最新八年级上册数学第一章知识点加经典例题
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
(完整版)浙教版初中数学八年级上册知识点及典型例题
数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角所截，构成了八个角。
如图：直线l , l被直线l321L3 a3L1 14a12358L2 a267的同旁，并且分别位于直线l , ll 的相同一侧，这样的一51. 观察∠1与∠的位置：它们都在第三条直线231对角叫做“同位角”。
2. 观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线l的异侧，并且都位于两条直线l , l 之间，这样的一对213角叫做“内错角”。
3. 观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线l的同旁，并且都位于两条直线l , l之间，这样的一对角231叫做“同旁内角”。
想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）复习画两条平行线的方法：A A L12L1o抽象成几何图形（图形的平移变换）L1oL B2B．21）怎样用语言叙述上面的图形？提问：（1 被AB所截）（直线l，l 21（2）画图过程中，什么角始终保持相等？2）（同位角相等，即∠1＝∠位置关系如何？，3）直线ll （21）l∥l （21（4）可以叙述为：2∵∠1＝∠）（∥∴ll ？ 1 2。
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单地说：同位角相等，两直线平行。
21＝∠几何叙述：∵∠l∥l（同位角相等，两直线平行）∴ 2 1想一想c a21b若a⊥b,b⊥c则a c2在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
平行线判定方法的特殊情形：2）1．2 平行线的判定（CDAB与＝180°，则AB与CD平行吗？②若∠2+∠4图中，直线AB 与CD被直线EF所截，①若∠3＝∠4，则平行吗？E1A B432 C DF°42+∠＝180°，∠2+∠3＝180 ，∠①∵∠3＝∠41＝∠4 ②∵∠＝∠4 ∴∠3 1∴∠＝∠3）（）∴AB∥CD （∥∴ABCD内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。
数学八年级上册知识点第一章
数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
八年级上册数学第一章知识点加经典例题
八年级上册数学第一章知识点加经典例题Chapter 11.1 Understanding TrianglesXXX:1.XXX.2.XXX.3.XXX.4.Understand the concepts of angle bisectors。
medians。
and altitudes in triangles。
XXX.Key Points:1.n: XXX that are not on the same line and are connected end-to-end。
The symbol "△" is used to represent a triangle。
and a XXX as "△ABC"。
The sum of the r angles of a triangle is 180°.2.Properties: The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side。
the difference een any two sides of a triangle is less than the third side (the shortest distance een two points is a straight line)。
Note: XXX line segments can form a triangle。
compare the sum of the two XXX.3.XXX:Acute triangle (all three r angles are less than 90°);Right triangle (one r angle is 90°) (denoted as Rt△ABC);Obtuse triangle (one XXX is greater than 90°).4.Angle bisectors。
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“三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。
三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）三角形内角和为180°2.性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短）★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
3. ★三角形的角平分线、中线和高线角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。
中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
★重要性质：1；角平分线上的点到角的两边距离相等。
2；中线平分与它相交的边3；一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。
4；三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。
高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。
5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。
★同高等底的两个三角形面积相等。
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
1；三角形的外角及外角的性质外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。
2. 重要结论：A．三角形三个内角的和等于180°；B．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
D.三角形的外角和为360°全等三角形定义： 1能够重合的两个图形称为全等图形；全等用符号“≌”表示，读做“全等于“性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。
★三角形全等的条件1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；5 HL（Rt△）；（两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等则两三角形全等）定义：垂直于平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
八年级上册数学第一章知识点和题
第一章 认识三角形1.1认识三角形学习目标1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。
2. 能够正确地按角将三角形进行分类。
3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。
4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等工具画三角形。
知识点1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。
三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）三角形内角和为180°2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
3. 按角进行分类：锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt △ABC ）钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。
4. ★三角形的角平分线、中线和高线角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。
中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
AB C★重要性质：1角平分线上的点到角的两边距离相等。
2中线平分与它相交的边。
3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。
4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。
高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。
5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。
★同高等底的两个三角形面积相等。
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
1.3 证明学习目标1.知道证明的意义和证明的必要性2.知道证明的过程及书写格式3.会证明三角形的内角和定理4.知道三角形的外角及外角的性质知识点1.证明要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
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第一章
认识三角形
1.1认识三角形
学习目标 1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。
2. 能够正确地按角将三角形进行分类。
3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。
4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等
工具画三角形。
知识点
1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。
三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点） 三角形内角和为180°
2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三
边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
3. 按角进行分类：
锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；
直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt △ABC ）
钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。
A
B C
A B C
4. ★三角形的角平分线、中线和高线
角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。
中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
★重要性质：1角平分线上的点到角的两边距离相等。
2中线平分与它相交的边。
3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内
部，交于一点。
4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。
高线是
顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。
5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。
★同高等底的两个三角形面积相等。
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
1.2定义与命题
学习目标
1.了解定义、命题的意义
2.会区分命题的条件和结论
3.会在简单情况下判断一个命题的真假
4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的
知识点
1. 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或
术语的定义。
（例如：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，“无限不循环小数叫做无理数”）
★注意：定义的常用叙述方式有“……叫做……””……叫……“”……
是……”等。
定义是严密的，通常有以上几种判断动词。
2. 命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。
★注意：命题必须是一个完整的句子，是对某一件事情作出了正确或不正确的判断，或者说作出了肯定或否定的判断。
3. 命题的构成——条件与结论
命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始部分为条件，“那么”后面的部分是结论。
★注意：有一些命题的叙述，其条件和结论并不那么分明，我们可以先把它改写为“如果……那么……”的形式，再找其条件和结论。
4．真命题和假命题
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
★举反例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举反例。
★要说明一个命题是假命题，通常举一个反例即可。
★命题是判断一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错。
1.3 证明
学习目标
1.知道证明的意义和证明的必要性
2.知道证明的过程及书写格式
3.会证明三角形的内角和定理
4.知道三角形的外角及外角的性质
知识点
1.证明
要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的
定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推
理过程叫做证明。
2.三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三
角形的外角。
3. 重要结论：
A．三角形三个内角的和等于180°；
B．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
D.三角形的外角和为360°
4. 证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
（3）在“证明”中写出推理过程。
注意：1.有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这是只要写出“证明”一步即可。
2.在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入
证明中，辅助线通常画成虚线。
1.4全等三角形+1.5三角形全等的判断
1. 全等三角形
定义：1能够重合的两个图形称为全等图形；
全等用符号“≌”表示，读做“全等于“
2能够重合的两个三角形形称为全等三角形；
3两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对
应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角
叫做全等三角形的对应角。
性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。
★三角形全等的条件
1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；
2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；
4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；
5 HL（Rt△）；（两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等则两三角形全等）
定义：垂直于平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
1.6尺规作图作法：
例题1下面三种说法：①两个能够重合的三角形是全等三角形；②全等三角形的形状和大小相同；③全等三角形的面积相等。
其中正确的说法有（）
A、3个
B、2个
C、1个
D、0个
例题2 若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个？
例题3 如图，AD ⊥BC ，∠1=∠2 ，∠C=65°，求∠BAC 的度数。
例题4 如图，已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是△ABC 的两条角平分线，相交于点O 。
（1）当∠ABC=60°,∠ACB=80°时，求∠BOC 的度数；
（2）当∠A=40°时，求∠BOC 的度数；
（3）当∠A=x 时，求∠BOC 的度数(用含x 代数式表示）。
例题5 已知△ABC 中，AC=5cm 。
中线AD 把△ABC 分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm 。
你能求出AB 的长吗？
A B C
例题6如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。
只要测量出AˊBˊ的长就知道内槽AB的宽。
请说明理由。
例题7 一块三角形玻璃不小心摔成如图三片。
只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃。
你知道应带哪一片碎玻璃吗？请说明理由。
例题8如图，点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB，PC⊥AC，若PC=3cm，则点P到AB的距离是多少？
例题9 1.已知△ADF≌△CBE，则结论：①AF=CE ②∠1=∠2 ③BE=CF ④AE=CF，正确的个数是( )
（Ａ）1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个
例题10 如图，要说明△ABD≌△ACE，还需增加两个什么条件？
（1）
（2）
例题11 已知∠α、∠β和线段a，用直尺和圆规作△ABC，使∠A ＝∠α，∠B = ∠β，AB = a。
例题12 如图，已知AB=DC ，AD=BC,说出下列判断成立的理由：
(1) △ABC ≌△CDA (2) ∠B=∠D
例题13 如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC,H 是AD 上一点，连接BH,CH.
(1)AD 平分∠BAC 吗？为什么？
(2)你能找出几堆相等的角？请把它们写出来（不需写理由）。
例题14 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图①，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形。
B D A
C B H
D
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图①画法1画法2画法3画法4。