弦振动共振波形及波的传播速度测量

弦振动共振波形及波的传播速度测量
本实验研究波在弦上的传播，驻波形成的条件，及改变弦长、张力、线密度、驱动信号频率等状况下对波形的影响，并可观察共振波形和波速的测量。

301FB 型弦振动实验仪是在传统的弦振动实验仪、弦音计的基础上改进而成的，能做标准的定性弦振动实验，即通过改变弦线的松紧、长短、粗细去观察相应的弦振动的改变及音调的改变。

还能配合示波器进行定量的实验，测量弦线上横波的传播速度和弦线的线密度等。

【实验目的】
1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。

2．测量不同弦长和不同张力时的共振频率。

3．测量弦线的线密度。

4．测量弦振动时波的传播速度。

【实验原理】
正弦波沿着拉紧的弦传播，可用等式(1)来描述。

如果弦的一端被固定，那么当波到达
)(2sin 1ft x y y m -=π (1)
端点时会反射回来，这反射波可表示为：
)(2sin 2t f x y y m ⋅+=λπ (2) 在保证这些波的振幅不超过弦所能承受的最大振幅时，两束波叠加后的波方程为:
)(2sin )(2sin 21ft x y ft x y y y y m m ++-=+=λππ (3)
利用三角公式可求得：
)2cos()/2sin(2ft x y y m πλπ= (4)
等式的特点：当时间固定为0t 时，弦的形状是振幅为)2cos(20ft y m π的正弦波形。

在位置固定为0x 时，弦作简谐振动，振幅为)/2sin(20λπx y m 。

因此，当λλλ4
5 , 4
3 , 4
1 0=x …，
振幅达到最大，当λλλ2
3 , , 210=x …，振幅为零。

这种波形叫驻波。

以上分析是假定驻波是由原波和反射波叠加而成的，实际上弦的两端都是被固定的，在
驱动线圈的激励下，弦线受到一个交变磁场力的作用，会产生振动，形成横波。

当波传到一端时都会发生反射，一般来说，不是所有增加的反射都是同相的，而且振幅都很小。

当均匀弦线的两个固定端之间的距离等于弦线中横波的半波长的整数倍时，反射波就会同相，产生振幅很大的驻波，弦线会形成稳定的振动。

当弦线的振动为一个波腹时，该驻波为基波，基波对应的的驻波频率为基频，也称共振频率。

当弦线的振动为两个波腹时，该驻波为二次谐波，对应的的驻波频率为基频的两倍。

一般情况下，基波的振动幅度比谐波的振动幅度大。

另外，从弦线上观察到的频率（即从示波器上观察到的波形）一般是驱动频率的两倍，这是因为驱动的磁场力在一个周期内两次作用于弦线的缘故。

当然，通过仔细的调节，弦线的驻波频率等于驱动频率或者其他倍数也是可能的，这时的振幅会小些。

下面就共振频率与弦长、张力、弦的线密度之间的关系进行分析。

只有当弦线的两个固定端的距离等于弦线中横波对应的半波长的整数倍时，才能形成驻波，即有： 2λ
n
L =
或 n
L
2=
λ 其中L 为弦长，λ为驻波波长，n 为波腹数
另外，根据波动理论，假设弦柔性很好，波在弦上传播速度（V ）取决于两个变量：线密度（μ）和弦的拉紧度（T ），其关系式为：
μ
T V = (5)
其中μ 为弦线的线密度，即单位长度的弦线的质量（单位：m kg / ），T 为弦线的张力，单位：N ，或 2
/s m kg ⋅ 再根据λ⋅=f V 这个普遍公式可得：
μλT f V =⋅=
(6) 如果已知µ值时，即可求得频率：
L n T
f 2⋅
=
μ (7)
如果已知f ，则可求得线密度：
222
4f
L T n =μ (8)
【实验仪器】
301FB 型弦振动研究实验仪、301FB 型弦振动实验信号源各一台，双踪示波器一台。

实验仪器结构描述见图1。

1．调节螺杆 2．圆柱螺母 3．驱动传感器 4．钢丝弦线 5．接收传感器 6．支撑板
7．拉力杆 8．悬挂砝码 9．信号源 10．示波器
【实验内容】
一．实验前准备：
1．选择一条弦，将弦的带有铜圈的一端固定在拉力杆的U 型槽中，把另一端固定到调整螺杆上圆柱形螺母上端的小螺钉上。

2．把两块支撑板放在弦下相距为L 的两点上（它们决定振动弦的长度）。

3．挂上砝码（kg 50.0或kg 00.1可选）到实验所需的拉紧度的拉力杆上，然后旋动调节螺杆，使拉力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的拉紧度），见图2。

如果悬挂砝码“M ”在拉力杆的挂钩槽1处，弦的拉紧度(张力)等于Mg 1，g 为重力加速度（2
80.9s m g =），如果挂在如图2挂钩槽2处，弦张力为Mg 2，……。

注意：由于砝码的位置不同，弦线的伸长量也有变化，故需重新微调拉力杆的水平。

4．按图1连接好导线。

二．实验内容：
提示：为了避免接收传感器和驱动换能器之间的电磁干扰，在实验过程中要保证两者之间的距离不小于cm 10 。

1．放置两个支承板相距cm 60 ，装上一条弦。

在拉力杠杆上挂上质量为kg 00.1的铜砝码，(仪器随带砝码：g 500一个， g 200一个， g 100二个， g 50一个， 钩码g 50一个，总质量共计kg 00.1)，旋动调节螺杆，使拉力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离支承板大约cm 10~5处，把接收线圈放在弦的中心位置。

把弦的张力T 和线密度μ记录下来。

2．调节信号发生器，产生正弦波，同时把示波器灵敏度调节到：格/5mV k y = 。

3．慢慢提高信号发生器频率，观察示波器接收到的波形振幅的改变。

注意：频率调节过程不能太快，因为弦线形成驻波过程需要一定的能量积累时间，太快则来不及形成驻波。

如果不能观察到波形，则可以适当增大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应适当减小信号源输出幅度。

一般信号源输出为p p V -3~2 (峰-峰值)时，即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，可看到有明显的振幅。

当弦振动最大时，示波器接收到的波形振幅最大，弦线达到了共振，这时的驻波频率就是共振频率。

记下示波器上波形的周期，即可得到共振频率f 。

注意：一般弦的振动频率不等于信号源的驱动频率，而是2倍或整数倍的关系。

4．记录下弦线的波腹波节的位置，如果弦线只有一个波腹，这时的共振频率为基频。

且波节就是弦线的两个固定端（两个支承板处）。

5．再增加输出频率，连续找出几个共振频率（3~5个），当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，肉眼可能不易观察到。

这时先把接收线圈移向右边支承板，再逐步向左移动，同时观察示波器，找出并记下波腹和波节的个数及每个波腹和波节的位置。

一般这些波节应该是均匀分布的。

6．根据所得数据，算出共振波的波长（两个相邻波节的距离等于半波长）。

7．移动支承板，改变弦的长度。

根据以上步骤重复做五次。

记录下不同的弦长和共振频率。

注意，两个支承板的距离不要太小，如果弦长较小、张力较大时，需要较大的驱动信号幅度。

8．放置两个支承板相距cm 60（或自定），并保持不变。

通过改变弦的张力（也称拉紧度），弦的张力由砝码所挂的位置决定（如图2所示，这些位置的张力成1、2、3、4、5的整倍数关系）。

测量并记录下不同拉紧度下的驻波的共振频率(基频)和张力。

观察共振波的波形（幅度和频率）是否与弦的张力有关？
9．使弦处于第三档拉紧度，即物块挂于Mg 3处，放置两个支承板相距cm 60（上述条件也可自选一合适的范围）。

保持上述条件不变，换不同的弦，改变弦的线密度（共有3根线密度不同的弦线），根据步骤⑶、⑷测量一组数据。

观察共振频率是否与弦的线密度有关；共振波的波形是否与弦的线密度有关？
【数据处理】
1．不同弦长时的共振频率： 弦的线密度0μ
作弦长与共振频率的关系图。

2．不同张力时的共振频率：
这里的共振频率应为基频，如果误记为倍频的数值，则将得出错误的结论。

3．求弦线的线密度：
求得f 后，则可求得线密度： 2224f
L T
n =μ
式中L 为弦长，f 为驻波共振频率，n 为波腹数，T 为张力
4．求波的传播速度：
根据 μT V =算出波速，这一波速与λ⨯=f V （f 是共振频率，λ是波长）作比较。

作张力与波速的关系图。

【注意事项】
1．弦上观察到的频率可能不等于驱动频率，一般是驱动频率的2倍，因为驱动器的电磁铁在一周内两次作用于弦。

在理论上，使弦的静止波等于或是驱动频率的整数倍都是可能的。

2．如果驱动与接收传感器靠得太近，将会产生干扰，通过观察示波器中的接收波形可以检验干扰的存在。

当他们靠得太近时，波形会改变。

为了得到较好的测量结果，至少两传感器的距离应大于cm 10 。

3．在最初的波形中，偶然会看到高低频率的波形叠置在一起，这种复合静止波的形成是可能的。

例如，弦振动可以是驱动频率，也可以是它的两倍，因而形成复合波。

4．悬挂和更换砝码时动作应轻巧，以免使弦线崩断，造成砝码坠落而发生事故。

【思考题】
1)通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？
2)试将按公式求得μ值与静态线密度0μ值比较，分析其差异及形成原因。

3)如果弦线有弯曲或者粗细不均匀 ，对共振频率和形成驻波有何影响？。