21.1一元整式方程(上教版)
21.1 一元整式方程 课件(13张ppt)
(2)若a=0, b≠0方程0x≠0此方程无解
(3)若a=0, b=0方程0x=0此方程有无数解
(2)bx2 1 1 x2
解: 移项得 bx2 x2 2
合并同类项得 (b 1)x2 2 b= - 1时 0 x2 2
∵无论x取何值, 0 x2 2 都不成立
∴ b=-1时,此方程无解 b≠-1时 (b 1)x2 2
一个整式方程的次数,一般要在这个方程化 为最简形式后才能判定!
完成课后练习
1解方程 (k 2 4)x2 (5k 2)x 6 0
解当 k2 4 0 ,即k≠±2时,是一元一次方程
(k 2)(k 2)x2 (5k 2)x 6 0
(k 2)x 3(k 2(x 2 0 ∴k≠±2时
解(2)设正方形的边长是x,根据题意可列出方程
bx2 2s(b>0)
x是未知数 在项bx2中,字母b是项的系数, b 和s是字母表示的已知数,
这个方程是含字母系数的一元二次方程.
解下列关于x的方程
(1) (3a 2)x 2(3 x)
解: 去括号得 3ax 2x 6 2x 移项得 3ax 2x 2x 6
解下列问题时所列出的方程属于哪一种类型?
(1)买a(a是正整数)本同样的练习本共需12元钱, 求练习本的单价?
解(1)设练习本的单价是x元,根据题意可列出方程
ax 12(a是正整数)
x是未知数, a是字母表示的已知数, 在项ax中,字母a是项的系数, 这个方程是含字母系数的一元一次方程.
解下列问题时所列出的方程属于哪一种类型? (2)一个正方形的面积的b(b>0)倍等于2s(平方 单位),求这个正方形的边长?
概念1:一元整式方程 如果方程中只有一个未知数,且两边都是关于x的 整式方程,那么这个方程叫做一元整式方程
2023-2024学年九年级上数学：一元二次方程(精讲教师版)
第1页（共8页）2023-2024学年九年级上数学：第21章一元二次方程
21.1
一元二次方程
1．一元二次方程的定义：
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：200ax bx c a ++=≠（）
，其中ax 2，bx ，c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a ，b ，c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2．一元二次方程的一般形式：
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠．其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3．一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．。
《21.1一元整式方程》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期
《一元整式方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《一元整式方程》第一课时的作业设计，旨在帮助学生巩固整式的基本概念和方程的基本形式，能够理解并掌握一元整式方程的组成和基本解法。
通过作业练习，加强学生对一元整式方程的认知，提高解决实际问题的能力。
二、作业内容本次作业内容主要围绕一元整式方程的基础知识和基本解法展开。
1. 整式概念复习：复习整式的定义、整式的加法与乘法等基本概念，并完成相关练习题。
2. 一元整式方程的构成：学习一元整式方程的定义和形式，理解未知数、系数和等号在一元整式方程中的作用。
3. 一元整式方程的解法：学习并掌握一元整式方程的基本解法，包括移项、合并同类项等。
4. 实际应用问题：设计实际生活中的应用问题，要求学生运用所学知识建立一元整式方程并求解。
三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，理解题目的意图和考察点。
2. 独立思考：独立完成作业，不依赖他人或参考资料。
3. 规范书写：作业书写要规范，步骤要清晰，答案要准确。
4. 及时反馈：如有疑问或错误，及时向老师或同学请教和讨论。
5. 注重质量：在保证完成速度的同时，更要注重完成质量，确保每道题目都得到正确的解答。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况，从准确性、规范性、创新性等方面进行评价。
2. 互评与自评：鼓励学生进行互评和自评，相互学习，共同进步。
3. 教师评价：教师根据学生作业情况，给出详细的评价和建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。
五、作业反馈1. 及时反馈：教师及时批改作业，给出详细的批注和评分，让学生及时了解自己的学习情况。
2. 个性化指导：针对学生在作业中出现的错误和不足，教师给出个性化的指导和建议，帮助学生改正错误，提高学习能力。
3. 总结反思：学生根据教师的反馈，总结自己的学习情况，反思自己的学习方法和思路，为今后的学习做好准备。
通过以上作业设计，旨在通过系统性的练习和反馈，帮助学生全面掌握一元整式方程的知识和技能，提高解决实际问题的能力。
21.1一元二次方程(教学课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
21.1一元整式方程
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作
业
练习册：21.1
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求这个正方形的边长. bx2=s 在ax=12中，x是未知数，a是用字母表示的已知数， 在项ax中，字母a是项的系数，我们把a叫做字母系数， 这个方程是含字母系数的一元一次方程。 在bx2=s中，x是未知数，字母S也叫做字母系数，这 个方程也是含字母系数的一元二次方程。
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本的单价;
21.1 一元整式方程.
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当b 1时，x没有实数根
思考与归纳 一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在四个角上分别剪去一个一 样的小正方形，做成容积为48立方分米的无盖长方体，设小正方形 边长为x分米，根据题意列方程；观察这个方程，它与一元一次方 程及一元二次方程有什么相同点和不同点？
2 x ( 10 2 x ) 48 列出的方程：
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小
结
1、用含字母系数的式子去乘或除方程的两边时，这个式子 的值不能等于零；在实数范围内对含字母系数的式子开平方时， 这个式子的值不能小于零。
2、如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式， 那么这个方程叫做一元整式方程。 3、如经过调整的一元整式方程中含有未知数项的最高次数是n （n是正整数），这个方程就叫做一元n次方程；次数n大于2的方 程统称为一元高次方程，简称高次方程。
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举例与归纳
1、解含字母系数的一元整式方程
(1) ax b bx a (a b)
2 2
(2) bx 2s (b 0, s 0)
2
用含字母系数的式子去乘或除方程的两边时，这个 式子的值不能等于零； 在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，这个 式子的值不能小于零。
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21.1 一元二次方程(教师版)
21第21章一元二次方程21.1 一元二次方程同步讲解·新课堂知识点1一元二次方程的概念1.一元二次方程概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
2.满足三个条件：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
3.注意：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x=x2-3 B．ax2+bx+c=0 C．111x+=D．3x2-2xy-5y2=0【答案】A【解析】解：A、由x=x2-3得到：x2-x-3=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程不是整式方程，故本选项错误；D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误；故选A．总结：一元二次方程必须满足四个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项系数不为0.知识点2 一元二次方程的一般形式1.一元二次方程一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）。
2.一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx +c =0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
例2 把一元二次方程2x （x -1）=（x -3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x【答案】C【解析】解：一元二次方程2x （x -1）=（x -3）+4， 去括号得：2x 2-2x =x -3+4，移项，合并同类项得：2x 2-3x -1=0， 其二次项系数与一次项分别是2，-3x ． 故选C ．总结：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）（1）特别要注意a ≠0的条件；（2）在一般形式中，ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项，其中a ，b ，c 分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．知识点3 一元二次方程解的含义1.方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
第二十一章21.1一元二次方程
答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
栏目索引
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问题引入1
根据下列问题列方程： （1）买3本同样的练习本共需12元钱，求练
习本的单价； 设：练习本的单价为x元 3x=12
（2）买a（a是正整数）本同样的练习本共需 12元钱，求练习本的单价；
设：练习本的单价为x元 ax=12
（3）一个正方形的面积的4倍等于16平方厘 米，求这个正方形的边长；
设：正方形的边长为x厘米 4x2=16
（4）一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于 2s（平方单位），求这个正方形的边长。
设：正方形的边长为x厘米 bx2=2s
概念1
①3x=12 一元一次方程
③4x2=16 一元二次方程
②ax=12
④bx2=2s
在②和④中，x是未知数；字母a、b是项的系 数，2s是常数项，它们都表示已知数，我们称 这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫 做字母系数。问题②、④中的方程就分别是含 字母系数的一元一次方程和一元二次方程。
③ 2x2 mx m2 0
结论
含字母系数的一元一次方程和一元二次方 程在解的过程中，由于字母的不确定性， 在使用等式性质和根的判别式时，往往需 要进行分情况进行讨论；如果字母能确定， 则不需要讨论。
问题引入2
（1）有一块边长为10分米的正方形薄铁皮， 在它的四个角上分别剪去大小一样的一个 小正方形，然后做成一个容积为48立方分 米的无盖长方体物件箱。设小正方形的边 长为x分米，根据题意列方程；
②一元整式方程中含未知数的项的最高次 数是n（n是正整数），这个方程叫做一元 n次方程；其中次数n大于2的方程统称为 一元高次方程，简称高次方程。
例题3 判断下列关于x的方程，哪些是整式 方程？这些整式方程分别是一元几次方程？
① 1 x2 a3x 1 0 2
③ 3a 2x 5x 1 a
(10 2x)2 x 48
（2）某厂2006年产值为100万元，计划到 2010Байду номын сангаас产值增长到161.051万元。设每年 的平均增长率为x%，根据题意列方程。
100(1 x)4 161.051
概念2
①如果方程中只有一个未知数且两边都 是关于未知数的整式，这个方程叫做一元 整式方程。
（2） bx2 -1 = 1 - x2(b ≠ -1)
解：bx2+x2=2
(b+1)x2=2
∵b≠-1 ∴b+1≠0
∴ x2 2 b 1
当b+1>0时，x
2(b 1) b 1
当b+1<0时，方程无解
练习
解下列关于x的方程：
① bx2 1（b是常数）
② 1 (bx)2 1 0 2
⑤ 2 x a2 2a 3 x
② 4x3 81 0
④ x 1 1 2x 3
⑥ x4 7x2 8 0
二、例题讲解：
例题1 解下列关于x的方程：
• （1） ax+x=1（a≠-1）
练习： ax+b2=bx+a2(a≠b)
1 (m x - 4)= x（m≠4） 4
（2） bx2 2s(b 0, s 0)
二、例题讲解：
例题2 解下列关于x的方程：
（2）(3a - 2)x = 2(3 - x)