一元一次不等式及其解法常考题型讲解
一元一次不等式组专题知识点与经典习题
一元一次不等式(组)专题知识点与经典习题一元一次不等式（组）复习一.知识梳理1.知识结构图(二).知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc（或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c）说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
专题10 一元一次不等式(组)(含解析)
专题10 一元一次不等式（组）一、解读考点二、考点归纳归纳 1：有关概念基础知识归纳：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3、用数轴表示不等式的方法4、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜．考点：不等式的定义．归纳 2：不等式基本性质基础知识归纳：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】若x>y，则下列式子中错误．．的是（）A、x－3>y－3B、x y>33C、x+3>y+3D、－3x>－3y【答案】D．考点：不等式基本性质。
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结
一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等式考点一、不等式的概念题型一 会判断不等式下列代数式属于不等式的有 .① —x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式根据下列要求列出不等式①.a 是非负数可表示为 。
②。
m 的5倍不大于3可表示为 .③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 .④.x 和y 的差是正数可表示为 。
⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________.考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
逆定理:不等式两边都乘以（或除以）同一个数,若不等号的方向不变，则这个数是正数。
基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc,则c 0。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.逆定理：不等式两边都乘以（或除以)同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数.基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0,那么不等号变成等号，不等式变成等式。
练习：1、指出下列各题中不等式的变形依据352≥+x533222y x y x ++0y x ≥+①.由3a>2得a> 理由： 。
②。
由a+7>0得a 〉—7 理由： 。
③.由—5a<1得a 〉 理由： .④.由4a>3a+1得a>1 理由： 。
2、若x ＞y,则下列式子错误的是（ ）A.x-3＞y —3B. ＞ C 。
x+3＞y+3 D.-3x ＞—3y 3、判断正误①。
若a ＞b,b ＜c 则a ＞c 。
（ ) ②.若a ＞b ，则ac ＞bc 。
（ ）③。
若 ，则a ＞b 。
( ）④. 若a ＞b ，则 。
（ ）⑤。
若a ＞b ，则 （ ）⑥。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
一元一次不等式组的解法常考题型讲解
一元一次不等式组的解法一、知识点复习1.一元一次不等式组的概念：几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表：二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式组的概念1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①⎩⎨⎧<->32x x ，②⎩⎨⎧>+>420x x ，③⎩⎨⎧>+<+42122x x x ，④⎩⎨⎧-<>+703x x ，⑤⎩⎨⎧<->+0101y x 。
其中一元一次不等式组的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个题型2：考察一元一次不等式组的解法2.（2018春天心区校级期末）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-61213312x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+->-1542453312x x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321)2(352x x x x（5）⎪⎩⎪⎨⎧-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧->≥----624102.05.05.04.073x x x x x4. 解下列不等式21153x --<≤题型3：考察一元一次不等式组的整数解问题5.（2017西安模拟）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>+32152)2(3x x x x 的最小整数解是 。
6.（2016春马山县期末）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧>->-0123a x x 恰有3个整数解，那么a的取值范围是（ ）A 、12<<-aB 、23-≤<-aC 、23-<≤-aD 、23-<<-a7.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥->+023032x a x a 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、2332≤≤a B 、2334≤≤a C 、2334≤<a D 、2334<≤a题型4：考察一元一次不等式中字母参数问题8. （2016春汉台区校级月考）不等式x x>-12与x ax 56>-的解集相同，则=a 。
一元一次不等式知识点及典型例题
题型一：求不等式的特殊解１） 求x+3＜6的所有正整数解２）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。
３）求不等式的非负整数解。
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数ａ的值。
题型二：不等式与方程的综和题1、关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
2、不等式组{的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？3、若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{的解是正整数，求整数Ｐ的值。
4、已知关于ｘ的不等式组{的解集为３≤ｘ＜５，求的值。
题型三 确定方程或不等式中的字母取值范围1、ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数2、已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围3、已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
4、若方程组{的解中x>y，求K的范围。
5、如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。
6、若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。
7、若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
8、若{的解集为＞３，求ａ的取值范围。
9、已知关于x的方程ｘ－的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。
10、如果{的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五 求最小值问题1、x取什么值时，代数式的值不小于的值，并求出X的最小值。
题型六 不等式解法的变式应用1、ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？2、ｘ取哪些非负整数时，的值不小于与１的差。
题型七 解不定方程1、求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。
2、已知{无解，求ａ的取值范围。
题型八 比较两个代数式值的大小1、已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大小关系题型九：探究题1、在盛有ｎ克盐水的水杯中，又放入了ｃ克盐，如果原来盐水中含盐ｍ克，试求前后浓度的关系式题型十：应用题（分配问题）1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
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一元一次不等式及其解法
一、知识点复习
1.一元一次不等式的概念：
只含有 一个 未知数，且未知数的次数是 1 且系数 不为0 的不等式，称为一 元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
去分母、 去括号 、移项、 合并同类项 、系数化为1.
3. 注意事项：
①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。
②系数化为1时，注意系数的正负情况。
二、经典题型分类讲解
题型1：考察一元一次不等式的概念
1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx
；④
32≠+x x ； ⑤x x
333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A 、67922-+≥-x x x x
B 、01=+x
C 、
0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）
A 、1±
B 、1
C 、1-
D 、0
题型2：考察一元一次不等式的解法
4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来:
（1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2
2531-->+
x x
5.解不等式
10
1.0)39.1(10
2.06.035.05.12⨯->---x x x 。
6.（2016秋相城区期末）若代数式
123-+x 的值不大于6
34+x 的值时，求x 的取值范围。
7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3<x 和3>x 的解集的过程： 因为3<x ，从如图1所示的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值是小于3的，所以3<x 的解集是33<<-x ； 因为3>x ，从如图2所示的数轴上看：小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3，所以3>x 的解集是3-<x 或3>x 。
解答下列问题：
（1）不等式a x <（0>a ）的解集为 ， 不等式a x >（0>a ）的解集为 ；
（2）解不等式42<-x ；
（3）解不等式75>-x 。
题型3：考察一元一次不等式中整数解问题
8. （2017秋宁阳县期末）不等式2
23129-<+-x x 的负整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
9.（2017大庆）若实数3是不等式022<--a x 的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
10.（2017春石城县期末）若关于x 的不等式02≤-m x 的正整数解只有4个，则m 的取值范围是（ ）
A 、108<<m
B 、1028<≤m
C 、108≤≤m
D 、54<≤m
11. （2016秋工业园区期末）若关于x 的不等式03≤-a x 的正整数解是3,2,1，则a 应满足的条件是（ ）
A 、9=a
B 、9≤a
C 、129≤<a
D 、129<≤a
12.（2017大庆）若实数3是不等式022<--a x 的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
13.（2017春启动市校级期中）已知0)2
5
2(532=+-++b a a ，求关于x 的不等式)2(4)1(2
13--<+-x b x ax 的最小非负整数解。
14.（2016平湖市校级期中）已知不等式1625+<-x x 的最小正整数解是方程62
33=-ax x 的解，求a 的值。
题型3：考察一元一次不等式中字母参数的问题
14.（2018春天心区校级期末）不等式m m x ->-2)(3
1
的解集为2>x ，则m 的值为（ ） A 、4 B 、2 C 、
23 D 、2
1 15.已知32)3(2a a <-，那么不等式a x x a -<-5)4(的解集是（ ） A 、51<
x B 、51>x C 、 a a x ->5 D 、 a
a x -<5 16.（2017春官渡区期末）若不等式1)2(>-x m 的解集是21-<m x ，则m 的取值范围是 。
17.（2017春南召县期末）已知关于x 的方程)2(3-=+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为 。
18.若不等式42<x 的解都能使关于x 的一次不等式5+<a x 成立，则a 的取值范围是（ ）
A 、3-≥a
B 、3->a
C 、 3-≤a
D 、 3-<a
19.若关于x 的方程5
432b x a x +=+的解不是负数，那么a 与b 的关系是（ ） A 、b a 53> B 、b a 53≥ C 、 b a 53< D 、 b a 5
3≤ 20.当21≤≤x 时，02>+ax ，则a 的取值范围是（ ）
A 、1->a
B 、2->a
C 、 0>a
D 、 01≠->a a 且
21.（2017春容县期末）已知关于x 的方程a x 352)2(4+=-+的解不小于方程2
)32(3)13(+=+x a x a 的解，求a 的取值范围。
22.（2015秋相城区期末）已知关于x 的方程52124+=++x m x 的解是负数。
（1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式3)2(2+>-mx x 。
23.已知关于x 的不等式
a x x 322434-<+的解也是不等式21621<-x 的解，求a 的取值范围。
24.已知不等式43>-ax x 的解在不等式x x 32
9233->-的解的范围内，求a 的取值范围。
25.若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=+4
2232y x m y x 的解满足23->+y x ，求出满足条件的m 的所有正整数值。
26.若关于x 的不等式2)2(3+<+-m x 的解集由正数组成，求m 的取值范围。