2020年1月5日四川省高2020届高2017级绵阳二诊理科数学试题及答题卡
2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学(理)试卷及解析
2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1x M x e e =<<,则U C M =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D【解析】 先确定集合M 的元素,再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =（ ）A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i +==-．故选：A ．3.已知两个力()11,2F =,()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,则3F =（ ）A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-因为物体保持静止,即合力为0,则 123+0F F F +=即()31,5F =-故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A. 18B. 14C. 38D. 12【答案】B【解析】 可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件。
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)
（1）求曲线 的普通方程，曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， 是曲线 上两点，当 时，求 的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知关于 的不等式 ，其中 ．
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答京关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
求解线都接归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
双曲根气离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）
A. B. C. D.
5.已知 为任意角，则“ ”是“ ”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
列联表
男
女
总计
总计
附表：
其中： ．
已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ＝ ， ＝ ．各项均为正数的等比数列 满足 ＝ ， ＝ ．
（1）求 和 ；
（2）求和： ＝ ．
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ＝ ．
2020届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题
秘密★启用前【考试时间：2020年1月5日l5：00-17: 00】绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U= {x|x>0}，M={x|l<e x <e 2}，则M C U =A.(1,2)B.(2,+∞)C.(0,1] ∪[2,+∞)D.[2,+∞) 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i ，则z 的共轭复数为 A ．2-i B ．l-2i C ．2+i D ．i-23．已知两个力F 1=(l ，2)，F 2=(-2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3，则F 3=A.(1，-5) B ．(-1，5） C ．(5，-1) D ．（-5，l ）4．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为A ．81B ．41C ．83D ．215．已知α为任意角，则“cos2α=31”是“sin α=33”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 6．若(ax-x1 ) 5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为 A ．-80 B ．-10 C ．10 D ．807．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y= 6.5x+9，则下列说 法中错误的是 A. m 的值是20C．产品的销售额与广告费用成正相关D. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8a>0，b>0）的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB (O为坐标原点)的面积为bc，则双曲线的离心率为9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为A．1 B．2 C．3 D.410.已知圆C：x2 +y2 -6x-8y+9=0，点M,N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为．4 D．11.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时则满足不等式的实数m的取值范围为f(log2A．（2） B．(0，2) C．(0(1，2) D．(2，+∞)12．函数f(x)=(2ax-1)2-log(ax+2）在区间[0上恰有一个零点，则实数a的取值范围a是∞) C.(1,2) ∪[3, +∞) D.[2,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线l1：ax-(a+l)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行，则实数a的值是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法。
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18 B.14C.38D.125.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ） A.−80 B.−10 C.10 D.807.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是208.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√211.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12.函数f(x)＝(2ax−1)2−log a(ax+2)在区间[0, 1a]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞) D.[2, 3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ，最后再根据统计数m 来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m ＝156，则其试验估计π为________．15.函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．16.过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．20.已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长； 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值．21.己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1． （1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)【解答】∵U ＝{x|x >0}，M ＝{x|0<x <2}， ∴∁U M ＝[2, +∞)．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −2【解答】∵z ⋅i ＝1+2i ，∴z =1+2i i=(1+2i)i i 2=2−i ，∴z 的共轭复数为：2+i ，3.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)【解答】根据题意可知−F 3＝F 1+F 2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F 3＝(1, −5)， 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18 B.14C.38D.12【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 5.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件； 若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件． 6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ） A.−80 B.−10 C.10 D.80【解答】对于(ax −1x )5的展开式，令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(a −1)5＝l ，∴a ＝2．∴(ax −1x )5＝(2x −1x )5，故展开式中的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅25−r ⋅x 5−2r ，令5−2r ＝3，求得r ＝1，可得该展开式中含x 3项的系数−C 51⋅24＝−80，7.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（ ） A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是20 【解答】由线性回归方程y ＝6.5x +9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A 正确；x¯=0+1+2+3+45=2，y¯=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y¯=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.3【解答】双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0)，设OA的方程为bx−ay＝0，OB的方程为bx+ay＝0，过F平行于OA的直线FB的方程为y=ba(x−c)，平行于OB的直线FA的方程为y=−ba(x−c)，可得平行线OA和BF的距离为√22=b，由{bx−ay=0bx+ay−bc=0可得x=12c，y=bc2a，即A(12c, bc2a)，则平行四边形OAFB的面积为S＝b√14c2+b2c24a2=bc，化为b2＝3a2，则e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.4【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a，b，小明为c，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，，∴小明每局每得分的概率P=34)，∴X∼B(4, 34=3．∴E(X)＝4×3410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√2【解答】根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，即(x−3)2+(y−4)2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2，当且仅当m ＝n 时等号成立， 故|PC|的最大值为4√2，11.己知f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝xcosx −sinx +13x 3，则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为（ ）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【解答】当x ≥0时，f′(x)＝cosx −xsinx −cosx +x 2＝x 2−xsinx ＝x(x −sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴−1<log 2m <1， ∴12<m <2． 故选：A ．12.函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞) C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0， ∴{1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．【解答】∵直线l1:ax−(a+1)y−1＝0与直线4x−6y+3＝0平行，∴a4=−(a+1)−6，解得a＝2，∴实数a的值为2．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m，最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m＝156，则其试验估计π为________．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为：1；∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________． 【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y ′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴y 0＝6y ′， S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−√m 2−1，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得{2a1+d=06a1+6×52d=24，解得{a1=−1d=2．∴a n＝2n−3，n∈N∗．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由{b1+b1q=6b1q2=8，解得{b1=2q=2或{b1=18q=−23（舍去）．∴b n＝2n，n∈N∗．由（1），得1+b1+b2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n−1．则T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21+22+23+...+2n)−n=2(1−2n)−n＝2n+1−n−2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD ⊥BC ，BC ＝2√3AD ，求sinB ． 【解答】∵(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵0<A <π， ∴A =2π3．∵在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴3bc ＝a 2，∴在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘， 即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴B ＝C =π6， ∴sinB ＝sin π6=12． 已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长； 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值． 【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x ′2−x 22+y ′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x −x=x+x ′y+y ′(−12)=12，所 以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴y +y ′＝−1，yy ′=124，∴|AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0，∴y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN ¯=λNB ¯知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x =y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y +2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围． 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2+82；由f′(x)<0得，a−√a 2−82<x <a+√a 2−82；∴函数f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ，∵ℎ(t)=2t −1−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32， 所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1． （1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]． 所以1|OA|+1|OB|的取值范围是(√32,√3]． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ，其中a >0．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1； 当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12|≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。
2020届绵阳二诊 理科数学试题(解析版)
2020届绵阳二诊理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥． 故选：D ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122iz i i+==-． 故选：A ．3.已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A. ()1,5- B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=- 因为物体保持静止,即合力为0,则123+0F F F += 即()31,5F =- 故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18B.14C. 38D.12【答案】B【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件． 故选：B ．6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令1x =代入可得()511a -=,解得2a = 即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是20 【答案】C【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C．8.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） B. 2D. 3【答案】B【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭()13143112144256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22243154244256P XC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()44438144256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C10.已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A. 4B. 42C. 6D. 62【答案】D【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MCPC PMC =∠ sin 22PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯==故答案为: 3.1215.函数()sin0,2y xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π.【详解】由题意411()3126Tπππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x xπ=+．由sin(2)06xπ+=得26x kππ+=，212kxππ=-，k Z∈，在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．16.过点()1,0M-的直线l与抛物线C：24y x=交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，点N满足：5NA AF=，则ABF∆与AMN∆的面积之和的最小值是______.【答案】8【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y x x ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =,则6NF AF = 所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =-- ,(1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t =-=- 解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增 即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男 女 总计附表：.其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人， 故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =.（1）求n a 和n b ；（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）∴1222n n n b -=⨯=（2）由（1）得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-()()()()12321212121n =-+-+-++-()12122212n n n n +-=-=---.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=. （2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅，即2bc a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==.20.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=（O 为坐标原点），求弦AB 的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内 由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-.将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=. 联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴AB ==. （2）设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--, 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围.【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当0a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得02a x <<或2a x +>由()'0f x <,x <<∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在22a a ⎛+⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中，曲线1C 参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程， 得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，232πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OAOB+的取值范围是⎝.23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， 画图可知，函数()f x 的最大值为32.由123log 2a ≤，解得20a <≤。
四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。
2020届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(有答案)(精品)
四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，2] C ．[﹣1，3] D ．[﹣1，4] 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）．可设点M （x ，y ）可得•=（x ﹣1）2+y 2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）． 可设点M （x ，y ） A （0，0），B （2，0）．∴•=（﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=﹣x （2﹣x ）+y 2=（x ﹣1）2+y 2﹣1， 由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]， 故选：C ．8．已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8，则a 6+a 7的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ，则x ∈（1，+∞），a 4+a 5=ax ，结合已知可得a=，代入可得y=a 6+a 7的表达式，x ∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n }是各项均为正的等比数列， ∴数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列， 设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ， 则x ∈（1，+∞），a 5+a 4=ax ， ∴有a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=ax ﹣a=8，即a=，∴y=a 6+a 7=ax 2=，x ∈（1，+∞），求导数可得y ′==，令y ′＞0可得x ＞2， 故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增， ∴当x=2时，y=a 6+a 7取最小值：32． 故选：D ．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=﹣8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．同理y1+y2=4p+4，y1y2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p2，∴（﹣x1，p﹣y1）•（﹣x2，p﹣y2）+（﹣x1﹣x2，2p﹣y1﹣y2）•（2p，﹣p）=﹣1﹣5p2，代入整理可得4p2+4p﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f （x ）=x 2+4x +m （m ∈R ，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．（I ）求m 的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m 的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得到关于x 的方程，与已知方程为同一方程，确定出D 与F ，令x=0得到关于y 的方程，将y=m 代入表示出E ，将D 、E 、F 代入即可确定出圆C 的方程，进而可求圆C 经过定点．【解答】解：（I ）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，m ）；令f （x ）=x 2+4x +m=0，由题意得：m ≠0且△＞0，即m ≠0且16﹣4m ＞0解得：m ＜4且m ≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得：x 2+Dx +F=0这与x 2+4x +m=0=是同一个方程，故D=4，F=m ；令x=0得：y 2+Ey +F=0，此方程有一个根为m ，代入得出E=﹣m ﹣1，∴圆C 的方程为x 2+y 2+4x ﹣（m +1）y +m=0．∴x 2+y 2+4x ﹣y +（﹣y +1）m=0∴，∴或， ∴圆C 经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{b n }的前n 项和T n 满足：b 1=1，b n +1﹣2T n =1． （1）求S n 与b n ；（2）比较S n b n 与2T n a n 的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n 与b n ；由，能求出数列{b n }的通项公式．（2）推导出S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），由此利用作差法能比较S n b n 与2T n a n 的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 5=30，S 10=110，∴，解得∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3，∴b 2=3b 1，（*）又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*），整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），结合（*）得（常数），n ∈N*，∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…﹣1=3n﹣1，（2）2T n=b n+1∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），于是S n b n﹣2T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣2n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣5）+2]，…当n≤4（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＜0，即S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＞0，即S n b n＞2T n a n．∴当n≤4（n∈N*）时，S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n＞2T n a n．…20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．【解答】解：（1）设动点M（x，y），∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…。
2020年1月5日四川省绵阳市高2020届高2017级高三年级第二次诊断性考试理科数学试题参考答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCABB ADBCD AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．3.12 15．23π16．8 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5=0.5．所以阅读时间的中位数m =10．………………………………………………4分 （2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，阅读时长大于等于m 的人数为100×0.5=50人，故列联表为如右图： ………………………8分 K 2的观测值k =2100(25302520)1005050455599⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯ ≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．……12分 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得112065624.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112.a d =−⎧⎨=⎩， ∴ 23n a n =−．…………………………………………………………………4分 ∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由112168.b b q b q +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1122.b q =⎧⎨=⎩， 或 12182.3b q =⎧⎪⎨=−⎪⎩，(舍) ∴ 1222n n n b −=⨯=．……………………………………………………………7分（2）由（1）得，2112-11+++=1+2+22=21n n n b b b −+++−． ………………9分112=1+(1+)+(1++)+n T b b b …12+(1+++b b …-1)n b +231(21)(21)=+−+−+…(21)n +−123(21)(21)(21)=−+−+−+…(21)n +−2(12)=12n n −−−1=22n n +−−． ………………………………………………12分19．解 ：（1）在△ABC 中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +−=+，即222a b c bc =++． …………………………………3分由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==−， ………………………………………5分结合0A π<<，可知23A π=． …………………………………………………6分 （2）在△ABC 中，S △ABC =11sin 22AB AC BAC BC AD ⋅∠=⋅，即a AD =⋅．由已知BC=AD，可得AD =∴ 23bc a =． ……………………………………………………………………9分 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos120a b c bc ︒=+−， 即223bc b c bc =++，整理得2()0b c −=，即b =c ， ∴ A =6B π=．∴ 1sin sin62B π==． …………………………………………………………12分 20．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由OA OB OP ++=0，且点P (-1，1)，得121211x x y y +=+=−，．① ∴ 线段AB 的中点坐标为(1122−， )，其在椭圆内． …………………………2分由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减得0221222122=−+−y y x x ，整理得2121222122−=−−x x y y ，即21212121()()1()()2y y y y x x x x +−=−+−． 将①代入，得 k AB =212112y y x x −=−． ∴ 直线AB 方程为111()()222y x −−=−，即2x -4y -3=0． ……………………4分联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪−−=⎩，，消去x 得2242410y y ++=，由韦达定理得121y y +=−，12124y y =． ∴AB =． …………………………………6分 （2）设直线AB 的方程为x =ty +2．由题意得M (x 1，-y 1)． 由已知MN NB λ=，可知M ，N ，B 三点共线，即MB MN k k =． ∴1211210()()y y y n x x x −−−−=−−， 即121121y y y n x x x +=−−， 解得121121()y x x n x y y −=++． ………………………………………………………9分将112x ty =+， 222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++．② 联立222202x y x ty ⎧+−=⎨=+⎩，， 消去x 得(t 2+2)y 2+4ty +2=0，由韦达定理得12242t y y t −+=+， 12222y y t =+． ③ …………………………11分 将③代入②得到n =1． ……………………………………………………12分21．解：（1）xax x a x x x f 22)(2+−=−+='(x >0)． ………………………………2分令2)(2+−=ax x x g ，则82−=∆a ．① 当a ≤0或△≤0，即a≤()f x '≥0恒成立，∴ )(x f 在()0+∞，上单调递增． ………………………………………………3分②当00a >⎧⎨∆>⎩，， 即22>a 时，由0)(>'x f ，得2802−−<<a a x 或282++>a a x ；由0)(<'x f ，得282822−+<<−−a a x a a ． ∴ 函数)(x f在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减． ………………………………………5分综上所述，当a≤)(xf在()0+∞，上单调递增；当22>a时，)(xf在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减．………………………………………………………………………6分（2）由（1）知，当22>a时，)(xf有两极值点12x x，(其中12xx>)，由（1）得12x x，为02)(2=+−=axxxg的两根，于是axx=+21，221=xx．∴)()(21ln2)()(1221221212xxaxxxxxfxf−−−+=−2ln2212212xxxx−−=21212212ln2xxxxxx−−=211212ln2xxxxxx+−=．……………………………………………7分令12xxt=（1>t），则)()()(12thxfxf=−ttt1ln2+−=．∵222222121(1)()10t t th tt t t t−+−−−'=−−==<，∴)(th在(1)+∞，上单调递减．…………………………………………………9分由已知)()()(12xfxfth−=的最大值为232ln2−，而232ln22122ln2)2(−=+−=h．∴t=2．…………………………………………………………………………10分设t的取值集合为T，则只要满足T⊆[2)+∞，且T中的最小元素为2的T集合均符合题意．又212212)(2xxxxa+=21++=tt(t∈T)，易知1()2x ttϕ=++在[2)+∞，上单调递增，结合a>a与t是一一对应关系．而当t=2，即21xx=2时，联合221=xx，解得x2=2，x1=1，进而可得a=3．∴实数a的取值范围为[3)+∞，或[3)+∞，的任意最小元素为3的子集．………………………………………………………………………………12分22．解：（1）将C 1的参数方程化为普通方程为(x -1)2+y 2=r 2． 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点P (2，3π)的直角坐标为(1，，代入C 1，得23r =， ∴ 曲线C 1的普通方程为(x -1)2+y 2=3．………………………………………3分C 2可化为2222cos sin 1ρθρθ−=，即222(cos sin )1ρθθ−=∴ 曲线C 2的极坐标方程为2cos21ρθ=．……………………………………5分 （2）将点1()A ρα，，2()6B πρα−，代入曲线C 2的极坐标方程，得21cos2=1ρα，22cos(2)=13πρα−，∴2222121111cos 2cos(2)3OAOBπααρρ+=+=+−3cos22)23πααα==+ ． ……………………8分由已知(0)4πα∈，，可得52()336πππα+∈，，于是)3πα+∈．所以2211OA OB +的取值范围是(． ………………………………10分 23．解：（1）由a =4时，12log 2a =−．原不等式化为1212x x +−−−≤，当x ≥12时，x +1-(2x -1)≤-2，解得x ≥4，综合得x ≥4； ………………3分 当-1<12x < 时，121x x ++−≤-2 ，解得x ≤23− ，综合得213x −<−≤；当x ≤-1时，(1)212x x −++−−≤，解得x ≤0，综合得x ≤-1． ………… 4分∴不等式的解集为{x |23x −≤，或x ≥4}．……………………………………6分（2）设函数211()121=31212.2x x f x x x x x x x ⎧⎪−<−⎪⎪=+−−−<⎨⎪⎪−+⎪⎩，，，≤，≥， 画图可知，函数f (x )的最大值为32. 由123log 2a ≤，解得0<a≤10分。