2019二模数学(理科带答案)
2019年高三第二次模拟考试理科数学含答案
2019年高三第二次模拟考试理科数学含答案本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.3.如图，是⊙O上的四个点，过点B的切线与的延长线交于点E.若，则A.B.C.D.4.设平面向量，若//，则等于A. B.C. D.5.已知是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B.C. D.6.已知数列的前项和为,,,则A. B. C. D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A ． B. C. D.8.定义运算 ，称 为将点映到点的一次变换.若＝ 把直线上的各点映到这点本身，而把直线上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值依次是 A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数对应的点的坐标为 .10.直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为 . 11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是.，则 .12.若展开式中的二项式系数和为，则等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为 ，若点在抛物线 上运动，点在直线上运动，则的最小值等于 . 14.在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为，且图象过点.俯视图侧（左）视图（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图, 是正方形， 平面， ，.(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置， 使得平面，证明你的结论.17.（本小题满分13分）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数（）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，取得极值.① 若，求函数在上的最小值；② 求证：对任意，都有.19.（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，且过点．直线 交椭圆于,（不与点重合）两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．F EDCB A20.（本小题满分13分）设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（Ⅰ）若，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列；（Ⅱ）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．房山区xx 高考第二次模拟考试参考答案数 学 （理科） xx.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. ①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为可知 ， ………………2分由得 ， 又，所以 ， ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+= …………………………………………………………………9分解得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.…………………………………………………13分16（本小题满分14分） (Ⅰ)证明： 因为平面，所以. ……………………1分 因为是正方形， 所以，所以平面, …………………3分 从而 ……………………4分 (Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分 设，可知. ……………………6分 则 ,，，，，，所以，， ………………7分设平面的法向量为，则，即，令，则. …………………8分 因为平面，所以为平面的法向量， ，所以147,cos ==>< ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. …………10分 (Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， ……………11分 即，解得. ……………13分 此时，点坐标为，，符合题意. ……………14分（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=， ． ………………………………8分随机变量的分布列为：………………………………………………9分173310122020520EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分 （Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为，则，所以． ………………12分 因为，所以选择路线1上学最好． ………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x xa a a f x x x a e x e x x a e a a=+-++=++ …………1分当时， 解得或, 解得 ……………2分所以单调增区间为和，单调减区间为………3分（Ⅱ）①当时，取得极值， 所以1'(5)(5)(512)0xa f a e a-=--++=解得（经检验符合题意） ……………4分所以函数在，递增，在递减. ……5分当时，在单调递减，12min ()(1)(3)m f x f m m m e+=+=+………………6分当时在单调递减，在单调递增，. ………………7分 当时，在单调递增，2min ()()(2)(1)m f x f m m m e==+-……………………8分综上，在上的最小值12min 2(3),51,()2,10,(2)(1),0.m mm m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩ ……………………9分②令 得（舍）因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,()2f x f x ==-……………11分所以，对任意，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-=……………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ）， ，，，． ------------------------------------------3分（Ⅱ）设 ， ，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-=① ②----------------------5分12BD x =-= --------------------8分 设为点到直线BD：的距离，--------------------10分12ABD S BD d ∆==≤分 当且仅当时等号成立∴当时，的面积最大，最大值为----------------14分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列有6个，3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列的创新数列为等比数列． 设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等比数列，设公比为，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以．……………7分 当时，为常数列满足条件，即为数列当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………8分（Ⅲ）存在数列，使它的创新数列为等差数列，设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个， 所以．若为等差数列，设公差为，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以．且当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式）， 此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；………………………………………11分当时，符合条件的数列只能是，此时数列是， 有1个；当时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 又这与矛盾，所以此时不存在.综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．……………………………………………13分 33133 816D腭"32240 7DF0 緰34642 8752 蝒,f23841 5D21 崡B37237 9175 酵I36344 8DF8 跸31070 795E 神21162 52AA 努29646 73CE 珎。
2019青岛市二模考试数学理参考答案
所以 cos A b2 c2 a2 1 ·······································································5 分
2bc
2
因为 0 A ，所以 A 2 ········································································ 6 分 3
1分
①若 a 1 ,在 R 上恒有 u(x) (x 1)2 1 a 0
所以
f
'(x)
(x 1)2 ex
1 a
0
,所以
f
(x)
在 (0, ) 上为单调递减;·····················2
分
②若 a 1 , u(x) (x 1)2 1 a 图象与 x 轴有两个不同交点,
设 u(x) (x 1)2 1 a 0 的两根分别为 x1 1 1 a , x2 1 1 a （ⅰ） 若 0 a 1, 0 x1 1, x2 1 , 所以当 0 x x1 时, u(x) 0 ;当 x1 x x2 ,时, u(x) 0 ;当 x x2 时, u(x) 0 所以,此时 f (x) 在 (0, x1) 上和 (x2, ) 上分别单调递减;在 (x1, x2 ) 上单调递增;
2
2
22
设面 NHG 的法向量 n2 (x2, y2, z2 );
因为
n2 n2
NG NH
0 0
，所以
( (
x2 x2
, ,
y2 y2
, ,
z2 z2
) )
(1,1, (3
2
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
2019合肥二模理科数学试卷 含答案
3．答案：C
解析：由题意可知 b a
=
2,∴b =
2a
，故
x2 a2
−
y2 4a2
= 1，将 P(
6
,
4)
代入，得：
6 a2
−
16 4a2
= 1 ，解
得= a2 2= , b2 8 ，所以双曲线的方程是 x2 − y2 = 1．
sin
2x
+
π 6
−1
，
选项 A，当 x =
− π 时，2x + π
12
6
=0 ， f
−
π 12
= −1 ，所以函数
g
(x)
的图象关于点
−
π 12
,
−1
对称，A
错；
选项 B，函数 g(x) 的周期=T 2=π π ，B 错； 2
选项
C，当
x
∈
0,
π 6
时， 2 x
+
π 6
∈
π 6
,
π 2
，所以函数
g
(x)
在
0,
π 6
上单调递增，C
正确；
选项
D，因为函数
g
(
x)
在
0,
π 6
上单调递增，所以
g
(
x)
<
g
π 6
=
2 −1 =
1，所以函数 g(x) 在 0,
π 6
上没
有最大值，D 错．
7．答案：D
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
2019届高三二模考试数学(理)试题含解析
表示
，
【详解】解：在
中，由正弦定理
得，
等于（ ） D. 4
，则可以得到
的值 .
，即
，
解得
，
因为
，
，
所以 故选 B. 【点睛】本题考查将目标向量转化为基向量，从而求 解问题 .
10. 已知双曲线 ：
焦距为 ，圆 ：
与圆 ：
外
切，且 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】
两圆相外切，可得两圆心距为 3 ，从而可得
，渐近线
为两圆的公切线，故可得
，
从而可得出关于
的关系，求得离心率 .
【详解】解：因为圆 ：
所以
即
①，
渐近线
为两圆的公切线，
与圆 ：
外切，
故可得
，即
②，
将②代入到①中，
得
，
即
，
又因为
故
，
解得：
，故
NCS20190607项目第二次模拟测试卷
理科数学
一、选择题 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1. 已知集合
，
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
求出集合 A，然后根据数轴求出
.
【详解】解：因为
，
所以
或
，
故集合 {
或
}，
又因为集合
，
所以
= ，故选 D.
【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素
2019二模数学(理科带答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试 )注意事项:1.答卷前,考生务必将自己得姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得.1.如果复数(,为虚数单位)得实部与虚部相等,则得值为 A.1 B.1 C.3D.32.若,则A. B 、 C 、 D 、 3. 向量,若得夹角为钝角,则t 得范围就是A.t<B.t>C.t< 且t≠6D.t<6 4.直线kx2y+1=0与圆x+(y1)=1得位置关系就是 A.相交 B.相切 C .相离D.不确定5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同得选法共有 A.60种B.70种C.75种D.150种6.已知某个几何体得三视图如下,根据图中 标出得尺寸,可得这个几何体得表面积就是 A. B. C. D.7、 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线x=对称得函数就是 A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x) C.y=2sin D.y=2sin(2x)8.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰, 日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺得木棍,每天截 取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图 所示得程序框图得功能就就是计算截取20天后所剩木棍得 长度(单位:尺),则①②③处可分别填入得就是2422A. B.C. D.9.已知就是第二象限角,且sin(,则tan2得值为 A. B. C. D. 10.已知函数,则得图像大致为A 、B 、C 、D 、11.已知抛物线x=4y 焦点为F,经过F 得直线交抛物线于A(x,y),B(x,y),点A,B 在抛物线准线上得射影分别为A,B,以下四个结论:①xx=, ②=y+y+1, ③=,④AB 得中点到抛物线得准线得距离得最小值为2 其中正确得个数为A.1B.2C.3D. 4 12.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数得取值范围为A ． B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(x+y)(2xy)5得展开式中x 3y 3得系数为_______、 14.在锐角三角形ABC 中,分别为角A 、B 、C 所对得边,且c=,且ΔABC 得面积为,得值为_______、15.如图所示,有三根针与套在一根针上得n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片;(2)在每次移动过程中,每根针上较大得金属片不能放在 较小得金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动得次数记为f (n ),则f (n )＝________、16.一个四面体得顶点在空间直角坐标系Oxyz 中得坐标分别就是A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),D(,1,),则该四面体得外接球得体积 为______、三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
2019二模数学考试试题-理科答案
合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2 14.49- 15.2 16.46三、解答题：17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由1sin 2S abc ab C ==可知2sin c C =，∴222sin sin sin sin sin A B A B C ++=. 由正弦定理得222a b ab c ++=.由余弦定理得1cos 2C =-，∴23C π=. …………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2sin c C =，∴2sin a A =，2sin b B =.ABC ∆的周长为()1sin sin sin 2a b c A B C ++=++13sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1313sin cos sin 221133sin cos 2213sin .23A A A A A A π⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵0 3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴2 333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴3sin 13A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，， ∴ABC ∆的周长的取值范围为323 ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，. ……………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ，从而//BC FG .∵2CB GF =，∴//CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥. ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ………………………5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C B B C D B A C D D(Ⅱ)连结AD .由ABC ∆是正三角形，且D 为中点得，AD BC ⊥. 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF AD DF BC ⊥⊥，， ∴DB DF DA ，，两两垂直.以DB DF DA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. 设2BC =，则A(0 0 ，，E(12-)，B (1，0，0)，G (-1，0)，∴1 2AE ⎛=- ⎝⎭u u u r，()2 0BG =-u u ur，32BE ⎛=- ⎝⎭u u u r . 设平面BEG 的一个法向量为()n x y z =r，，.由00BG n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r可得，20 302x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，.令x =21y z ==-，，∴)2 1n =-r，.设AE 与平面BEG 所成角为θ，则sin cos AE n AE n AE nθ⋅=<>==⋅u u u r ru u u r r u u u ur r ，. ……………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴(Ⅱ)选择延保方案一，所需费用Y 元的分布列为：17000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元). 选择延保方案二，所需费用Y 元的分布列为：267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=(元). ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分20.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)已知M ( 9m ，)到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10.∵抛物线的准线为2p y =-，∴9102p+=， 解得，2p =，∴抛物线的方程为24x y =. …………………………5分(Ⅱ)由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为F (0，1)，则:1l y kx =+.设A (2114x x ，)，B (2x ，224x )，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=，∴124+=x x k ，124=-x x .由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则()21111:42x PA y x x x -=-.令0y =，解得112x x = ，∴P 11 02x ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而AP =同理可得，BQ =， ∴⋅=AP BQ==∵20≥k ，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞. ……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为()1-+∞，，()()ln 12f x a x x '=+-. 由()f x 是减函数得，对任意的()1x ∈-+∞，，都有()()ln 120f x a x x '=+-≤恒成立. 设()()ln 12g x a x x =+-.∵()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知，112a ->-，∴当112a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0g x '>；当12a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，∴()g x 在112a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递增，在12a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴()g x 在12ax =-时取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的()1x ∈-+∞，，()()0g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为()0g . ∴102a-=，解得2a =. ……………………………5分 (Ⅱ)由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <， ∴()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+.两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++. 从而1231112334521223412341122n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭L L L ，所以()()()()()()212ln 2ln 2ln 2ln 11ln 221n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦①. 下面证()()()2ln 2ln 11ln 2102nn n n +-+-++-<：记()()()()2ln 2ln 11ln 212xh x x x x =+-+-++-，[)1x ∈+∞，. ∴()2211111ln 2ln 2ln 2221222323x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++，∵2y x x=+在[)2+∞，上单调递增， ∴()h x '在[)2+∞，上单调递减，而()()()11112ln 223ln 22ln806233h '=-+=-=-<， ∴当[)2x ∈+∞，时，()0h x '<恒成立， ∴()h x 在[)2+∞，上单调递减，即[)2x ∈+∞，，()()22ln 4ln 33ln 2ln 2ln 30h x h ≤=--=-<， ∴当2n ≥时，()0h n <.∵()1912ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-<，∴当*n N ∈时，()0h n <，即()()()2ln 2ln 11ln 212n n n n +-+-+<-②. 综上①②可得，()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦. ……………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +=-，即()2221x y +-=.…………………………5分(Ⅱ)设P 点的坐标为(2cos sin θθ，).21PQ PC ≤+11=当2sin 3θ=-时，max PQ1. …………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得|32|1x +≤，所以1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232x a x +≥恒成立.当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223x a x x x+≤=+.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)， 所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 银川一中第二次模拟考试 )
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
(1) 每次只能移动一个金属片；
(2) 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针
最少需要移动的次数记为 f(n)，则 f (n)＝________.
16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系
5
4 A．
5
23 B．
7
24 C．
7
24 D．
9
10．已知函数 f ( x)
1
，则 y f ( x) 的图像大致为
ln( x 1) x
y
y
y
y
1 o1 x
1 o1 x
1 o1 x
1 o1 x
A.
B.
C.
D.
11．已知抛物线 x 2 =4y 焦点为 F,经过 F 的直线交抛物线于 A(x 1,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),点 A,B 在抛
( 一 ) 必考题：共 60 分)
17． (12 分 )
设数列 { an} 满足 an 1
1 an 2 ， a1
4
3
(1) 求证：数列 {a n -3} 是等比数列；
(2) 求数列 { an} 的前 n 项和 Tn .
18． (12 分 )
为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取
则不同的选法共有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． 60 种
B． 70 种
C ． 75 种
D． 150 种
6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 2
A． 16 2
B． 12 2 2 2 6 C． 18 2 2
4
2
D． 16 2 2
2
数学 ( 理科 ) 试卷 第 1 页 ( 共 4 页)
7. 下列函数中，最小正周期为
了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图
.
频率
组距
0.024
0.018 0.015 0.012 0.010 0.008
0.005 0.003
0 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 分数
(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩
u0 ( 精确到个位 ) ;
14．在锐角三角形 ABC 中， a, b, c 分别为角 A 、 B、 C 所对的边，且 3a 2csin A
c= 7 ，且 Δ ABC的面积为 3 3 ， a b 的值为 _______.
2
数学 ( 理科 ) 试卷 第 2 页 ( 共 4 页)
15．如图所示，有三根针和套在一根针上的
n 个金属片，按
物线准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,以下四个结论：① x 1 x 2 = 4 , ② AB =y 1 +y 2 +1，
③ A1FB1 = ，④ AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为
2
2
其中正确的个数为
A．1
12．已知函数 f ( x)
B． 2
x
e ax ， x (0, x
立，则实数 a 的取值范围为
C．3
) ，当 x2
D． 4
x1 时，不等式 f ( x1) x2
A． ( , e]
B． ( , e)
e C． ( , )
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
e D． ( , ]
2
13．(x+y)(2x-y) 5 的展开式中 x 3y 3 的系数为 _______.
f ( x2 ) 恒成 x1
O-xyz 中的坐标分别是 A（ 0， 0， 5 ），
B（ 3 ， 0， 0）， C（ 0， 1， 0），D （ 3 ， 1， 5 ），则该四面体的外接球的体积
为 ______.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～ 21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答；第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数 1 ai ( a R , i 为虚数单位 )的实部与虚部相等，则 2i
A．1
B． -1
C．3
2．若 A 0,1,2 , B x | x 2a, a A ，则 A B
a 的值为
D． -3
A． {0,1, 2}
B. {0,1,2 ，3}
C. {0,1,2 ，4}
D. {1,2，4}
所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的
长度（单位：尺） ，则①②③处可分别填入的是
1
A． i
20 , S
S
,i i
2i
1
B． i
20 , S
S
,i i
2i
S C ． i 20 , S , i i 1
2
S D． i 20 , S ,i i 1
2
9．已知 是第二象限角，且 sin(
)
3 ，则 tan2 的值为
3. 向量 a (2, t), b ( 1,3) ，若 a,b 的夹角为钝角，则 t 的范围是
2
A ． t<
3
2
B． t>
3
2
C ． t< 且 t ≠-6
3
4．直线 kx-2y+1=0 与圆 x 2 +(y-1) 2 =1 的位置关系是
D． t<-6
A ．相交
B．相切
C ．相离
D ．不确定
5．有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成一个医疗小组，
，且图象关于直线 x= 对称的函数是 3
A．y=2sin(2x+ ) 3
x
B．y=2sin(2x- ) C ．y=2sin(
)
6
23
D ．y=2sin(2x- ) 3
8．我国古代名著《庄子 ?天下篇》中有一句名言 “一尺之棰， 日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截
取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图
(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩
X 近似服从正态分布 N(u, 2 )( u= u0 , 约为
19.3) ，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占
40% ；
(i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？ (精确到个位 )；
(ii) 从该市高三理科学生中随机抽取 4 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的 人数为 Y，将频率近似看作概率，求 Y 的分布列及数学期望 E(Y).