归思想，并且体验到成功的喜悦，而这种经验还可以迁移到后面无理方程的学习.21.3(2)可化为一元二次方程的分式方程教学目标知识与技能：熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.过程与方法：掌握解分式方程的一般步骤.情感态度与价值观：领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.教学重点及难点重点是解分式方程的方法和步骤,解分式方程的解题的表述.难点是理解产生增根的原因. 教学过程设计一、复习引入教师：在上一堂课我们学习了可化为一元二次方程的分式方程的概念和解法，请同学们一起说说你学到的知识.师生活动：复习可化为一元二次方程的分式方程的概念，解法，步骤，注意点.二、学习新课1、例题分析我们已经熟悉了分式方程的解法和步骤，我们可以自己来尝试一下学生活动1：xx +=+-12111解方程. 师生共同解题，紧扣解分式方程的步骤.方程两边同乘以最简公分母(1-x)(1+x),去分母整理得032=-x x ,解这个整式方程得3,021==x x ;检验：当x=0时，(1-x)(1+x)=1≠0所以x=0是原方程的解;当x=3时，(1-x)(1+x)=-8≠0所以x=-8是原方程的解.所以原方程的解是3,021==x x .学生自主小结：去分母时，方程的两边每一项都要乘以最简公分母，常数项不能遗漏，如本题的“1”.教师强调：要注意检验的结论“所以x=0是原方程的解”和最后的结论“所以原方程的解是3,021==x x .”的意义上的区别.最后的结论必须要写.2、自主练习学生活动2： 2141622)2(131322122+=---+=++-+x x x x x x x x ）解方程（[说明] 放手让学生自主解决，交流心得体会，在挫折中反思问题，积累经验.学生在交流中知道当分母是二次多项式的时候，一般要先因式分解，然后再找最简公分母，如（1）中423222--+x x x ）中的和（都要先因式分解.3、深入探究 思考：的值是多少？那么有增根的分式方程已知关于k x x x x k x x x ,1111=+=-+- 学生尝试代入，但发现方程无意义.教师提示可以从增根的意义考虑，增根不是分式方程的根，但它是分式方程去分母得到的整式方程的根.所以我们可以先去分母得：x(x+1)+k(x+1)=x(x-1)，由增根的意义知道x=1是它的解，代入就可以得到k 的值是-1.三、巩固练习学生练习，教师巡视，当场反馈.3313111)2(41624)1(22-=--+-=--x x x x y y y 解下列方程：四、课堂小结 学生交流小结：1、解分式方程的方法和步骤.2、解分式方程的过程中要注意什么？五、作业布置1、书36页练习1的（1）（3）（4）练习2的（1）（2）2、练习册15页21.3（2）分层作业：金牌B 卷40页5，6教学反思本课教材上的三个例题基本上反映了用去分母法解分式方程的主要类型，有产生增根的，也有没有增根的，在这节课上，根据学生容易误会检验的结论和最后的结论，所以详细书写例题一的求解过程，作为示范，而后面的例题就放手让学生自主练习，在练习和生生交流中不断充实，增强理解.探究题是上一堂课中的一练习，本人认为放在本课较为合适，在学生能熟练解分式方程的情况下才能理解.而且能引导学生从增根的意义上考虑.21.3(3)可化为一元二次方程的分式方程教学目标知识与技能：初步体会用“换元法”解分式方程.过程与方法：了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.情感态度与价值观：在尝试解决问题的过程中体验数学的“化归”思想.教学重点及难点重点是用换元法解分式方程的方法和步骤,难点是用换元法解分式方程组.教学过程设计一、复习引入教师：我们已经能比较熟练的解分式方程了，在学习中也学会了尝试法来思考问题.通过 观察尝试失败 再尝试 成功思考：3222=+x x怎样解分式方程? 学生开始会用去分母方法解，转化为整式方程整理得02324=+-x x .这是一个一元四次方程，而且是双二次方程.在这里学生可以继续分解下去，解得4个根，或者有同学想到了双二次方程的另一解法换元法，可以设242,y x x y ==那么，则原方程可化为21222320.1,2;12;1y y y y x x x x -+======±=解得即或解得或经检验1,x x =±=都是原方程的解.2,2,1,14321-==-==x x x x 所以原方程的解为教师对学生的两种解法肯定，尤其对第二种解法把高次方程化为一元二次方程的化归思想给于赞扬.【说明】学生一般不容易想到直接用换元法解分式方程，那就不急着推出，可以在后面的问题中，当他们遇到障碍的时候，再引导他们重新观察问题，发现尝试新的方法.二、学习新课1、提出问题我们已经可以解决这类化为整式方程后是高次方程问题，那么再来尝试一下能否用同样的方法来解决下面的问题. 学生活动：2711322=-+-x x x x 解方程. 学生尝试用去分母的方法化为整式方程解决，遇到障碍，此整式方程是从而无法解决,027272234=+-+-x x x x .2、观察探究学生尝试失败后教师引导：我们的尝试失败了，是什么原因呢？我们一起来分析一下. 同样是分式方程，为什么求解分式方程3222=+x x 成功了呢？现在把两者做一个比较.同学们在求解分式方程3222=+x x时，通过去分母将分式方程恰好转化成一个特殊的高次方程，再通过换元思想或换元方法将高次方程转化为我们能解决的一元二次方程，从而得到原方程的解.而本题去分母后，分式方程转化为一个我们不会解的高次方程，说明在这里直接去分母对求解本方程于事无补！怎么办呢？我们仔细观察一下这个方程，有什么特殊之处？ 学生观察后互相交流很快可以发现是倒数的形式和x x x x 1122--. 求解分式方程3222=+x x时，运用的换元方法对求解本方程是否有用呢？请同学们尝试一下.（估计会有部分学生能够解决）师生共同完成下面的求解.271311,122=+=-=-y y y x x y x x 则原方程可化为那么解：设。