现代控制理论第八章
现代控制理论（浓缩版）
现代控制理论（浓缩版）绪论1．经典控制理论与现代控制理论的比较。
经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。
经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。
它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。
在对精度要求不高的场合是完全可用的。
最大成果之一就是PID 控制规律的产生，PID 控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。
现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。
确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。
现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。
从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。
而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。
面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。
但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。
所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。
如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。
2．控制一个动态系统的几个基本步骤有四个基本步骤：建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
现代控制理论(修改最终版)
《现代控制理论基础》课程教学大纲课程编号：课程名称：现代控制理论英文名称： Modern Control Theory课程性质: 考试学时： 42学时（讲授36学时+6学时实验）适用对象: 工业自动化先修课程：自动控制理论，线性代数，工程数学一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用现代控制理论是自动化专业的主干技术基础课，它是在经典控制理论的基础上建立和发展起来的。
本课程是以状态空间理论为核心，对动态系统进行分析和研究。
它不但可以解决单变量线性定常系统，还可以解决多变量、时变、非线性系统的问题。
通过本门课程的学习，使学生掌握线性控制系统的状态空间描述,能够对线性系统的几种模型进行互相转化; 掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化;熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则;了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论; 掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。
通过对本课程的学习，要求学生系统地获得现代控制理论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，为后继课程的学习奠定良好的理论基础.（二）教学基本要求1. 掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。
2. 掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。
3. 掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。
4.掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。
5. 对线性系统理论的新发展有所了解。
6. 为学生进一步的学习打下必要的基础。
（三）课程教学方法与手段以课堂讲授为主，辅以习题、实验等环节。
（四）实践环节通过计算机仿真，主要运用Matlab软件使学生能初步掌握MATLAB工具包，并用它在计算机环境中进行控制‘实验’，对控制系统进行分析与综合，以提高学生的系统分析和综合能力。
现代控制理论Modern Control Theory
c(t)
s(s 1)(4s 1)
试分析系统的稳定性
解 非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦
查表得描述函数 N ( A) K 4M
Chapter 8 Analysis and design of nonlinear system
非线性系统的分析与设计
2
The Principle of Automatic Control 2008
第八章、非线性控制系统分析
8.1 非线性控制系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法 8.4 改善非线性系统性能的措施及非线性特
8.1 非线性控制系统概述
8.1.3 非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理— 线性系统理论原则上不能运用
• 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，初条件有关，平衡点可能不惟一
• 自振运动
— 非线性系统特有的运动形式
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振
性的利用（稳定性判别）
3
The Principle of Automatic Control 2008
8.1 非线性控制系统概述
8.1.1 非线性现象的普遍性
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
E.g. 欧姆定律U=IR
4
The Principle of Automatic Control 2008
j
G( j)
1 N ( A)
1 N ( A)
0
当гG曲线包围
1 N ( A)
,系统不稳定
当гG曲线不包围 N (1A),系统稳定
25
The Principle of Automatic Control 2008
现代控制理论课件教材
2. 1895年劳斯（Routh）与赫
尔维茨（Hurwitz）把马克 斯韦尔的思想扩展到高阶微 分方程描述的更复杂的系 统中,各自提出了两个著名
的稳定性判据—劳斯判据
和赫尔维茨判据。基本上 满足了二十世纪初期控制 赫尔维茨（Hurwitz）
工程师的需要。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
水 运 仪 象 台
2. 公元1086－1089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
二 起步阶段
随着科学技术与工业生 产的发展，到十八世纪， 自动控制技术逐渐应用到 现代工业中。其中最卓越 的代表是瓦特（J.Watt） 发明的蒸汽机离心调速器， 加速了第一次工业革命的 步伐。
•成绩:
• 期终考试: 70% • 作业: 15% • 出席: 15%
同济大学汽车学院 2013
同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
课程内容：
• 绪论 • 控制系统的状态空间描述 • 线性控制系统的运动分析 • 线性控制系统的能控性和能观性 • 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 • 状态反馈和状态观测器 • 最优控制
3.由于第二次世界大战需要 控制系统具有准确跟踪与补 偿能力，1932年奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频域 内研究系统的频率响应法， 为具有高质量的动态品质和 静态 准确度的军用控制系 统提供了所需的分析工具。
奈奎斯特
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
4.1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出了复数域内 研究系统的根轨迹法。 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨 迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论 （或自动控制理论）。
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
(完整版)现代控制理论
第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
一、举例自动测温，控温系统图;加热气体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R∆，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)e；(t2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);4.e *τ(t)为常值。
加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→ϕ 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现因接触时间很小，τo T 〈〈τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。
作用：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统工作过程⇒由保持器5. 采样控制方式采样周期To ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⇒相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。
《现代控制理论基础》第八章(3)
计算行列式得： Qo = 0， 事实上 rankQo = 2 < 3 det 该系统不完全能观。
16
2 [Jordan标准型判据 标准型判据] 标准型判据 1） 若系统（2）为对角标准型，其矩阵 A 的特征 值 λ1 , λ2 ,L , λn 两两互异，
λ1 0 L 0 0 λ O M 2 x = x & M O O 0 0 L 0 λn y = Cx
满足条件：
AII = A
T I
BII = C
T I
CII = B
T I
则称系统 ∑ 1 与系统 ∑ 2 是互为对偶的系统。
23
注意
∑
∑
1
2
r 输入 m 输出 n 阶系统 m 输入 r 输出 n 阶系统
BI
∑ u I
1
+
∫
AI
xI
CI
yI
∑ u II
2
C
T I
+
∫
AIT
xII
BIT
yII
对偶系统结构原理图
答：能控
1 0 u 1 0 u 2 0 2
答：能控
11
& x1 λ1 1 0 x1 1 7 u （3） x2 = 0 λ1 0 x2 + 0 0 1 & u x3 0 0 λ3 x3 −3 2 2 &
答：不完全能观
22
8.3.3
能控性与能观性的关系 ——对偶原理 对偶原理
一. 对偶系统的概念
& xI = AI xI + BI uI & xII = AII xII + BII uII 若系统 ∑ 1 ： 与系统 ∑ 2 ： yI = C I x I yII = CII xII
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ˆ 8.3.1 X ( Z ) a BZ 称为 x 的线性估计，其中 为常量， 为 n m 常阵，Z 为m维观测向量。
定义8.3.2 使误差方差阵
% ˆ ˆ DX X X (Z ) X X (Z )
8.2 最小方差估计
% % 定义8.2.1 使误差方差阵 EXX 最小的估计
ˆ X v (Z )
X 叫 X 最小方差估计，ˆ (Z ) 是一个随机向量。
设 X 的概率密度为 f ( x)，Z的概率密度为 g ( z)，
二者的联合概率密度为 ( x, z ),则在Z=z 条件
X 下， 的条件概率密度为 p x z ( x, z ) / g ( z ) ˆ X (Z )的误差方阵为
估计误差的方差为
1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 5 ˆ E ( X X V )2 10 3 10 3 10 4 10 4 10 3 10 3 24
进而求得
5 5 ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) 0 1 Z Z 2 2
2005-11-5
第八章 状态估计
ˆ 例8.3.2 已知 X 和 Z的联合分布如表8-2,试求 X L ( Z )
解： EX 1 (1) 3 1 1 1 2 2 7
最小。注意到
ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) p( x / z)dx
ˆ ˆ [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] p( x / z )dx
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
在右边加减 cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X ) 后配方，得
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
2005-11-5
第八章 状态估计 =
[ X E( X
z )][ X E ( X z )] p( X z )dx
ˆ ˆ ( z ) E ( X z )][ X ( z ) E ( X z )] p ( X z )dx [X +
= [ X E ( X z)][ X E ( X z)] p( X z)dx
ˆ ( Z )] DX cov( X , Z )( DZ ) 1 cov( Z , X ) 81 3 21 D[ X X L 100 5 100
2005-11-5
第八章 状态估计 小于前面最小方差估计时的误差方差
ˆ ) 5 D( X X V 24
线性最小方差估计的统计性质为：
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第八章 状态估计
X 的线性最小方差估计为
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
3 10 , z 1 7 7 Z , z0 10 10 17 10 , z 1
估计误差为方差
＝ DX bb BD(Z ) B cov( X , Z ) B B cov(Z , X )
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第八章 状态估计
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
% % ˆ ˆ EXX E( X X (Z )) ( X X (Z ))
ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) ( x, z)dxdz
[
ˆ ˆ ( X X ( z )) ( X X ( z)) p( x / z)dx] g ( z)dz
8.1.2差分方程模型
随机差分方程模型
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u (k ) b1u(k 1) bmu(k m) (k ) c1 (k 1) c p (k p)
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第八章 状态估计
% % 阵 EXX 最小
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第八章 状态估计
ˆ ˆ E X X MV ( Z ) X X MV ( Z )
例8.2.1 设被估计量 x 和观测量 z 的联合分布 如表8-1所示， 试求 x 的最小方差估计。 表8-1 x z -1 1 -3 1/4 0 -2 1/4 0 2 0 1/4 3 0 1/4
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第八章 状态估计 表8-2
z x -1 -1 0 0 1 1 2
1/10 2/10
0
1
ˆ 解: XV E( X / Z )
1/10 3/10
1/10 2/10
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第八章 状态估计
1 3 , z 1 3 , z0 4 5 3, z 1
D( X
z )g ( z )dz
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第八章 状态估计
ˆ 解 XV E( X / Z )
5 2 , 当 z -1 时 5 , 当 z 1时 2
例8.2.2
已知被估计量 x 和观测量 z 的联合分布
如表8-2所示,试求 x的最小方差估计和线性最小 方差估计。
ˆ ˆ ( z ) E ( X z )] [ X ( z ) E ( X z )] [X
[ X E( X
z)][ X E ( X z )] p( X z )dx D( X z )
ˆ ˆ 可知，当且仅当 X ( z ) E ( X z ) X MV (Z ) 时，方差
L
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第八章 状态估计 例8.3.1 设被估计量 X和 Z观测量的联合分布如表 8-1，试求 X 的线性最小方估计
解: 根据表中数据可以求出：
1 1 EX (2 3 2 3) 0 EZ (1 1 1 1) 0 4 4 1 13 DX [22 32 (2) 2 (3) 2 ] 4 2 1 2 2 DZ [1 1 (1) 2 (1) 2 ] 1 4 5 cov( X , Z ) [1 2 1 3 (1)(2) (1)(3)] Z 2
(1)线性
ˆ X L a BZ
ˆ (2)无偏性 EX L E[ EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )] EX
(3)正交性
ˆ E ( X X L )Z 0
ˆ 由于 E ( X X L )( BZ ) 0 ˆ 所以 E( X X )(Z EZ )
第八章 状态估计
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计
8.4 波-状态估计
2005-11-5
第八章 状态估计
8.1 系统的描述
8.1.1状态空间模型
随机状态空间模型描述：
X k k ,k 1 X k 1 Bk 1Uk 1 k 1Wk 1
EZ EX ， =P ， H DX
D(Z ) HPH， R
再根据正态分布中的条件概率可知
ˆ XV E ( X z ) PH [ HPH R]1 (Z H )
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第八章 状态估计
8.3 线性最小方差估计
最小方差是最理想的估计，但需要知道 X , Z 的联
10 10 10 10 10 1 2 1 2 EZ (1) 1 0 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2
1 17 2 7 1 7 3 3 1 3 2 173 81 DX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
要方差 DX最小,必须令 b 0 ，B cov( X , Z )( DZ )1 由此推得：
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
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% % EXX
第八章 状态估计
ˆ 定理8.2.1X 的最小方差估计 X (Z ) 等于 X 的条件 ˆ 条件均值为 X (Z ) E( X / Z )
证:
% % 使 EXX 最小，等价于使
ˆ ˆ ( X X ( z)) ( X X ( z)) p( x / z)dx
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第八章 状态估计
ˆ 最小的线性估计 X ( Z ) a BZ 称为线性最小方差 ˆ 估计 ，记为 X L (Z )
令 则 于是有
b aEx BEZ
a b EX BEZ
ˆ ˆ X X (Z ) X X (Z ) E X a BZ X a BZ E ＝ E X EX b B[Z EZ ] X EX b B[Z EZ ]