上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—04—子集与推出关系—杨阳-学生版
1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：集合,A B 之间的关系α与β之间的推出关系 α是β的什么条件 原命题“若α，则β”的真假 逆命题“若β、则α”的真假A ⊂≠B αβ⇒，/βα⇒ 充分非必要条件 真命题 假命题 A ⊃≠Bβα⇒，/αβ⇒必要非充分条件 假命题 真命题 A B =αβ⇔充要条件真命题真命题子集与推出关系知识梳理,A B 不满足以上三种情况/αβ⇒，/βα⇒既非充分又非必要条件假命题 假命题一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人 ；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x ； （2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x I ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5例题解析【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系． （1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数 （2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． （1）写出31x -<<的充分条件； （2）写出31x -<<的必要条件； （3）写出31x -<<的充要条件．【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =， 则α是β的 条件． （2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的 条件． （3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的 条件． （4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的 条件．【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的 条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 条件．【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的 条件．2．“2x ≥”是“2x >”的 条件．3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的 条件．4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的 条件．5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的 条件．6．“0xy <”的一个充要条件是（ ）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>7．设α：实数x 232x x +=，β:4x =-或1x =,则α是β的 条件．8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（ ） （1）α：()()120x x -+=， β：2x =-（2）α：2b ac =，β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数 （4）α：1x =且2y =-， β：2xy =- A .(1)(2)(3) B .(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围．【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（ ） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224mg x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，()0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（ ）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠>5．已知命题:14x α-≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围．6．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件； (2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件； (3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件；(4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件；(5)A B =⇔α是β的充要条件．反思总结1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；课后练习命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+= （2）:0a b α+> ； :0,0a b β>> （3）:0xy α> ； :x y x y β+=+11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—02—集合的运算—李新媛-教师版
【例 5】已知集合 A x | 2x 6 0, x R, B x | x a, x R,C x | x 5 ，若
A (B C) x | 4 x 5 ，则实数 a 的值是
集，因为 B C ，则 C 共有 2m 2mn 个。
【例 15】已知 A= t t满足 x x2 2tx 4t 3 0 R , B t t满足 x x2 2tx 2t 0 ,其中 x,t
均为实数
(1) 求 A B ；
(2) 设 m 为实数， g(m) m2 3, 求 M m g(m) A B 。
（1）若 m 2 ，且 a N ，求 A B ； （2）若 m a2 ，且 a 0 时，是否存在这样的实数 a ，使得集合 A B 中仅有一个元素？若存 在，求出 a 的取值范围；若不存在，试说明你的理由．
【难度】★★
【答案】⑴0,1, 2,3 ；⑵ 2 1,1 ．
高一数学秋季课程
集合的运算（教师版）
建议利用韦达定理。
【 例 10 】 已 知 X 是 方 程 x2 px q 0 的 实 数 解 集 ， A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}. 且
X A , X B X ,则 p+q=
．
【难度】★★ 【答案】26
【例
11】
A
x,
y
y3 x2
a 1, x,
y R, B
从而 B or{3}or{6}or{3, 6}
高一数学秋季课程
集合的运算（教师版）
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专业 引领 共成长
当 B ， a2 4b 0 B {3} ，由-3 是方程 x2 ax b 0 的根且 0 ，a=6,b=9 B {6}，同理可得 a=-12，b=36 B {3, 6} ，a=-3,b=-18
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-04-命题充要条件-打浦桥校区-学生版
一、课前引入：1、用“⇔⇐⇒,,”填空①某个数能被4整除________某个数是偶数；②两个角相等________两个角是对顶角；③三角形有两个内角相等________三角形是等腰三角形；④两个平面图形全等________两个图形面积相等；*⑤“xx22<”________“10<<x”；二、新课探知：1、四种命题形式及其相互关系:2、充分条件与必要条件：充分条件：若条件α可以使事件β成立，即βα⇒，称α是β的充分条件，或β的充分条件是α必要条件：若没有条件α则事件β不成立，即αβ⇒，称α是β的必要条件，或β的必要条件是α充要条件：对于事件A和B，若BA⇒，且AB⇒，即BA⇔，则称A是B的充要条件；3、集合与子集的推出关系：记条件p、结论q对应的集合分别为A、B，则：若BA⊆，等价于qp⇒，则p是q的充分条件；若BA⊇，等价于qp⇒，则p是q的必要条件；知识引入命题的充要条件与子集若B A =，则p 是q 的充要条件； 从集合的角度解释充分必要条件： 若集合P,Q 满足Q P ⊆，则p ：x ∈P ⇒q ：x ∈Q ，即x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，x ∈Q 是x ∈P 的必要条件，用口诀可以记忆为“小充分大必要”。
一、命题的充要条件【例1】将题1中的题改写成：充分条件，必要条件、充要条件 ①某个数能被4整除是某个数是偶数的 ________； ②两个角相等是两个角是对顶角的________；③三角形有两个内角相等是三角形是等腰三角形的________； ④两个平面图形全等是两个图形面积相等的________； ⑤“x x 22<”是“10<<x ”的________； 【例2】:1、“四边形对角线相等”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“四边形是矩形”是“四边形的两组对边分别相等”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、“四边形是矩形”是“四边形是正方形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件知识讲解及例题分析【例3】1、“整数的个位数是5”是“整数是5的倍数”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“整数是5的倍数”是“整数是25的倍数”( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件【例4】试从①1=x ；②1-=x ；③0)3)(1)(1(=-+-x x x 中，选出适合下列条件者，用代号填空（1）12=x 是__________的充分条件； （2）12=x 是__________的必要条件；【巩固训练】1、对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件2、已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、已知a b c d ，，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件5、命题232:x x x p =+是命题232:x x q =+的………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件6、设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7、命题5:≠+y x p 是命题3:≠x q 或2≠y 的……………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件8、给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是__________.二、*充要条件的证明：①B A ⇒（充分性）②A B ⇒（必要性）【例5】已知是系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，“042=-ac b ”是“方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？【巩固训练】1、求证：直线l ：0=+-b y ax 经过两直线05:1=-+y x l 和2l ：0153=+-y x 交点的充要条件是“23=+b a ”.2、已知0≠ab ，求证：1=+b a 的充要条件是0))(1(22=+--+b ab a b a3、已知c b a ,,都是实数，证明：0<ac 是关于x 的方程02=++c bx ax 有一个正根和一个负根的充要条件三、*子集的推出关系【例6】、试用子集的推出关系来说明α是β的什么条件 （1）;1:,1:2==x x βα（2）:α正整数n 被5整除，:β正整数n 的个位数是5【例7】;,421:,31:R m m x m x ∈+≤≤+≤≤βαα是β的充分条件，求m 的取值范围.【巩固训练】1、命题“a b >”是命题“33a b >”……………………………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、命题12:<<-x p 是命题1:<x q 或2>x ………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、命题1>yx的一个充分不必要条件是……………………………………………………………（ ） .A y x > .B y x < .C 0>>y x .D 0<<x y4、“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是5、2<x 是24x <的……………………… ……………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件6、若x R ∈，则“1x >”是“11x<”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7、设集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，则B 是A 的真子集的一个必要不充分条件是（ ）.A }31,21{-∈m .B }31,0{∈m.C}31,21,0{-∈m .D }1,31,21,0{-∈m8、已知集合3|{<=x x M 或}5>x ，}8|{≤≤=x a x P（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个充分但不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个必要但不充分条件；1、充要条件：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ⇒，即βα⇔，则称α是β的充要条件； 充分不必要：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ，则称α是β的充分不必要条件； 必要不充分：对于事件α和β，若αβ⇒，且且αβ，则称α是β的必要不充分条件；2、集合与子集的推出关系：记条件p 、结论q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若B A ⊆，等价于q p ⇒，则p 是q 的充分条件； 若B A ⊇，等价于q p ⇒，则p 是q 的必要条件； 若B A =，则p 是q 的充要条件；注意：证明α是β的充要条件：（1）充分性证明：βα⇒，（2）必要性证明：αβ⇒1．若非空集合MN ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．【难度】★2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【难度】★课后练习反思总结3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解 B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比【难度】★★4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【难度】★★5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．【难度】★★6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．【难度】★★7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题⊆：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件； 命题⊆：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题⊆和命题⊆都成立 B ．命题⊆和命题⊆都不成立 C ．命题⊆成立，命题⊆不成立 D ．命题⊆不成立，命题⊆成立 【难度】★★★8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ； :0,0a b β>>（3）:0xy α> ；:x y x y β+=+【难度】★★11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．【难度】★★12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【难度】★★11 / 11 专业 引领 共成长高一数学新课课程 命题的充要条件与子集的推出关系 13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-. 【难度】★★★。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式及其应用(一)课件
1、整理一些基本不等式的常用变式并给出证 明。
2、请同学查找资料，尝试给出这两个基本不 等式其它的几何解释。
今天的课上完了， 同学们再见！
当且仅当 a = b 时等号成立。
基本不等式2的几何解释
设 AC a,CB b, 则 DO a b 。
2 DC ab
我们有
D
a b ab , 2
当且仅当 a = b
C
O
时等号成立。
Aa
b
B
基本不等式2
对于任意正数 a 和 b, 有 a b ab , 2
当且仅当 a = b 时等号成立。
a
2
b
2
由基本不等式 2，得0 ab a b .
可得
ab
a
b
2
,
2 即S
S*
2
当且仅当 a = b 时，矩形的面积最大，这时
矩形成为正方形。
小结
•今天我们学习的内容是什么？ •研究过程中包含了那些思想方法？ •对于今天的学习你有何体会？
作业
1、 P57 练习 2.4(1)
2、在面积保持不变的条件下，正方形的周长 与矩形的周长之间有什么大小关系？
b
”改为“ab
0”，结论ba
a b
2
还成立吗？
若
ab
0，求
b a
a b
的取值范围。
解：
当 ab
> 0,
有
b a
a b
2
b a 2。 ab
当且仅当 b a , 即 a = b ≠ 0 时等号成立。
ab
当 ab < 0, 有
b a
0
,
a0 。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-11-不等式章节小结-学生版-蒋奎
高一数学新课教师日期学生课程编号课型复习课课题不等式章节小结教学目标1、不等式的性质2、不等式的证明3、不等式的解法4、不等式的应用教学重点1、注重不等式的解法，解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．2、不等式的应用，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．教学安排版块时长1 例题解析802 巩固训练303 师生总结104 课后练习30一、不等式的性质（一）、知识精讲1．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； 例题解析无理不等式 不等式不等式的性质基本不等式不等式的解法比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法不等式的证明有理不等式超越不等式 绝对值不等式一元一次不等式(组)一元二次不等式(组) 整式高次不等式(组) 分式高次不等式(组) 指数不等式(组) 对数不等式(组) 三角不等式(组)不等式的应用函数的定义域、值域与单调性、取值范围问题、最值问题、方程根的分布、数列不等式、函数不等式的证明、实际应用问题线性规划知识梳理基本不等式(3)加法性质：a >b ⇔________；推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________；推论：a >b >0，c >d >0⇒________； (5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________.2．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．(2)作商法：依据：设a >0，b >0，则a >b ⇔__________，a <b ⇔ab<1.(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断．(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．（二）典型例题【例1】(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【例2】已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．【例3】下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【例4】若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例5】已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．例6设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．【巩固训练】1． 若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b2． 设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_________．3． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b4． 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________．5． 比较a a b b 与a b b a (a ，b 为不相等的正数)的大小．6． (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .7． 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．二、不等式的证明（一）、知识精讲▲知识点1 利用比较法证明不等式1.定义：对于任意两个实数,a b ，有0;0;a b a b a b a b >⇒->=⇒-=a b <⇒0a b -<。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-02-集合的运算(教师版)—松江—朱国文
高一数学新课（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课题集合的运算教学目标1.理解交集、并集的概念及性质；2.能熟练运用数轴和V enn图进行集合的交、并、补运算3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．4.通过观察和类比，借助V enn图理解集合的交集及并集运算，树立数形结合的思想，体会类比的作用，感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.教学重点1.交、并、补运算2.交、并、补运算的书写3.利用Venn图、数轴表示集合运算教学安排版块时长1知识梳理302例题解析403巩固训练404师生总结105课后练习30【问题1】用V enn图分别表示下列各组中的三个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{－1,1,2,3}，B＝{－1，－2,1}，C＝{－1,1}；(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}；问：上述每组集合中，,,A B C之间均具有怎样的关系？答：V enn图如下图所示，(1) (2)容易看出，集合C中的每一个元素既在集合A中，又在集合B中.【问题2】考察下面集合的元素A={x|x为10的正约数}；B={x|x为15的正约数}；C={x|x为10与15的正公约数}问：上述集合中，A，B，C之间具有什么关系？答：用列举法表示，则A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}容易看出，集合C的元素恰是集合A与B的公共元素。
【问题3】考察下列各组中的三个集合，(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．(3) A＝{x|x≤0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，C＝R；问：你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？答：集合A和集合B的元素并在一起即为集合C的元素．知识引入【问题4】考察下列各组中的三个集合，(1)A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，S ＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A ＝{x |x 是有理数}，B ＝{x |x 是无理数}，S ＝{x |x 是实数}． (3) A ＝{x |x ≤0，x ∈R }，B ＝{x |x >0，x ∈R }，S ＝R ； 问：(1)你能说出集合S 与集合A ，B 之间的关系吗？ (2)若在S 中除去元素A 得到的集合是什么？答：集合A 和集合B 的元素并在一起即为集合C 的元素．若在S 中除去元素A 得到的集合是集合B一、交集 1、交集的概念文字语言 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B I ，读作“A 交B ”符号语言{|,}A B x x A x B =∈∈I 且图形语言BABA2、交集的性质①A A A =I ； ②A ∅=∅I ； ③A B B A =I I ； ④A B A ⊆I ； ⑤A B B ⊆I ；⑥A B A B A ⊆⇔=I ； ⑦()()A B C A B C =I I I I . 二、并集 1、并集的概念文字语言由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作A B U ，读作“A 并B ”符号语言{|,}A B x x A x B =∈∈U 或知识讲解图形语言BABA注：“x A x B ∈∈或”含有三种意思：①x A ∈但x B ∉；②x B ∈但x A ∉；③x A ∈且x B ∈. 2、并集的性质①A A A =U ； ②A A ∅=U ； ③A B B A =U U ； ④A B A ⊇U ； ⑤A B B ⊇U ；⑥A B A B B ⊆⇔=U ； ⑦()()A B C A B C =U U U U . ⑧反演律：()()()A B C A B A C =I U I U I ；()()()A B C A B A C =I I U U U 三、补集 1、补集、全集文字语言我们在研究集合与集合之间的关系时，如果集合包含我们所要研究的各个集合，那么这个集合可以看成一个 全集 。
上海昂立智立方数学高中 高数—10暑—08—集合单元复习—周宝瑞-教师版
高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题集合单元复习教学目标1．理解交集及其性质，会求两个集合的交集；2．理解并集及其性质；会求两个集合的并集；3．理解补集及其性质；会求两个集合的补集。
教学重点交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关性质教学安排版块时长1例题解析50 2巩固训练40 3师生总结10 4课后练习201、集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
集合常用大写字母C B A 、、…来表示，集合中的元素用c b a 、、…表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合 集合单元复习知识梳理含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集规定空集不含元素，记作∅集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法2、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。
上海昂立智立方数学高中-高一(秋季班)-高数—10秋—03—命题和充要条件—贾德淼-教师版
高一数学秋季班（教师版）一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。
4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。
二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。
如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作α、β。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:命题和充要条件知识梳理6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。
叫做的必要条件。
2、充要条件：α⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，如果既有，又有，即有β这时我们就说是的充要条件。
一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【难度】★【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星. 【难度】★【答案】（1）是命题，且是真命题.（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断. （3）不是命题，是祈使句. （4）是开语句，不是命题. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A例题解析【解析】①假命题，如12a =；②假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，；③假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾．【例4】下列判断中正确的是( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【难度】★★ 【答案】C【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★★ 【答案】A【解析】记，，A B C 三点的坐标分别为()()()，，，，，A A B B C C x y x y x y ， 则+≥A C C B A C C B A B A B AC CB x x x x y y y y x x y y AB +=-+--+--+-=，当，C C x y 都分别在，A B x x 与，A B y y 之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定； 对于②，取(00)(01)(10)，，，，，C A B ，则②中等式左边112=+=，右边2(11)4=+=，故②假．【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）【难度】★ 【答案】真2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________ 【难度】★★ 【答案】[)1,2【解析】[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩或3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题： ①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有 ②B A A B ⇔⋂=∅不包含于 ③B A A ⇔不包含于不包含B④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在 其中真命题的序号是 【难度】★★ 【答案】③④【解析】①反例：{}{}1,2,3,2,3,4A B ==4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A【解析】①假命题，集合N 中最小的数是0； ②假命题，如12a =；③假命题，如0,1a b ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾.二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【难度】★★【答案】逆命题：若||||x y =，则x y = （假，如1x =，1y =-）否命题：若x y ≠，则||||x y ≠ （假，如1x =，1y =-） 逆否命题：若||||x y ≠，则x y ≠ （真，∵||||x y x y =⇒=）【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【难度】★★ 【答案】（3）【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 【难度】★★【答案】逆命题:若b a +是偶数，则b a ,都是偶数，它是假命题; 否命题:若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数，它是真命题.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”； 【难度】★★【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假） 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假） 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真） ⑵逆命题：若a b +是偶数，则a 和b 都是偶数．（假） 否命题：若a 和b 不全是偶数，则a b +不是偶数．（假）逆否命题为：若a b +不是偶数，则a 和b 不都是偶数．（真）⑶分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >． 逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >．（真） 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤．（真） 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤．（真） ⑷逆命题：若3x =且2y =，则5x y +=．（真） 否命题：若5x y +≠，则3x ≠或2y ≠．（真） 逆否命题：若3x ≠或2y ≠，则5x y +≠．（假）【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【难度】★★★【答案】由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩∴2m >由命题q 可以得到：2(2)160m ∆=--< ∴26m -<< 因为,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m or m >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【难度】★★【答案】C【解析】①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题； ②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；③为真命题，∵1q ≤时，一元二次方程的判别式440q ∆=-≥，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题； ④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.2、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4 【难度】★★【答案】C【解析】逆命题和否命题是真命题．3、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥ 【难度】★★ 【答案】D4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）． 【难度】★★【答案】①②③【解析】①、②显然正确；③当1≤m 时，有440≥m ∆=-，∴方程有实数根，即原命题为真， ∴它的逆否命题也为真；④A B B =则B A ⊆，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假． 5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【难度】★ 【答案】D【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【难度】★★ 【答案】D【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。
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高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号08课型同步复习课题基本不等式教学目标1.掌握基本不等式的概念；2.掌握几个重要不等式；3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路；4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；教学重点1.掌握不等式的使用条件；2.掌握不等式的变形；3.掌握多次使用不等式的方法；教学安排版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P ；（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈，2222a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则12na a a n+++L 称为这n 个正数的算术平均数，12n n a a a ⋅⋅⋅L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是：1212n nn a a a a a a n++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅，当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。
知识梳理基本不等式一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>>ΘΘ的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，当时，即，取得最小值。
【例3】如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ） （A ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （B ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （C ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 （D ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 【难度】★★ 【答案】A2244,44,2c d ab a b ab cd c d +⎛⎫≤+=⇒≤=≤⇒+≥⇒ ⎪⎝⎭两个不等式取等号时相等，且取值唯一。
223ab ba223b a 2a b 3b b 2a 2a b a b 2a 1+=+≥++=+++=+b a 2a b =22b ,12a ,a 2b -=-==例题解析【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22ab≥a+b D b a ab +2≥ab【难度】★★【答案】D ， A,B 显然满足，而C 22222222a b a b a b a b ab ab+++≥⇒≥≥+【巩固训练】1、若x> -1则x 取什么值时x+11+x 的值最小？最小值是多少？ 【难度】★【答案】X=0，最小值是12、若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,,2x y xy x y xy ++中最大的一个是_____________。
【难度】★ 【答案】【x y +】二、不等式的最值问题【例5】若1y x 22=+，则xy 的取值范围 【难度】★ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【例6】已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值 。
【难度】★★【答案】5,()240,1,12211511x y x y x x y y y y -=⇒=⇒+=+-+≥--f f【例7】已知+∈R y x ,，且32=+y x ，则12121+++y x 的最小值为 。
【难度】★★ 【答案】23()()()()22111222,,232216.1,221663x y x y R x y x y x y x y ++++⎛⎫+∈+=⇔+++=⇒+⋅≥=== ⎪++⎝⎭由取等。
【例8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()2,+∞1331222//,22S S S S DO CO BO AO BO AOAD BC AOD COB BO AO S S S DO CO DO CO +∴∆∆∴=∴=+=+≥⋅=Q 相似与，BO AO BO DO O BD DO CO==当且仅当时，时，即为中点时取等；由题意得，不可能，所以等号不可以取。
【例9】设a>b>0，求的最小值。
【难度】★★【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2【例10】x>-1，当x 为何值时，112+++x x x 的值最小？最小值是多少？【难度】★)b a (b 16a 2-+22a 642b a b 16)b a (b 16=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥-b a b -=+≥-+22a )b a (b 16a 16642a 642=≥22a 64a =【解析】Θ x>-1 ∴112+++x x x =11)1()1(2+++-+x x x =1121111=-≥-+++x x当且仅当x=0时取最小值1。
【例11】()222222111,,1,++x y z x y z x y z++=非零实数满足则的最小值是【难度】★★【解析】1的妙用，可以从局部和整体妙用1，这也是针对于这类问题的基本思路。
答案是9【例12】已知1101,1x x x+-p p 则的最小值是？ 【难度】★★ 【解析】()111111=+1=2+4,1112x x x x x x x x x x x -⎛⎫++-+≥= ⎪---⎝⎭当且仅当时取等号。
【例13】函数)0,0(,2>>+=b a bax xy 最大值与最小值分别为 。
【难度】★★ 【解析】211,00,0,022x y x y x y x y b b ax b ab ab ax ax x x ====≤=-≥+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭f p 时，时，【例14】2211,,1,a b R a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∈+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知且求的最小值。
【难度】★★2211112,2,8.a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥+≥∴+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 错误解法：一正二定三相等再次忽略。
22,22a b a b++≥≥正确解法，利用“平方均值算术均值”：222111111115222222a b a b a b a b a b ab ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥=Q ，252∴最小值是【例15】设y x ,都是正数，且使y x k y x +=+，求实数k 的最大值。
【难度】★★【解析】k 最大值为√2，方法一，两边同时平方，不要忘记K 大于0.方法二，参变分离，利用平方均值。
【例16】110.na b c n a b b c c a ++≥---f f 设，求使不等式成立的最大正整数【难度】★★★ 【解析】()()(),00,0.1111a ,a b c a b b c a c c a b b c a b b c a b b c ---⎛⎫⎛⎫≤-+=-+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦----⎝⎭⎝⎭f f f f f 因为所以，有题设的不等式可以做一下变形，把n 单独提取出来，得到如下的变形n 故n=4.【例17】已知0>>y x ，1=xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
【难度】★★ 【解析】()22222626222,2,1,x y xy x y x y x y xy y x x y x y x y -++-+==-+≥-====---当且仅当【例18】已知0,0,0,()1,x y z xyz x y z >>>++=求()()x y y z ++最小值。
【难度】★★【解析】()()()12x y y z y x y z xz xz xz++=⋅+++=+≥【巩固训练】1、已知2<x ，则2332-+-x x x 的最大值为 ，此时=x 。
【难度】★【解析】最大值是-1，x=1 2、若)b a ,,0,0(,1≠>>=+为正常数，且b a y x ybx a ，则实数y x +的取值范围 。
【难度】★【答案】)2,a b ab ⎡+++∞⎣3、已知()y2,,*,230,.x y z R x y z xz ∈-+=则的最小值是【难度】★ 【解析】()32y219=63,344x z x z x y z xz xz z x +⎛⎫=++≥== ⎪⎝⎭当且仅当时取最小值。
4、已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 【难度】★★【答案】利用“1的代换”,∵x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+y x x y 9+.∵x ＞0,y ＞0,∴yxx y 9+≥2yxx y 9•=6.当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.5、已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,ybx a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 【难度】★★ 【解析】 x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10， ∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a三、基本不等式的应用【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为【难度】★★ 【答案】3-2√2。
64711 【例19】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润y （单位：10万元）与运营年数)(N x x ∈为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。