一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结一、等式与方程
1．等式:
（1)定义:含有等号的式子叫做等式.
(２）性质：
①等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式的值不变．
若a b
=那么a c b c
+=+
②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式,等式的值不变.
若a b
=那么有ac bc
=或a c b c
÷=÷(0
c≠)
③对称性:若a b
=，则b a
=.
④传递性：若a b
=，b c
=则a c
=．
（３)拓展:
①等式两边取相反数，结果仍相等.
如果a b
=,那么a b
-=-
②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．
如果0
a b
=≠,那么11 a b =
③等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质.
如移项,运用了等式的性质①;去分母，运用了等式的性质②．
④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义.
２.方程：
(1)定义：含有未知数的等式叫做方程.
（2）说明：
①方程中一定有含一个或一个以上未知数,且方程是等式，两者缺一不可.
②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母,全部小写字母都可以．
未知数称为元,有几个未知数就叫几元方程.
一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样!
③“次”:方程中次的概念和整式的“次”的概念相似.
指的是含有未知数的项中,未知数次数最高的项对应的次数,也就是方程的次数.
未知数次数最高是几就叫几次方程.
④方程有整式方程和分式方程.
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程.
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
二、一元一次方程
1.一元一次方程的概念：
(1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是１（次)的整式方程叫做一元一次方程．
(２)一般形式:0
ax b
+=（a,b为常数,ｘ为未知数，且0
a≠)．
（3）注意：
①该方程为整式方程.
②该方程有且只含有一个未知数．
③该方程中未知数的最高次数是1．
④化简后未知数的系数不为０．如:212
x x
-=，它不是一元一次方程.
⑤未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次．如1
3x
x
+=,它不是一元一次方程．
２．一元一次方程的解法:
（1)方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一般写作：“?
x=”的形式．
(2）解方程：求出方程的解的过程,也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程.
（3）移项:
①定义:从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项.
②说明:
Ⅰ移项的标准:看是否跨过等号,跨过“＝”号才称为移项;移项一定改变符号，不移项的不变.
Ⅱ移项的依据:移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①.
Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解.
(4）解一元一次方程的一般步骤及根据：
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等(在草纸上）
(5)一般方法：
①去分母, 程两边同时乘各分母的最小公倍数．
②去括号，一般先去小括号,再去中括号，最后去大括号．
但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律.
③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了
要变号.(一般都是把未知数移到一起)
④合并同类项,合并的是系数,将原方程化为ax b
=（0
a≠)的形式.
⑤系数化1,两边都乘以未知数的系数的倒数．
⑥检验，用代入法，在草稿纸上算.
（6）注意：
（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握,更要观察所求方程的形式、特点,灵活变化解题步骤)
①分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数,局部变形；
②去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号(整体思想)；
③去括号时，不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
④移项时,切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项,以免丢项;
⑤系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号(打草稿认真计算）;
⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法;
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦,不要跳步，一步步仔细算．
（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同.
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为０的数,分数的值不变.
3．一元一次方程的应用：
(1)解决实际应用题的策略：
①审题:就是多读题,读懂题,读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细,一个字一个字的精读,
要慢，边读边思考.找到已知条件，未知条件,找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目
中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．
②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数,然后用未知数通过关系表示出其他
相关的量.
③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．
（2）分析问题方法：
①文字关系分析法,找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
（３）设未知量方法:
一个应用题,往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程.
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题,与其它量关系多，好表示其它量,好表示等量关系；
②有直接设未知量和间接设未知量,还有不常见的辅助设未知量.
(4）找等量关系的方法:
“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种.数学题目中常含有多种等量关系,如果
要求用方程解答时,就需找出题中的等量关系.
①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍,分,共）解题时只要找出这种关键
语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系.
②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．(比如体积
公式，单价×数量＝总价，单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工效×时间＝工作总量等．这
些常见的基本数量关系，就是等量关系)
③通过问题中不变的量,相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量,从而建立等量关
系.
④借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化．对
于较复杂的题目,同学们可借助线段图找等量关系．
(5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：
①“审”要沉着冷静，耐下心去,慢读细读多读，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相
互关系.
②“设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号.
③“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式
的单位统一，用题目中的原数;题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复
利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来．
④“解”解出方程，一定在草纸上一步步认真计算,先化简往往会简化计算.
⑤“验”检验两方面,一是解得是否正确,用代入法；二是是否符合实际情况．
⑥“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位.
（6)解应用题关键与核心：
根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系(这是关键一步）.就是抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程．核心是设出适当未知量,根据关系表示出其它量,表示出等量关系中的各个部分,从而列出方程.
(8）实际问题的常见题目类型:基本量、基本关系、等量关系:
①“和、差、倍、分类问题”:弄清和谁比,比谁多,比谁少
增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量．
②“等积变形问题”:锻造前的体积=锻造后的体积
长方体的体积＝长×宽×高, 圆柱的体积=底面积×高.
③“打折利润问题”：利润是和成本比的
利润=售价-进价, 利润率=÷
利润进价，售价＝标价×折扣.
④“行程问题”:（相遇问题和追及问题)
路程=时间×速度，时间＝÷
路程速度,速度=÷
路程时间．
（注意单位:路程——米、千米;时间——秒、分、时;速度——米／秒、米／分、千米/小时)
⑤“销售问题”总价=单价×数量，总钱数=各部分钱数和.
⑥“利率(息）问题”本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间(期数)．
⑦“工程问题”工作总量=工作时间×工作效率，工作总量＝各部分工作量的和.
⑧数字问题(包括日历中数字规律) ⑨比例分配问题⑩调配问题
注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆,切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法,要多加练习，培养分析问题解决问题的能力,熟练掌握列方程解应用题的一般方法．。