不等式及解法典型题目
高中数学一元二次不等式及其解法检测题(附答案)
高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。
不等式的性质及不等式的解法 专题训练
第六章 不等式不等式的性质及不等式的解法 专题训练1.(优质试题·上海)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.(优质试题·全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b3.(优质试题·北京)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1y ＞0 B.sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞04.(优质试题·浙江)已知实数a ，b ，c ( ) A.若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B.若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100C.若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100D.若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜1005.(优质试题·全国Ⅰ)若a>b>1，0<c<1，则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c6.(优质试题·上海)设x∈R，则不等式|x－3|＜1的解集为________.考点1不等式的性质1.(优质试题·四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ac>bd B.ac<bdC.ad>bc D.ad<bc2.(优质试题·北京)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(优质试题·山东)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1>1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sin x＞sin yD.x 3＞y 34.(优质试题·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9考点2 解不等式5.(优质试题·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)6.(优质试题·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.8127.(优质试题·大纲全国)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为()A.{x |－2＜x ＜－1}B.{x |－1＜x ＜0}C.{x |0＜x ＜1}D.{x |x ＞1}8.(优质试题·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.(优质试题·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________. 10.(优质试题·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.11.(优质试题·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________. 12.(优质试题·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.13.(优质试题·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 14.(优质试题·广东)设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示).1.(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于()A.(－1，0)B.(－1，1)C.(0，1)D.(1，3)2.(优质试题·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是()A.a2<b2B.1 a> 1 bC.|a|<|b|D.2a>2b3.(优质试题·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q4.(优质试题·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是()A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<85.(优质试题·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是()A.ln a>ln bB.0.3a>0.3bC.a 12>b 12 D.3a>3b6.(优质试题·青岛质检)已知a ∈R ，则“a ＜1”是“|x －2|＋|x |＞a 恒成立”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(优质试题·烟台模拟)不等式|x －3|＋|x ＋1|＞6的解集为( ) A.(－∞，－2)B.(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(4，＋∞)D.(－2，4)8.(优质试题·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a .q ：x －12x －1>0.使得p 是q 的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.(－∞，－2] C.[－2，3]D.[3，＋∞)9.(优质试题·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 C.(1，3)D.(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10.(优质试题·德州统考)若不等式|2x －8|＋|2x －6|＜a 有解，则实数a 的取值范围为( ) A.(2，＋∞) B.(14，＋∞) C.(1，＋∞)D.(7，＋∞)11.(优质试题·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}12.(优质试题·淄博检测)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集是( ) A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.(1，＋∞)13.(优质试题·济宁模拟)若关于x 的不等式|2x ＋m |≤1的整数解有且仅有一个值为－3，则整数m 的值为________.14.(优质试题·胶东示范校检测)若不等式|x ＋2|－|x －1|≥a 3－4a 2－3对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 15.(优质试题·枣庄四校一联)若命题“∃x 0∈R ，|x 0－1|－|x 0－5|＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围是________.16.(优质试题·常州质检)不等式|x 2－4|＜x ＋2的解集为________. 17.(优质试题·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________.18.(优质试题·北京市东城区模拟)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号).①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.19.(优质试题·安徽巢湖模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<1a，比较f(x)与m的大小.20.(优质试题·浙江余姚模拟)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示).。
不等式性质运用及不等式的解法
不等式性质运用及不等式的解法典型例题：例1.已知x ≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小。
例 2.已知a>b ，比较a 3与b 3的大小。
例3.设x ≥1, 比较x 3与x 2-x+1的大小。
例6.已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a-c ＞b-d.例7.如果a>b, e>f ，c>0，求证：f-ac<e-bc 。
例8.如果a>b>0, c>d>0，求证：cb d a例9.设2＜x ＜5，4＜y ＜10，求x+y 的范围.例10.已知-1≤a+b ≤1，1≤a-b ≤3，求3a-b 的取值范围.5.如果30<x<42, 16<y<24，求：x-2y 及y x 的范围。
8.① x ＜0,求x+x 1的最大值；②若x ＜45时，求y=1-4x+x 451-的最小值.9.设x ＞1,求函数y=412+--x x x 的最大值.10.已知正数a,b 满足ab=a+b+5，求ab 的取值范围.12.已知x ＞0，则2-3x-x4的最大值是 .14.设0＜x ＜2，求函数f （x ）=）（x x 383-的最大值，并求相应的x 值.练习：1.已知0<x<1，则x(3-3x)取最大值时x 的值为2.已知x>1, y>1，且lgx+lgy=4，则lgx ·lgy 的最大值是3.已知x, y ∈R +且x+y=1,则M=yx 11+的取值范围是 一、填空与选择题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ；例1.解不等式：(x 2-x+1)(x 2+5x+6)(x 2-4x-5)＞0例2.解不等式：413323222++--x x x x ≤0 例3.解不等式：x(x-1)(x-2)2(x 2-1)(x 3-1)＜0例4.解不等式：12423--+x x x x ≤0随堂训练：1. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)<0的解集. 2，不等式0)4)(3()2()1(2≤--+-x x x x 的解3不等式2)1()1(22++--x x x x ≤0的解例1.解不等式： ①|x 2-3x+1|＜5 ②|x 2-3x-4|＜x+1 ③|x+3|＞|x-5|例2.解不等式：|x-5|-|2x+3|＜12.不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的范围是13、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)，例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a＞0)。
高中不等式例题(超全超经典)
一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
高一数学不等式测试题
高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式\( a < b \) 时，\( a + c < b + c \) 成立。
2. 解一元一次不等式题目：解不等式 \( 5x - 3 > 2x + 7 \)。
3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 \( |x - 4| < 3 \)。
4. 解二次不等式题目：解不等式 \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)。
5. 不等式与函数题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求函数值大于0的x的取值范围。
6. 不等式组的解集题目：解不等式组 \( \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} \)。
7. 不等式的变换题目：将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 转化为标准形式，并找出其解集。
8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 \( 2x + 3 \)，宽为 \( x - 1 \)，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} \leq 2a_n \) 对所有正整数 n 成立，证明数列 \( \{a_n\} \) 是递增的。
10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式\( \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \) 成立。
11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 \( a + b > c \)，证明三角形ABC 是锐角三角形。
12. 不等式的综合应用题目：若 \( x, y \) 为正实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求\( x^2y + xy^2 \) 的最大值。
13. 不等式的解法题目：解不等式 \( \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 \)。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
不等式解法种典型例题
或 或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是 ．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式 的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出 ， 是方程 的两根,
∴ ， ．又 的解集是 ，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又 ，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程 的两根,
∴ ．又 的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程 两边同除以 得 ．
令 ,该方程即为 ，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程 的两根为 ， ．
典型例题八
例8解不等式 ．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为 ．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于 的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式 的解集是 ．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， , 的关系也用 ， 表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式 ，即
不等式的解法高中数学题目
不等式的解法高中数学题目摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.常见不等号及其含义二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子）2.不等式两边乘（除）同一个正数3.不等式两边乘（除）同一个负数三、一元一次不等式的解法1.移项法2.系数化一法四、一元二次不等式的解法1.因式分解法2.直接开平方法3.参数分离法五、分式不等式的解法1.通分法2.分子分母同乘（除）法六、不等式的应用1.实际问题中的不等式求解2.几何中的不等式问题正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本关系式，用于表示两个数的大小关系。
常见的不等号有“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于），它们分别表示大于、小于、大于等于和小于等于的意思。
二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
例如：3 > 2，则3 + 1 > 2 + 1，即4 > 3。
2.不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
例如：3 > 2，则3 × 2 > 2 × 2，即6 > 4。
3.不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
例如：3 > 2，则3 × (-2) < 2 × (-2)，即-6 < -4。
三、一元一次不等式的解法1.移项法：将不等式中的常数项移到不等式的另一边，使未知数的系数变为1。
例如：2x + 1 > 5，移项得2x > 4，再除以2 得x > 2。
2.系数化一法：将不等式两边同时除以同一个正数，使未知数的系数变为1。
例如：3x - 2 > 5，系数化一得x > 1。
四、一元二次不等式的解法1.因式分解法：将一元二次不等式化为两个一元一次不等式的和的形式。
例如：x^2 - 3x + 2 > 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) > 0，解得x < 1 或x > 2。
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七年级下册不等式专题测练
训练一 不等式及其解集
1.下列式子中，不等式的个数为（ ）
①20-<；②34x y +>；③21x +=；④x y +；⑤6a ≠．
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
2.当3x =-时,下列不等式成立的是( )
A 、58x ->-
B 、1303
x +> C 、3(3)3x ->- D 、32x x >
3.用不等式表示图1中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A 、2x >-
B 、2x <-
C 、22x -<<
D 、2x >
4.哥哥今年6岁，弟弟今年4岁，以下说法正确的是（ ）
A 、比弟弟大的人，一定比哥哥大；
B 、比哥哥小的人，一定比弟弟小；
C 、比哥哥大的人可能比弟弟小；
D 、比弟弟小的人决不会比哥哥大．
5.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x 、•y 分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________.
6.先根据文字语言列出不等式，并想出不等式的解集，然后再在数轴上表示出其解集．
（1）x 减去4-的差是正数；
（2）a 的3倍小于6-．
训练二 不等式的性质
1.如果x y >，那么下列结论错误的是（ ）
A 、33x y ->-
B 、44x y >
C 、2255
x y > D 、x y ->- 2.若0m n >>，那么下列各式中正确的是（ ） A 、mp np > B 、2n mn < C 、
11m n > D 、()()m p n p -->+- 3.如果(3)3a x a +>+的解集为1x <，那么a 必须满足（ ）
A 、0a <
B 、3a >
C 、3a >-
D 、3a <- 4.设0x y <<，用不等号连接下列各项中的式子：2x - 2
y -， 2x 2y ．
5.式子22x -，当x 时，该式子的值是正数；当x 时，该式子的值是负数；当x 时，该式子的值小于2．
6.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1）827x x ->； （2）223x +<
（3）561a ->- （4）4132x x +>-
7.某品牌袋装奶粉袋上注有“净含量400g ”“每百克中含有蛋白质≥18.9g ”，那么这样的一袋奶粉中蛋白质的含量是多少?
8.小亮在第一次月考中数学成绩为72分，第二次月考中数学成绩为86分，在第三次月考中数学成绩至少得多少分，才能使三次考试的平均成绩不少于80分？
训练三 解一元一次不等式
1. 解不等式：（1）()()34518+-≥-x x （2）6
52423-≤+-
x x x
2.解不等式，并把它的解在数轴上表示出来，再写出它的非负整数解。
3.x 为何值时,代数式
5123--+x x 的值是非负数？
4..当x 为何值时，式子
3
1232+-+x x 的值分别满足以下条件：（1）是负数；（2）不大于1
5．分别解不等式235(3)x x --≤和
11163
y y -+->，并比较x ，y 的大小．
训练四 实际问题与一元一次不等式
1、小华和小明骑车从学校去博物馆，小华先走了400m ，随后小明出发．x min 后，小明到达博物馆，而小华还在路上．已知小华的速度为200m ／min ，小明的速度为250m ／min ，反映本题的数量关系的不等式是 ．
2、一个两位数，十位数字与个位数字的和为6，且这个两位数不大于42，则这样的两位数有几 个．
3、某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5％，则商店最多降 元出售商品．
4、 工人张力4月份计划生产零件176个，前10天每天平均生产4个，后来改进技术，提前3天并且超额完成任务，则张力10天后平均每天至少生产零件多少个？
．
5、某开山工程正在进行爆破。
已知导火线燃烧的速度为每秒0.8厘米。
人跑开的速度为每秒4米，为了使工人能在爆炸时能跑到100米意外的安全地带，导火线的长度为多少才满足要求?
6、某地出租车起步价为10元，超过5km后，每增加1km加价1.2元，不足1km按1km计。
某人乘车由甲地到乙地付车费17.2元，甲地到乙地的路程最多多少？
7、甲乙两店以同样的价格出售同一商品。
甲店购买100元商品后，再购买的按原价九折收费，乙店满50元后再购买的商品按原价的九五折收费。
什么时候在甲店购买更便宜？乙店呢？
8 、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A B
、
、两种型号设备，且A B 两种型号设备的价格分别为每台15万元、12万元．经预算，该企业购买设备的资金不．
超过
．．130万元．
（１）请你设计，该企业有几种购买方案；
（２）A B
、两种型号设备每台一个月处理污水量分别为250吨、220吨．若企业每月产
生的污水量为2260吨，为了尽可能节省资金
．．．．．．．，应选择哪种购买方案？。