常微第五,六讲-初等积分法
微积分学讲义
微积分学讲义
微积分是理工类学科中一门重要的数学课程，它既涵盖了初等数学的知识，又具有独特的特点和重要价值。
本讲义旨在为学习者介绍微积分学，让学习者掌握微积分的基本概念、基本技能和基本知识，从而为学习者从事有关的应用领域打下坚实的基础。
第一章介绍了微积分的基本概念，包括定义、定义域、函数的不同层次以及定义域的概念。
其中，定义是指对于某一对象的特点的详细说明；定义域是指某个对象的所有可能值的集合；函数的不同层次分别指定义在定义域上的有穷个元素的集合。
第二章介绍了微分学，介绍了微分的定义以及它和积分的联系。
此外，也介绍了微分运算的一些基本理论，如极限和连续性、导数的概念、性质和运算规则，以及导数的几何意义。
第三章介绍了积分学，介绍了积分的定义、基本积分法和特殊积分法，以及求解定积分和不定积分的方法。
此外，还介绍了定积分和分之的联系以及分的几何意义。
第四章介绍了常微分方程，其中介绍了普通微分方程、拉普拉斯方程和偏微分方程的概念、性质以及求解方法，并介绍了常微分方程的几何意义。
本讲义旨在介绍微积分学的基本概念、基本技能和基本知识，供学习者参考。
而学习微积分的学习者，需要结合练习，努力掌握和理解各种基本概念和基本原理，进而在实践中运用微积分，取得更好的成绩。
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
初等积分法
初等积分法一、什么是积分法？积分法是微积分中的一种重要方法，用于求解函数的不定积分。
它利用导数和原函数的关系，将导数运算的逆运算——积分运算应用于各种函数的定积分问题上。
二、初等积分的概念初等积分又称为不定积分，是指可以用常见的初等函数表达出来的积分。
在初等积分法中，我们通过研究常见的初等函数及其性质，掌握一些基本的积分公式和方法，从而解决各种函数的积分问题。
三、常见的初等积分公式下面是一些常见的初等积分公式：1.∫1 dx=x+Cx n+1+C，其中n为实数且n≠−12.∫x n dx=1n+13.∫e x dx=e x+C4.∫sinx dx=−cosx+C5.∫cosx dx=sinx+C dx=arctanx+C6.∫11+x2这些公式在初等积分中非常常用，掌握它们有助于快速求解各类函数的不定积分问题。
四、常见的初等积分方法除了上述基本公式外，我们还可以通过一些特殊的积分方法来求解一些特定的积分问题。
以下是一些常见的初等积分方法。
1. 分部积分法分部积分法是求解乘积函数积分的一种方法。
根据分部积分法，对于两个可导的函数u(x)和v(x)，有如下公式：∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx通过适当选择u(x)和v′(x)，我们可以将复杂的积分问题化简为简单的形式，从而求解出积分的结果。
2. 三角代换法三角代换法是通过引入三角函数来进行代换，从而简化积分问题的一种方法。
常见的三角代换包括正弦代换、余弦代换和正切代换。
通过适当选择三角函数和变量的取值范围，我们可以将原函数转化为简单的三角函数的积分，然后再进行求解。
3. 有理函数分解法有理函数分解法主要用于分解有理函数为更简单的部分分式形式，并进而求解不定积分。
通过将有理函数展开为若干个分式的和，我们可以利用基本的初等积分公式求解每一个分式，最终得到整个有理函数的积分结果。
4. 特殊函数积分法在初等积分中，还可以通过引入一些特殊函数或定义积分函数来求解一些特殊的积分问题。
初等积分法
初等积分法初等积分法是求解函数的不定积分的一种方法，也是微积分中的重要内容之一。
它在许多科学领域的计算中都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。
掌握初等积分法不仅可以解决各种实际问题，还可以深化对函数性质和变化规律的理解。
在学习初等积分法之前，我们需要先了解积分的概念。
积分是微积分的两大基本运算之一，它是求解函数的面积、图形的曲线长度以及变化速率的逆运算。
而初等积分法则是通过列式、逐步分解或使用特定的换元和恰当的积分技巧，将被积函数转化为已知的标准积分形式，从而求解出不定积分。
初等积分法中最基本的积分公式是幂函数的积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n（其中n是一个实数，n≠-1），其不定积分可以表示为F(x)=∫x^n dx=C+x^(n+1)/(n+1)，其中C是任意常数。
这个公式是初等积分法的基础，其他许多函数的积分都可以通过变形、换元等方法转化为幂函数的积分来求解。
除了幂函数的积分公式外，初等积分法还包括三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数等的积分。
例如，当需要求解∫sin(x) dx 时，我们可以利用三角函数的性质进行换元，在变换后的积分形式中找到对应的已知积分，再将结果代回原积分中求解。
类似地，对于其他函数，我们可以根据其特性和已知的初等函数积分公式，选取合适的变换和积分方法进行计算。
在使用初等积分法求解不定积分时，常常会遇到一些特殊的情况和技巧。
例如，利用分部积分法可以解决乘积型的积分问题，利用有理函数的积分性质和分解可约因式可以简化计算过程。
此外，选择适当的放缩、替换变量、换元等方式，也可以使积分的求解更加简便和高效。
初等积分法的应用范围非常广泛。
在物理学中，初等积分法可以用于求解力、功、能量以及速度、加速度等的变化规律。
在工程学中，初等积分法可以用于解决电路、力学、热传导等问题。
在经济学中，初等积分法可以用于求解经济模型中的变量关系。
而对于一些不能直接求解的特殊函数，我们也可以通过初等积分法计算数值近似解，进一步提高求解精度。
常微分方程-第一章-初等积分法
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程初值问题
y H = f (x; y )的含义 如果将 y 视为系统状态变量，则导数 y H 就是状态的变化率；如果 将自变量视为时间，微分方程 y H = f (x; y ) 可解释为：
=
y (x) 或 x = x(t); y = y (t)。
有：
C 的 速 度 矢 量 为 (xH (t); y H (t)), 则 b=
=
q
(xH (t))2 + (y H (t))2
xH (t) dy dx
s
1+
dy 2
dx
(1)
另：
=
at y x
(2)
黄丹
danh_m@
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程 微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t = 0 时，在距地 面高度为H 处以初始速度 v (0) = v0 垂直地面下落，求此物体下 落时距离与时间的关系。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
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( y 0)
1 dy d( . ) 2 1 d y 1 dy 2 y dx 2( ) 0 方程化为: 2 y dx y dx dx
故有 解得
1 dy c1 y dx
y c2 e (c2 0)
c1 x
c1 x
显然 y 0 也是原方程的解. 故原方程的解为 y c2 e
时间记为
初值问题
，此时
14
C 含量为
，则由假设，
（1）
的解为
其中，k＞0为常数，k前置负号表示 上式表明
14
14
C 的存量是递减的.
即有
C是按指数曲线递减，而常数k可由半衰期确定.记
从而
其半衰期为T，则有
（2）
碳定年代法的根据
由于活着的生物通过新陈代射不断摄取
生物体内的 它停止摄取
14 14
14
C ，使得活着的
d 2 y dp dp dy dp p , 2 dy dx dx dy dx
dy p, dx
dp dp d( p ) d( p ) 3 d y dp 2 d2p dy dy dy p( ) p 2 2 dx3 dx dy dx dy dy
由数学归纳法知, y
(k )
C 与空气中的
14
C 有相同的含量，而生物死之后，
14
C 因而尸体内的
C 由于不断蜕变而不断减少.
14
碳定年代法就是根据死亡之后生物体内的 变化情况来判定生物的死亡时间的.
C
蜕变减少量的
碳定年代法的计算 由(2)式得 由于
（3）
不便于测量，我们可把(3)做如下修改.
对(1)式两边求导，得 而 将上式代入(3)，得
例: 求解微分方程
dy 2 dy ( ) ( x y ) xy 0. dx dx
解：方程右端分解因式，得
dy dy ( x)( y ) 0. dx dx
从而得到两个方程
dy x 0, dx
分别解这两个方程得到： 1 2 y C2 e x . y x C1 ,
II．求解方程 III．分析问题 通过已求得的解的性质，分析实际问题.
1. 等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲 线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己 知曲线的等角轨线. 当所给定的角为直角时，等角轨线就 称为正交轨线. 等角轨线在其它很多学科(如天文、气象 等)中都有应用. 下面就来介绍求等角轨线的方法.
就不能用初等积分求解．
这说明初等积分法有相当的局限性．
但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认 为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也是初 学者的基本训练之一．
作 业
P48: 4 (9),(14)
2.3 模型
一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的 过程分以下三个步骤： I．建立方程
对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些 等量关系列出微分方程和相应初值条件
即
y ( k ) ( x, c1 , c2 , cn k )
对上式进行k次积分,可求出原方程的解.
例１、 求解方程
解: 令
d4y z ,则方程可化为: 4 dx dz 1 z0 关于z的一阶方程 dx x
d y 1d y 0 5 4 dx x dx
5
4
通解是: 即
z cx
的左端是某个函数 ( x, y, y,…y n-1， 对x的导数， ) 即
dy dny d dy d n1 y F ( x, y, ，……， n ) ( x, y, , ……， n1 ) dx dx dx dx dx
则称方程为恰当导数方程。
dy d n 1 y 显然，原方程积分得： ( x, y, , ……， n 1 ) C dx dx 通过求解该n-1阶方程得到原方程的解。
x f y, y
降阶法： F y, y,..., y n 0
F x, y ,..., y
k
n
0
k 1
恰当导数方程
2．初等积分法的历史地位 自1676年微分方程的研究工作开始，其后100多 年间是初等积分发展的重要时期。1841年法国数学家 （Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等 积分求解，例如方程
注意有时还要讨论p=0时方程的解。
本节要点
1．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即 尽可能化成显式方程求解，其次再考虑用参数法求 解． 2．理解好参数解法原理。
作 业
P48: 1(1),(3)
二、几种可降阶的高阶方程
前几节介绍了一些一阶微分方程的初等积
分解法,在实际的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用中，还会遇到高阶的微
这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明 显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数. 列出微分方
程的关键就在于找到外力f和位移及其对时间的导数——速度
的关系. 只要找到这个关系，就可以由 方程了。 在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解 条件，如初值条件等. 列出微分
例2：物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的 作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4／5)，空气阻力可看 做与速度的平方成正比。试证明在这种情况下，落体存在极限速 度 。 解 设物体质量为m,空气阻力系数为k ，又设在时刻 t
, , y ) 0
(n)
方程不显含未知函数及其直到 k 1(k 1) 阶导数。
求解方法: 令 y ( k ) z ,就可把方程化为关于
n k 阶方程:
z
的
, z ( nk ) ) 0 F ( x, z, z
若能求得其通解为:
降阶
z ( x, c1 , c2 , cnk )
第二章
初等积分法
本章主要内容
2.1 初等积分法
2.1.1 分离变量法 2.1.2 线性方程 2.1.3 全微分方程与积分因子
2.2 可化为初等积分法求解的方程
2.3 模型
一、一阶隐式微分方程
本节讨论如何求解隐式微分方程
F ( x, y, y) 0
该问题我们分两种情形讨论。
1. 若能从隐式方程中解出 y, 则得到一个或几个 显式方程，从而可利用前面介绍的方法求解。
消去C
例1 求直线束 解 首先求直线族
的等角轨线和正交轨线. 的微分方程. 消去C，就得到
1）等角轨线的微分方程为
或 积分
即
即等角轨线为 如果写成极坐标形式，不难看出为对数螺线 2）正交轨线的微分方程为
求解
故正交轨线为同心圆族
2. 动力学问题
前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律
C ，这 种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而
动物又以植物作食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内. 由于
14
14
C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都
在不断蜕变，我们先求出这种蜕变规律。
通常假设蜕变速度与该时刻
14
C 的存量成正比.
设在时刻t(年)生物体中 14 C 的存量为x(t)，生物体的死亡
原方程的通解可以表示 为
2
1 2 ( y x C1 )( y C2e x ) 0. 2
dy y 0. dx
我们可用以下的 2. 对于不能解出 y 的隐式方程， 参数法求解。
（1）
dy ) （2） x f ( y, dx
方法概括：
1. 2. 3.
d 2 y dy 2 例3 求解方程 y ( ) 0 2 dx dx
解：原方程可以写成
故有 即
d ( yy ' ) 0 dx yy C
ydy Cdx
积分后得通解为 y 2 C1 x C2
例4 求解方程
d y dy 2 y 2 ( ) 0 dx dx
1 y2
2
解: 方程两边乘以积分因 子
（4）
上面两式相除，得
这样由(4)可知，只要知道生物体中在死亡时
14
C 的蜕变速度
x 0 和现在时刻t的蜕变速度 x t ，就可以求得生物体的
死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中 速度与生物体死亡时代生物体中
14 14
C 的蜕变
C
的蜕变速度相同.
马王堆一号墓年代的确定 马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的
d4y cx 4 dx
对上式积分四次,得原方程的通解为:
y c1 x5 c2 x3 c3 x 2 c4 x c5
（2） 第二种可降阶的高阶方程
形如： 特点：
F ( y, y,, y ( n ) ) 0
方程中不显含未知函数y的自变量x。
求解方法:
则
用
p y
作为新未知函数,
常数变易法
dy P x y Q x dx dy P x y Q x y n , n 0,1 dx
积分因子法：将方程化为全微分方程 参数法：
F x, y 0,
F y, y 0
y f x, y ,
物体的下落速度为v, 于是在时刻 t,物体所受的合外力为
重力 - 空气阻力
这里建立的坐标系，使得重力mg方向向下，与运动方向一致， 空气阻力方向向上，与运动方向相反。 从而，根据牛顿第二定律
可列出微分方程
因为是自由落体，所以有 从而 积分得：
或 当 据测定 时,有
解出v，得
,其 为物体形状有关常数, 中 为物体在地面上的投影面积.