平面间的夹角
2.5.1 直线间的夹角、平面间的夹角 课件(北师大选修2-1)
2 3 1 ∴P0，0， ，E0， a， a 3 2
3 a . 2 1 3 2 3 (1)证明： BE ＝－a， a， a， PD ＝0，2a，－ a， 2 2 3 ∴ BE · ＝0＋a2－a2＝0. PD ∴ BE ⊥ PD ，∴BE⊥PD. 1 3 (2) AE ＝0， a， a， CD ＝(－a，a,0)． 2 2 1 2 a 2 2 AE · CD ＝ 则cos〈 AE ， CD 〉＝ ＝ ， 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ BA · ＝0， BB1 · ＝0， BB1 · ＝0， AB BC BC ∴ BA1 · ＝－a2. AC
又∵ BA1 · ＝| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 ， AC 〉， AC －a2 1 ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝ ＝－ . 2 2a· 2a ∴〈 BA1 ， AC 〉＝120° .
(4分)
x，y，z· 0，0，1＝0， ∴ x，y，z· 2，1，0＝0. y＝－ ∴ z＝0.
2x，
(6 分) ，0)，
平面两直线夹角公式
平面两直线夹角公式在我们学习数学的过程中，平面两直线夹角公式就像是一个神秘的小魔法，虽然看起来有点复杂，但只要掌握了，就能轻松解决好多难题。
先来说说啥是平面两直线夹角。
想象一下，在一个大大的平面上，有两条直线，它们就像两个调皮的小伙伴，有时候靠得很近，有时候又离得远远的。
它们之间形成的那个角，就是我们要研究的夹角啦。
平面两直线夹角公式是：tanθ = |(k₂ - k₁)/(1 + k₁k₂)| ，这里的 k₁和 k₂分别是两条直线的斜率。
那这个公式到底咋用呢？比如说，有两条直线，一条直线的方程是y = 2x + 3 ，另一条是 y = -0.5x + 1 。
咱们先求出它们的斜率，第一条直线的斜率 k₁是 2 ，第二条直线的斜率 k₂是 -0.5 。
然后把这两个数带进公式里，tanθ = |( -0.5 - 2)/(1 + 2×(-0.5))| ，经过计算就能得出夹角的正切值，再通过反正切函数就能求出夹角的大小啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷茫地看着我，问：“老师，这公式到底有啥用啊？”我笑着对他说：“孩子，你想想啊，假如你是个建筑师，要设计一个漂亮的大楼，大楼的两边得有好看的线条吧，如果不懂得计算两直线的夹角，那这线条可能就歪歪扭扭的，多难看呀！”这孩子眨眨眼睛，好像有点明白了。
在实际生活中，平面两直线夹角公式的应用可多啦。
比如道路的设计，工程师们得计算道路之间的夹角，保证车辆行驶的安全和顺畅；还有美术设计中，画家们要确定线条的角度，才能画出美丽的图案。
再深入想想，这个公式其实反映了数学的一种美，一种严谨和精确的美。
它就像一把钥匙，能打开很多知识的大门。
学习这个公式的时候，大家可别害怕出错，多做几道练习题，多琢磨琢磨，慢慢就会熟练掌握啦。
总之，平面两直线夹角公式虽然看起来有点难，但只要我们用心去学，它就能成为我们解决问题的有力武器。
相信大家都能学好它，在数学的海洋里畅游！。
《两平面的夹角》课件
欢迎来到《两平面的夹角》的PPT课件。本课程将带您深入了解夹角的概念、 定义、测量方法以及它们在现实生活中的应用。让我们开始吧！
什么是夹角
夹角是指由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。
夹角的定义
夹角的定义是两条相交直线边上的两个邻补角之一。
如何测量夹角
可以使用量角器或者正弦、余弦、正切等三角函数来测量夹角。
位和距离。
3
电路设计
夹角的概念在电路设计中常用于确定电 路中元件的安装角度。
总结
• 夹角是由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。 • 夹角可以通过量角器或者三角函数来测量。 • 夹角的种类包括锐角、直角、钝角和平角。 • 夹角具有一些特殊的性质和应用。
夹角的种类
根据夹角的大小和性质，夹角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
夹角的性质
1 对角相等
夹角的对角是相等的。
3 互补角
夹角的互补角之和为90度。
2 邻补角
夹角的邻补角之和为180度。夹的应用1建筑设计
夹角的概念在建筑设计中常用于确定墙
地理测量
2
壁、屋顶等部分的角度。
地球上两点之间的夹角可以用来计算方
平面与平面夹角的正切值公式
全部作文
平面与平面夹角的正切值公式
平面与平面夹角的正切值公式（Tan）是用来表示两个平面夹角的正切值，也就是当两个平面夹角的正切值为1时，它们之间的夹角为45°。
它是一个有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间夹角的大小。
正切值公式的基本原理是，如果两个平面夹角的正切值为1，那么它们之间的夹角就是45°。
另外，如果两个平面夹角的正切值为0，那么它们之间的夹角就是0°。
此外，如果两个平面夹角的正切值大于1，那么它们之间的夹角就会大于45°；如果两个平面夹角的正切值小于1，那么它们之间的夹角就会小于45°。
正切值公式可以用来计算任意两个平面之间夹角的大小，只要知道它们之间正切值就可以。
此外，正切值公式还可以用来解决其他各种角度和距离的问题，比如两条直线的夹角和距离，这些都可以用正切值公式来计算。
总之，平面与平面夹角的正切值公式是一个很有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间的夹角大小，也可以用来解决其他各种角度和距离的问题。
直线与平面夹角的公式
直线与平面夹角的公式直线与平面夹角是几何学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍直线与平面夹角的定义、性质以及计算公式。
一、直线与平面夹角的定义直线与平面夹角是指一个直线与平面之间的夹角。
具体来说，如果一条直线与一个平面相交，那么直线与平面之间的夹角就是这条直线与平面的法线之间的夹角。
法线是指垂直于平面的直线，也就是与平面上所有点的切线都垂直的直线。
因此，直线与平面夹角的定义可以简单地表示为：直线与平面之间的夹角等于这条直线与平面的法线之间的夹角。
二、直线与平面夹角的性质1. 直线与平面夹角的大小范围为0到90度之间。
2. 直线与平面夹角的大小与这条直线在平面上的位置有关。
如果直线与平面的交点在平面内部，那么夹角的大小为锐角；如果直线与平面的交点在平面上，那么夹角的大小为直角；如果直线与平面的交点在平面外部，那么夹角的大小为钝角。
3. 直线与平面夹角的大小与平面的倾斜程度有关。
如果平面与直线的夹角越小，那么夹角的大小就越小；如果平面与直线的夹角越大，那么夹角的大小就越大。
三、直线与平面夹角的计算公式直线与平面夹角的计算公式可以通过向量叉积来推导。
具体来说，设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线与平面的夹角θ可以表示为：θ = arccos (a·n / |a||n|)其中，a·n表示向量a和向量n的点积，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。
另外，如果直线的方向向量已知，平面的法向量也已知，但是两者不一定垂直，那么可以先求出平面上的一条切线，然后再计算切线与直线之间的夹角。
切线的方向向量可以通过向量叉积来计算，即： t = a × n其中，×表示向量叉积。
然后，再求出切线与直线之间的夹角，就可以得到直线与平面的夹角了。
四、应用举例1. 计算直线与平面夹角假设有一条直线L，其方向向量为a = (1, 2, 3)，并且与平面P相交，平面P的法向量为n = (2, 3, 4)。
高等数学：第八讲 空间两平面的夹角
A2 B2 C 2
因为
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
P1
——点到平面的距离公式
n P0
d
谢谢
23
例题讲解
例2. 一平面通过两点 M1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且垂直于平面1：
x + y + z = 0，求其方程 .
解 假设平面有一法向量为
则
，
n
M1
n1 1
M2
故取
所以该平面方程为
即
例题讲解
例3. 设
是平面
P0 到平面的距离d .平面的夹角
设平面1的方程为 A1x B1 y C1z D1 0
则其法向量为
n1
A1 ,
B1, C1
设平面 2的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0
则其法向量为
n2
A2 ,
B2 , C2
n1
n2
2
1
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2
1
n1
2
n1
1
n2
2
例题讲解
例1. 求平面 2x y z 3 和平面 x y 2z 9 夹角。
解
根据空间两个平面的夹角公式
cos | 211 (1) 1 2 |
22 12 12 12 (1)2 22
31 62
所以
arccos 1
解
设平面法向量为
n
A, B, C ,
在平面上取一点
P1 ( x1 , y1 , z1 ), 则P0 到平面的距离为
高中数学选修2-1《平面间的夹角》
n1, n2
;
当
2
n1, n2
时,
n1, n2
.
例1、如图，在空间直角坐标系中有单位
正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1
与平面ABCD的夹角. z
解 : 设平面BCD1A1与 平面ABCD的法向量
分别是n1和n2 , 则n2 (0,0,1)
A1 D1
cos n1, n2 n1 n2 | n1 || n2 |
2. 2
此时
n1, n2
4
z A1
因此，平面BCD1A1与 D1
平面ABCD的夹角
n1, n2
4
A
D
O
x
B1
C1 y
B C
若取平面BCD1A1的法向量n1 (0,1,1),则
cos n1, n2 n1 n2 | n1 || n2 |
2
时,
n1, n2
;
当
2
n1, n2
时,
n1, n2
.
0
z D1
C1
x y1z 2
B1
A1
y
n ( z , z , z) z (1,1,2),
D
22 2
C
其中z 0
A
O
EB x
取n0 (1,1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量,
向量AA1 (0,0,2)与平面CDE垂直,
n0与AA1所成的角为二面角C DE C1的平面角
两平面夹角的取值范围
两平面夹角的取值范围以两平面夹角的取值范围为标题，我们来探讨一下这个话题。
两平面夹角是指由两个平面所形成的夹角，它在几何学中扮演着重要的角色。
在解决各种几何问题时，我们经常需要考虑两平面之间的夹角，因此了解夹角的取值范围对我们的学习和解题过程非常有帮助。
我们来回顾一下夹角的定义。
夹角是由两条射线所形成的角度，其中一条射线叫做夹角的边，另一条射线叫做夹角的始边。
夹角通常用符号“∠”来表示，例如∠ABC表示由射线AB和射线BC所形成的夹角。
对于两平面夹角来说，我们首先需要知道的是两平面之间的夹角是指两个平面的法线之间的夹角。
两个平面的法线是与平面垂直的直线，它们的夹角就是两平面的夹角。
夹角的度数通常用度（°）来衡量，取值范围是0°到180°之间。
那么，两平面夹角的取值范围是多少呢？根据几何学的原理，两个平面可以分为三种情况：平行、垂直和一般情况。
当两个平面平行时，它们的法线之间的夹角为0°。
这是因为平行的两个平面的法线是重合的，它们之间没有夹角。
当两个平面垂直时，它们的法线之间的夹角为90°。
这是因为垂直的两个平面的法线是相互垂直的，它们之间的夹角为直角。
对于一般情况，两个平面的法线之间的夹角可以是任意的，取值范围是0°到180°之间。
这是因为一般情况下，两个平面可以存在各种夹角，它们的法线可以有不同的倾斜角度。
在实际问题中，我们经常需要计算两平面夹角的大小。
对于平行和垂直的情况，夹角的大小是固定的，可以直接得出。
但是对于一般情况，我们需要利用几何学的知识和计算方法来求解。
常见的求解方法有几何解法和向量解法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
总结起来，两平面夹角的取值范围是0°到180°之间。
在解决几何问题时，我们需要根据具体情况来确定夹角的大小，并选择合适的计算方法进行求解。
通过深入研究和理解两平面夹角的概念和性质，我们可以更好地应用几何学知识，解决各种几何问题。
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C1
B1 y C
E B
此时： cos cos - u, v
| u v | 综上： cos | u || v |
u v = cos u, v = u v
例1、如图，在空间直角坐标系中有单位 正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1 与平面ABCD的夹角.
uv 此时： cos cos u, v = = u, v ， 1当0 u, v 时， 2 u v
夹角为，则
u
v
= 2当 u, v 时， 2
u, v ,
此时： cos cos - u, v
z A1 D A D1 B1 C1
1 0 1 0 2 2 6 3 11 4 0 0 4
y C
E B
O
x
布置作业
课本 P47 习题2-5
A组 第2，4题
解 : 以A为原点, AB, AD, AA1分别 为x轴, y轴, z轴的正向建立 空间直角坐标系 , 则有 D(0,3,0) , E (3,0,0) , C1 (4,3,2)
z D1 B1 y D A O E B C x C1
A1
于是DE (3,3,0)EC1 (1,3,2)
设向量n ( x, y, z)与平面C1DE垂直, 则有
4
C
练习 1 、 平面 1的法向量为n1 (1,2,3), 平面 2的法向量为n2 (1,0,2). 求两个平面夹角的余弦值.
70 cos cos n1 , n2 . | n1 || n2 | 14 n1 n2
练习2、 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中,已知 AB 4, AD 3, AA1 2, E是AB上的点, EB 1. 求二面角C ED C1的余弦值.
4
y O B
C
若取平面 BCD1 A1的法向量 n1 (0,1,1),则
2 cos n1 , n2 . 2 | n1 || n2 |
3 n1 , n2 4
A1
D1 A D x O C1 y B
n1 n2
z
B1
因此，平面BCD1A1与
平面ABCD的夹角
n1 , n2
x
=∠MRN为两个平面二面角的平面角
2
N
2
N
n1 n2
1
M
n1
n2
R
当0 n1 , n2 时, n1 , n2 ; 2 当 n1 , n2 时, n1 , n2 . 2
C x D A
B
y
3 1 2 ∴ C1 D ( 4 , 4 , 2 )
CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n ＝(1,0,0)为面
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)
3 3 DB ( , ,0) 4 4
CC1 B 的法向量
由 C1 D m, DB m 得 z 3 1 3 3 2 C1 B1 C1D m x y z 0, DB m x y 0 A1 4 4 4 4 2 解得 x 3 y
1
M
R
练习3 ：正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中 点，当 AB1 BC1时，求 平面DBC1与平面CBC1夹角 的余弦值。
C1
A1
B1
C D A
B
解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面 三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 D ( a, a,0) B ( 0 , a , b ) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 1 4 4 2 2
5.2 平面间的夹角
石泉中学：李晓明
知识回顾
直线间的夹角
（1）夹角的定义（画法）： （2）夹角的范围； （3）夹角的计算方法和步骤。
平面的法向量
如何求平面的法向量？
二面角定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。
F
O
以二面角棱上任一点为端点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.
D x z
A1
C1 A O
B1
y B
C
取n1 (0,1,1),得
2 cos n1 , n2 . 2 | n1 || n2 |
此时 n1 , n2
n1 n2
4
D1 A D x
z
A1
C1
B1
因此，平面BCD1A1与 平面ABCD的夹角
n1 , n2
u v = cos u, v = u v
u v
小结：
设平面 和的法向量分别为u和v， 若两个平面的夹角为，则
1当0 u, v 时， = u, v ， 2 uv 此时： cos cos u, v = u v 2当 u, v 时， = u, v , 2
故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b)
2 2
1 2 2 AB1 BC1, AB1 BC1 a b 0 2 2 b a 2
C1
z
A1
B1
2 则可设 a =1，b ，则B(0,1,0) 2 2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 2 4 4 3 1 2 3 3 C D ( , , ) DB ( , ,0) ∴ 1 4 4 2 4 4
B
A
E
二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是 二面角的度数。我们规定二面角大小的范围为 0，
在两个平面所成的二面角的平面角 0, 中，称 范围在 0, 内的角为这两个平面的夹角。 2
平面间夹角的范围： 0, 2
设平面 和的法向量分别为u和v，若两个平面的
解 : 设平面BCD1 A1与 平面ABCD的法向量 分别是n1和n2 , 则n2 (0,0,1)
D x D1 A O z
A1
C1
B1
y B
C
因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0),所以
A1B (0,1,1), BC (1,0,0)
n1 A1 B 0 设n1 ( x, y, z ),则 n1 BC 0 D1 y z 0 即 x0
6 z 2
所以，可取 m (3, 3, 6 ) C x D A B
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
y
2 平面DBC1与平面CBC1夹角的余弦值为 2
小
结
取n0 (1,1,2), 则n0是一个与平面C1 DE垂直的向量, 向量 AA1 (0,0,2)与平面CDE垂直, n0与 AA1所成的角为二面角C DE C1的平面角 cos n0 AA1 | n0 | | AA1 |